8. Februar Bei Unterschleif gilt die Klausur als nicht bestanden und es erfolgt eine Meldung an das Prüfungsamt.

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1 L. Fahrmeir, C. Belitz Department für Statistik Bitte für die Korrektur freilassen! Aufgabe Punkte Klausur zur Vorlesung Statistik III für Studenten mit Wahlfach Statistik 8. Februar 2007 Hinweise: 1. Überprüfen Sie bitte, ob Ihre Angabe vollständig ist. Sie sollte neben diesem Deckblatt 4 Aufgaben auf 4 Aufgabenseiten sowie 1 Zusatzangabe auf 1 Seite enthalten. 2. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten und es können maximal 60 Punkte sowie 6 Bonuspunkte in zwei mit ( ) markierten Teilaufgaben erreicht werden. 3. Als Hilfsmittel sind ausschließlich ein Taschenrechner sowie die offizielle Formelsammlung (mit eigenen handschriftlichen Einträgen, aber ohne Zusatzblätter) erlaubt. 4. Ausländische Studenten dürfen ein Wörterbuch verwenden (deutsch Muttersprache). 5. Bei Unterschleif gilt die Klausur als nicht bestanden und es erfolgt eine Meldung an das Prüfungsamt. 6. Verwenden Sie für Ihre Notizen und Lösungen ausschließlich die Ihnen zur Verfügung gestellten Papierbögen. 7. Geben Sie bitte am Ende der Klausur alle von Ihnen zur Korrektur vorgesehenen Blätter ab und kennzeichnen Sie jedes abgegebene Blatt mit Name und Matrikelnummer. Bitte ausfüllen und unterschreiben!!! Name (in Druckbuchstaben): Matrikelnummer: Geburtstag: Studienfach: Geburtsort: Ich bestätige, dass ich obige Hinweise zur Kenntnis genommen habe und sie befolgen werde. Ich bin mit einer Veröffentlichung meines Klausurergebnisses im Internet in der Form <Matrikelnummer><Note> einverstanden. (Falls nicht, den letzten Satz bitte streichen!) Unterschrift: Viel Erfolg!

2 Aufgabe 1 10 Punkte Herr K. gewinnt im Lotto 10000,- EUR und möchte diese gewinnbringend anlegen. Dazu investiert er 6000,- e in einen Immobilien Fonds und 4000 e in einen Index-Fonds, über deren jährliche Renditen r 1, r 2 folgendes bekannt sei: E(r i ) Immobilien F Index F Cov(r i, r j ) Immobilien F. Index F (a) Stellen Sie die Rendite R des von Herrn K. zusammengestellten Portfolios mit Hilfe der Vektoren w = (w 1, w 2 ) und r = (r 1, r 2 ) dar, wobei w j den Anteil des jeweiligen Fonds am Gesamtvermögen darstellt. (b) Berechnen Sie E(R) sowie σ R. (c) Die Renditen r 1 und r 2 sind gemeinsam normalverteilt mit Erwartungswertvektor und Kovarianzmatrix wie oben angegeben. Wie lautet die Randverteilung von r 2? Nach dem ersten Jahr erfährt Herr K., dass der Wert r 1 = 0.04 beträgt. Wie lautet die Verteilung von r 2 r 1? Berechnen Sie Erwartungswert E(r 2 r 1 ) und V ar(r 2 r 1 ). Aufgabe Punkte Gegeben seien unabhängige Beobachtungen y 1,..., y n einer Gamma verteilten Zufallsgröße y. Die Dichte der Gamma Verteilung ist definiert für y > 0 und besitzt zwei Parameter µ > 0 und ν > 0. Im Folgenden gehen wir davon aus, dass ν = 2 gilt. Dann lautet die Dichte von y: ( ) 2 2 f(y µ, 2) = y exp ( 2 ) µ µ y, mit E(y) = µ und V ar(y) = µ 2 /2. (a) Bestimmen Sie zunächst die Likelihood und die Log Likelihood des unbekannten Parameters µ für die i te Beobachtung der Stichprobe. Berechnen Sie daraus die Likelihood und die Log Likelihood für die gesamte Stichprobe. (b) Berechnen Sie die Scorefunktion s(µ) der Stichprobe. Zeigen Sie, dass ȳ der ML Schätzer für µ ist. (c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz des ML Schätzers für µ. Ist der Schätzer konsistent? (d) Berechnen Sie die beobachtete Information und die Fisher Information der Stichprobe. Was fällt Ihnen auf, wenn Sie die Fisher Information mit der Varianz von ˆµ vergleichen?

3 Aufgabe Punkte Bei einer Untersuchung über die Preise von gebrauchten VW Golf Wagen wurden unter anderen die folgenden Merkmale erhoben: Variable Beschreibung preis Preis in 1000 e alter Alter des Autos in Jahren alterc alter zentriert, d.h. alter alter = alter 9.43 alterc2 alterc quadriert und zentriert, d.h. alterc 2 alterc 2 = alterc alterc3 zentrierte dritte Potenz von alterc, d.h. alterc 3 alterc 3 = alterc kilstand Kilometerstand des Autos in km kilstandc kilstand zentriert, d.h. kilstand kilstandc2 kilstandc quadriert und zentriert, d.h. kilstandc tuev Anzahl der Monate bis zum nächsten TÜV Termin abs ABS vorhanden ja=1/nein=0 Im Folgenden soll der Zusammenhang zwischen dem Preis und den Einflußgrößen mittels zweier Regressionsmodelle betrachtet werden, deren Ergebnisse als SPSS Outputs in der beiliegenden Zusatzangabe zusammengefasst sind. Zunächst soll Modell (1) näher untersucht werden. (a) Berechnen Sie die Werte A bis E. (b) Interpretieren Sie soweit möglich die geschätzten Regressionsparameter. (c) Was lässt sich für Modell (1) bezüglich der Tests für die Hypothesen 1. H 0 : β 1 = 0 2. H 0 : β 5 = 0 3. H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = β 4 = β 5 = 0 aussagen, falls man α = 0.1 zu Grunde legt? (d) Welchen Preis würden Sie gemäß Modell (1) für ein zehnjähriges Auto mit einem Kilometerstand von 1000 km prognostizieren, das ABS besitzt und noch ein halbes Jahr TÜV hat? Für Modell (2) wurde das Alter nicht linear, sondern als Polynom dritten Grades (mit den Potenzen alterc2 und alterc3) in die Regressionsgleichung aufgenommen. Einige Ergebnisse für dieses Modell sind in der Zusatzangabe dargestellt. (e) Testen Sie zum Niveau α = 0.1, ob das Polynom dritten Grades den Einfluss des Alters signifikant besser modelliert als ein linearer Effekt. Formulieren Sie dazu die Nullhypothese als lineare Hypothese der Art Cβ = d und führen Sie einen geeigneten Test durch. Wie lautet die Alternativhypothese H 1? (F 0.9 (3, 165) = 2.117, F 0.9 (2, 165) = 2.335, F 0.9 (1, 165) = 2.736) (f) Welche Parameter ändern sich, wenn man statt der Variablen abs die Variable abs0 verwendet (mit abs0 = 1, falls kein ABS vorhanden ist und abs0 = 0, falls ABS vorhanden ist)? Berechnen Sie die neuen Parameter. (g) Nennen Sie die Modellannahmen, die für ein klassisches lineares Regressionsmodell getroffen werden. Betrachten Sie die Likelihoodfunktion für die gesamte Stichprobe ( 1 L(β 0,..., β p y 1,..., y n ) = (2πσ 2 exp 1 ) n ) n/2 2σ 2 (y i η i ) 2 mit η i = β β p x ip. An welcher Stelle werden die Modellannahmen beim Aufstellen der Likelihood jeweils verwendet? i=1

4 Aufgabe 4 20 Punkte Bei einer Untersuchung zum Rückzahlverhalten von 1000 Kunden, denen eine süddeutsche Großbank Kredite vergeben hat, wurden unter anderen die folgenden Merkmale erhoben: Variable Beschreibung boni Bonität des Kunden (1 = Kredit wurde nicht zurückgezahlt / 0 = Kredit wurde zurückgezahlt) moral Zahlungsmoral (1 = gute Moral / 0 = schlechte Moral) zweck Zweck des Kredits (1 = privat / 0 = geschäftlich) f amst Familienstand (1 = verheiratet / 0 = ledig) laufz Laufzeit des Kredites in Monaten laufzk1 Dummyvariable für lauf z <= 6 laufzk2 Dummyvariable für 6 < laufz <= 12.. laufzk8 Dummyvariable für 42 < laufz <= 48 laufzk9 Dummyvariable für lauf z > 48 hoehe Höhe des Kredites in 1000,- EUR hoehec hoehe zentriert, d.h. hoehe hoehe = hoehe hoehe2c = hoehec 2 hoehec 2 = hoehec konto Konto bei der Bank? (1 = kein Konto / 2 = gutes Konto / 3 = schlechtes Konto) konto1 effektkodierte Variable für kein Konto konto2 effektkodierte Variable für gutes Konto Von besonderem Interesse sei im Folgenden die Modellierung der Wahrscheinlichkeit π für die Zahlungsunfähigkeit eines Kunden mittels eines Logit Modells. Logit estimates Number of obs = 1000 LR chi2(15) = Prob > chi2 = Log likelihood = Pseudo R2 = boni Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] hoehec hoehe2c laufzk laufzk laufzk laufzk laufzk laufzk laufzk laufzk konto konto famst zweck moral A B _cons (a) Wie sind die effektkodierten Variablen konto1 und konto2 mit schlechtes Konto als Referenzkategorie definiert? (b) Interpretieren Sie kurz die geschätzten Regressionskoeffizienten ˆβ 11, ˆβ 12 und ˆβ 13 auf der Ebene der logarithmierten und relativen Chancen sowie der Wahrscheinlichkeit für Zahlungsunfähigkeit. Wie lässt sich die Konstante ˆβ 0 = cons interpretieren?

5 (c) Berechnen Sie die durch dieses Modell geschätzte Wahrscheinlichkeit für die Zahlungsunfähigkeit bei einem geschäftlichen Kredit, falls die Höhe des Kredits 2000,- Euro beträgt, der Kreditnehmer ledig ist, ein gutes Konto besitzt, gute Zahlungsmoral hat und die Laufzeit des Kredits ein Jahr beträgt. (d) Berechnen Sie die Werte A und B im Regressions Output. (e) Testen Sie mittels eines geeigneten Tests zum Niveau α = 0.01, ob die Laufzeit des Kredits einen signifikanten Effekt besitzt. Formulieren Sie dazu zunächst die entsprechende Nullhypothese und Alternativhypothese. Zur Durchführung können Sie verwenden, dass sich für ein Modell, in das das Merkmal Laufzeit nicht eingeht, ein Wert der Log Likelihood von ergibt. (χ 2 -Quantile: χ (8) = und (9) = ) χ (f) Die folgende Abbildung zeigt neben den zentrierten Daten (in Form von transformierten Mittelwerten pro Laufzeit Wert, d.h. ln(boni laufz = i/(1 boni laufz = i)) für i = 4,..., 72) den zentrierten Effekt f 1 (laufz) der Laufzeit von obigem Modell und den zentrierten Effekt der Laufzeit eines alternativen Modells in Form von f 2 (laufz) = β 1/laufz. Nennen Sie jeweils bis zu 2 (nicht mehr!) Vor und Nachteile der beiden Modellierungsalternativen Laufzeit f1(laufz) f2(laufz) zentrierte Daten (g) Welche Verteilung wird beim Logit Modell für die einzelnen Beobachtungen y i zugrunde gelegt? Wie lauten Likelihoodfunktion und Log Likelihoodfunktion in allgemeiner Form für die gesamte Stichprobe für obiges Modell? Beschreiben Sie außerdem, wie beim Logit Modell der Prädiktor mit dem Erwartungswert verbunden ist.

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