Empirische Wirtschaftsforschung

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1 Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth Unverstät Lepzg Insttut für Emprsche Wrtschaftsforschung Volkswrtschaftslehre, nsbesondere Ökonometre

2 5. Enfaches OLS-Regressonsmodell 5.1. Herletung des enfachen OLS-Schätzers a) Lneare Schätzmethoden Gesucht st en lnearer Schätzer (grafsch: Gerade), der de m Streudagramm dargestellte Punktewolke am besten charaktersert (Ft, Anpassung) Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth

3 5.1. Herletung des enfachen OLS-Schätzers Lnearer Schätzer : Verbndungslne von erstem zu letztem Beobachtungspaar; wllkürlch,.d.r. schwacher Ft Lnearer Schätzer : Mnmerung der Summe der Abwechungen ener lnearen Funkton (Achsenabschntt α und Stegung β) zu den emprschen Punkten. Problem: Postve (+) und negatve () Abwechungen können sch gegensetg aufheben. OLS-Ansatz mnmert de Resduenquadrate (daher: KQ ) Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 3

4 5.1. Herletung des enfachen OLS-Schätzers En weterer alternatver lnearer Schätzer: Mnmerung der Summe der Beträge der Abwechungen; Problem: Dem Absolutwert ener Abwechung von Enheten würde nach desem Kalkül deselbe Gewchtung zukommen we betraglchen Abwechungen um je 1 Enhet. Letzteres wäre aber, was de Anpassungsqualtät der Schätzung anbelangt, eher wenger schwerwegend Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 4

5 5.1. Herletung des enfachen OLS-Schätzers b) Formale Defnton des Resduums (unerklärte Varanz) α + β ŷ ε α Resduum ε Störgröße ε Schätzung von ε Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 5

6 5.1. Herletung des enfachen OLS-Schätzers In Stchproben der Dmenson 1,, N st das Resduum defnert als ε Gemäß Defnton der Schätzgeraden erhält man. ε ( ) α + β α β (1) ε ε Abstand der emp. Beobachtungen auf Schätzfunkton Abstand auf de theoretsche (wahre) Funkton ( ε ) ε E ŷ Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 6

7 5.1. Herletung des enfachen OLS-Schätzers c) Formale Herletung des OLS-Schätzers (En-Eogenen-Fall) Mnmerung der Summe der quadrerten Resduen Q Q N 1 ε () Verenfachung: kene Indeerung der Summatonszechen; grds. wrd mmer summert von 1 bs N (obs). mn Q α, β ε ; ε α β (3) Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 7

8 5.1. Herletung des enfachen OLS-Schätzers Bedngungen erster Ordnung: Q α α ( ) α β 0 (4) Q β β ( ) α β 0 (5) Dese Bedngungen lassen sch umformen zu den folgenden Ausdrücken (6) und (7) Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 8

9 Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 5.1. Herletung des enfachen OLS-Schätzers ( ) β α β α β α β αn β αn β α β α N N (6) De Regressonsgerade verläuft durch de Mttelwerte.

10 Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 5.1. Herletung des enfachen OLS-Schätzers (7) Glechungen (6) und (7): Normalglechungssstem (NGLS) lösbar, da Glechungen und Unbekannte ( ) ( ) + β α ² β α β α β α 0 0 0

11 5.1. Herletung des enfachen OLS-Schätzers Lösung des NGLS 1. Multplkaton von (6) mt N mal Eogenensumme α N β + (8). Multplkaton von (7) mt N αn βn + N (9) 3. Subtraheren wr nun (9) von (8), erhalten wr: Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 11

12 Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 5.1. Herletung des enfachen OLS-Schätzers (10) Aufgelöst nach dem Regressonskoeffzenten: ; N N β N N β

13 5.1. Herletung des enfachen OLS-Schätzers Benutzen wr zudem 1 ; 1 N N : β ( ) ( ) ( ) ; Telt man noch durch N, erhält man β σ σ. De Regressonskonstante st gemäß (6): α β Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 13

14 5.1. Herletung des enfachen OLS-Schätzers d) Gauss-Markov-Theorem Gauss-Markov-Theorem: Snd de Annahmen des OLS- Regressonsmodells erfüllt, snd α BLUE, d.h. beste lneare unverzerrte Schätzer (estmators). OLS st der lneare Schätzer mt der gerngsten Varanz. β Was genau snd de Annahmen des OLS-Modells? Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 14

15 5.. Annahmen und Besonderheten von OLS. ε st standard-normalvertelt.. v. E( ε ) 0 ( ) ε σ E σ E( ε, ) ε j 0 Homoskedastztät: konst. Varanz kene Heteroskedaste (Varanz konst.) kene serelle Korrelaton für j v. st kene Zufallsvarable und unkorrelert mt ε v. Der Zusammenhang von und st von lnearer Natur Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 15

16 5.. Annahmen und Besonderheten von OLS a) Anforderungen an de Störterme zu. E( ε ) t 0 E( ε ) 0 für alle t 1,..., T (Zetrehenspezfkaton) für alle 1,..., N (Querschnttsspezfkaton) Bsp. OLS-Regresson mt BIP enes südpazfschen Staates als abhängger Varable Y We st Monsunwnd El Nño zu spezfzeren? El Nño regelmäßg, d.h. sen Erwartungswert 0 ε Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 16

17 5.. Annahmen und Besonderheten von OLS zu. Homoskedastztät oder Homoskedaste Dchtefunkton von für verschedene 1 -Werte 11 homoskedastsch σ σ σ σ [ ] E β +β wahre Regressonsgerade Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 17

18 5.. Annahmen und Besonderheten von OLS zu. Heteroskedastztät oder Heteroskedaste Dchtefunkton von für verschedene 1 -Werte jährlche Sparlestung 11 heteroskedastsch σ 1 σ σ [ ] E β +β Jahresenkommen Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 18

19 5.. Annahmen und Besonderheten von OLS zu. Heteroskedastztät oder Heteroskedaste Dchtefunkton von für verschedene 1 -Werte wöchentlche Sportaktvtät 11 heteroskedastsch σ 1 σ σ [ ] E β +β Lebensalter Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 19

20 5.. Annahmen und Besonderheten von OLS zu v. ( ) 0 Cov ε t,ε t+s Cov ( ε ),ε j 0 für alle s 0 (Zetrehenspezfkaton) für alle j (Querschnttsspezfkaton) Postulaton: Störterme snd unterenander unkorrelert Relatv häufg problematsch be Zetrehen und be lnearer Spezfkaton nchtlnearer Zusammenhänge Evtl. zu bestmmten Lags (z.b. 4 Peroden) wederkehrend Snonm: Serelle Korrelaton, Autokorrelaton Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 0

21 5.. Annahmen und Besonderheten von OLS zu v. Problem der serellen Resduenkorrelaton aufgrund falscher Modellspezfkaton Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 1

22 5.. Annahmen und Besonderheten von OLS zu. ( ) ε ~ N 0, σ Wrd u.a. dafür benötgt, um Tests durchzuführen und Prognosentervalle angeben zu können. Annahme. benhaltet de Annahmen. und., denn: Es st so en fester Erwartungswert der Störvarable n Höhe von 0 gewährlestet m Snne von Annahme. Es st so ene konstante, feste Varanz der Störterme von schergestellt, we se Annahme. erfordert. σ Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth

23 5.. Annahmen und Besonderheten von OLS b) Das Güte- oder Bestmmthetsmaß R² Das R²Maß quantfzert de Güte der Anpassung m Rahmen des OLS-Regressonsmodells, für das glt + ε (tatsächlcher Wert geschätzter Wert plus Resduum). Subtrakton des Mttelwerts der Abhänggen: + ε Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 3

24 Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 5.. Annahmen und Besonderheten von OLS Summeren der quadrerten Mttelwertabstände: wobe Ekurs: Da st ( ) ( ) [ ]. + ε ( ) ( ) + + ε ε ( ) ; 0 ε, β α + ( ) ( ) + ε β α ε + ε ε β ε α

25 5.. Annahmen und Besonderheten von OLS OLS nmmt an, dass ε (wrd klar, wenn man auf beden Seten N dvdert) Gemäß der Glechungen (3) und (7) glt darüber hnaus 0. ε 0. Womt wr gezegt haben, dass ( ) ε 0. q.e.d. Ekursende Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 5

26 5.. Annahmen und Besonderheten von OLS Für de quadrerten Mttelwertsabstände glt also ( ) ( ) + TSS (GQS) RSS (RQS) ε ESS (FQS) Total sum of squares (TSS) Regresson sum of squares (RSS) + Error sum of squares (ESS) Ges.quadratsumme (GQS) Regressonsquadratsumme (RQS) + Fehlerquadratsumme (FQS), wobe TSS Gesamtvaraton von (relatv zum Mttelwert) RSS Varaton erklärt durch Varaton von ESS unerklärte Varaton Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 6

27 5.. Annahmen und Besonderheten von OLS Wr defneren R² als den Antel der erklärten Varaton an der gesamten Varaton: R ² RSS TSS RSS ESS 1 + R² TSS TSS + ESS TSS Das R² st der Antel an der Gesamtvaraton von (der Abhänggen), der durch de Regressonsgerade erklärt wrd: 0 R² Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 7

28 5.. Annahmen und Besonderheten von OLS Bspw. bedeutet en R² 0,6, dass de Regressonsgerade 60% der Varaton von um senen Mttelwert erklärt. Etremfälle: ESS TSS R² 0 und ESS 0 R² 1. Nachdem OLS de Summe der quadrerten Resduen mnmert, mamert es das Bestmmthetsmaß R². Nedrges R² Ungültgket enes Regressonsmodells; Velmehr wrd enfach en Großtel der Varaton der zu erklärenden Varable ncht durch das Modell erklärt Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 8

29 5.. Annahmen und Besonderheten von OLS c) Problematsches an R² Ren technsches Maß, Überspezfkaton berückschtgt Geht de Anzahl der Regressoren gegen de Anzahl der Beobachtungen, so geht R² gegen 1 adjustertes R² R 1 N 1 N K (1 mt N # Beobachtungen K # Koeffzenten # Varablen + 1 ( Konstante) R ) K N ( N K) 0 R < 0 möglch Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 9

30 5.. Annahmen und Besonderheten von OLS R² hängt von den Egenschaften der Daten ab Z.B. Abhängge und Unabhängge folgen enem gemensamen Trend, der ncht als eogene Varable n der Regresson berückschtgt wrd. An R² kann ncht abgelesen werden, ob es sch um den Zusammenhang der endogenen und eogenen Varablen handelt oder ob deser Wert durch den trendbedngten Zusammenhang der Varablen entsteht (spurous regresson) Emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 30