Inhaltsübersicht. Kapitel 10: Funktionen und Abbildungen in mehreren Dimensionen

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1 Inhaltsübesicht Kapitel 10: Funktionen und Abbildungen in meheen Dimensionen Funktionen mehee Vaiablen Kummlinige Koodinatenssteme Diffeentation skalawetige und vektowetige Funktionen Integation in kummlinigen andeen Koodinatensstemen Vektoanalsis Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 1

2 Funktionen mehee Vaiablen Mehdimensionale Analsis ist die Veallgemeineung de (eindimensionalen) Analsis. Diese mathematische Disiplin betachtet Funktionen mehee Vaiablen, Diese Funktionen sind.b. definiet als Abbildungen aus in die eellen Zahlen. So etwas kennen wi schon,.b. den Betag eines Vektos: 3 : In de Analsis ist vo allem die Veallgemeineung de eindimensionalen Diffeentialund Integalechnung auf höhedimensionale Funktionen im Blickfeld. Am gebäuchlichsten ist die Analsis in wei und dei Dimensionen, da hie von de geometischen Intuition Gebauch gemacht weden kann. Viele de Egebnisse de mehdimensionalen Analsis bilden heute einen unabdingbaen theoetischen Gundstock fü Ingenieue und Natuwissenschaftle, insbesondee fü die Mateialwissenschaft! 1 3 Beispiel: Tempeatu in einem Zimme Beispiel: mit Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II

3 Funktionen mehee Vaiablen Veallgemeinet kann auch ins Mehdimensionale abgebildet weden: Beispiel: Luftstömung in einem Zimme. An jedem Punkt des Zimmes gibt es einen Kaftvekto, de aus eine Stömung esultiet. Diese Kaftvekto F kann in eine beliebige Raumichtung eigen. Dies wid.b. deutlich an de Flugbahn (Tajektoie) eines Staubteilchens im Raum. 3 3 : F F also 3 3 : ; F Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 3 F (,, ) 1 F (,, ) F (,, ) 3 Links: Beispiel eine Funktion von R 3 nach R 3. Jedem Punkt des Raumes weden 3 Koodinaten ugeodnet. Diese könne.b. als Pfeil dagestellt weden, bei einem Kaftfeld handelt es sich diekt um eine Kaftvekto. Rechts: Wibelschleppe an de Tagfläche eines Flugeugs : F

4 Funktionen mehee Vaiablen Von diesem Flugeug wid auf de gesamten Beite seine Spannweite Luft nach unten gefödet. Daduch, dass Luft von de Seite und von oben in das Unteduckgebiet übe dem Flügel nachstömt und Luft aus dem Übeduckgebiet unte dem Flügel u Seite entweicht, entstehen wei Wibel deen Zentum an den Tagflächenspiten liegt. Diese Wibel stellen die so genannte Wibelschleppe da, die hinte einem jedem Flugeug in de Luft nach Duchflug eistiet. Diese Wibel klingen nu duch Reibung mit de umgebenden Luft allmählich ab. Bei goßen Flugeugen dauet das etwa eine halbe Stunde. Wie sich im Bild eigt, wid ein seh goßes Volumen von Luft in Bewegung vesett. Die Geschwindigkeit und die Masse de nach unten gedückt und gesogenen Luft ist um so göße je göße auch das Flugeug ist. Wibelfelde sind abe auch in de Elektodnamik von goßem Inteesse. Magnetische Felde bilden tpischeweise Wibelfelde, hie sind Bescheibungen duch vektoielle Funktionen seh häufig notwendig. Wibelfelde eichnen sich daduch aus, dass die Anahl de Umläufe um das Zentum bestimmt, wie viel Enegie gewonnen be. abgegeben wid Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 4

5 Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 5 Funktionen mehee Vaiablen Beispiele: Wie sehen solche Funktionen aus? m m m m F Gavitationskaft (Punktmasse) Elektisches Feld eine Punktladung / Ladungsdichte

6 Einschub:Kummlinige Koodinatenssteme Kummlinige Koodinatenssteme fühen in de mehdimensionalen Analsis häufig u Veeinfachungen! Beispiele: geadlinige Koodinatenssteme: Vektoaum geadlinige othogonale Koodinatenssteme: Katesisches Koodinatensstem kummlinige Koodinatenssteme: Elliptische Koodinaten kummlinige othogonale Koodinatenssteme: ebene Polakoodinaten und Zlindekoodinaten Kugelkoodinaten Touskoodinaten Aten von Koodinatensstemen, jeweils mit dem Punkt P(3;). a) geadlinige b) geadlinige othogonale c) kummlinige othogonale d) kummlinige allgemeine Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 6

7 Kummlinige Koodinatenssteme Die Bescheibung von Sstemen katesischen Koodinaten wikt oft umständlich,.b. lässt sich das Gavitationsgeset in Kugelkoodinaten wesendlich einfache bescheiben. Die Katogaphie de Edobefläche ist ein andees Beispiel Die Abbildung eigt einen Punkt P mit den katesischen Koodinaten (,, ) und den Kugelkoodinaten (, q, j): (die -Achse eigt in 0 -, die -Achse in 90 -Richtung, die -Achse steht im echten Winkel u den beiden andeen Achsen). m m 1 F,, j Wie tansfomiee ich katesische in Kugelkoodinaten? (umgekeht Tafel) Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 7

8 Diffeentiation skalawetige Funktionen Nun soll mit de Diffeentiation von Funktionen mehee eelle veändeliche begonnen weden. Relativ natülich leitet sich die Ableitung von mehdimensionalen skalawetigen Funktionen ab, also (Skalafeld) Alledings ist eine Tangente an die Funktion in diesen Fällen nicht meh eindeutig bestimmt, da es viele veschiedene Richtungen gibt. Hie ist also eine Eweiteung des bisheigen Ableitungsbegiffs notwendig. Ein Beispiel ist die Tempeatufunktion: Wi messen in Abhängigkeit vom Ot die Tempeatu in unseem Zimme, um u beuteilen, wie effektiv die Heiung ist. Bewegen wi das Themomete in eine bestimmte Richtung, bemeken wi eine Veändeung de Tempeatu. Diese ist die so genannte Richtungsableitung. Die Richtungsableitungen in speielle Richtungen, nämlich die de Koodinatenachsen, nennt man auch die patiellen Ableitungen. Insgesamt lassen sich fü eine Funktion in n Vaiablen n patielle Ableitungen eechnen: Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 8

9 Diffeentiation skalawetige Funktionen Allgemeine Definition de Richtungsableitung: Seien eine offene Menge und. Die (beidseitige) Richtungsableitung eine Funktion entlang eines Vektos mit im Punkt ist im Falle de Eisten definiet duch den Limes: Eistiet die beidseitige Richtungsableitung von f, so gilt f ( ) f ( ) f ( 0 0 v h) v Richtungsableitung entlang de Koodinatenachsen = Patielle Ableitung. Also im Beispiel v = Einheitsvekto in -Richtung ode - Richtung. Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 9

10 Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 10 Die patielle Ableitung sett eine Funktion voaus, die von meheen Paameten abhängt. Als Beispiel wid die Funktion (Paabeltichte) f(,)= + betachtet, die von den beiden Paameten und abhängt. Betachtet man den Paamete als eine Konstante,.B. = 3, so hängt die Funktion f(,3) nu noch von dem Paamete ab: f(,3) = + 9. Fü die neue Funktion g() = + 9 kann man den Diffeenialquotienten bilden: g g g d dg f ) ( ) ( ) ( lim,3) ( 0 Das gleiche Egebnis ehält man, wenn man die patielle Ableitung de Funktion f(,) nach bildet: h f h f f h ), ( ), ( lim ), ( 0 Die patielle Ableitung von f(,) nach lautet entspechend: h f h f f h ), ( ), ( lim ), ( 0 Bis auf einen Paamete weden alle andeen Paamete als konstant angenommen, beüglich dieses einen Paametes wid de Diffeenialquotient bestimmt. Als Egebnis ehält man die patielle Ableitung de Funktion nach diesem einen Paamete. Diffeentiation skalawetige Funktionen

11 Diffeentiation skalawetige Funktionen Die einelnen patiellen Ableitungen eine Funktion lassen sich auch gebündelt als Gadient ode Nablavekto anscheiben. Skalafeld: wobei e,e,e die kanonischen Einheitsvektoen des R 3 sind. De Gadient eines Skalafeldes ist definiet als de Vekto de patiellen Ableitungen. E eistiet dahe nu an den Stellen, an denen beüglich alle Koodinaten patiell diffeenieba ist. E wid als ode als gad geschieben. Also (siehe oben): Allgemein: Die Diffeentiation eines Skalefeldes in alle Richtungen nach obige Voschift egibt ein Vektofeld. In de Phsik egibt sich so.b. aus einem beliebigen Enegiefeld ein Kaftfeld! Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 11

12 Diffeentation skalawetige Funktionen Beispiel aus de Phsik: weidimensionales Fedependel m Das Feld de potentiellen Enegie E(,) wid auch Potentialfeld genannt. Die Ableitung (Gadient) de potentielle Enegie bildet ein Vektofeld. De negative Gadient bildet das Kaftfeld! 1 1 f (, ) E (, ) d d 1 gad f (, ) f (, ) ( d, d ) 1 gad f, ) F (, ) ( d, d ( 1 ) Kaftvekto Die Wämeveteilung eine vom Stom duchflossenen Leitebahn auf einem Mikochip lässt sich duch ein Skalafeld von unteschiedlichen Tempeatuen bescheiben. De negative Gadient dieses Skalafeldes einschließlich eine Mateialkonstanten ist de Wämefluss. De Wämefluss ist somit ein Vektofeld, welches popotional um negativen Tempeatugadienten ist. Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 1

13 Diffeentation skalawetige Funktionen Patielle Ableitungen können wiede diffeenieba sein und lassen sich dann in de so genannten Hesse-Mati anodnen (weite Ableitung). Analog um eindimensionalen Fall sind die Kandidaten fü Etemstellen da, wo die Ableitung Null ist, also de Gadient veschwindet. Ebenfalls analog benutt man die weite Ableitung, also die Hesse-Mati, u Bestimmung des eakt voliegenden Falles. Im Gegensat um eindimensionalen ist alledings die Fomenvielfalt in diesem Falle göße (Mittels eine so genannten Hauptachsentansfomation de duch eine mehdimensionale Talo- Entwicklung im betachteten Punkt gegebenen quadatischen Fom lassen sich die veschiedenen Fälle klassifiieen). Hesse-Mati: Mit diese Veallgemeineung definiet man die weite Ableitung eines Skalafeldes Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 13

14 Diffeentation skalawetige Funktionen Hessemati, Jacobimati und Anwendung: Die Hesse-Mati (nach Otto Hesse) fasst die patiellen weiten Ableitungen eine mehdimensionalen Funktion f( 1,..., n ), die in die eellen ode kompleen Zahlen abbildet, usammen: Die Jacobi-Mati ist die m n-mati sämtliche este patiellen Ableitungen eine diffeeniebaen Funktion. B.: m n = 3 3 Anwendung: wenn man sie fü einen Punkt p ausechnet, u Näheung de Funktionswete von f in de Nähe von p vewendet weden: Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 14

15 Diffeentation vektowetige Funktionen Die lokalen Eigenschaften de Koodinatentansfomation weden duch die Jacobi- Mati beschieben. Fü die Tansfomation von Kugelkoodinaten in katesische Koodinaten lautet diese: bei sphäischen Polakoodinaten (nu q,j) fällt die este Spalte weg. Die Jacobi-Mati de entgegengesetten Tansfomation ist nu fü äumliche, nicht fü sphäische Polakoodinaten definiet; man beechnet sie am einfachsten als Invese von J: Einige Komponenten diese Mati sind Büche, an deen Nennen man die Uneindeutigkeit de Polakoodinaten bei =0 und bei sin q=0 (also q =0 ode p) ekennt. Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 15

16 Diffeentation vektowetige Funktionen Die Jacobi-Mati elaubt es, die Umechnung von Diffeentialen übesichtlich als lineae Abbildung u scheiben: beiehungsweise: Das Volumenelement lässt sich besondes einfach mit Hilfe de Funktionaldeteminante J = sinq umechnen: Beispiel: Zlindekoodinaten (, j, h) Umechnungsfomeln Zlindekoodinaten in kat. Koodinaten: = cos j = sin j Die Funktionaldeteminante lautet also: = h Folglich egibt sich fü das Volumenelement dv: (Anwendung) Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 16

17 Diffeentation skalawetige Funktionen Auch Potentialfelde lassen sich in kummlinigen Koodinatensstemen eeugen: Dastellung in Zlindekoodinaten: Dastellung in Kugelkoodinaten: (Heleitung, Tafel) Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 17

18 Integation in kummlinigen Koodinaten Beispiel: Volumeninhalt eines Zlindes. Um das Volumen eines Zlindes heuleiten lässt sich die mehdimensionale Integationsechnung vewenden. Sei ein Zlinde im R 3 beschieben duch einen Keis in de - Ebene mit dem Radius und eine Höhe entlang de -Achse mit de Länge h. Hieu kann man nun das Volumenintegal Integal vewenden. Es wid die Fläche in -Richtung mit de Fläche in - Richtung und de Fläche in - Richtung multipliiet. Dies kann auch infinitesimal geschehen, so das eine Menge Wüfel aufsummiet wid. Um das Poblem u veeinfachen und die Randfunktionen, bescheiben u können, kann das Poblem auf den positiven Beeich duch vieteln des Zlindes beschänkt weden. Anschaulich sieht das dann so aus: Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 18

19 Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 19 Diese Wüfel sind jett aufusummieen um dann den Genübegang u unendlich vielen unendlich kleinen Wüfeln u tätigen, den Übegang um Integal. Dabei teten weielei Schwieigkeiten auf. Eineseits handelt sich um mehee Integale, andeeseits sind Ihe Genen voneinande abhängig. Den Randfunktionen kommt eine entscheidende Bedeutung u. So egibt sich fü die este Reihe von Wüfeln (siehe este Abbildung): Integation in kummlinigen Koodinaten n i 1 Wobei die Anahl n de Wüfel vom Radius des Zlindes und ihe Göße abhängt: n n Soll die nächste Wüfeleihe im Y-Richtung addiet weden, egibt sich das Poblem, das Ihe Länge duch die Keisbahn veküt ist, die Anahl de Wüfel also von eine Randfunktion abhängt: n n j i 1 1 Die Höhe beinhaltet keine abhängigen Koodinaten: h l j j i muss abe umfomuliet weden: j

20 Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 0 h l j h l j j i j V 1 1 0,, ,, lim lim 4 Die so aufgestellte Fomel elaubt die Volumenbeechnung des Zlindes, wenn,, ->0 h l h l j j 1 0, 1 1 0, )... 4 ( lim lim mal )... 4 ( lim h h p mal Integation in kummlinigen Koodinaten

21 Integation in kummlinigen Koodinaten Im Pinip lässt sich das Poblem auch übe das Integal lösen. Da das Integal den positiven (negativen) Flächeninhalt von Nullstelle u Nullstelle beechnet, kann bei Randfunktionen, die stetig diffeenieba sind, diekt Integiet weden. Hie ist daauf u achten, in welche Reihenfolge die Integale übe das Infinitesimale Volumenelement ddd ausufühen sind. In unseem Beispiel: V 4 h ddd h dd h 1 dd h p d p h ~ 1 ~ 0 1 ~ d ~ ; ~ sin u d ~ du cos u; p 0 1 sin u cos udu p 0 cos u cos udu p 0 cos udu p 0 1 u 1 4 sin u p 4 (cos( ) cos cos sin sin )) Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 1

22 Integation in kummlinigen Koodinaten Dies escheint elativ kompliiet, insbesondee duch die kompliiete Integation mit den Randfunktionen. In kummlinigen Koodinaten, in diesem Fall Zlindekoodinaten escheint die einfache: Diese Deteminante gibt u einem gegebenen Punkt wichtige Infomationen übe das Vehalten de Funktion f in de Nähe dieses Punktes. Wenn beispielsweise die stetig diffeeniebae Funktion in de Nähe des Punktes p invetieba ist, ist die Jacobideteminante in p nicht null. Weitehin gilt, dass bei positive Deteminante in p die Funktion ihe Oientieung beibehält und bei negative Jacobideteminante die Oientieung umkeht. De absolute Wet de Deteminante im Punkt p gibt den Wet an, mit dem die Funktion in de Nähe von f epandiet ode schumpft. = cos j = sin j = h V H p R h 0 j 0 0 dd jdh H p h 0 j 0 1 R djdh H h 0 1 pr dh HpR Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II

23 Integation in kummlinigen Koodinaten Kummlinige Koodinatenssteme können auch benutt weden um Integale einfache u lösen. Z.B. lassen sich entalsmmetische Ssteme leicht in Kugel ode Polakoodinaten lösen: ( ) e dd Umechnung wischen veschiedenen Koodinatensstemen: (Uspung de Funktionaldeteminante) Zu Veanschaulichung de Tansfomation das Volumenelementes weden weidimensionale Koodinaten (,)-> dv = d*d in beliebig andee, kummlinige Koodinaten (u,v) umgeechnet. Das weidimensionale Flächenelement da lässt sich als v 3 Flächeninhalt des duch die Tangentevektoen und, deen u v v u v v 1 v 0 u 0 u 1 u u 3 u 4 Komponenten sich aus den patiellen Ableitungen beechnen lassen, aufgespannten Paallelogamms dastellen: A u uv uv Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 3 v u u v v Dabei egibt de Betag des Keupoduktes die Deteminante eine Mati. Allgemein handelt es sich um die Funktionaldeteminante D, also da= D dudv v u

24 Integation in kummlinigen Koodinaten Beispiel: Umechnung in Polakoodinaten jdj cos j sin j +d j D j j cos j sin j (sin j cos j ) sin j cos j j j da D djd d jd j Beispiel: Flächeninhalt eine Ellipse Eine Ellipse ist definiet als die Menge alle Punkte P de Zeichenebene, fü die die Summe de Abstände u wei gegebenen Punkten F1 und F gleich a ist (in nebenstehende Abbildung blau eingeeichnet). Die Punkte F1 und F heißen Bennpunkte: Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 4

25 Integation in kummlinigen Koodinaten Im elliptischen Koodinatensstem wid ein Punkt duch Angabe de Lage auf konfokalen Ellipsen und Hpebeln bestimmt. Bei weidimensionalen elliptischen Koodinaten lautet die Umechnung in katesische Koodinaten ; ; u und v sind hie die Koodinaten, a ist ein Paamete des Koodinatensstems. v läuft von 0 bis p, u ist nicht beschänkt. Die u-koodinatenlinien sind Hpebeln, die v-koodinatenlinien Ellipsen; fü u=0 ist die v-koodinatenlinie u eine Stecke von bis entatet fü v=0 ist die u-koodinatenlinie u eine Halbgeade entatet, de positiven -Achse ohne de vohe ewähnten Stecke entspicht, fü v = p ist die u-koodinatenlinie die entspechende Halbgeade auf de negativen -Achse und fü v = p/ und v=3p/ ist die u-koodinatenlinie die -Achse. Duch die Tansfomation auf elliptische Koodinaten kann die Schödinge-Gleichung fü das H + - Molekül analtisch gelöst weden. Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 5

26 Integation in kummlinigen Koodinaten Konfokale Elipsen & Hpebeln D u u u u v v v v a sinh( u ) cos a cosh( u ) sin v v a cosh( u ) sin v a sinh( u ) cos v... Tafel -Flächeninhalt eine Ellipse a cos j b sin j Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 6

27 Integation in kummlinigen Koodinaten Anwendung von Volumenintegalen: Schwepunkt: s m 1 1 m m m 1 N i 1 N i 1 m i m i i m 1 1 m Allgemein homogene Massenveteilung: s 1 V V dv Beispiel, Schwepunkt eines Quades, Zlindes, eine Halbkugel Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 7

28 Integation in kummlinigen Koodinaten Fü einelne Massenpunkte beechnet sich das Tägheitsmoment mit de Summe: mit m i fü die Masse und i fü den senkechten Abstand des i-ten Teilchens von de Dehachse. Ist die Dehachse die -Achse, so lautet das ugehöige Tägheitsmoment und nach dem Übegang um Integal mit dem Volumen V des aus den Massenpunkten usammengesetten Köpes: Ist = konst. spicht man von eine homogenen Masseveteilung. So kann man schnell den Steineschen Sat beweisen. Ist das Tägheitsmoment I S fü eine Achse duch den Schwepunkt eines Köpes bekannt, so kann mit Hilfe de Steine-Regel das Tägheitsmoment I fü eine beliebige paallel veschobene Dehachse beechnet weden. Die Fomel lautet: Allgemein: Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 8

29 Integation in kummlinigen Koodinaten Wenn de Tägheitstenso fü einen Köpe bekannt ist, so lassen sich mit diesem und de Steine- Regel die Tägheitsmomente des Köpes fü Rotationen um eine beliebige Dehachse im Raum beechnen. Betachtet man einen unegelmäßig gefomten Köpe, de um eine Achse duch seinen Schwepunkt otiet, so vaiiet dessen Tägheitsmoment je nach Lage de Dehachse. Dabei gibt es wei Achsen, beüglich dee das Tägheitsmoment des Köpes maimal bw. minimal ist. Diese Achsen stehen imme senkecht ueinande und bilden usammen mit eine ditten, wiedeum senkecht auf beiden stehenden Achse die Haupttägheitsachsen des Köpes. Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 9

30 Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 30 Vektoanalsis Litteatu: Vektofunktion: Eine Funktion, bei de die abhängige Vaiable ein Vekto ist, heißt Vektofunktion. ),, ( ),, ( ),, ( ),, ( v v v V.B. (wie bishe): Ableitung eine Vektofunktion mit einem Paamete: Analog u Definition de Ableitung eine skalaen Funktion ist die Ableitung eine Vektofunktion V(u) definiet: Im einfachsten Fall lassen sich alle Koodinaten auf einen Paamete u uückfühen: ) ( ) ( ) ( ) ( u v u v u v u V ) ( u u u u V, mit: Die Ableitung des Vektos V(u) nach u ist nicht nu fomal wiede ein Vekto; sie efüllt wie man eigen kann auch das entscheidende Kiteium fü Vektoen: sie gehocht den Geseten de Vektoaddition. Weitehin gelten die üblichen Diffeentationsegeln (Addition, Konstante,...) s t v gt s t v s t v t s 1 ) (,

31 Vektoanalsis Tangente, Tangentenvekto, Tangenteneinheitsvekto eine Raumkuve: Analog u den ebenen Kuven wid definiet: Die Tangente an eine Raumkuve mit dem Otsvekto (u) in einem ihe Punkte P ist die Geade duch P mit deselben Richtung wie de Vekto (d/du) P (das bedeutet: die Vektofunktion d/du gebildet an de Stelle P). Dabei ist u igendeine Vaiable (Paamete), duch die beschieben wid. Diese Definition wid phsikalisch sofot plausibel, wenn man die Vaiable u duch die Zeit t esett. Dann ist: De Geschwindigkeitsvekto v gibt abe die momentane Bewegungsichtung des Punktes P an, und das ist die Richtung de Kuventangente. Fühen wi nun wiede die beliebige Vaiable u ein, dann wid: wobei dt/du lediglich ein skalae Fakto ist, de an de Richtung des Vektos v nichts ändet. Also hat auch de Vekto die Richtung von v und damit die Richtung de Tangente. Fü das Folgende bauchen wi den auf de Kuventangente gelegenen Einheitsvekto. E wid mit t beeichnet. Man findet ihn, indem man den Geschwindigkeitsvekto duch seinen Betag dividiet: Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 31

32 Vektoanalsis Wobei v die Bahngeschwindigkeit des Punktes P ist. Ist als Funktion de Bogenlänge s de Kuve gegeben, wobei s von einem beliebigen Punkt de Kuve aus gemessen wid, dann kann man v duch ds/dt eseten: 1. Ableitung d/ds liefet den Tangenteneinheitsvekto Was liefet die. Ableitung dt/ds? Die Tangenten eine Raumkuve liegen nicht in deselben Ebene und es gibt im Gegensat u Flächen im Punkt P auch keine Tangentenebene. Wi fühen als Esat fü sie die Ebene ein, in de de Tangenteneinheitsvekto t und de Vekto dt/ds liegen. De lettgenannte Vekto gibt nämlich die Richtung an, in welche sich de Vekto t in P deht. So ist die von t und dt/ds aufgespannte Ebene de bestmögliche Esat - das bestmögliche Analogon fü die Tangentenebene im einen ode andeen Sinn. Diese Ebene heißt die Schmiegungsebene de Kuve in P. De in de Schmiegungsebene liegende Einheitsvekto, de auf t senkecht steht und dieselbe Richtung wie de Vekto dt/ds hat, heißt Hauptnomaleneinheitsvekto n de Kuve in P. Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 3

33 Vektoanalsis Hat ein Vekto v(u) eine konstante Länge v, so ist wegen v = v auch v = konst. Diffeeniet man die lette Gleichung nach u und benutt dabei die Regel fü die Diffeentiation eines Skalapodukts v w mit w = v, so findet man: Wenn das Skalapodukt weie Vektoen v und dv/du null ist und keine de beiden Vektoen selbst null ist (Nullvekto bw. konstante Vekto), dann müssen die beiden Vektoen aufeinande senkecht stehen. Dies leuchtet auch unmittelba ein: Wenn de Vekto dv/du eine Komponente in Richtung v hätte, dann wüde sich die Länge von v ugleich mit u veänden. Dieses Egebnis wenden wi auf den Tangenteneinheitsvekto t eine Raumkuve an. Da die Länge von t konstant ist, muss seine Ableitung dt/ds auf t senkecht stehen. In de Abbildung liegen de Tangenten- und de Nomalenvekto in de Zeichenebene, die folglich mit de Schmiegungsebene usammenfällt. Die Kuve selbst dagegen veläuft im Allgemeinen links und echts von P außehalb diese Ebene. Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 33

34 Vektoanalsis Unte de mittleen Kümmung eine Kuve im Beeich s vesteht man den auf s beogenen Dehwinkel t de Tangente. Ih Genwet fü s gegen 0 heißt Kümmung k de Kuve im Punkt P. Ein in de Schmiegungsebene gelegene Keis duch P mit deselben Steigung und deselben Kümmung wie die Raumkuve, heißt Kümmungskeis de Kuve. Sein Radius heißt Kümmungsadius de Kuve in P. Da fü den Keisbogen s (unabhängig von seine Göße) stets gilt: s = t gilt fü seine Kümmung: k = t / s = 1/ Zu Beechnung de Kümmung eine Kuve aus ihem Otsvekto (s) gehen wi wie folgt vo: 1. Beechnung von dt/ds:. Beechnung von dt/dt: so ist und 3. Damit ist: Weitehin, da dt/ds die Richtung des Nomaleneinheitsvektos n hat, ist: Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 34

35 Vektoanalsis Integalechnung mit Vektoen: In Integalen können Vektoen sowohl als Integand (= die u integieende Funktion) als auch als Diffeential bei dem Integanden aufteten. 1. Tp: Nu de Integand ist ein Vekto: Ein tpisches Beispiel ist das Zeitintegal de Kaft, das in de Dnamik auftitt. (Dot ist es ein bestimmtes Integal; es genügt hie jedoch, nu unbestimmte Integale u untesuchen.) Das Egebnis ist also, wie u ewaten wa, ein Vekto. Anmekung: Dass oben die Einheitsvektoen i, j, k wie konstante Faktoen vo die Integale geogen weden düfen, lässt sich wie folgt beweisen : Das Integaleichen ist das Smbol fü den Genwet eine Summe. Konstante Faktoen bei den Summanden können ausgeklammet weden, auch wenn sie (konstante) Vektoen sind.. Tp: Integand und Diffeential sind Vektoen: Ein Beispiel dafü ist das Wegintegal de Kaft, mit dem die Abeit beechnet wid. Da F d ein Skalapodukt ist, egibt sich fü das Egebnis des Integals ewatungsgemäß auch ein Skala. Ein speielles wichtiges Beispiel hiefü ist: Die Integationsegeln bleiben hie dieselben wie im 1 dimensionalen. Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 35

36 Vektoanalsis 3. Tp: Nu das Diffeential ist ein Vekto Das Egebnis ist ein Vekto. Beispiel: Die elektische Feldstäke E im Feld eine punktfömigen elektischen Ladung vom Betag Q, die sich in O befindet, ist Das Potential j eines Punktes P in einem beliebigen elektischen Feld ist definiet als die»ladungsbeogene Abeit«W/q, die aufuwenden ist, um die Ladung q aus unendliche Entfenung u dem Punkt P u bingen (wie im Gavitationsfeld, nu bei Wegunabhängigkeit definiet, siehe unten). Fü das oben beschiebene entalsmmetische elektische Feld, in dem wie späte geeigt wid jedem Punkt ein Potential ugeodnet weden kann, eechnet man die Abeit duch eine Integation vom Tp II: Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 36

37 Vektoanalsis Da in diesem Feld die Abeit vom gewählten Weg unabhängig ist, denken wi uns die Ladung q einfach adial nach innen bewegt, wobei dann Kaft- und Wegvekto gleich- ode entgegengesett geichtet sind. Alledings ist de Vekto ds dem Vekto d entgegengesett geichtet, da die Bewegung in Richtung abnehmendem efolgt: ds = - d. In einem Punkt mit de Feldstäke E efäht die Ladung q eine Kaft vom Betag F = E q, also ist Damit ehalten wi fü das Potential: Da das Potential (definitionsgemäß) ein Skala ist, ist das Potentialfeld ein Skalafeld. Fü = konst. ist auch j = konst. Die Punkte gleichen Potentials liegen also auf eine Kugelfläche um O. Die»Äquipotentialflächen«ode»Niveauflächen«dieses Feldes sind also Kugeln (siehe Abbildung). Das elektische Potential wid in Volt (V) gemessen. Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 37

38 Vektoanalsis Wie schon geeigt, kann die Steigung eine Feldgöße U in Richtung s übe die Richtungsableitungen, also den Gadient ode Nablaopeato beschieben weden: U. De Vekto gad U weist in die Richtung, in de die Feldgöße U die gößte Steigung hat (am stäksten steigt) (vegl. oben -gad U fällt am stäksten). Beispiel E-Technik: Gesucht ist de Gadient des Potentials j eine elektischen Punktladung Q. Die patiellen Ableitungen weden am einfachsten nach de Kettenegel gebildet: Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 38

39 Vektoanalsis Wann eistiet u einem Vektofeld ein Potentialfeld? In einem Vektofeld, u dem ein Potentialfeld gehöt <=> dessen Feldvekto de negative Gadient eines Skalafeldes ist, ist das Abeitsintegal übe einen geschlossenen Weg gleich null. Beipiel: In einem Potentialfeld wede eine Ladung q gegen die Kaft des Feldes von A nach B veschoben. Die dau aufuwendende Abeit ist: und wegen, De Integand ist das sogenannte vollständige ode totale Diffeential dj des nu vom Ot abhängigen Potentials j = j (,, ), also: Die Abeit W hängt also nu vom Potential des Anfangs- und Endpunktes des Weges ab, nicht abe vom Velauf des Weges; das entspechende Linienintegal ist»wegunabhängig«. Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 39

40 Vektoanalsis Wid die Ladung q unächst auf einem beliebigen Weg von A nach B gebacht und danach auf einem andeen Weg von B uück nach A, so ist: Das heißt: Das Linienintegal wid null hie, wenn man es übe einen geschlossenen Weg bildet. also Das bedeutet, dass man duch Heumfühen eine Ladung auf einem geschlossenen Weg wede Abeit gewinnen kann noch Abeit investieen muss. Ein solches Vektofeld und die in ihm auf eine Ladung ausgeübte Kaft heißen konsevativ. Diese Eigenschaft eines Vektofeldes ist keineswegs selbstveständlich, offensichtlich gilt dies fü das Vektofeld von Seite 3 nicht! Integabilitätsbedingung: Wenn gelten soll, muß sein. Diese Fodeung ist keineswegs selbstveständlich ode tivial, denn V, V und V können im Allgemeinen dei von einande völlig unabhängige Funktionen sein. Nach dem Sat von Schwa muß: und Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 40

41 Vektoanalsis Das heißt: Bei de Bildung de weiten patiellen Ableitung nach veschiedenen Vaiablen ist die Reihenfolge beliebig. Wenn de Feldvekto V de negative Gadient eines Skalafeldes mit de Feldfunktion U sein soll, muss die Integabilitätsbedingung efüllt sein: Beispiel: De Feldvekto efüllt wie man leicht duch Rechnung bestätigen kann - die oben beschiebene»integabilitätsbedingung«, und es ist: Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 41

42 Vektoanalsis Die Divegen eines Feldvektos Gegeben sei ein»stömungsfeld«mit dem Feldvekto v(), wobei v die Geschwindigkeit eine Flüssigkeit ist. Stellen wi uns ein von einem Dahtahmen umgentes ebenes Flächenstück vom Gößenwet A vo, das so in die Flüssigkeit eintaucht, dass es auf de unächst als homogen angenommenen Stömung senkecht steht. Dann ist das Podukt aus A und v gleich dem Flüssigkeitsvolumen, das po Zeiteinheit duch das Flächenstück hinduchstömt. Dieses eitbeogene Volumen beeichnen wi als den»fluss«f de Stömung duch das Flächenstück: De Fluss hat demnach die Dimension Volumen / Zeit =Länge 3 / Zeit. Steht das Flächenstück auf de Stömungsichtung nicht senkecht, dann ist Dabei ist a de Winkel wischen dem Geschwindigkeitsvekto v und dem auf de Fläche senkecht stehenden Flächenvekto A. Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 4

43 Vektoanalsis Ist das betachtete Flächenstück nicht eben, ode ist das Stömungsfeld nicht homogen, dann denken wi uns die Fläche in hineichend kleine Teilstücke vom Gößenwet A elegt und den Flächenvekto A in de Mitte eines jeden Teilstücks eichtet. Jede diese Flächenvektoen wid dann skala mit dem Geschwindigkeitsvekto multipliiet, de dem Fußpunkt des Flächenvektos ugeodnet ist. Fü den Fluss F duch die gesamte Fläche A gilt dann: Ode, nach de tpischen Genübegangsbetachtung: Diese Begiff des Flusses wid in de Phsik auch auf andee Vektofelde übetagen, vo allem auf elektische und magnetische Felde. Dies mag unächst etwas befemden, abe man kann ja als Hilfe fü die Vostellung - jeden beliebigen Feldvekto als den Geschwindigkeitsvekto eine Flüssigkeitsstömung intepetieen. Beispiel: De»Fluss des Feldvektos«: des entalsmmetischen Feldes eine Punkt- ode Kugelladung mit dem Mittelpunkt in O duch eine konentische Kugelfläche mit dem Radius R ist: Wenn E de Geschwindigkeitsvekto eines Stömungsfeldes wäe, ist de Fluss de Flüssigkeit duch jede u Ladung Q konentische Kugelfläche Q/e 0. De Fluss ist de Ladung popotional, und fü Q = 0 ist auch F = 0. Demnach könnte man die Ladung Q als»quelle«des Feldes de vituellen Flüssigkeit ansehen. Dies ist die Ausage des Gaußschen Integalsates. Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 43

44 Vektoanalsis Handelt es sich nicht um eine einelne Quelle, sonden eine Dichte von.b. ausgedehnten Quellen (Beispiel: eines elektostatisch aufgeladene Stab), so ist de Begiff de Quellstäkendichte entscheidend. Integiet man das Skalapodukt v da übe eine geschlossene Fläche (»Hülle«), so ist de Wet des»hüllenintegals«gleich dem Fluss (Volumen/Zeit), de duch die Hülle nach außen titt. Diese muss gleich de»schüttung«s (= Egiebigkeit) alle innehalb de Hülle liegenden Quellen sein, wobei die Senken einen negativen Beitag u Schüttung liefen: Betachten wi nun ein Raumgebiet vom Volumen V. Die Schüttung alle Quellen in diesem Raumgebiet sei S. De Quotient S/V ist dann die»mittlee Quelldichte«in diesem Gebiet: Lässt man nun die Hüllfläche auf einen Punkt P usammenschumpfen und somit V gegen null gehen, so ist de Genwet: die Quelldichte des Feldvektos (eigentlich: des Stömungsfeldes, dessen Geschwindigkeitsvekto v ist) in dem Punkt P, auf den die Hülle geschumpft ist. Sie wid als die Divegen des Vektos v im Punkt P beeichnet: Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 44

45 Vektoanalsis Die Beechnung de Divegen aus dem Feldvekto v = (v v v ) betachten wi einen Quade mit den Seiten,,, dessen Mittelpunkt de Punkt P (,, ) ist. Die Flüsse duch die einelnen Seitenflächen sind: De gesamte Fluss F duch die Flächen des Quades ist die Summe aus diesen sechs Flüssen. E entspicht dem Wet des Hüllenintegals in de Definition de Divegen. Von den sechs Summanden lassen sich je wei wie folgt usammenfassen: Die Flächennomalen auf den Seitenflächen sind die Einheitsvektoen in Achsenichtung: i, j, k sowie -i, -j, -k. (j und de dau gehöige Feldvekto sind nicht eingeeichnet.) Nach dem Genübegang egibt sich: Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 45

46 Vektoanalsis In Woten lautet de GAUSS-Integalsat: Die Egiebigkeit de Quellen in einem Raumgebiet V ist gleich dem Fluss duch dessen Hüllfläche. De gaußsche Integalsat folgt als Speialfall aus dem Sat von Stokes, de wiedeum den Hauptsat de Diffeential- und Integalechnung veallgemeinet. Beispiel: Möchte man wissen, wie viel Wasse aus einem bestimmten Beeich V insgesamt heaufließt, so ist intuitiv kla, dass man folgende wei Möglichkeiten hat: Man untesucht, wie viel Wasse duch die Obefläche von V aus- und eintitt. Dies entspicht dem Obeflächenintegal. Man bilaniet, wie viel Wasse insgesamt innehalb von V veschwindet und hinukommt, addiet also die Effekte von Quellen und Senken. Dies wid geade duch das Volumenintegal übe die Divegen ealisiet. Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 46

47 Vektoanalsis Rotation, Sat von Stokes: Bei nicht konsevativen Felden ist de Sat von Stokes das Gegenstück um Sat von Gauß. Im linken Bild, ist das Linienintegal eines Magnetpoles auf dem günen Weg gleich 0. Bei einem geschlossene Umlauf, de den Leite umschlingt (echtes Bild), hat das Linienintegal dagegen unabhängig vom Weg - den Wet I (Stomstäke). Dies eigt, dass das Linienintegal übe eine geschlossene Kuve eine besondee Bedeutung haben kann. Definition: Unte de Zikulation G eines Vektos v längs eine geschlossenen Kuve K vesteht man das Linienintegal des Vektos längs diese Kuve: Im Allgemeinen wid die Zikulation auch von de umlaufenen Fläche A abhängen. Um deen Einfluss aususchalten, beieht man die Zikulation auf die Fläche und betachtet die Göße G/A. Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 47

48 Vektoanalsis Betachtet man die Zikulation G des Feldvektos v längs de Umandung eine kleinen Fläche A und denkt sich diese dann auf einen Punkt P schumpfend, dann wid de Quotient G/dA dabei im Allgemeinen einem Genwet usteben. Diesen Genwet nennt man Wibel w des Vektos v in P: Die Beechnung des Wibels duch ein Deieck (siehe linke Bilde) füht auf: De Vekto wid Rotation eines Vektofeldes genannt. E gibt die Wibelstomdichte an. Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 48

49 Vektoanalsis Sat von Stokes: Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 49

50 Notien u Volesung Mathematik fü Mateialwissenschaftle II 50 Vektoanalsis Zusammenfassung: Gadient: (steilste Anstieg): Divegen: (Quellstäkendichte) U U U U U gad V V V V div V Rotation: (Wibelstäkendichte) V V V V V V V V ot Ekus: Mawellgleichungen