Spielen mit Zahlen Seminarleiter: Dieter Bauke

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1 Spielen mit Zahlen Seminarleiter: Dieter Bauke EINLEITUNG Was ist Mathematik? Geometrie und Arithmetik: Untersuchung von Figuren und Zahlen. Wir kombinieren Arithmetik und Geometrie mittels figurierter Zahlen (Zahldarstellung mit Rechensteinen oder kleinen Quadraten). Figurierte Zahlen sind Zahlen, die sich auf geometrische Figuren beziehen. Legt man regelmäßige Figuren aus Spielsteinen und zählt die Steine, erhält man figurierte Zahlen. Schon die griechischen Mathematiker beschäftigten sich mit figurierten Zahlen. Sie sagten: - Eine Einheit ist etwas, das zu einer solchen bestimmt wird. - Eine Zahl bezeichnet die Anzahl der Einheiten, aus denen etwas besteht. - Eine gerade Zahl ist in zwei gleiche Teile teilbar. Eine ungerade Zahl ist nicht in zwei gleiche, aber in zwei Teile teilbar, die sich um Eins unterscheiden. Die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen ist stets ungerade. - Eine Zahl wird mit einer anderen multipliziert, indem man die eine Zahl so oft zusammenzählt, wie die andere Zahl angibt. Die natürlichen Zahlen Die geraden Zahlen Die ungeraden Zahlen (Die Rechenregeln für gerade Zahlen (g) und ungerade Zahlen (u) sind ganz einfach: g + g = g g + u = u u + g = u u + u = g ) Zusammengesetzte Zahlen kann man in ein Rechteck legen, Primzahlen nicht (außer 2): Diese und viele weitere Angaben ermöglichten den Mathematikern schon vor 4000 Jahren, die Zahlen und Figuren zu untersuchen. Leicht einzusehen ist: Die Summe von 3 aufeinderfolgenden Zahlen ist stets durch 3 teilbar; die Summe von 5 aufeinanderfolgenden Zahlen ist stets durch 5 teilbar,... ABER: Die Summe von 4 aufeinanderfolgenden Zahlen ist nie durch 4 teilbar (aber durch 2)! Die Summe von mehr als zwei aufeinanderfolgenden Zahlen ist nie prim. Bei 2 aufeinanderfolgenden Zahlen ist dies jedoch möglich. => Primzahlen sind selten.)

2 DREIECKZAHLEN Wenn wir aufeinanderfolgende natürliche Zahlen addieren, erhalten wir die Dreieckszahlen. Sie heißen so, weil wir die Steinchen in Dreiecksform auslegen können: D1 = 1 D2 = = 3 D3 = = 6 D4 = = 10 (Die tetraktys, d.h. die 10 als Summe von , war für die viele Griechen die heiligste Zahl überhaupt.) Wie können wir die Dreieckszahlen, also die Summe der Folge der natürlichen Zahlen berechnen? Mit den ausgelegten Rechensteinen finden wir eine Lösung für beliebige Dreiecke mit der Kante n (Hier im Bild ist n = 1, 2, 3, 4 und 5): Wir legen das Dreieck noch einmal an und erhalten ein Rechteck mit den Kantenlängen 1-2, 2-3, 3-4, 4-5 bzw. 5-6 und so mit den Steinchenanzahlen 2, 6, 12, 20, 30. Da wir aber immer 2 Dreiecke haben, hat ein Dreieck halb so viele Steine: 1, 3, 6, 10 bzw. 15. Die Summe der ganzen Zahlen bezeichnen wir mit D n: Es gilt also die rekursive Formel (mit D 1=1): n = D n D n+1 = D n + (n+1) Die Folge: erhalten wir also für beliebige n mit der Formel: D n = n(n+1)/2 Beispiel: Die Kinder einer Schulklasse erhielten die Aufgabe, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. (Der Lehrer wollte wohl ungestört sein?) Aber schon nach kurzer Zeit wußte ein Schüler (Carl Friedrich Gauß) die Lösung! Er rechnete wohl D 100 = 100(100+1)/2 = (Später zeigte Gauß auch: Jede natürliche Zahl ist als Summe von 3 Dreieckszahlen darstellbar.) Frage: Die Zahlen in der Folge der Dreieckszahlen sind abwechselnd paarweise Gerade und Ungerade. Stimmt das? Und warum ist das so? Satz: Die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist eine Quadratzahl: D n-1 + D n = n 2 (Den Beweis führen wir bei den Quadratzahlen.) 8D n+1=(2n+1) 2 (Den Beweis führen wir ebenfalls bei den Quadratzahlen.) Bei allen Dreieckszahlen > 3 handelt es sich um zusammengesetzte Zahlen. (Beweis?)

3 Satz: 3*D n + D n-1 = D 2n Satz: 3*D n + D n+1 = D 2n+1 Satz: D n+m= D n+d m+n*m Das heisst: Jedes Dreieck kann in 2 kleine Dreiecke und ein Rechteck zerlegt werden. (Für m=1 erhalten wir die obige Rekursionsformel.) QUADRATZAHLEN Die Quadratzahlen nennt man so, weil sich die Steinchen in Form eines Quadrates legen lassen. Durch Anlegen weiterer Steine an ein Quadrat (der Kante n) können wir das nächste Quadrat erzeugen: Q n+1 = Q n + 2n + 1 (Als Algebra-Aufgabe ist hier zu lesen: (n+1) 2 = n 2 + 2n +1. ) Wir summieren hier also die ungeraden Zahlen (k ungerade): k = Q k = k 2 Der Beweis kann auch über Dreieckszahlen geführt werden:

4 Satz: Die Q-Zahlen sind abwechselnd Gerade und Ungerade. (2 Beweise?) Satz: Jede Q-Zahl ist Summe zweier aufeinanderfolgender D-Zahlen: D n-1 + D n = Q n (Beim Beweis beachte: Die Zerlegung des Quadrats über die Diagonale!) Quadratzahlen fetzen! Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen ist stets ungerade. Beweis: Es wird immer eine ungerade Zahl addiert. (Algebraisch: (n+1) 2 n 2 = 2n+1) Oder auch: Jede ungerade Zahl ist Differenz zweier Quadratzahlen. Eine gerade Q-Zahl kann stets in 4 Q-Zahlen zerlegt werden. ( (2n) 2 = 4n 2 ) (Unter Nutzung der heteromeken Zahlen gilt: Eine ungerade Q-Zahl zerfällt in 4 H-Zahlen+1 d. h.: (2n+1) 2 = 4n(n+1) + 1, aber auch ohne dieses Resultat gilt:) Eine ungerade Quadratzahl ist stets um 1 größer als das Achtfache einer D-Zahl. ( 8n(n+1)/2 + 1 = (2n+1) 2 ) Zerlegung eines geradzahligen Quadrates? Daraus folgt auch: Eine Quadratzahl läßt bei der Teilung durch vier den Rest 0 oder 1, niemals aber den Rest 2 oder 3. (Eine gerade Quadratzahl läßt den Rest 0 und eine ungerade den Rest 1.) Eine Quadratzahl läßt sich in 2 Quadratzahlen und zwei gleichgroße Rechteckzahlen zerlegen. (Binomischer Lehrsatz) Beispiel für den binomischen Satz: (n+1) 2 =n 2 +2n+1 Beispiel für den binomischen Satz: (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 Beispiel für den binomischen Satz: (n 1)(n+1) = n² - 1 Nebenbei: Ist die ungerade Zahl, die wir zu einer Quadratzahl addieren, selbst eine Quadratzahl, so erhalten wir eine Lösung zum Satz des Pythagoras. Beispiele: = 5 2, = 13 2, =

5 Zu den Quadratzahlen gibt es auch noch andere Darstellungen, hier sind zwei: 1) AuA-Regel (Auf-und-Ab-Regel), wegen der Form auch Delta- oder Treppenzahlen genannt: Die Summe n der Steine ist eine Quadratzahl! Beweis: Zerlegen der Figur und D n + D n-1 berechnen oder einfach: Das Dreieck drehen! 2) Stufenzahlen werden nach ihrer Form so genannt: Dass hier immer Quadratzahlen entstehen, kann man zeigen, in dem man die Spitze des Turmes nach links kippt und so ein Quadrat erzeugt. H-ZAHLEN Heteromeke Zahl sind Zahlen, die das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen sind. Sie entstehen, bei 2 beginnend, durch das Anlegen weiterer Steinchen im Winkel (wie bei den Quadratzahlen). Die ersten dieser Zahlen sind 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110,... Die n-te H-Zahl H n berechnet sich nach der Formel Die n-te H-Zahl ist die Summe der ersten n geraden natürlichen Zahlen: Daher gilt die Rekursionsformel: H n = n*(n+1) (2n) = H n H n+1 = H n + 2(n+1) Die n-te H-Zahl ist das Doppelte der n-ten Dreieckzahl: H n = 2D n (Dies benutzten wir schon bei der Berechnung der Dreieckzahlen und sehen es an den Formeln.) Beachte nämlich: (2n) = 2( n) = 2*(n*(n+1)/2) = n(n+1) Satz: Alle heteromeken Zahlen sind gerade. (1. Beweisidee: Von zwei aufeinanderfolgen Zahlen ist immer eine gerade und eine ungerade. 2. Beweisidee: Es werden nur gerade Zahlen addiert.) Oben erwähnten wir schon: Eine ungerade Q-Zahl zerfällt in 4 H-Zahlen+1. (Algebraisch: (2n+1) 2 = 4n(n+1) + 1 ) Es gilt auch: H n = n(n+1) = n 2 + n = Q n + n

6 WEITERE RECHTECKZAHLEN Quadratzahlen und heteromeke Zahlen sind Beispiele für Rechteckzahlen, nach dieser Konstruktion ließen sich weitere Zahlenfolgen bilden, Beispielsweise mit 3 beginnend: (Addition der ungeraden Zahlen, bei 3 beginnend), oder (Addition der geraden Zahlen, bei 4 beginnend). Hier kommt also nichts wesentlich Neues hinzu. Wir haben oben ja die Summenformeln für die ganzen, die geraden und die ungeraden Zahlen hergeleitet. Dies ist ein wesentlicher Grund für die Beschäftigung mit den Zählzahlen, Dreieckzahlen, Quadratzahlen und Heteromeken Zahlen! FÜNFECKZAHLEN, SECHSECKZAHLEN USW. Fünfeckzahlen (auch Pentagonalzahlen genannt) werden durch eine den Dreieckzahlen oder Quadratzahlen vergleichbare Legeweise der Steinchen konstruiert. Für Fünfeckzahlen gilt: = n(3n-1)/2 = F n und auch F n+1 = F n + 3n+1. Einige Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen seien erwähnt: F n = 2D n + D n-2 1 F n = D n + 2D n-1 F n = Q n + D n-1 Das gleiche Vorgehen erfolgt bei der Konstruktion und Berechnung der Sechseckzahlen (Hexagonalzahlen). S n = S n-1 + 4(n-1) +1 S n = n(2n-1) S n = D n + 3D n-1 Diese Überlegungen sollen hier nicht weiter ausgeführt werden. Einige abschließende Bemerkungen ohne Beweise: Jede Polygonalzahl (D-Zahl, Q-Zahl, F-Zahl,,) mit Index n>2 ist zusammengesetzt! ( Der Beweis erfolgt über die allgemeine Formel für alle figurierten Zahlen: (N ist die Zahlenfolge, n die Nummer der Zahl in der Folge): N n=n + = (n/2)(2+(n-2)(n-1)).) Jede Polygonalzahl ist als Summe von Dreieckzahlen darstellbar. Satz von Fermat: Jede Zahl ist als Summe von höchstens p p-eck-zahlen darstellbar. (Das heisst: Jede Zahl ist als Summe von höchstens drei Dreickzahlen darstellbar, für jede Zahl reichen 4 Quadratzahlen, 5 Fünfeckzahlen, ) Abschlußübung ;-) : Bewege bei der Tetraktys 3 Steine so, dass die Spitze von oben nach unten kommt.

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