Statistik Formeln, Definitionen, Erläuterungen, Stichwörter und Tabellen

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1 Beschreibende und schließende Statistik Formeln, Definitionen, Erläuterungen, Stichwörter und Tabellen Von Dr. Friedrich Vogel o. Professor für Statistik 12., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage I R.01denbourg Verlag München Wien

2 Inhaltsverzeichnis Vorworte XIV I Beschreibende Statistik 1 Einführung; Grundlagen Terminologisches zur beschreibenden Statistik Merkmale Nominale (nominalskalierte, klassifikatorische) Merkmale (A,B) Ordinale (ordinalskalierte, komparative) Merkmale (U,V) Metrische (intervall- bzw. verhältnisskalierte) Merkmale (X,Y) Erhebung, Aufbereitung Übersicht: Skalen- und Merkmalstypen 9 2 Eindimensionale Häufigkeitsverteilungen Verteilungen nominaler (klassifikatorischer) Merkmale Verteilungen ordinaler (komparativer) Merkmale Verteilungen metrischer Merkmale Häufigkeitsverteilung und empirische Verteilungsfunktion für Einzelwerte 13 (1) Stetige Merkmale 13 (2) Diskrete Merkmale Klassierung 16 (1) Stetige Merkmale 16 (2) Diskrete Merkmale Häufigkeitsverteilung und approximierende Verteilungsfunktion für klassierte Werte 17 (1) Stetige Merkmale 17 (2) Diskrete Merkmale 21 3 Statistische Maßzahlen (Maße) Einführendes Maße zur Charakterisierung von Häufigkeitsverteilungen nominaler (klassifikatorischer) Merkmale Maß der zentralen Tendenz Maße der Variabilität, der Streuung 23 (1) Entropie 23 (2) Maß vom Typ HERFINDAHL 24 (3) Positionsmaß 26

3 VI Inhaltsverzeichnis 3.3 Maße zur Charakterisierung von Häufigkeitsverteilungen ordinaler (komparativer) Merkmale Maße der zentralen Tendenz Maße der Variabilität, der Streuung 29 (l)quartilsabstand 29 (2) Ein Maß auf der Basis der Entropie Maße zur Charakterisierung von Häufigkeitsverteilungen metrischer Merkmale Lokalisationsparameter, Lagemaße 32 (1) Arithmetisches Mittel 32 (2) Quantile, Quartile, Median Dispersionsparameter, Streuungsmaße 35 (1) Spannweite 36 (2) Mittlere lineare (absolute) Abweichung, durchschnittliche Abweichung 36 (3) Mittlere quadratische Abweichung, Varianz 37 (4) Standardabweichung 40 (5) Relative Streuungsmaße Empirische Momente 41 Exkurs: Standardisierung und Ungleichung von TSCHEBYSCHEV Verhältniszahlen Gliederungszahlen Beziehungszahlen Meßzahlen 45 (1) Örtliche (regionale) Meßzahlen 45 (2) Zeitliche Meßzahlen 45 4 Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen Zweidimensionale Verteilungen nominaler und ordinaler Merkmale Gemeinsame Häufigkeitsverteilung Randverteilungen Bedingte Häufigkeitsverteilungen (bedingte relative Häufigkeiten) Zweidimensionale Verteilungen metrischer Merkmale Einzelwerte 51 (1) Gemeinsame Summen- und Verteilungsfunktion 51 (2) Randverteilungsfunktionen Klassierte Werte 52 (1) Gemeinsame Häufigkeitsverteilung 52 (2) Randverteilungen 55 (3) Bedingte Häufigkeitsverteilungen (bedingte relative Häufigkeiten) 56

4 Inhalts verzeichni s 5 Maße und Verfahren zur Charakterisierung zweidimensionaler Häufigkeitsverteilungen Vorbemerkung: Beziehungen zwischen zwei Merkmalen Statistisch unabhängige Merkmale Maße für nominale (klassifikatorische) Merkmale Assoziation Assoziationskoeffizienten auf der Basis von % 2 59 (1) Mittlere quadratische Kontingenz 60 (2) Maß von CRAMER Ein Assoziationskoeffizient auf der Basis der Entropie Maße für ordinale (komparative) Merkmale Vorbemerkung Rangkorrelationskoeffizient von KENDALL Kontingenzmaß von GOODMAN/KRUSKAL Maße für metrische Merkmale Empirische Regressionsbeziehungen, Korrelationsverhältnis Ausgleichende Regressionsgeraden, Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient 69 (1) Einzelwerte 69 (2) Klassierte Werte 77 VII 6 Bestands- und Bewegungsmassen Symbolik Berechnung der mittleren Verweildauer und des Durchschnittsbestands aus einzelnen Verweildauern Fortschreibungsmodell Umschlagshäufigkeit 83 7 Zeitliche Meßzahlen, Indizes, Kaufkraftparitäten Symbolik Zeitliche Meßzahlen Meßzahlen mit konstanter Bezugszeit Meßzahlen mit variabler Bezugszeit Indizes Einführendes Indizes nach LASPEYRES Indizes nach PAASCHE Indizes nach LOWE Umsatzindex (Wertindex) 89

5 VIII Inhaltsverzeichnis Sachliche Verkettung Deflationierung (Preisbereinigung) eines Umsatzindex Zeitliche Verkettung von Indizes Subindizes Kaufkraftparitäten Einführendes Kaufkraftparität vom Typ LASPEYRES Kaufkraftparität vom Typ PAASCHE Kaufkraftparität vom Typ LOWE 93 8 Elemente der Zeitreihenanalyse Symbolik Linearer Trend nach der Methode der kleinsten Quadrate Trend nach der Methode der gleitenden Durchschnitte 96 II Schließende Statistik 9 Einführung in die schließende Statistik Terminologisches zur schließenden Statistik Auswahlverfahren Vorbemerkung Nicht auf dem Zufallsprinzip beruhende Auswahl verfahren Auf dem Zufallsprinzip beruhende Auswahlverfahren Techniken der Zufallsauswahl Techniken für eine echte Zufallsauswahl Ersatzverfahren für die Zufallsauswahl Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie Zufällige Ereignisse und Ereignisalgebra Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsalgebra Wahrscheinlichkeit, Axiome von KOLMOGOROV Die Bemessung von Wahrscheinlichkeiten 109 (1) Klassische Wahrscheinlichkeit (nach LAPLACE) 109 (2) Statistische Wahrscheinlichkeit (nach VON MISES) 109

6 Inhaltsverzeichnis (3) Geometrische Wahrscheinlichkeit 110 (4) Subjektive Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsalgebra 111 IX 11 Zufallsvariable und eindimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zufallsvariable Eindimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen Maßzahlen (Maße) einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswerte: Mittelwert und Varianz 118 (1) Mittelwert 118 (2) Varianz und Standardabweichung Momente 120 (1) Momente um Null (Anfangsmomente) 120 (2) Momente um den Mittelwert (zentrale Momente) 121 (3) Standardisierte Momente Spezielle eindimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen Diskrete Verteilungen 122 (1) BERNOULLI-Verteilung, (0-1 -Verteilung) 122 (2) k-punkt-verteilung Stetige Verteilungen 125 (1) Rechteckverteilung 125 (2) Normalverteilung 126 (3) Logarithmische Normalverteilung (Lognormalverteilung) 134 (4) t-verteilung 136 (5) F-Verteilung 138 (6) x 2 -Verteilung 140 (7) Exponentialverteilung Ungleichung von TSCHEBYSCHEV Einige spezielle Stichprobenverteilungen: Verteilungen für Häufigkeiten Anzahl der möglichen Stichproben Vorbemerkung Auswahl ohne Zurücklegen Auswahl mit Zurücklegen Stochastisch unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable Stichproben aus BERNOULLI-verteilten Gesamtheiten Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung 149

7 X Inhaltsverzeichnis Approximation der hypergeometrischen Verteilung durch die Binomialverteilung Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Approximation der hypergeometrischen Verteilung durch die Normalverteilung Geometrische Verteilung Negative Binomialverteilung (PASCAL-Verteilung) POISSON-Verteilung Übersicht: Approximationsmöglichkeiten Stichproben aus k-punkt-verteilten Gesamtheiten Multinomialverteilung (Polynomialverteilung) Multihypergeometrische Verteilung Mehrdimensionale, insbesondere zweidimensionale Zufallsvariable und ihre Verteilungen Vorbemerkung Diskrete zweidimensionale Zufallsvariable und ihre Verteilungen Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion Zweidimensionale BERNOULLI-Verteilung kxm-punkt-verteilung Randwahrscheinlichkeitsfunktionen und bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktionen Die gemeinsame Verteilungsfunktion von zweidimensionalen Zufallsvariablen Stetige zweidimensionale Zufallsvariable und ihre Verteilungen Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Zweidimensionale Rechteckverteilung Zweidimensionale (bivariate) Normalverteilung Randdichtefunktionen und bedingte Dichtefunktionen Stochastische Unabhängigkeit der Komponenten einer zweidimensionalen Zufallsvariablen Die gemeinsame Verteilungsfunktion von n-dimensionalen Zufallsvariablen Maße zweidimensionaler Verteilungen Erwartungswerte: Mittelwerte, Varianzen, Kovarianz Momente (Produktmomente) Mittelwert und Varianz einer Summe von n Zufallsvariablen 184

8 Inhaltsverzeichnis XI 14 Stichprobenfunktionen und ihre Verteilungen, Grenzwertsätze, Gesetz der großen Zahlen Grundlagen Stichprobenfunktionen und exakte Verteilungen Grenzwertsätze, Gesetz der großen Zahlen Zentraler Grenzwertsatz von LINDEBERG/LEVY Zentraler Grenzwertsatz von LJAPUNOV Schwaches Gesetz der großen Zahlen (von TSCHEB YSCHEV) Stichprobenfunktionen und approximierende Verteilungen Parametrische Schätzverfahren Punktschätzung Vorbemerkung Eigenschaften von Schätzfunktionen 201 (1) Erwartungstreue (unverzerrte) Schätzfunktionen 201 (2) Konsistente Schätzfunktionen 202 (3) Relative Effizienz, Effizienz, Wirksamkeit von Schätzfunktionen Methoden zur Konstruktion von Schätzfunktionen 204 (1) Methode der Momente 204 (2) Maximum-Likelihood-Methode Punktschätzung bei einfachen Stichproben Punktschätzung bei Stichproben ohne Zurücklegen aus endlichen Gesamtheiten Intervallschätzung Vorbemerkung Konfidenzintervalle für den Mittelwert und den Totalwert Konfidenzintervalle für den Anteilswert Approximatives Konfidenzintervall für den Mittelwert einer POISSON-Verteilung Konfidenzintervalle für die Differenz zweier Mittelwerte Konfidenzintervalle für die Differenz zweier Anteilswerte Die Bestimmung des Stichprobenumfangs Auswahl mit Zurücklegen oder kleiner Auswahlsatz Auswahl ohne Zurücklegen und großer Auswahlsatz Testverfahren (Tests) Grundlagen Statistische Hypothesen Prüffunktion 224

9 XII Inhaltsverzeichnis Fehlentscheidungen: Fehler erster und zweiter Art Güte statistischer Tests Stichprobenumfang Der Zusammenhang zwischen Schätz- und Testverfahren Tests für parametrische Hypothesen Tests für den Mittelwert 229 (1) Tests für u x bei bekannter Varianz 230 (2) Tests für u x bei unbekannter Varianz Tests für den Anteilswert 232 (1) Tests für den Anteilswert bei kleinem Stichprobenumfang 232 (2) Tests für den Anteilswert bei großem Stichprobenumfang Tests für die Differenz zweier Mittelwerte 234 (1) Tests für die Differenz bei bekannten Varianzen 235 (2) Tests für die Differenz bei unbekannten Varianzen Tests für die Differenz zweier Anteilswerte Test auf Gleichheit zweier Varianzen (F-Test) Approximativer Test für den Mittelwert einer POISSON-Verteilung Tests für nichtparametrische Hypothesen x 2 -Tests 241 (1) X 2 -Anpassungstest 241 (2) x, 2 -Unabhängigkeitstest 243 (3) x 2 -Homogenitätstest Vorzeichentest für den Median 247 Anhänge Anhang 1: Aufbau und Bestandteile einer Tabelle 249 Anhang 2: Summen und Produkte 251 Anhang 3: Entropietabellen 256 Anhang 4: Gleichverteilte Zufallsziffern 262 Anhang 5: Statistische Wahrscheinlichkeit nach VON MISES 263 Anhang 6: Standardnormalverteilte Zufallszahlen 264 Anhang 7: Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung 266 Anhang 8: Quantiisfunktion der Standardnormalverteilung 268 Anhang 9: Ausgewählte Quantile der Standardnormal Verteilung für einseitige und zweiseitige Fragestellungen 269 Anhang 10: Fakultäten 270 Anhang 11: Kombinatorik 271 Anhang 12: Binomialkoeffizienten 274 Anhang 13: Binomialverteilung 275 Anhang 14: POISSON-Verteilung 285

10 Inhaltsverzeichnis Anhang 15: Quantile der t-verteilung Anhang 16: Gammafunktion Anhang 17: Nomogramme zur Bestimmung von Konfidenzintervallen für den Parameter % der Binomialverteilung Anhang 18: Quantile der F-Verteilung Anhang 19: Quantile der % 2 -Verteilung Anhang 20: LILLIEFORS-Grenzen für den zweiseitigen Test auf Normal Verteilung bei unbekanntem Mittelwert und unbekannter Varianz Anhang 21: Freiheitsgrade von % 2 -Verteilungen für kxm-tabellen Anhang 22: Sterbetafel Anhang 23: Einige zusätzliche graphische Darstellungen Anhang 24: Induktive Eigenschaften von Streuungsmaßen für nominale Merkmale XIII Ausgewählte Literatur 331 Sachregister 335