Finanzwirtschaft. Foliensatz Vertiefungskurs aus ABWL: im Sommersemester Teil / 2 und 7 Univ. Ass. Dr. Matthias G.

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1 Universität Wien Institut für Betriebswirtschaftslehre ABWL IV: Finanzwirtschaft /2+7 Univ. Ass. Dr. M.G. Schuster Foliensatz Vertiefungskurs aus ABWL: Finanzwirtschaft im Sommersemester Teil / 2 und 7 Univ. Ass. Dr. Matthias G. Schuster c Alle Rechte vorbehalten

2 Portefeuilletheorie nach Markowitz Portefeuilletheorie nach Markowitz Portefeuilletheorie nach Harry Markowitz (1952) einperiodiges Kapitalanlagemodell Geburtsstunde der Portefeuilletheorie Bildung von Portefeuilles mit mehreren riskanten Wertpapieren (Aktien) eines Investors Annahmen zum Kapitalmarkt: weder Steuern noch Transaktionskosten Wertpapiere sind beliebig teilbar (stetige) Renditen sind normalverteilt oder quadratische Nutzenfunktion des Investors oder Erwartungswert Varianz Entscheidungsregel, (µ, σ 2 ) Prinzip VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 2

3 Annahmen über den Investor: Portefeuilletheorie nach Markowitz Vollständige Konkurrenz (kompetitives Verhalten, Preisnehmer) Investoren sind risikoavers und entscheiden rational Investoren maximieren erwarteten Nutzen des Endvermögens: max E(U(W 1 )) max E(U(E(r P ), σ(r P ))) subjektive Wahrscheinlichkeitsverteilungen für unsichere Renditen Auf Grund der Verteilungsannahme bedeutet dies, dass VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 3

4 Erwartete Portefeuillerendite Portefeuilletheorie nach Markowitz 2 Wertpapiere: E(r P ) = x A E(r A ) + x B E(r B ) mit x A + x B = 1 3 Wertpapiere: E(r P ) = 1 mit n Wertpapiere: E(r P ) = 2 mit VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 4

5 Portefeuillerisiko Portefeuilletheorie nach Markowitz 2 Wertpapiere: σ 2 (r P ) = x 2 A σ2 (r A )+x 2 B σ2 (r B )+2 Cov(r A, r B ) x A x B 3 Wertpapiere: σ 2 (r P ) = 3 n Wertpapiere: σ 2 (r P ) = 4 VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 5

6 Matrixschreibweise Portefeuilletheorie nach Markowitz x... Vektor wertmäßiger Anteile x = (x 1, x 2,..., x n ) r... Vektor erwarteter Renditen r = (E(r 1 ), E(r 2 ),..., E(r n )) t Σ... Varianz Kovarianz Matrix σ 2 1 σ 2 1,2... σ 2 1,n σ 2 2,1 σ 2 2,2... σ 2 2,n Σ =..... σ 2 n,1 σ 2 n,2... σ 2 n,n mit σ 2 i,j = Cov(r i, r j ) und σ 2 j = V ar(r j). Portefeuillerendite: E(r P ) = 5 Portefeuillevolatilität σ(r P ) = 6 VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 6

7 Portefeuilletheorie nach Markowitz Modelle Modell (a): Risikoaversion Minimierung des Portefeuillerisikos bei geg. erwarteter Portefeuillerendite s.t. min x σ 2 (r P ) = j=1 Cov(r j, r k ) x j x k k=1 E(r j ) x j = E(r P ) j=1 x j = 1 j=1 x j 0, für j = 1,..., N VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 7

8 Portefeuilletheorie nach Markowitz Modell (b): Rationalität Maximierung der erwarteten Portefeuillerendite bei geg. Portefeuillerisiko s.t. j=1 max E(r P ) = x E(r j ) x j j=1 Cov(r j, r k ) x j x k = σ 2 (r P ) k=1 x j = 1 j=1 x j 0, für j = 1,..., N Modell (c): Bestimmung des MVP min x x j x k Cov(r j, r k ) j=1 k=1 s.t. x j = 1 j=1 x j 0, für j = 1,..., N VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 8

9 Portefeuilletheorie nach Black Portefeuilletheorie nach Black (1972) Annahmen wie bei Markowitz Leerverkäufe sind möglich Modelle (a) (c): wie bei Markowitz, allerdings ohne Nicht-Negativitätsbedingungen x i dürfen negativ werden! Konsequenzen im 2 Wertpapierfall: VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 9

10 Konsequenzen im 3 Wertpapierfall: Portefeuilletheorie nach Black VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 10

11 Portefeuilleauswahl Portefeuilletheorie nach Black Investoren maximieren Nutzen (siehe Annahmen) Isonutzenkurven in der (E(r P ), σ(r P )) Ebene bei Risikoneutralität: bei Risikofreude: bei Risikoaversion: Portefeuilleentscheidung: VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 11

12 Portefeuilletheorie nach Tobin Portefeuilletheorie nach Tobin (1958) Annahmen wie bei Markowitz / Black zusätzlich besteht die Möglichkeit Kapital risikolos zu veranlagen Kapital risikolos zu borgen vereinfachende Annahme: Sollzinssatz = r = Habenzinssatz Anteil α wird risikolos veranlagt und Anteil 1 α wird riskant veranlagt Portefeuillerendite: bei riskanter Veranlagung in ein Portefeuille X E(r P ) = 7 VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 12

13 Portefeuillerisiko: Portefeuilletheorie nach Tobin Volatilität und Kovarianz des risikolosen Finanzierungstitels: σ(r) =? Cov(r, r j ) =? Volatilität des Portefeuilles: σ(r P ) = 8 bzw. α = 9 VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 13

14 Zusammenhang zw. Rendite und Risiko: Portefeuilletheorie nach Tobin E(r P ) = α r + (1 α) E(r X ) Ersetzt man α, durch 1 σ(r P ) σ(r X ), so erhält man E(r P ) = 10 Interpretation: VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 14

15 Tangentialportefeuille Portefeuilletheorie nach Tobin In welches riskante Portfolio X soll investiert werden? Tangentialportefeuille M Modell: max Λ = E(r M) r x σ(r M ) n i=1 = E(r j) x j r n n j=1 k=1 x j x k Cov(r j, r k ) = r x r x Σ x t s.t. n x j = 1, j=1 [ ] x j 0 VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 15

16 Portefeuilletheorie nach Tobin Bestimmung des Tangentialportfolios Mit Leerverkäufen: über folgendes lineares Gleichungssystem (j = 1,..., n) σ 1,j y 1 + σ 2,j y σ n,j y n = E(r j ) r oder in Matrixschreibweise Σ y = r r Lösung: y = Σ 1 [r r] VK ABWL: Finanzwirtschaft, 2. Teil 16