Differentialgleichung.

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1 Kapitel 9 Differentialgleichungen 9. Einteilung der Differentialgleichungen In einer Differentialgleichung (DGl) treten Differentialquotienten von einer oder ehreren Funtionen von einer oder ehreren Veränderlichen auf. der DGl besteht in der Bestiung der in der DGl auftretenden Funtionen. Bei gewöhnlichen Differentialgleichungen ist eine Funtion y(x) einer unabhängigen Veränderlichen x zu bestien. Wenn die gesuchte Funtion von ehreren Veränderlichen abhängt, heißt die DGl partielle Differentialgleichung. Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist von der For ( ) F x, y(x),y (x),...y (n) (x) =0 Als Ordnung der Differentialgleichung wird die Ordnung des höchsten auftretenden Differentialquotienten (n)bezeichnet. Ist die Differentialgleichung darstellbar als Polyno in der gesuchten Funtion und ihrer Ableitungen, so wird als Grad der Differentialgleichung die höchste Sue der Exponenten der abhängigen Veränderlichen (y) und ihrer Ableitungen in eine Glied des Polynos bezeichnet. In Differentialgleichungen. Grades (lineare Differentialgleichungen) treten die unbeannte Funtion und ihre Ableitungen nur in der. Potenz, also nicht iteinander ultipliziert auf. Zur Bestiung der Lösung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung sind alle n-al stetig differenzierbaren Funtionen zu finden, die die Differentialgleichung erfüllen. Es sind n verschiedene Funtionen. Die allgeeine Lösung enthält n freie Integrationsonstanten, die bei Festlegung eine spezielle Lösung definieren. 9.2 Differentialgleichungen.Ordnung Trennung der Veränderlichen. Differentialgleichungen der For g(y) y = f(x) lassen sich durch die Methode der Trennung der Veränderlichen lösen: Integriert an beide Seiten über dx, so erhält an g(y) dy = f(x) dx. Abgeürzt schreibt an dies, inde an dadurch die Differentiale dx und dy definiert: g(y) dy = f(x) dx. Wegen y = dy nennt an das foral die Trennung der Variablen. dx Bei Bezeichnung der Stafuntionen it G(y) = g(y) dy F (x) = f(x) dx ergibt sich als allgeeine Lösung der Differentialgleichung G(y) =F (x)+c 46

2 it der frei wählbaren Integrationsonstanten c. Lineare Differentialgleichungen. Lineare Differentialgleichungen.Ordnung haben die For y (x)+p(x) y(x) =r(x) oder önnen auf diese For gebracht werden. Bei der hoogenen Differentialgleichung (r(x) 0) y (x)+p(x) y(x) =0 ist Trennung der Veränderlichen öglich: dy y = p(x) dx Bei Bezeichnung der Stafuntion der rechten Seite it P (x) erhält an ln y = P (x)+c y = P (x) ce it der frei wählbaren Konstanten c. Variation der Konstanten: U eine spezielle Lösung der inhoogenen Differentialgleichung ( r(x) 0) zu erhalten, verwendet an häufig die Methode der Variation der Konstanten. Man verwendet als Lösungsansatz die Lösung der hoogenen Differentialgleichung, wobei jedoch die Konstante durch eine zu bestiende Funtion ersetzt wird: P (x) y = C(x) e Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt und durch Integration erhält an die spezielle Lösung C (x) =r(x) e P (x) x C(x) = r(t)e P (t) dt x 0 x y(x) = e P (x) r(t) e P (t) dt x Lineare Differentialgleichungen Die allgeeine For der linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung it onstanten Koeffizienten a,a 2,..., a n für eine Funtion x = x(t) lautet: d (n) x a n dt n + a d (n ) x dx n dt n a dt + a 0x = f(t) Für lineare Differentialgleichungen (Ableitungen treten nur linear auf) gelten Superpositionssätze: Sei x h (t) die allgeeine Lösung der hoogenen Differentialgleichung (f(t) 0), und x i (t) eine spezielle Lösung der inhoogenen Differentialgleichung (f(t) 0), so ist x(t) =x h (t)+x i (t) die allgeeine Lösung der inhoogenen Differentialgleichung. Wenn x (t) und x 2 (t) Lösungen zu f(t) =f (t) bzw.f(t) =f 2 (t) sind, so ist x(t) =x (t)+x 2 (t) einelösung zu f(t) =f (t)+f 2 (t). Für die hoogene Differentialgleichung führt der Ansatz auf die charateristische Gleichung x(t) =Ae µt a n µ n + a n µ n a µ + a 0 =0. Sind die n i allgeeinen oplexen Lösungen dieser Gleichung µ,µ 2...µ n verschieden, so erhält an die allgeeine Lösung der hoogenen Differentialgleichung it x(t) =A e µt + A 2 e µ2t A n e µn t + A n e µnt.

3 Die n Integrationsonstanten A,A 2...A n,a n werden durch spezielle Bedingungen, z.b. die Werte von x(t) und der n Ableitungen bei t = 0 (Anfangsbedingungen), festgelegt. Mehrfache Wurzeln der charateristischen Gleichung: Wennµ und µ 2 zwei verschiedene Wurzeln der charateristischen Gleichung sind, dann sind zwei zugehörige spezielle Lösungen der Differentialgleichung x (t) = x 2 (t) = µ µ 2 e µt und µ µ 2 e µ2t und dait auch die Linearobination x(t) = µ µ 2 e µt µ µ 2 e µ2t = eµ t e µ 2 t µ µ 2. Für µ µ 2 = µ erhält an e µt e µ2t li x(t) = li µ µ 2 µ µ 2 µ µ 2 = d dµ eµt = te µt. Für r-fache Wurzeln sind entsprechend die r Lösungen e µt, te µt,...t r e µt. Hoogene lineare Differentialgleichung 2.Ordnung it onstanten Koeffizienten: Die Differentialgleichung d2 x dt + λdx + x =0 2 dt it positiven Konstanten, λ und beschreibt die freie Bewegung eines schwingungsfähigen Systes. Der Ansatz x(t) =Ae µt führt auf die quadratische Gleichung für die Variable µ it den Wurzeln µ 2 + λµ + =0, µ,2 = λ ± D D = λ 2 4 Je nach de Vorzeichen von D bzw. de Wert von λ ergeben sich Lösungen it unterschiedlichen Eigenschaften: ) Keine Däpfung (λ =0).BeideWurzelnsindreiniaginär: µ,2 = ± 4 = ±i = ±iω 0 it ω 0 = x(t) =A e +iω0t + A 2 e iω0t stellt eine haronische Schwingung it der Eigenfrequenz ω 0 des ungedäpft schwingenden Systes dar. Die beiden Integrationsonstanten A und A 2 önnen bestit werden, wenn die Anfangsbedingungen x(0) = x 0 und ẋ(0) = ẋ 0 gegeben sind. Aus der Lösung und ihrer Ableitung für t =0erhält an das Gleichungssyste A + A 2 = x 0 iω 0 A iω 0 A 2 = ẋ 0, das gelöst wird durch: A = x ẋ0 A 2 = x 0 2 ẋ0

4 Dait ergibt sich zu den gegebenen Anfangsbedingungen die Lösung ( ) ( ) x0 x(t) = 2 + ẋ0 e +iω0t x0 + 2 ẋ0 e iω0t = x 0 cos ω 0 t + ẋ0 sin ω 0 t ω 0 2) Schwache Däpfung (λ lein). Bei leine Wert von λ ist D<0 und beide Wurzeln sind oplex: ( µ,2 = λ ) ( ) 2 λ ± i = γ ± i ω0 2 γ2 = γ ± iω it γ = λ und ω = ω 2 o γ2 x(t) =e γt (A e +iωt + A 2 e iωt ) stellt eine gedäpfte haronische Schwingung dar; die Schwingungen erfolgen it der Frequenz ω<ω 0,wobei die Aplitude exponentiell abnit. 3) Stare Däpfung(λ groß ). Bei große Wert von λ ist D > 0 und beide Wurzeln sind reell und zwar negativ: µ,2 = γ ± γ 2 ω0 2. x(t) =A e µt + A 2 e µ2t stellt einen aperiodisch ablingenden Vorgang dar, bei de eine Oszillationen u 0 auftreten. Für D =0wirdµ = µ 2 = µ und an erhält die Lösungen e µt und te µt, und dait als allgeeine Lösung x(t) =A e µt + A 2 te µt In allen Fällen ist die Lösung eindeutig durch die Anfangsbedingungen x(0) = x 0 und ẋ(0) = ẋ 0 bestit. Gäbe es nälich eine zweite Lösung y(t), die der Differentialgleichung genügt it den gleichen Anfangsbedingungen, dann wäre auch z(t) = x(t) y(t) eine Lösung und zwar it den Anfangsbedingungen z(0) = 0 und ż(0) = 0. Durch Multipliation der Differentialgleichung für z, z + λż + z =0 it 2ż erhält an d ( ) ż 2 +2λż 2 + d ( ) z 2 =0 dt dt Integration dieser Gleichung zwischen t = 0 und t = τ bei Berücsichtigung der Anfangsbedingungen liefert ż 2 (τ)+2λ τ 0 ż 2 dt + z 2 (τ) =0 Da alle Ausdrüce quadratisch und daher nichtnegativ sind, folgt z(t) 0, woit die Eindeutigeit der Lösung x(t) gezeigt ist. Inhoogene lineare Differentialgleichung 2.Ordnung: Für die Differentialgleichung d2 x dt + λdx + x = f(t) 2 dt ergibt sich die allgeeine Lösung geäß de Superpositionssatz als Sue der allgeeinen Lösung der hoogenen und einer speziellen (partiulären) Lösung der inhoogenen Differentialgleichung. Eine spezielle Lösung ann wiederu durch Variation der Konstanten erittelt werden. Periodische Inhoogenität: Betrachtet wird der Spezialfall der Funtion f(t) =F 0 cos ω f t = F 0 R ( iωf e t)

5 Bei dieser periodischen Funtion von t wird sich nach Ablingen anfänglicher Störungen eine stationäre Lösung der For x(t) =Ce iωf t einstellen. Einsetzen dieses Lösungsansatzes in die Differentialgleichung liefert für die Aplitude C die Bedingung C ( ωf 2 +2γiω f + ω0 2 ) F 0 = Die oplexe Aplitude C ann dargestellt werden durch C = F 0 Ae iδ it reeller Aplitude A und Phasenverschiebung δ(0 δ π), und dait ergibt sich als spezielle stationäre Lösung x(t) = F 0 Aei(ωf t δ) it A = ( ω 2 0 ω2 f ) 2 +4γ2 ω 2 f und tan δ = 2γω f ω 2 0 ω2 f Betrachtung von Spezialfällen. ) Statischer Grenzfall (ω f 0). In diese Grenzfall gilt δ 0 und die Lösung x(t) F 0 hängt nicht von der Däpfungsonstanten λ ab. 2) Energieresonanz. Bei ω f = ω 0 wird die Phasenverschiebung δ = π/2 und die Aplitude A =/2γω 0,die Lösung wird dait x(t) = F 0 e i(ω0t π/2) 2γω 0 3) Grenzfall hoher Frequenzen. Für ω f wird die Phasenverschiebung δ = π (erregende Kraft und Schwingung gegenläufig) und die Aplitude wird lein: A ω 2 f x(t) F 0 ω 2 f i(ωf t π) e 4) Extrewerte der Aplitude. Die Bedingung da/dω f = 0 liefert (ω 2 0 ω 2 f)ω f +2γ 2 ω f =0 Für ω 2 0 > 2γ 2 (schwache Däpfung) erhält an ein Maxiu der Aplitude bei ω 2 f = ω 2 0 2γ 2 und ein Miniu bei ω f =0.BeistarerDäpfung, d.h. 2γ 2 >ω 2 0, gibt es nur ein Maxiu der Aplitude bei ω f =0. Nicht-periodische Inhoogenität: Ist die Inhoogenitätf(t) ein Polynoin t,so wählt anals Lösungsansatz für die spezielle Lösung der Differentialgleichung ein Polyno genügend hohen Grades: x(t) =C 0 + C t + C 2 t C t Die Koeffizienten C i werden durch Einsetzen von x(t) in die Differentialgleichung bestit.