Ferienkurs Analysis 3 für Physiker. Integralsätze

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1 Ferienkrs Analysis 3 für Physiker Integralsätze Ator: Benjamin Rüth Stand: 17. März 214

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Differentialoperatoren 3 2 Integralsatz von Gaß Beispiel: olmenintegral Beispiel: olmen eines Qaders Partielle Integration Beispiel: schwache Form einer PDGL Beispiel: erste Green sche Formel Stokes scher Integralsatz Beispiel: Satz von Green Beispiel: Cachy Riemannsche DG

3 1 DIFFERENTIALOPERATOREN 1 Differentialoperatoren In diesem Abschnitt werden die beiden wichtigen Integralsätze von Gass nd Stokes vorgestellt nd einige Anwendngen vorgeführt. Zr Einführng werden hier krz die für diese Sätze notwendigen Differentialoperatoren vorgestellt: Gradient: Der Gradient beschreibt bei einem Skalarfeld f x im R n die Richtng des steilsten Abstiegs. n f gradf = e i x i i=1 Divergenz: Die Divergenz beschreibt bei einem ektorfeld F x im R n die Qellendichte. div F n F i = x i i=1 Rotation: Die Rotation beschreibt bei einem ektorfeld F x im R n die Wirbeldichte. Für den R 3 latet sie wie folgt: rot F = F 3 x 2 F 2 x 3 F 1 x 3 F 3 x 1 F 2 x 1 F 1 x 2 x 1 Nabla-Operator: Der Nabla-Operator T = x 2 x 3 ist ein nütliches Hilfsmittel m die Berechnng von Gradient, Divergenz nd Rotation im 3 dimensionalen Fall z vereinfachen. gradf = f div F = F rot F = F Laplace-Operator: Zletzt bleibt noch der Laplace-Operator = 2 2 2, x 2 1 x 2 2 x 2 3 der in vielen physikalischen Anwendngen eine Rolle spielt. f = divgradf = f 3

4 2 INTEGRALSATZ ON GAUß 2 Integralsatz von Gaß In diesem Abschnitt wird der Satz von Gaß eingeführt. Er latet wie folgt: Sei A r ein stetig differenzierbares ektorfeld, R n ein Normalbereich nd der Rand von. Ferner bezeichnet n das äßere Normalenfeld. A, n ds = diva d n x Man bezeichnet das Integral A, n ds oft als den Flss des ektorfeldes A drch die Oberfläche des olmens. Nn wird klar, inwiefern Divergenz nd Qelldichte miteinander zsammenhängen: Eine positive Divergenz bedetet, das olmen enthält Qellen, es fließt also etwas as dem olmen heras, das führt z einem positiven Flss. 2.1 Beispiel: olmenintegral Das folgende Integral soll bestimmt werden: div xe x 2 d 3 x S 3 R S 3 R Dabei bezeichnet S 3 R die Kgel mit Radis R m den Ursprng nd x den Betrag von x. Wir ntzen den Satz von Gaß nd formen das Integral m: div xe x 2 d 3 x = xe x 2, n ds Af der Oberfläche der Kgel gilt nr = x, sowie x = R. Aßerdem ntzen wir die Linearität des Skalarprodkts. Wir können das Integral weiter vereinfachen: xe x 2, n ds = R ne R2, n ds = R e R2 n, n ds Das Skalarprodkt zweier paralleler Einheitsvektoren ist 1. Der orfaktor R e R2 lässt sich as dem Integral herasziehen. Es bleibt R e R2 n, n ds = R e R2 1dS = R e R2 vol 2 = R e R2 4πR 2 = 4πR 3 e R2 4

5 2 INTEGRALSATZ ON GAUß 2.2 Beispiel: olmen eines Qaders 2.2 Beispiel: olmen eines Qaders Möchte man das olmen eines Qaders Q = {x, y, z : < x < a, < y < b, < z < c} bestimmen, so mss man folgendes Integral berechnen: vol 3 Q = Q dx 3 Mithilfe des Satzes von Gaß kann man das Problem mformlieren: vol 3 Q = Q 1dx 3 = Q div x dx 3 Gaß = Q x, n ds = Q x, e 1 ds Die Oberfläche des Qaders Q setzt sich as 6 Teilflächen zsammen nd man kann das Integral folgendermaßen afteilen: Q x e 1 ds = a b b c x e 1 e 3 dydx a b z= x e 1 e 1 dzdy c x=a a x e 1 e 3 dydx b z=c x e 1 e 2 dxdz c y= c a x e 1 e 1 dzdy x= x e 1 e 2 dxdz y=b Wegen der Orthogonalität der Einheitsvektoren verschiedener Indizes nd wegen x = an einer Ebene fallen alle Integrale bis af den 4.Smmanden weg. vol 3 Q = b c x e 1 e 1 dzdy b c x=a = adzdy = abc Man kann also mithilfe des Gaß schen Integralsatzes Integrale m eine Dimension redzieren. 5

6 3 PARTIELLE INTEGRATION 3 Partielle Integration Mithilfe des Gaß schen Integralsatzes kann man ach im Mehrdimensionalen die partielle Integration ntzen. Für f, g : R n R nd R n gilt fx j gxdx = fxgx v j, n j ds gx j fxdx Mit G : R n R n erhält man eine ähnliche Schreibweise: f Gdx n = fg ds G, n fdx n 3.1 Beispiel: schwache Form einer PDGL Für partielle Differentialgleichngen existiert eine sog. starke nd eine schwache Form. Wir wollen nn die bekannte starke Form der inhomogenen Poisson Gleichng in die schwache überführen. starke Form: f = ρ Z diesem Zweck mltiplizieren wir af beiden Seiten mit der sog. Testfnktion φ nd integrieren af beiden Seiten über den Lösngsbereich. f = ρ φ φ f = φρ φ fd = φρd As dem Abschnitt z Differentialoperatoren wissen wir, dass = gilt. Wenden wir diese Regel af f an erhalten wir f bzw. G mit G = f. Jetzt können wir die Regel zr partiellen Integration anwenden. φ Gd = φ G, n dγ G φd =Γ Eingesetzt in die Differentialgleichng nd mit G = f ergibt sich φ f, n dγ f φd = φρd =Γ =Γ φ f, n dγ = φρ f φd 6

7 4 STOKES SCHER INTEGRALSATZ 3.2 Beispiel: erste Green sche Formel 3.2 Beispiel: erste Green sche Formel Unter erwendng der partiellen Integration kann man aßerdem die nützliche erste Green sche Formel herleiten. Hierz setzten wir in der Formel zr partiellen Integration G = g nd erhalten f gdx n = f g, n ds g fd Drch Umformen = erhalten wir die erste Green sche Formel: f g, n ds = f g f gd 4 Stokes scher Integralsatz Neben dem Gaß schen Integralsatz gibt es noch einen zweiten wichtigen Integralsatz, den Stokes schen Integralsatz, der folgendermaßen latet: Sei A r ein ektorfeld,f eine Fläche nd die Krve C = F der Rand dieser Fläche. Die Krve C ist drch rx parametrisiert. So gilt: A r d r = rota r, n ds C= F F Man bezeichnet das Integral über den Rand ach als Zirklation. Dies veranschalicht die Fnktion der Rotation: Rotation af einem olmen bewirkt, dass das ektorfeld Anteile parallel zm Rand besitzt, also sich entlang des Randes bewegt, also nicht as dem olmen heraszeigt. Wichtig ist es hierbei, dass der Rand der Fläche F nd die Normale af F gemäß der Rechten Hand Regel parametrisiert sind Damen zeigt in Normalenrichtng, restliche Finger zeigen Umlafrichtng der Krve an. 4.1 Beispiel: Satz von Green In 2D bezeichnet man den Stokes schen Integralsatz ach als Satz von Green. Man kann die Rotation in 2D einfach als Rotation in 3D ohne Eintrag in der Z-Komponente 7

8 4 STOKES SCHER INTEGRALSATZ 4.2 Beispiel: Cachy Riemannsche DG affassen. Diese Rotation zeigt gena in die Richtng der Flächennormalen in 2D. rot = v y v x Eingesetzt in den Stokes schen Integralsatz ergibt sich der Satz von Green: v, n ds =, n ds = F F y v y v x, n ds = x F C= F v d r 4.2 Beispiel: Cachy Riemannsche DG Ein erstes wichtiges Erkenntnis as der Fnktionentheorie lässt sich mithilfe des Stokes schen Integralsatzes zeigen: Sei fz = fx iy = x, v ivx, y nd A = {x, y R x iy A} C berandet drch A = {γt = γ x t iγ y t t [; 1]} mit γ = γt. Dann ist A fzdz =, wenn v x = y nd x = v y Drch Einsetzen der Parametrisierng des Randes formen wir das Integral zerst m A fzdz = 1 fγt γtdt = 1 γ x t, γ y t ivγ x t, γ y t ẋt iẏtdt mltipliziert man diesen Asdrck nn as nd sortiert nach Real- nd Imaginärteil erhält man 1 1 γ x t, γ y t ẋt v γ x t, γ y t ẏtdti A v d r i A v d r Stokes = γ x t, γ y t ẏtv γ x t, γ y t ẋtdt = A rot v i Der letzte Asdrck ist gena dann nll, wenn beide Cachy Riemann sche Differentialgleichngen v x = y nd x = v y gelten, da Real- nd Imaginärteil linear nabhängig voneinander sind. Fnktionen, für die diese Differentialgleichngen gelten nennt man holomorph. Für solche Fnktionen haben beliebige, geschlossene Wegintegrale den Wert. Weitere Assagen über holomorphe Fnktionen liefert die Fnktionentheorie. A rot v 8