5. Energetik der Elektronen 5.1 Elektrische Leitfähigkeit kondensierter Materie

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1 5. Energetik der Elektronen 5.1 Elektrische Leitfähigkeit kondensierter Materie Elektrische Leitfähigkeit verschiedener Stoffe bei Raumtemperatur W -1 cm s Cu Bi Graphit Ge Si Metalle Feste Halbleiter NaCl Luft Glas PVC Bernstein,Teflon Glimmer, Diamant Salzschmelzen Reines Wasser Isolatoren Flüssigkeiten Elektrolyte 1

2 2 Ionenrümpfe Leitungselektronen E Valenzelektronen der Atome werden bei Metallen zu den Leitungselektronen Bildung eines Sees aus freien Elektronen Elektronische Bindung, Elektronenleitung Anteil der Ionenrümpfe am Kristallvolumen: Alkalimetalle: 10-20% Edelmetalle: 80-95% Kraft F auf Leitungselektronen im Elektrischen Feld E: F = m e dv/dt = - e o E dv = - e o E dt/m e

3 5.2 Streuung der Elektronen im Kristall Leerstelle Konzentrationsschwankung Zwischengitteratom Oberfläche Elektron- Phonon- Streuung Kaum Elektron-Elektron Streuung!!! Pauli-Prinzip streuendes Elektron Versetzung Isotopenschwankung Mittlere freie Weglänge: Stromdichte j im elektrischen Feld: j = s E In der Zeit t zurückgelegte Wegstrecke: l = v F t Definition der elektrischen Stromdichte: j = - e o (N/V) v v = - e o E l / (m e v F ) Elektrische Leitfähigkeit: s = Ne 2 o l V m e v F Cu: l = m (T=300 K) l = 0,4 cm (T=4 K) 3

4 Hall-Effekt in Metallen: Bestimmung der Ladungsträgerkonzentration N B z Lorentz-Kraft: F = e o (v x B) Hallfeld: E y = R h j x B z Hallkonstante: R h = - (e o N / V) -1 j x E y j x Metall R h (exp.) [10-24 CGS Einheiten] Ladungsträger /Atom R h (ber.) [10-24 CGS Einheiten] Li - 1,89 1 Elektron - 1,48 Na - 2,619 1 Elektron - 2,603 Cu - 0,6 1 Elektron - 0,82 Al 1,136 1 Loch 1,135 In 1,774 1 Loch 1,780 4

5 5.3 Fermiverteilung der Elektronen Elektronen: halbzahliger Spin Pauli-Prinzip: jeder Energiezustand ist einfach besetzt. System mit Einteilchenenergieniveaus E i, Entartungsgrad g i für jedes Niveau und Besetzungszahl n i (n i g i ) Thermisches Gleichgewicht: df = i  F dn i n i Freie Energie F des Elektronensystems: Teilchenzahlerhaltung:  dn i = 0 F = U - TS; U = Ân i E i ; S = k B ln P i Zahl der Permutationen bei der Besetzung der Zustände durch die Elektronen: P = g i! n i!(g i - n i )! ; S = k  lng!- lnn!- ln(g - n )! B i i i i i i i [ ] Chemisches Potential µ: m = F n i = E i k B T ln n i g : i -n i 5

6 Fermi-Dirac Verteilung f (E,T) = 1 exp E-m k B T 1 Gilt nur für Fermiteilchen mit halbzahligem Spin T = 0K: µ = E F E F : Fermi-Energie f (E,T) 1 T F = E F /k B = K 2 T 0 K 300 K 5000 K E/k B 6

7 5.4 Fermikante und Fermienergie T = 0K: Alle Zustände E < E F besetzt. Große mittlere freie Weglänge l und hohe Fermi-Temperatur T F K nur quantenphysikalisch erklärbar. d e f(e,t) 1 d e 3 f E 1 2 f E E F E 7

8 Zahl der Elektronen, die miteinander wechselwirken: d e /E F e o E l /E F E = 1000 V/m E F = J l = m d e /E F = WW nur mit jedem st Elektron! Fermi-Energie und -Geschwindigkeit des freien Elektronengases bei T = 0K. E F = h 2 2 m e (3 ϖ 2 n) 2/3 v F = h k F /m e E kin = p 2 /2 m e p = h k = m e v Beispiel: Cu n = 8, cm -3 k F = 1, cm -1 v F = 1, cm/s E F = 7,0 ev T F = K 8

9 5.5 Zustandsdichte freier Elektronen Hohe Fermi-Energie: 1.) Fermiteilchen (Pauli-Prinzip) 2.) kleine Elektronenmasse 3.) Elektronenzahldichte Schrödinger-Gleichung für ein Elektron im 3-dimensionalen Raum: - h2 2m e Ê Á Ë 2 x 2 2 y 2 2 z 2 Periodische Randbedingungen y k ( r L, y, z ) =y k ( x, y, z ) ˆ y k ( r ) = E k y k ( r ) Lösung der Schrödinger-Gleichung: laufende ebene Wellen y k = exp (i k r) k x = 0; ±2π/L; ±4π/L 9

10 F Energieeigenwerte: k z E k = h2 k 2 = h2 ( k 2 x k 2 y k 2 z ) 2m e 2m e k F k y Zahl der Zustände E E F 3 4p k N = 2 F 3( 2p / L ) = V 3 3p k 3 2 F Zustandsdichte der Elektronen: D( E ) = dn de = V 2p Ê 2m e Á 2 Ë h 2 ˆ 3 / 2 E 1 / 2 D(E) k x T>0K Fermi-Fläche bei der Energie E F T=0K E F E 10

11 5.6 Elektronenwellen U Vakuum L a Vakuum Austrittsarbeit 0 r Periodisches Gitterpotential Laufende Welle y - y y l = 2a ~ cos( p x/a) x ~ sin(p x/a) destruktiv Elektronen-Interferenz Aufenthaltswahrscheinschlichkeit y 2 y - 2 a x konstruktiv x x Verschiedene Energien für y 2 und y - 2 Energielücke bei k = nϖ/a (n=0,1,2..) erlaubte Zonen (Energiebänder) verbotene Zonen (Bandlücken) 11

12 5.6 Brillouin-Zonen und Elektronenwellen Brillouinzonen im dreidimensionalen Gitter: Streuung der Elektronenwellen am Rand der Brillouin-Zonen Resonanz-Stellen l = 2 a/n oder k = nϖ/a E 2 { E 1 { 1. Brillouin-Zone 3. Brillouin-Zone E 2. Brillouin-Zone k 2p p 0 p 2p a a a a a y y - y y - E(k): Dispersionsrelation: Weit weg von Resonanzstellen E ~ k 2 (freie Elektronen) In der Nähe der Resonanzstellen E(k) hängt vom Gitterpotential U(r) ab. Energielücke E an den Resonanzstellen k = nϖ/a 12

13 Anisotropie der Elektronenwellen im dreidimensionalen Gitter Kubisch raumzentriertes Gitter mit drei markierten Richtungen Bloch-Funktionen in den drei ausgezeichneten Richtungen [111] [110] [100] Wellenfunktion eines Elektrons im Gitter y k setzt sich zusammen aus freiem Elektronen-Anteil y k (f) und dem Gitterpotential u k : y k (r) = y k (f) (r) u k (r) = A exp(ikr) u k (r) y k (r): Bloch-Funktionen Die gestrichelten Kurven entsprechen den Zuständen freier Elektronen y k (f), die rot durchgezogenen Kurven den für ein bestimmtes Gitterpotential berechneten Zuständen der Elektronen y k = y k (f) u k. 13

14 Anisotropie der Elektronenwellen im dreidimensionalen Gitter Kubisch raumzentriertes Gitter mit drei markierten Richtungen Bloch-Funktionen in den drei ausgezeichneten Richtungen [111] [110] [100] Wellenfunktion eines Elektrons im Gitter y k setzt sich zusammen aus freiem Elektronen-Anteil y k (f) und dem Gitterpotential u k : y k (r) = y k (f) (r) u k (r) = A exp(ikr) u k (r) y k (r): Bloch-Funktionen Die gestrichelten Kurven entsprechen den Zuständen freier Elektronen y k (f), die rot durchgezogenen Kurven den für ein bestimmtes Gitterpotential berechneten Zuständen der Elektronen y k = y k (f) u k. 14

15 5.7 Energieniveaus, Zustandsdichte und Fermiverteilung E max E E F f F (E,T > 0K) w * (E i ) D(E) Grundzustand E i Fermienergie: E F = h 2 (3ϖ 2 n) 2/3 /m e E F = m e v F2 /2 Fermiverteilung: f F (E,T) = 1/(exp(E-µ)/k B T 1) T = 0K: µ = E F f F << 1 bzw. E >> k B T f F (E,T = 0 K) Boltzmannverteilung f B (E,T) = 1/exp(E/k B T) 0 f F = 1 w *, D, f F E max : Bindungsenergie der Elektronen im Kristall 15

16 5.8 Spezifische Wärme der Elektronen Analog zum Verfahren zur Bestimmung der spezifischen Wärme des Gitters Ê C e V = de e ˆ Á Ë dt V ª d dt Ê Á Ë E max Ú 0 ˆ E f F ( E,T ) D( E ) de V Zustandsdichte eines freien Elektronengases: D( E ) = ( 2m e ) 3 / 2 E p 2 h 3 T << T F : C e V ª p 2 3 D( E )k 2 F B T ª p 2 2 nk T B gt T F Aus Messungen der spezifischen Wärme als Funktion der Temperatur bei tiefen Temperaturen wird die elektronische Zustandsadichte D(E F ) bestimmt. 16

17 Gesamte spezifische Wärme eines kristallinen Metalls bei tiefen Temperaturen: C V = gt bt 3 ; C V /T = g bt 2 Beiträge der Elektronen und Phononen zur spezifischen Wärme; Zusätzliche Beiträge in: amorphen Metallen magnetischen Metallen g Metall g exp g exp (10-3 J mol -1 K -2 ) g fel Li Na K Cu Ag Al Fe Co Ni ,69 0,66 1,35 4, ,02 2,3 1,5 1,1 1,37 1,02 1,6 10,0 10,3 15,3 17

18 5.9 Magnonen Strukturelle und magnetische Ordnung Beispiel: krz Eisen parallele Ausrichtungen permanenter Spins Ferromagnetismus Magnetische Überstrukturen: Beispiel: Antiferromagnetisches MnO (311) 80 K, T < T N 293 K, T > T N (311) k' = k G Magnetische Überstruktur, durch elastische Neutronenbeugung nachgewiesen. 18

19 Magnetische Anregungen Wechselwirkung von N Spins S: N. (Heisenberg-Modell) U = - 2JÂS p S p1 p=1 Grundzustand: U o = - 2 N J S 2 Angeregter Zustand U 1 = U o 4 J S 2 Anregung von Spinwellen niederenergetisch Quantelung der Spinanregungen: Magnonen 19

20 Bestimmung der Dispersionsrelation, Zustandsdichte und Energie analog zu Phononen: Dispersionsrelation: È hw = 2J SÍ z -Âcos( k d ) ; hw = ( 2J Sa 2 )k 2 ka << 1 Î Quantisierung der Spinwellen: Zustandsdichte: d Ê E k = n k 1 ˆ Á hw k ; n k = 0,1,2... Ë 2 g(w ) = 1 4p 2 Ê h ˆ Á Ë 2J S a 2 Verteilungsfunktion: 3 / 2 w 1 / 2 f ( E,T ) = 1 exp( hw / k B T )-1 Magnonen sind Bosonen und gehorschen der Bose-Einstein Statistik! 20

21 Anzahl der bei der Temperatur T angeregten Magnonen: Â n k = 1 k 4p 2 Ê h ˆ Á Ë 2J S a 2 3 / 2 w Ú 1 / 2 0 exp( hw / k B T )-1 Änderung der Magnetisierung: Â n k N S = DM( T ) k DM( 0 ) ; DM( T ) DM( 0 ) = 0,0587 SQ Ê k B T ˆ Á Ë 2J S 3 / 2 Blochsche T 3/2 - Gesetz E Ú max 0 U M = E f ( E,T ) g( E ) de Zustandsdichte Verteilungsfunktion Energie der Magnonen U M Energie einer Mode U M = N 3 4p ( k T B )5 / 2 2 ( 2J S ) x 1 / 2 Ú dx 3 / 2 0 exp( x )-1 21

22 Inelastische Neutronenstruktur: Dispersionskurven Erhaltungssätze für Energie und Wellenvektor h 2 k 2 2M n = h2 k' 2 2M n ± hw k k` = kg±k Akustische Phononen: K(w=0)=0 Gleichphasige Schwingungen benachbarter, Atome Optische Phononen: Gegenphasige Schwingungen Longitudinal, Transversal 22

23 5.10 Spezifische Wärme der Magnonen C V M = du M dt = 0,113k Ê k B B T ˆ Á Ë 2J sa 2 3 / 2 Spezifische Wärme isolierender ferromagnetischer Kristalle: C V = C V M C V G C V T -3/2 = a bt 3/2 experimentelle Bestimmung von a: Austauschwechselwirkung J C V T 3/2 [erg/cm 3/2 ] Y 3 Fe 5 O T 3/2 [K 3/2 ] Ni: J = 2, ev J etwa um Faktor 2,4 höher als in der Molekularfeld-Theorie (lokale Momente) berechnet Modell des itineranten Magnetismus (Bänder-Modell) 23

24 5.11 Niederenergetische Anregungen in amorphen Metallen Zwei-Niveau-Systeme/Tunnelsysteme Potential U y 2 E o 1> 2> -d 0 d V x verallgemeinerte Koordinate q Bei Überlappung der Wellenfunktionen: Tunnelprozesse y 1 exp -a 2 (xd) 2 y 1 exp -a 2 (x-d) 2 E o = hw o ; V o =1/ 2 mw o d 2 y 1 Ú y 2 dx = exp( -l ) 0 - Tunnelparameter: l= (2m V o d 2 /h 2 ) 1/2 Tunnelaufspaltung: = hw o exp(-l) 24

25 Asymmetrisches Doppelmuldenpotential e Dichte der ZNS mit konstanter Zustandsdichte P: Jedes ZNS trägt mit einer Schootky-Anomalie zur spezifischen Wärme bei C ZNS ( T,t ) = k B r d Zwei-Niveau-System mit den Energien: E 1/2 = ±(e 2 2 ) 1/2 Beispiel: m = 100 AME, d = 0,5Å, /kb = 100 mk, /h = 2ns t max n( E,t ) = P( E,t ) = P Ê Ú lná 4t 2 Ë = p 2 12 k B t min Ê Ú Á 0 Ë 2 t min E ˆ exp( -E / k B T ) n( E,t )de 2 k B T ( exp( -E / k B T )1) Ê 2 P ln 4t ˆ Á T ª p 2 Ë 6 k 2 B n o T t min ˆ Amorphe Metalle: C V = C v el C V ZNS C V G = gt at bt 3 25

26 5.12 Amorphe Supraleiter T << T C : Kondensation der Quasi-Teilchen (Elektronen) in den supraleitenden Grundzustand Elektronen sind vom Energieaustausch entkoppelt Spezifische Wärme Wärmeleitfähigkeit im Nullfeld und im Magnetfeld B 26

27 5.13 Kalorimeter 27