Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 5/.. Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt Aufgabe 79 (Übung) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von α,β R die Zeilennormalform der Matrix B = α β Für welche α,β sind die Zeilen linear unabhängig? Bestimmen Sie eine Basis der linearen Hülle der Zeilen von A. Lösungsvorschlag Wir führen folgende Zeilenumformungen durch: B = 4 ( ) α β α β 4 α β ( ) 4 ( ) α β α β 4 α β 4 Die letzte Matrix ist für alle α,β R in Zeilenstufenform. Ablesen liefert den Zeilenrang r = 4, für α oder β 4. Ansonsten ist r =. Nach der Vorlesung (r = n), sind die Zeilen von A damit linear unabhängig genau dann, wenn α oder β 4 gilt. Sind α = und β = 4, so ist die letzte Matrix bereits die Zeilennormalform von B und die Basis ist gegeben durch die drei ersten Zeilen der Matrix. In allen anderen Fällen ist eine Basis durch alle vier Zeilen der Ausgangsmatrix gegeben. Ist α = aber β 4, so ist B 4 β 4 β 4 β 4 β 4 4 ( 4)

2 die Zeilennormalform von B. Ist α, so sei κ = β 4 α und es gilt B 4 α β 4 κ κ 4κ κ die Zeilennormalform von B. Aufgabe 8 (Tutorium) α 4 κ a) Bestimmen Sie die Zeilennormalform der Matrix 4 A = Sind die Zeilen linear unabhängig? Bestimmen Sie eine Basis der linearen Hülle der Zeilen von A. b) Geben Sie für folgende Vektorräume jeweils eine Basis an. (i) {(x,x,x ) R x = x }, (ii) lin({x, x x, x, x x, x 7 x 5 }) Lösungsvorschlag a) Wir führen folgende Zeilenumformungen durch: A = ( ) Die letzte Matrix ist in Zeilennormalform. Ablesen liefert den Zeilenrang r =. Nach der Vorlesung (r = n), sind die Zeilen von A damit linear unabhängig und bilden damit eine Basis ihrer linearen Hülle. b) (i) Eine Basis ist gegeben durch v = (,,), v = (,,), denn aus λ v λ v = folgt (λ,λ,λ ) = (,,,), also λ = λ = ; ist ferner v {(x,x,x ) R : x = x }, so gibt es a,b R mit v = (a,b,a), also v = av bv. (ii) Wir zeigen zunächst, dass {x, x x, x, x 7 x 5 } linear unabhängig ist: Es gelte λ x λ (x x) λ (x ) λ 4 (x 7 x 5 ) =, ( )

3 also λ λ x (λ λ λ )x λ 4 x 5 λ 4 x 7 =. Da die Polynome {,x,x,x,...} P linear unabhängig sind, folgt λ =,,λ =, λ λ λ =, λ 4 =, also λ = λ = λ = λ 4 =. Damit ist {x, x x, x, x 7 x 5 } linear unabhängig. Schließlich lässt sich das Polynom x x als Linearkombination aus den restlichen Polynomen darstellen, und zwar gilt x (x x) (x ) = x x. Damit ist lin({x, x x, x, x x, x 7 x 5 }) ein 4-dimensionaler Vektorraum und ist eine Basis dieses Vektorraums. {x, x x, x, x 7 x 5 } Alternativ ist dann Offensichtlich auch {, x, x,x 7 x 5 } eine Basis (die Vektoren sind linear unabhängig und jeder Vektor lässt sich als Linearkombination der Vektoren der ersten Basis schreiben). Aufgabe 8 (Übung) Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem α α β x x x = und entscheiden Sie, in Abhängigkeit von den Parametern α und β, ob das Gleichungssystem lösbar ist. Berechnen Sie gegebenenfalls alle Lösungen. Lösungsvorschlag Wir formen die Matrix so weit zu einer Zeilenstufenform um, wie die Allgemeinheit von α und β es zulässt. ( ) α α α β α β ( α) α α α β α α β α α Nun folgt eine Fallunterscheidung.. Fall: β α. Sei γ := α. Wir dividieren die dritte Zeile durch β α und erhalten β α α α γ ( α) ( α), ( α)γ αγ γ

4 Das Gleichungssystem ist also eindeutig lösbar. die Lösung lautet ( α)γ 4 α β α x = αγ = α( α) γ β α α β α = β α 4 β α β α α. Fall: β = α, α. Das Gleichungssystem hat die Form α α α und ist wegen α nicht lösbar, da die erweiterte Matrix mit einen höheren Rang hat als die Matrix selbst.. Fall: β = α, α = (also β = 4). Die Matrix hat die Form 4 und ist in Zeilennormalform. Ausgeschrieben lauten die Gleichungen Also x 4x =, x x =, x = 4x, x = x, x = x. x ist also ein frei wählbarer Paramter und der Lösungsraum der gegebenen Gleichung lautet 4 s,s K. Alternativ kann man in Matrixform den so genannten ( )-Trick anwenden. Ist die Matrix in Zeilennormalform, ergänze man die gesamte Matrix so durch Nullzeilen, dass die nicht erweiterte Matrix quadratisch ist und die Nicht-Nullzeilen ihre vorhandene erste Eins auf der Diagonale dieser Matrix haben (dies ist hier bereits der Fall, links steht eine -Matrix mit ihren Einsen auf der Diagonalen. Nun ersetzt man die Nullen auf der Diagonale durch ( )en. Die spezielle Lösung des Gleichungssystems ist über die Spalte ganz rechts abzulesen, der Lösungsraum der homogenen Gleichung (mit Parameter davor) ist durch die Spalten der Matrix links gegeben, die zu einer eingefügten ( ) gehören. 4 4 ( ) 4 s,s K 4

5 Hinweis: Der Vektor (4,, ) hat hierbei ein anderes Vorzeichen als bei der oberen Methode, durch die freie Wahl von s K handelt es sich jedoch um die Gleiche Lösungsmenge. Aufgabe 8 (Tutorium) Es seien gegeben. A = a) Bestimmen Sie rg(a), rg(a b) und rg(a c)., b = 4,c = b) Bestimmen Sie dim(kerna) und geben Sie die Lösungsmenge der Gleichung Ax = an. c) Geben Sie die Lösungsmenge der Gleichungen Ax = b und Ax = c an. Lösungsvorschlag a) Wir bringen die erweiterte Matrix (A b c) auf Zeilennormalform. Wir schreiben beide Vektoren b und c in die Erweiterung, da die Zeilennormalform nur von der Matrix A abhängt und die Operationen somit bei beiden erweiterten Matrizen dieselben sind ( ) ( ) Wir erkennen somit, dass rg(a) = rg(a b) =, rg(a c) =. b) Nach Satz 4. ist dim(bilda) = rg(a) = und nach der Dimensionsformel in 4. dementsprechend (die Matrix besitzt Spalten) dim(kerna) = dim(bilda) = = 4. 5

6 Schreiben wir Ax = in der obigen Zeilennormalform zu einem Gleichungssystem um, ergibt sich x x x 4 5 x 5 x =, x 7 x x 4 x 5 5 x =, also x = x x 4 5 x 5 x, x = 7 x x 4 x 5 5 x. x = x, x 4 = x 4, x 5 = x 5, x = x. Somit ergibt sich als Lösungsmenge der Gleichung Ax =, indem wir x bis x durch beliebige Parameter ersetzen, s t 5 u v s 4t 5u v 7 s t u 5 v 7s t u 5v s s,s,t,u,v K =,s,t,u,v K, t t u v wobei wir für die zweite Menge jeden Parameter durch sein Sechsfaches ersetzt haben. Analog erhält man das Resultat über den ( )-Trick (die einzelnen Vektoren mit ihren Parametern wurden hier zu einem Vektor zusammengefasst). c) Das Gleichungssystem Ax = c ist unlösbar, da rg(a c) = = rg(a). Das Gleichungssystem Ax = b ist lösbar und die allgemeine Lösung ist gegeben als Summe einer speziellen Lösung und der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung. Mit dem gleichen Vorgehen wie in b) gilt nämlich u v x = 5 x x 4 5 x 5 x, x = 7 x x 4 x 5 5 x. x = x, x 4 = x 4, x 5 = x 5, x = x,

7 und somit ist die Lösungsmenge 5 s t 5 u v 7 s t u 5 v s t u v,s,t,u,v K = 5 s 4t 5u v 7s t u 5v s t u v,s,t,u,v K. Aufgabe 8 (Übung) Für eine Matrix A = (a ij ) K n n mit n N sei die transponierte Matrix A T K n n definiert durch (A T ) ij := a ji. Die Abbildung P : K n n K n n sei definiert durch Zeigen Sie: P (A) = (A AT ) = a a... a n a n... a n a n... a nn a nn a) Für alle A,B K n n, α K gilt P (αa B) = αp (A) P (B). b) Für alle A K n n gilt: P (A) = A T = A. In diesem Fall heißt A schiefsymmetrisch. c) Für alle A K n n gilt: A P (K n n ) A T = A. In diesem Fall heißt A symmetrisch. d) dim({a K n n P (A) = }) = n(n ), dim({a K n n A P (K n n )}) = n(n) Lösungsvorschlag a) Es gilt (αa) T = αa T sowie (AB) T = A T B T für α K und A,B K n n, wie man direkt anhand der Definition erkennt. Damit folgt wie zu zeigen war. P (αa B) = ( ) αa B (αa B) T = ( αa B αa T B ) T = α ( ) A A T ( ) B B T = αp (A) P (B), b) Es ist P (A) = A A T = A T = A. c) (i) Sei B K n n P (B) T = (BBT ) T = (BT B) = P (B), da (B T ) T = B anhand der Definition. Also gilt für P (K n n ) A = P (B) dann A T = A. (ii) Sei A K n n mit A T = A. Dann gilt (A AT ) = (A) = A, also P (A) = A. Es folgt A P (K n n ). Insgesamt folgt aus (i) und (ii): A P (K n n ) A T = A. 7

8 d) Eine Basis von {A K n n A P (K n n )} b) = {A K n n A = A T } wird durch die folgenden Matrizen gebildet:......,...,,...,..., (.)......,...,...,... (.) (Einsen auf der Diagonale bzw. in gegenüberliegenden Einträgen abseits der Diagonalen). Diese Matrizen sind offenbar linear unabhängig, außerdem läßt sich jede symmetrische Matrix als Linearkombination dieser Matrizen schreiben. Also bilden obige Matrizen eine Basis. Da man in der rechten oberen Dreiecksmatrix stets ein Element = wählen kann und den Rest =, besteht diese Basis aus n(n ) n (n )... = Elementen, also dim({a K n n A P (K n n )}) = n(n). Eine Basis der Menge der schiefsymmetrischen Matrizen (A T = A) erhalten wir, wenn wir bei den Matrizen in (.) je eine der beiden Einsen durch eine - ersetzen. Die Matrizen in (.) fallen weg, da diese nicht schiefsymmetrisch sind. Damit erhalten wir dim({a K n n P (A) = }) = n(n ) Hinweis: Später folgt aus der Dimensionsformel für lineare Abbildungen sofort Aufgabe 84 (Tutorium) dim({a K n n A P (K n n )}) dim({a K n n P (A) = }) = dim(k n n ) = n. a) Im C-Vektorraum C 4 seien der Vektor y = (,5i, i,c ) und der Untervektorraum U = lin i, i i, i c i c ci, i i c c i i gegeben. Bestimmen Sie alle c C, für die y U gilt. b) Sei A = K. Berechnen Sie eine Basis von KernA und von BildA. 8

9 Lösungsvorschlag a) Seien v := i,v := i i,v := i c i c ci,v 4 := i i c c i i. Gesucht sind Koeffizienten x,...,x 4 C mit 4 n= x n v n = y. Dies ist gleichbedeutend mit dem Lösen eines Gleichungssystems, dass als Spalten der Matrix die Vektoren v,...,v 4 besitzt und als rechte Seite den Vektor y. Wir bringen die zugehörige erweiterte Matrix auf Stufenform. i ( i) i i i i c 5i i c i c i i c ci i c i i i i c 4i i c i i c i c ci c i i i i c 4i c i i c ci c c i i i i c 4i c i i c ci Dieses Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn der Rang der erweiterten Matrix dem Rang der nicht erweiterten entspricht (also ). Dies ist genau dann der Fall, wenn (c i)(c i) = c ci = und c i, also für (c = i oder c = i) und c i, also für c = i. Für dieses c finden wir eine Lösung, womit y U gilt, andernfalls gilt y U. b) Zunächst bringen wir A mittels Zeilenumformungen auf Zeilennormalform: ( ) ( ) Daraus erkennen wir mit dem üblichen Vorgehen, dass ( ) ( ) KernA = {x K Ax = } = s,s K = s,s K 9

10 Folglich ist eine Basis von Kern A und es gilt dim(kerna) =. Die Dimensionsformel liefert dim(bilda) = dim(kerna) = =. Da die beiden Vektoren Ae =,Ae = Bild A linear unabhängig sind, bilden diese eine Basis von Bild A, also Bild A = lin,.