Erzeugen und Testen von Zufallszahlen

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1 Erzeuge ud Teste vo Zufallszahle Jürge Zumdck Eletug Ee Lergruppe wrd aufgefordert 00 Zufallszahle (0 oder ) ach folgede Methode zu erzeuge: De Hälfte der Gruppe beutzt a) ee Müze oder b) de Zufallszahlefukto ees Tascherechers oder c) de Zufallszahlefukto eer Software oder d) ee der m 6 Abschtt agegebee Zufallsgeeratore De adere Hälfte versucht sch selbst als Zufallsgeerator ud otert ach egeem Gutdüke ee Zufallszahlefolge Zel des Uterrchtsvorhabes st es, Testverfahre zu etwckel, mt dere Hlfe de erdachte Zufallszahle herausgefude werde köe Auch solle de Testverfahre helfe, de Qualtät vo Zufallsgeeratore zu beurtele Bespel für ee derartge Folge: Der Test ( Tel Test auf Häufgket) Da de Wahrschelchket vo 0 bzw p 0, beträgt, sollte etwa 0-mal de Null auftrete De folgede Tabelle gbt ee Überblck, über de Wahrschelchkete der Abwechuge vom Erwartugswert: Wahrschelchket, dass de Azahl der Nulle/Ese außerhalb des lks stehede Itervalls legt [0; 60] 0, p ( X 9 X 6) 0,08 0,06 k 0 k [; 8] 0,088 [; 6] 0,9 [6; ] 0,68 [7; ] 0,8 [8; ] 0,68 De obge Zahlefolge ethält 6 Nulle ud folglch Ese Ee derartge Abwechug vom Erwartugswert trtt sehr häufg auf mehr als 8% aller Fälle Daher st de obge Zfferfolge cht verdächtg

2 Deser Test st atürlch cht ausreched, da er keerle Wechsel zwsche 0 ud berückschtgt Des gescheht da mt dem folgede Test Der Test ( Tel Test auf Wechsel) De obge Folge ethält W 6 Wechsel Um de Frage zu beatworte, ob dese Azahl m Rahme der Erwartug legt, ka ma zuächst duktv vorgehe ( ) 0 Ausfälle 000, 00, 0, 0, 00 00, 0 p(w ) E(W), v ( W ) E( W ²) E²( W ) 0 + ² + ² ², 0, ( ) 0 p(w ) 6 6 E(W), V(W) E(W²) E²(W), 0,7 ( ) 0 p(w ) 8 8 E(W) V(W) E(W²) E²(W) Vermutug: E ( W ) ( ) ud V ( W ) ( ) Des etspräche dem Erwartugswert ud der Varaz eer bomalvertelte Zufallsgröße B ; Kürzt ma de obge Tabelle de Wahrschelchkete mt, so erhält ma der Tat de etsprechede Verteluge Dass es sch um ee Bomalvertelug hadelt, lässt sch auch we folgt begrüde: Ab dem Wurf trete de Ausfälle Wechsel/ke Wechsel jewels mt der Wahrschelchket 0, e Be 00 Würfe werde also ( 00 ) 9, Wechsel erwartet De folgede Tabelle gbt ee Überblck, über de Wahrschelchkete der Abwechuge vom Erwartugswert: Wahrschelchket, dass de Azahl der Wechsel außerhalb des lks stehede Itervalls legt [0; 60] 0,0

3 p ( X 9 X 6) 0,0 0,0 k 0 k [; 8] 0,08 [; 6] 0,8 [6; ] 0, [8; ] 0,688 De beobachtete Abwechug trtt weger als % aller Fälle auf Daher st de Zahlefolge verdächtg Aber auch dese bede Tests sd zusamme och cht scharf geug Deshalb sollte zumdest och der folgede Test durchgeführt werde Der Test ( Tel Test auf k-blöcke) De Zufallszahlefolge wrd Blöcke der Läge k egetelt (her k ) X se de Azahl der Blöcke mt ver gleche Zffer (X m Bespel) Y se de Azahl der Blöcke mt dre gleche Zffer (Y m Bespel) Z se de Azahl der Blöcke mt zwe gleche Zffer (Z 8 m Bespel) De Wahrschelchket für ee Block mt ver gleche Zffer beträgt 8 Da es Blöcke gbt, st X ach B(; ) vertelt Folglch glt E(X), 8 8 Wahrschelchket, dass de Azahl der Blöcke mt ver gleche Zffer außerhalb des lks stehede Itervalls legt [0; 6] 0,0 [0; ] 0,08 [ ;] 0,9 [; ] 0, [; ] 0,8 [; ] 0,7 De beobachtete Abwechug trtt etwa 6% aller Fälle auf De Wahrschelchket für ee Block mt dre gleche Zffer beträgt 8 Y st folglch ach B(; ) vertelt mt dem Erwartugswert E(Y), Wahrschelchket, dass de Azahl der Blöcke mt dre gleche Zffer außerhalb des lks stehede Itervalls legt [7; 8] 0,07

4 [8; 7] 0,0 [9; 6] 0,08 [0;] 0, [; ] 0, De beobachtete Abwechug trtt etwa % aller Fälle auf De Wahrschelchket für ee Block mt zwe gleche Zffer beträgt 6 8 Z st folglch ach B(; 8 ) vertelt mt dem Erwartugswert E(Y) 9,7 Wahrschelchket, dass de Azahl der Blöcke mt zwe gleche Zffer außerhalb des lks stehede Itervalls legt [; ] 0,06 [; ] 0,06 [6; ] 0,097 [6; ] 0, [7; ] 0, [7; ] 0,0 [8; ] 0, [8; 0] 0,8 [9; 0] 0,68 De beobachtete Abwechug trtt etwa 68% aller Fälle auf Isgesamt lefert deser Test somt kee Hwes auf ee verdächtge Zahlefolge Verallgemeerug der Tests De Tests auf Häufgket ud auf Blöcke lasse sch auf belebge Wahrschelchkete verallgemeer, da jewels Bomalverteluge vorlege Bem Test auf Wechsel legt jedoch für p kee Bomalvertelug vor, da da e Wechsel cht mmer mt derselbe Wahrschelchket auftrtt I desem Fall st we folgt zu verfahre: falls X X Es se X der Ausfall m -te Wurf, Y,, ud p(0) 0 falls X X Da glt für de Azahl der Wechsel W ( ) E W E( Y ) Y ({0,0}) pq + qp pq E( Y ) p( Y ) + 0 p( Y 0) p( Y ) p Also: E(W) (-) p q V ( W ) V Y E Y E Y E Y q ( ( ) p )

5 E Y E Y ( + Y + + Y + Y Y + Y Y + + Y Y + Y Y ) ( ) + Y Y + E( Y Y ) + E( Y Y ) + + E( Y Y ) E Y + I deser Summe trete Type vo Zufallsgröße auf: Y Y + k mt k (Typ ) Berechug des Erwartugswertes für Typ : ( ) Y (Typ ), Y Y+ (Typ ) ud ({0,0} ) pq + qp pq E( Y ) ² p( Y ²) + 0² p( Y 0²) p( Y ²) p( Y ) p Berechug des Erwartugswertes für Typ : Dazu wrd folgede Tabelle betrachtet: (-)-ter Wurf -ter Wurf (+)-ter Wurf E Y Wahrschelchket Y p³ p²q 0 0 p²q p p²q 0 p p q³ ( Y Y + ) p² q + p p q ( p + q) p q Hwes: E Y Y Da ( ) E Y ) E( Y ) + ( +, sd Y ud Y + cht uabhägg voeader Berechug des Erwartugswertes für Typ : Da Y ud Y + k mt k uabhägg voeader sd, glt E ( Y Y ) E( Y ) E( Y ) pq pq p² + k + k Alteratve Herletug: (-)-ter -ter (+k-)- (+k)-ter Y Y Wahrschelchket + k Wurf Wurf ter Wurf Wurf p p q p q p² p q 0 0 p² 0 0 p² pq p q 0 0 p² 0 0 p²

6 E pq p² pq pq q ( Y Y ) p² + p² + p² + p² p² + k Der Typ trtt (-)-mal auf, der Typ (-)-mal De folgede Tabelle zegt, we oft der Typ auftrtt: Idexpaare Azahl (;), (;),,(;) - (;), (;6),, (;) - (-;-), (-;) (-;) ( ) ( ) De Gesamtzahl beträgt somt Zusammefassug: ( ) ( ) V ( W ) ( ) pq + ( ) pq + p² pq ( + ) + ( ² + 6) p² ( ² + ) p² pq ( ) + p² ( ) ( ( ) pq) Für p folgt E ( W ) ( ) ud V ( W ) ( ) + ( ) ud damt de Ergebsse aus Um de Wahrschelchket der Abwechuge vom Mttelwert zu bestmme, wrd de Uglechug vo Tschebyschew heragezoge: p( X E( X ) t V ( X )) t² Für t,,,, 6 ud 00 sowe p 0, ergbt sch folgede Tabelle: Wahrschelchket, dass de Azahl der Wechsel außerhalb des lks stehede Itervalls lege [9;60] 0, [6;6] 0, [;70] 0,06 [6;7] 0,0 [;80] 0,0 De Tabelle sagt aus, dass Abwechuge mt 6 Wechsel höchstes % aller Fälle auftrete Dese Aussage st atürlch deutlch uschärfer als de Aussage m Abschtt, da der Tschebyschew-Uglechug ur Erwartugswert ud Varaz ud kee wetere Iformatoe über de Vertelug egehe

7 Herletug der Uglechug vo Tschebyschew: V ( X ) x E( X ) c ( x E( X )) p( X x ) ( x E( X )) c² p( X x ) c² p( X x E ( X ) c x E( X ) c p( X x ) x ) c² p( X E( X ) c) Es folgt: V ( X ) p( X E( X ) c) c² Für c t V (X ) folgt das Gewüschte Ergäzug: X se de Azahl der Erfolge ees Beroull-Versuches X st da bomalvertelt mt E(X) p ud V(X) pq Y X st da de relatve Häufgket mt E(Y) p ud V(Y) pq Wedet ma auf Y de Tschebyschew-Uglechug a, so erhält ma: X pq X pq p p c bzw p p < c > c² c² Des st das schwache Gesetz der große Zahl: De Wahrschelchket, dass sch de relatve Häufgket vo der theoretsche Wahrschelchket um weger als c uterschedet, strebt gege X Es glt auch das starke Gesetz der große Zahl: Mt Wahrschelchket st lm 6 Zufallsgeeratore x + + π π x x e e erzeugt Zufallszahle mt 0 x <, wobe [ ] de Gaußklammer bedeutet De Zufallszahle 0 ud erhält ma zb durch z [ x 0 ] k mod, wobe k ee belebge atürlche Zahl st Beträgt de aktuelle Uhrzet zb 7, so köte ma x 0 wähle 60 Mt der leare Kogruezmethode werde glechmäßg vertelte gaze Zufallszahle m Itervall [0; m-] erzeugt: x ( a x c) mod m + De Zufallszahle 0 ud erhält ma durch z mod Für de Startwert x 0 muss gelte: 0 x 0 m x Bespel: a 98, c 9999, m 9907 Beträgt de aktuelle Uhrzet zb 7, so köte ma x 0 7 wähle Soll das Itervall [0; m-] auf das Itervall [a; b] abgebldet werde, so st folgede x Trasformato durchzuführe: x ' ( b a) + a m Normalvertelte Zufallszahle werde we folgt erzeugt: Zuächst wrd e Paar (p ; q ) glechmäßg vertelter Zufallszahle m Itervall [0;] erzeugt De ormalvertelte Zufallszahle ergebe sch da we folgt: p

8 x ( p ) cos( q ) l π Quadratscher Restgeerator x ( x ) mod m Dabe st m p q ud p, q sd Prmzahle mt p mod ud q mod Der Startwert x 0 st telerfremd zu m Ege Bespele: p q m x Es werde gazzahlge Zufallszahle m Itervall [0; m] erzeugt Clff Radom Number Geerator [ ] ( x ) 00 l( x ) x 00 l, Startwert x 0 mt 0 < x 0 < Es werde Zufallszahle zwsche 0 ud erzeugt

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