als partielle Zeitableitung und die Beschleunigung von Bedeutung, die als zweite Zeitableitung der Bewegung a =ẍ bzw. a = x, tt

Transkript

1 7 2 Schwingungen Die Beschreibung und die Charakerisierung des Zeiverlaufs einer Bewegung erfolg im Rahmen der Schwingungslehre. Die für die Beschreibung von Schwingungen wichigen Begriffe und Symbole sind umfassend in DIN 1311 [46] angegeben. Nachfolgend sind die wesenlichen Grundlagen der Schwingungslehre dargesell, die für die Srukurdynamik von Bedeuung sind. 2.1 Darsellung von Bewegungen Völlig unabhängig von der physikalischen Bedeuung einer Bewegung wähl man als Beschreibungsvariable der Bewegung die Koordinae (). Für die Beschreibung der Bewegung sind auch die Geschwindigkei v = d d =ẋ v = =, als subsanielle oder oale Zeiableiung sowie als parielle Zeiableiung und die Beschleunigung von Bedeuung, die als zweie Zeiableiung der Bewegung mi definier is. Weg Zei Verlauf a =ẍ bzw. a =, Die Darsellung einer Bewegung kann anschaulich mi Weg Zei Diagrammen ensprechend Bild 2-1 erfolgen Bild 2-1 Darsellung von Bewegungen in Weg Zei Diagrammen Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017 D. Dinkler, Einführung in die Srukurdynamik, DOI / _2

2 8 2 Schwingungen Von der äußeren Form des Zeiverlaufs unerscheide man monoon gegen einen Fipunk srebende Kriechbewegungen (1), nich monoone unregelmäßige Bewegungen (2) und regelmäßige Bewegungen (3), die im weieren als Schwingungen bezeichne sind. Schwingungen weisen Merkmale auf, die sich in gewissen Zeiabsänden wiederholen. Die Darsellung der Bewegung als Zeiverlauf is anschaulich, wenn die Bewegung direk mi dem physikalischen Phänomen verknüpf werden kann. Allerdings ha die Darsellung auch Grenzen, wenn lange Zeispannen zu beschreiben sind, oder wenn verschiedene Bewegungen mieinander verglichen werden sollen. Besser geeigne sind dann Phasenebenen oder Frequenzspekren, diespäer erklär werden. Phasenebene Die Darsellung der Bewegung kann auch in der Phasenebene der Ampliude () und der Geschwindigkei ẋ() erfolgen. Die Bahn der Bewegung wird als Trajekorie bezeichne, wobei die Zei als Bogenkoordinae berache werden kann. Die Voreile dieser Darsellung sind: Auslenkung und Geschwindigkei sind direk ablesbar. Das Zenrum der Trajekorie is die saische Gleichgewichslage, die mi ẋ() = 0 und () =konsan charakerisier is. Aus der Form der Trajekorie kann man auf die Ar der Bewegung schließen. Geschlossene Trajekorien deuen an, dass sich die Bewegung in der Zei wiederhol, also periodisch is. Sie wird dann auch als Orbi bezeichne. Kriechbewegungen sind monoon gegen einen Fipunk srebende Trajekorien mi ẋ() = 0 und () =konsan für.angefache Bewegungen enfernen sich von einem Fipunk. Bild 2-2 Darsellung einer Bewegung in der Phasenebene

3 2.2 Übersich auf die Schwingungsaren Übersich auf die Schwingungsaren In DIN 1311 [46] is eine Eineilung der Schwingungen ensprechend dem jeweiligen Zeiverlauf gegeben. Die Klassifizierung unerschiedlicher Schwingungen ihrem Zeiverlauf is in Bild 2-3 in gekürzer Form wiedergegeben. Grundsäzlich unerscheide man deerminisische und sochasische Schwingungen, wobei die sochasischen Schwingungen hier nich weier berache werden. Die für Anwendungen im Ingenieurwesen wichigen Schwingungen sind periodisch oder nichperiodisch. Schwingungen deerminisisch sochasisch periodisch nichperiodisch harmonisch allgemein allgemein modulier ransien periodisch nichperiodisch Schwebung ampliudenmodulier winkelmodulier Bild 2-3 Bezeichnung der Schwingungen ensprechend ihrem Zeiverlauf [46] Man unerscheide außerdem saionäre Bewegungen, die sich in der Zei regelmäßig wiederholen und insaionäre Bewegungen, die einmalig aufreen. Saionäre Bewegungen sind das regelmäßige Drehen der Rooren einer Windkrafanlage, das Schwingen einer Offshore-Anlage im Wellengang, die Drehbewegung einer Turbine oder der Beriebszusand eines Moors. Insaionäre Bewegungen reen als Schwingung eines Baueils infolge einer Windböe auf, beim Anlassen eines Moors, beim Beschleunigen eines Fahrzeugs und anderes mehr. Im weieren werden die im Ingenieurwesen wesenlichen Schwingungen charakerisier und die Grundformen in Formeln angegeben.

4 10 2 Schwingungen 2.3 Periodische Schwingungen Die wichigse Bewegungsform der Srukurdynamik is die periodische Schwingung, da viele Prozesse mi regelmäßig wiederkehrenden Schwingungseigenschafen ablaufen und die Tragwerke hierdurch sark beanspruch werden können. Eine Schwingung heiß periodisch mi der Periodendauer T, wenn sie sich nach Ablauf des Zeiinervalls T wiederhol. Ensprechendes gil dami auch für ẋ,ẍ,... ( + T )=() für alle und T> m 1 T 3 Bild 2-4 Periodische Schwingungen [46] Periodische Schwingungen besizen ausgezeichnee Were der Variablen. Dies is der Gleichwer 1, der Gipfelwer 2, der Talwer 3 und die Schwingungsbreie 4. Die Charakerisierung periodischer Schwingungen in der Srukurdynamik erfolg mi dem Mielwer bzw. Gleichwer m = 1 T 0+T ()d und dem Effekivwer eff = 1 T 0 0+T 0 2 ()d Harmonische Schwingungen Sinus und cosinus Schwingungen werden als harmonische Schwingungen bezeichne. Die Grundform der harmonischen Schwingung in reeller Darsellung is () =ˆ cos(2π + 0 T ),

5 2.3 Periodische Schwingungen 11 wobei ˆ die Ampliude, die Zei und T die Periodendauer sind. Die Verschiebung 0 des Ursprungs is hier ohne Vorzeichen einzusezen. ^ 0 T Bild 2-5 Harmonische Schwingung Eine andere Darsellung is mi der Kreisfrequenz ω = 2π T [ rad s ] und dem Nullphasenwinkel ϕ 0 = ω 0 üblich () =ˆ cos(ω + ϕ 0 ). (2.1) Das Produk aus Kreisfrequenz und Zei ω [rad] is also ein Winkelmaß. Zu beachen is, dass man die Kreisfrequenz von der Frequenz bzw. Periodenfrequenz f = 1 T [1 s ]= 1 T [Hz] ω =2π f unerscheide, die in Herz angegeben wird. Umformungen von cosinus nach sinus erfolgen mi einer Koordinaenransformaion um π 2. Mi den Addiionsheoremen [5] sind weiere Darsellungen möglich. So kann man die Phasenverschiebung ϕ 0 mi cos(ω + ϕ 0 )=cosω cos ϕ 0 sin ω sin ϕ 0 in eine sin und eine cos Schwingung umformen wobei die Koeffizienen mi () =ˆ c cos ω +ˆ s sin ω, (2.2) ˆ c =ˆ cos ϕ 0 und ˆ s = ˆ sin ϕ 0 sowie ϕ 0 = arcan ˆ s ˆ c

6 12 2 Schwingungen gegeben sind. Verwende man die komplee Schreibweise mi i = 1sowie cos ω = 1 2 (e+iω + e iω ) und sin ω = i 1 2 (e+iω e iω ) bzw. e +iω =cosω + i sin ω und e iω =cosω i sin ω, so gil ebenso () =ˆ + e iω +ˆ e iω (2.3) mi den konjugier komplewerigen Amliuden ˆ + =ˆ R + i ˆ I und ˆ =ˆ R i ˆ I Harmonische Synhese Eine Überlagerung mehrerer harmonischer Schwingungen mi ganzzahligem Frequenzverhälnis bezeichne man als Harmonische Synhese. Weil alle Teilschwingungen eine gemeinsame Periode besizen, reffen sich im einfachsen Fall alle Teilschwingungen im Nulldurchgang der Gesamschwingung. In Bild 2-6 isdieüberlagerung dreier cos Schwingungen mi n =1, 3, 5 und ϕ 0n =0 gezeig. 1 cos 1 cos + 3 cos cos + 3 cos 3 + cos 1 Bild 2-6 Überlagerung von harmonischen Schwingungen Im allgemeinen Fall besiz jede Teilschwingung eine eigene Phasenverschiebung und eine eigene Ampliude. Dami gil () = N ˆ n cos(ω n + ϕ 0n ). (2.4) n=1 Bei der Überlagerung is es voreilhaf, wenn man alle Teilschwingungen mi einer gemeinsamen Grundfrequenz ω beschreiben kann ω n = n ω.

7 2.3 Periodische Schwingungen 13 Hierbei wird mi den ganzen Zahlen n =+1, +2, +3,... das Verhälnis der Frequenzen von Grund und Teilschwingung fesgeleg, wobei n = 1 die Grundschwingung mi der Grundfrequenz ω und die n > 1 die Oberschwingungen mi ωn angeben. Die Oberschwingungen werden auch als höhere Harmonische bezeichne. Die allgemeine Form einer Teilschwingung is daher mi n () =ˆ n cos(n ω + ϕ 0n ) gegeben. Die gemeinsame Grundfrequenz ω für alle Teilschwingungen is mi dem Periodenverhälnis der Teilschwingungen fesgeleg, wenn die Periode der Grundfrequenz T is und alle Teilschwingungen eine kleinere Periode T/n besizen Harmonische Analyse Die Beschreibung einer gegebenen beliebig periodischen Schwingung () mi Hilfe von harmonischen Teilschwingungen bezeichne man als harmonische Analyse oder auch Fourier Analyse. Mi Hilfe der Fourier Analyse is eine analyische Darsellung von () mi einer Reihe aus sinus und cosinus Funkionen möglich, wenn () seig oder sückweise seig is. Zunächs kann man () = n=1 ˆ cn cos nω + ˆ sn sin nω (2.5) mi noch unbekannen Ampliuden 0, ˆ cn, ˆ sn oder in der Grundform ensprechend Gleichung (2.4) mi 0, ˆ n,ϕ 0n ansezen. Mi seigender Zahl der Reihenglieder kann man die Ursprungsfunkion () beliebig genau annähern. Eemplarisch sind die ersen fünf sin Reihenglieder in Bild 2-7 dargesell. n=1 Bild 2-7 Harmonische Teilschwingungen sin nω für n = , T

8 14 2 Schwingungen Muliplizier man () nacheinander mi 1, cos mω und sin mω und inegrier das jeweilige Produk über die Periode T, so folgen bei Beachung der Orhogonaliä von cos und sin Funkionen die Fourier Koeffizienen für m = n 0+T Mielwer: 0 = 2 T () d, 0 Symmerie: ˆ cn = 2 0+T T () cos(nω) d, 0 Anisymmerie : ˆ sn = 2 T 0+T 0 () sin(nω) d. 0 /2 is der Mielwer, ˆ cn beschreib die symmerischen Aneile und ˆ sn die anisymmerischen Aneile der periodischen Schwingung. Vereinfachungen sind für spezielle () möglich [5], wenn die Schwingung Symmerien oder Anisymmerien bezüglich der () Achse aufweis. Für den Fall der Recheckfunkion nach Bild 2-8 gil () = ( 1) n 1 2 4ˆ cos(nω) n =1, 3, 5,... nπ n=1 Aufgrund der Symmerie sind die cos Reihenglieder ungleich null. Der Mielwer 0 verschwinde, da die Sprungfunkion gleich große posiive wie negaive Ausschläge ha. Die sinnω Reihenglieder verschwinden, da die Sprungfunkion symmerisch bezüglich des Ursprungs is. Bei einer Phasenverschiebung wären auch die sin Reihenglieder ungleich null. Bild 2-8 Fourier Approimaion einer periodischen Sprungfunkion Weil die Sprungsellen mi seigen Funkionen angenäher werden, zeig die Fourier Reihen an den Sprungsellen ein charakerisisches Überschwingen, das nur bei Berücksichigung vieler Reihenglieder verringer werden kann.

9 2.4 Nichperiodische Schwingungen 15 Die Fourier Reihe is eine unendliche Reihe, deren Konvergenz gegen die Originalfunkion gesicher sein muss. Dies is der Fall für sückweise glae Funkionen. Bei Sprüngen in der Ursprungsfunkion müssen in der Regel viele Reihenglieder migenommen werden. Voreilhaf is jedoch die Verwendung der seigen sin und cos Funkionen, mi denen die sons erforderlichen Fallunerscheidungen vermieden werden können. 4^ π n Bild 2-9 Ampliudenspekrum Eine sehr übersichliche Darsellung der Fourier Reihe is mi dem Spekrum der Fourier Koeffizienen, also den Ampliuden der Teilschwingungen möglich, siehe Bild 2-9. Bei einer guen Konvergenz der Reihe nehmen die Ampliuden der Reihenglieder rasch ab. Dies bedeue, dass die ensprechenden höheren Teilschwingungen in der Ursprungsfunkion nur gering enhalen sind. Mi Hilfe der Fourier Analyse kann man in der Tragwerksanalyse periodische Lasen und Bewegungen mi rigonomerischen Grundfunkionen beschreiben, sodass eine vereinfachende Tragwerksanalyse möglich is. 2.4 Nichperiodische Schwingungen Eine Übersich auf die verschiedenen Schwingungsaren und ihre Bezeichnungen is in DIN 1311 [46] gegeben, siehe Bild 2-3. Eine Schwingung is nichperiodisch, wenn die Periode T gegen sreb. Hieruner fallen prakisch alle unregelmäßigen Bewegungen. Allgemein nichperiodische Schwingungen sind Schwingungen, die aus der Überlagerung von harmonischen Teilschwingungen mi unerschiedlichen, in keinem ganzzahligen Verhälnis zueinander sehenden Frequenzen ensehen. Hierbei gib es keine gemeinsame Periode. Der Sonderfall einer quasiperiodischen Schwingung lieg vor, wenn die Frequenzen der Teilschwingungen aus einer endlichen Zahl von Basisfrequenzen mi nich ganzzahligem Verhälnis zueinander berechne werden können. Moduliere Schwingungen sind Schwingungen, die keine Periode, aber andere Merkmale einer periodischen Schwingung haben können. Ampliudenmodulier-

10 16 2 Schwingungen e Schwingungen besizen eine in der Zei veränderliche Ampliude ˆ(). Is die Frequenz ω() in derzei veränderlich, lieg eine frequenzmoduliere Schwingung vor. Eine moduliere Schwingung mi langsam veränderlicher Modulaionsampliude ˆ() und schwach veränderlicher Modulaionsfrequenz bezeichne man als Schwebung Eponeniell wachsende und fallende Schwingungen Die für Anwendungen aus der Srukurdynamik wichigsen Sonderfälle von ampliudenmodulieren Schwingungen sind eponeniell wachsende und fallende Schwingungen () =(ˆ e δ ) cos(ω + ϕ 0 ). (2.6) e - cos Die Nullsellen sind mi der cos Funkion fesgeleg, die Ampliuden mi der Eponenialfunkion. δ [1/s] wird als Abklingkoeffizien (δ > 0) bzw. Anfach Bild 2-10 Zeiverlauf der Ampliude und der Schwingung koeffizien (δ <0) bezeichne, ω is die Kreisfrequenz. Fas man beide Parameer zusammen, so kann man ω 2 0 = ω2 + δ 2 als Kreisfrequenz einer fikiven ungedämpfen Schwingung inerpreieren. ^e -δ ^e +δ a n a n+1 δ > 0 -^e -δ -^e +δ δ < 0 Bild 2-11 Abklingende und angefache Schwingungen

11 2.4 Nichperiodische Schwingungen 17 Charakerisisch is für abklingende Schwingungen das Quadra der Frequenz, da hiermi die Ar der Bewegung fesgeleg is. Generell kann man folgende Bewegungen unerscheiden: ω 2 = ω0 2 δ2 > 0: schwachedämpfung (Bewegungen in Gasen ), = 0 : aperiodischer Grenzfall oder kriische Dämpfung, < 0: sarke Dämpfung (Bewegungen in zähen Flüssigkeien). Wenn ω 2 < 0, dann is ω imaginär, sodass die Bewegung ensprechend Gleichung (2.3) einen e ω Verlauf besiz. ω0 2 δ 2 = 0 bezeichne man als kriische Dämpfung. Für eine kriische oder überkriische Dämpfung mi ω0 2 δ2 0besiz die Bewegung maimal einen Nulldurchgang und maimal einen Eremwer, siehe nebensehendes Bild. 0 > = 0. 0 < 0 Bild 2-12 Kriechbewegungen. Dimensionslose Darsellungen der Dämpfung und dami der Schwingungseigenschafen sind mi dem Lehr schen Dämpfungsmaß ϑ ϑ = δ ω 0 < => 1. möglich. ϑ wird auch als Dämpfungsgrad bezeichne. Realisische Were sind für den Werksoff Sahl ϑ =0,02 dies ensprich 2% kriische Dämpfung und ϑ = 0,05 für Nieen und Schraubenverbindungen. Ebenfalls dimensionslos is das logarihmische Dekremen Λ = ln( a n ˆe δ cos ω ) = ln( a n+1 ˆe δ(+t ) cos ω( + T ) )=δ T = δ 2π ω = δ f. Mi Λ kann der Abklingkoeffizien δ aus gegebenen Meßweren berechne werden, wenn a n und a n+1 aufeinander folgende Maimalausschläge sind und die Periode T bekann is, siehe Bild Wenn die Dämpfung schwach is, gil ω ω 0, sodass sich beide Kennwere näherungsweise um den Fakor 2π unerscheiden. In der Lieraur sind auch andere Bezeichnungen für δ, ϑ und Λ gewähl, sodass Verwechselungen der Kenngrößen möglich sind.

12 hp://