String - Matching. Kapitel Definition

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1 Kapitel 1 String - Matching 1.1 Definition String - Matching ( übersetzt in etwa Zeichenkettenanpassung ) ist die Suche eines Musters ( Pattern ) in einem Text. Es findet beispielsweise Anwendung bei der Suche im World Wide Web. Dabei gibt man einen Begriff ( Muster ) in eine Suchmaschine ein und erhält dann zuvor indizierte Webseiten als Ergebnis. Andere Anwendungen für String-Matching sind z.b. Textsuche in einem Editor, Genomforschung zum Finden bestimmter DNS-Sequenzen, etc.. Gegeben ist: ein endliches Alphabet Σ ein Text T Σ, wobei T = n gilt ein Muster P Σ, wobei P = m, m n gilt und die Felder: T [1..n] ( enthält den Text ) P [1..m] ( enthält das Muster ) Definition (Präfix). w ist ein Anfangsstück ( Präfix ) von x, symbolisiert durch ( x w ), wenn ein u Σ existiert für das gilt: x = wu mit w, x Σ ( Konkatenation von Strings ). Definition (Suffix). w ist ein Endstück ( Suffix ) von x, symbolisiert durch ( x w ), wenn ein u Σ existiert für das gilt: x = uw mit w, x Σ. 1

2 Gesucht ist das Vorkommen von P in T, also die Stellen s mit: T [s+i] = P [i] für i = 1,..., m. Wir definieren folgende Bezeichnungen: P k := P [1..k] ( die ersten k Zeichen von P ), P 0 := ε ( das leere Wort ). Gesucht sind die Stellen s im Text T bei denen das Muster P ein Suffix ist, und zwar von T 1 bis T s+m. Algorithm 1: Naiver Algorithmus zum Finden eines Patterns P in einem Text T. 1: NAIV(T,P ) 2: n := Länge T ; 3: m := Länge P ; 4: for s := 1,..., n m do 5: if P = T [s s + m] then 6: gib s aus 7: end if 8: end for Der Vergleich in Zeile 5 enthält die Schleife, welche das Muster mit dem Abschnitt s + 1 bis s + m aus dem Text T zeichenweise vergleicht Laufzeit Die Laufzeit wird durch zwei Teile des Algorithmus bestimmt, der FOR-Schleife und dem Vergleich. Die FOR-Schleife wird n m mal im average - und im worst case n - mal durchlaufen. Dies ist der Fall, wenn T = a n ( also n - mal das selbe Zeichen ) und P = a n 1 b ist. Der Vergleich, welcher überprüft ob das Pattern mit dem Abschnitt s + 1 bis s + m aus dem Text T übereinstimmt, muss m Vergleiche ausführen und hat daher eine Laufzeit von O(m). Da dieser Vergleich bei jedem Schleifendurchlauf gemacht wird, ergibt sich eine Gesamtlaufzeit von O(m(n m)) beziehungsweise Θ(mn). 2

3 1.2 Algorithmus mit linearer Zeit Algorithmus von Knuth - Morris - Pratt Algorithm 2: Algorithmus von Knuth - Morris - Pratt 1: Berechne für P die Präfixfunktion π 2: q := 0; 3: for i := 1,...,n do 4: while ((q > 0) (P [q + 1] T [i])) do 5: q := π [q] 6: end while 7: if (P [q + 1] = T [i]) then 8: q := q + 1; 9: end if 10: if (q = m) then 11: Match an Stelle i m; 12: q := π [q] 13: end if 14: end for Der Algorithmus basiert auf folgender Idee: Ein ganz gewichtiger Nachteil des naiven Algorithmus besteht in seinem ineffizienten Verhalten nach einem Mismatch. Dabei wird das Muster um nur eine einzige Position relativ zum Text verschoben. Des Weiteren wird immer wieder zum ersten Zeichen des Musters gesprungen um einen erneuten Vergleich zu starten. Durch Einbindung einer Präfixanalyse soll nun nach einem Mismatch das Muster P um möglichst mehr als eine Stelle verschoben werden, bevor ein neues Matching gestartet wird. Diese Präfixfunktion, bildet den funktionalen Hauptteil des Knuth - Morris - Pratt Algorithmus und soll daher im Weiteren näher betrachtet werden Präfixfunktion Algorithm 3: Präfixfunktion 1: P REF (P ) 2: π [1] := 0 3: for q := 2,...,m do 4: while ((k > 0) (P [k + 1] P [q])) do 5: k := π [k] 6: end while 7: if (P [k + 1] = P [q]) then 8: k := k + 1; 9: end if 10: π [q] := k 11: end for Definition (Präfixfunktion π). Die Funktion π : {1,..., m} {1,..., m 1} heißt Präfixfunktion und ist definiert als: Gesucht ist somit nach einem größtmögli- 3

4 chen k mit: π(q) := max{k k < q, P k P q }. Weniger formal, k Stellen des Musters müssen mit dem Suffix der Länge k des Musters bis zur Stelle q übereinstimmen. Dies hat nunmehr keinen Bezug zum Text, sondern nur noch zum Muster P! Laufzeit der Präfixfunktion Die Präfixanalyse dient also der Bestimmung einer möglichst großen Anzahl von Zeichen um die das Muster nach einem Mismatch gegenüber dem Text verschoben werden kann. Dazu benötigen die Zeilen 7 und 8 konstante Zeit pro Iteration der FOR-Schleife, welche insgesamt m - mal durchlaufen wird, also O(m). Die Zeilen 4 und 5 werden ebenfalls höchstens m - mal durchlaufen und benötigen daher auch nur O(m) Laufzeit. Somit ergibt sich die Gesamtlaufzeit der Präfixfunktion zu O(m), ist demnach also linear Laufzeit von Knuth - Morris - Pratt Die Laufzeitanalyse des gesamten Algorithmus gestaltet sich analog zur Präfixfunktion. Zeilen 4 und 5 werden höchstens n - mal wiederholt, also so oft wie es Zeichen im Text T gibt - daher ergibt sich eine Laufzeit von O(n). Die Zeilen 7-12 werden ebenfalls n - mal ausgeführt, ergo ergibt sich wieder O(n). Die Zeile 1 benötigt O(m) Zeit ( Anzahl der Zeichen des Musters P ), woraus sich für den Algorithmus von Knuth - Morris - Pratt eine Gesamtlaufzeit von O(m + n) ergibt Korrektheit der Präfixfunktion Lemma Sei π (q) := {q, π(q),..., π i (q)}, wobei π i = π(π(... π(q)... )) ist. Dann ist π (q) = {k P k P q fürq = 1,..., m} Für q = 1,..., m gilt also, dass P [1,..., k] Suffix von P [1,..., q] ist. Beweis. : Für alle i π (q) gilt, i = π l (q). Wir führen also den Induktionsbeweis über l 4

5 und zeigen somit die Korrektheit der Funktion über alle l N in angegebener Richtung. Induktionsanfang mit l = 0: π 0 (q) = q und P q P q. π 0 (q) = q : ist trivial erfüllt, denn aus i = q folgt, dass P [1,..., q] Induktionsschritt mit Übergang von l l + 1: P πl+1 (q) P πl (q) P q. P [1,..., π(i)] ist trivialerweise Suffix von P [1,..., (i)] und unter Brücksichtigung der Transitivität der Suffixrelation gilt das Lemma für die angegebene Richtung als bewiesen. : Angenommen es existiert ein l k, wobei P [1,..., k] Suffix von P [1,..., q] ist. Ausgeschlossen werden muss dabei aber l π (q), denn q ist als letztes Zeichen des Musters in beiden Strings vorhanden. Sei nun l die kleinste Zahl in π (q), mit der Eigenschaft l > l. Dann ist P [1,..., l] Suffix von P [1,..., q] und P [1,..., l ] Suffix von P [1,..., q]. Daraus aber folgt, dass P [1,..., l] ist Suffix von P [1,..., l ] und l ist maximal. Und schließlich der Widerspruch zur Annahme π(l ) = l und l π (q). 5