Mathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =

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1 Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 33 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln. Prtielle Integrtion Stz Es seien f,g :[,b] R stetig differenzierbre Funktionen. Dnn gilt f(t)g (t)dt = fg b f (t)g(t)dt. Beweis. Aufgrund der Produktregel ist fg eine Stmmfunktion von fg +f g. Dher ist f(t)g (t)dt+ f (t)g(t)dt = (fg +f g)(t)dt = fg b. Bei der prtiellen Integrtion sind insbesondere zwei Dinge zu bechten. Erstens liegt die zu integrierende Funktion im Allgemeinen nicht in der Form fg vor, sondern einfch ls Produkt uv (wenn kein Produkt vorliegt, so kommt mn mit dieser Regel sowieso nicht weiter, wobei llerdings die trivile Produktzerlegung 1u mnchml helfen knn). Dnn muss mn einen Fktor integrieren und dn nderen differenzieren. Wenn V eine Stmmfunktion von v ist, so lutet die Formel uv = uv u V. Zweitens führt prtielle Integrtion nur dnn zum Ziel, wenn ds zweite Integrl rechts, lso f (t)g(t)dt, integriert werden knn. Beispiel 33.. Wir bestimmen eine Stmmfunktion des ntürlichen Logrithmus ln mittels prtieller Integrtion, wobei wir ln = 1 ln schreiben und 1 integrieren und den Logrithmus differenzieren. Dmit ist ln d = ( ln ) b 1 d = ( ln ) b Die Stmmfunktion ist lso ln. 1d = ( ln ) b b. 1

2 Beispiel DieStmmfunktionderSinusfunktion sin ist cos.um Stmmfunktionen zu sin n zu finden, verwenden wir prtielle Integrtion, um eine rekursive Beziehung zu kleineren Potenzen zu erhlten. Um dies präzise zu mchen, rbeiten wir mit Intervllgrenzen, und zwr sollen die Stmmfunktionen von usgehen, lso für den Wert besitzen. Für n ist mittels prtieller Integrtion sin n t dt = = = = sin n t sin t dt sin n t (1 cos t)dt sin n t dt sin n t dt sinn 1 t n 1 (sin n t cos t) cos t dt cos t 1 n 1 ( Durch Multipliktion mit n 1 und Umstellen erhält mn n sin n t dt = (n 1) Speziell ergibt sich für n = sin n t dt sin n 1 cos. sin t dt = 1 ( sin cos ). sin n t dt). John Wllis ( ) Korollr Es gilt die Drstellung Beweis. Wir setzen π = 4k 4k 1 = lim m k=1 n = π m k=1 sin n t dt. 4k 4k 1. Dies ist eine fllende Folge, für die ufgrund von Beispiel 33.3 die rekursive Beziehung n = n 1 n n

3 und die Anfngsbedingungen = π und 1 =1 gelten. Ausgeschrieben bedeutet dies für gerdes n und für ungerdes n n = (n 1)(n 3) 3 1 n(n ) 4 π n = (n 1)(n 3) 4. n(n ) 5 3 Mit n = m bzw. n = m+1 schreibt sich dies ls m = (m 1)(m 3) 3 1 π m(m ) 4 bzw. ls m+1 = D die Folge fllend ist und n n+ = n+ n+1 gegen 1. Also ist insbesondere 1 = lim m m m(m ) 4 (m+1)(m 1) 5 3. m+1 (m 1)(m 3) 3 1 m(m ) 4 lim m gilt konvergieren die Quotienten n n+1 = lim m m(m ) 4 (m+1)(m 1) 5 3 (m+1)(m 1) (m 3) = lim m π (m(m ) 4 ). Hier knn mn den Zähler, indem mn zwei ufeinnder folgende Fktoren usmultipliziert, ls m k=1 (4k 1) und den Nenner ls m k=1 4k schreiben. Dher ist m k=1 4k m k=1 (4k 1) = π. π 3 Integrtion der Umkehrfunktion Stz Es sei f :[,b] [c,d] eine bijektive differenzierbre Funktion und es sei F eine Stmmfunktion von f. Dnn ist G(y) = yf 1 (y) F(f 1 (y)) eine Stmmfunktion der Umkehrfunktion f 1. Beweis. Ableiten unter Verwendung von Lemm 7.7 und Stz 7.8 ergibt (yf 1 (y) F(f 1 (y)) = f (y)+y f (f 1 (y)) f(f 1 (y)) f (f 1 (y)) = f 1 (y).

4 4 Diese Aussge besitzt einen einfchen geometrischen Hintergrund. Wenn f :[,b] R + eine streng wchsende Funktion ist (und dher eine Bijektion zwischen [, b] und [f(), f(b)] induziert), so besteht zwischen den beteiligten Flächeninhlten der Zusmmenhng bzw. f(b) f() f(s)ds+ f(b) f() f 1 (t)dt = bf(b) f() f 1 (t)dt = bf(b) f() f(s)ds. Für die Stmmfunktion G von f 1 mit dem Strtpunkt f() gilt dher, wenn F die Stmmfunktion zu f bezeichnet, die Beziehung G(y) = = y f 1 (t)dt f() f(f 1 (y)) f() f 1 (t)dt = f 1 (y)f(f 1 (y)) f() f 1 (y) = yf 1 (y) f() F(f 1 (y))+f() = yf 1 (y) F(f 1 (y)) f()+f(), wobei f() + F() eine Integrtionskonstnte ist. f(s)ds Beispiel Wir berechnen eine Stmmfunktion von rctn unter Verwendung von Stz Eine Stmmfunktion des Tngens ist tn t dt = ln(cos ). Also ist rctn +ln(cos(rctn )) eine Stmmfunktion von rctn. Die Substitutionsregel Stz Sei I ein reelles Intervll und sei f :I R eine stetige Funktion. Es sei g :[,b] I stetig differenzierbr. Dnn gilt f(g(t))g (t)dt = g(b) g() f(s)ds.

5 Beweis. Wegen der Stetigkeit von f und der vorusgesetzten stetigen Differenzierbrkeit von g eistieren beide Integrle. Es sei F eine Stmmfunktion von f, die ufgrund von Korollr 3.5 eistiert. Nch der Kettenregel ht die zusmmengesetzte Funktion t F(g(t)) = (F g)(t) die Ableitung F (g(t))g (t) = f(g(t))g (t). Dher gilt insgesmt g(b) f(g(t))g (t)dt = (F g) b = F(g(b)) F(g()) = F g(b) g() = f(s)ds. Beispiel Typische Beispiele, wo mn sofort erkennen knn, dss mn die Substitutionsregel nwenden knn, sind bspw. g n (t)g (t) g() 5 mit der Stmmfunktion oder mit der Stmmfunktion 1 n+1 gn+1 g g ln g. Häufig liegt ein bestimmtes Integrl nicht in einer Form vor, dss mn die vorstehende Regel direkt nwenden könnte. Häufiger kommt die folgende umgekehrte Vrinte zum Zug. Korollr Es sei eine stetige Funktion und es sei f :[,b] R ϕ :[c,d] [,b], s ϕ(s), eine bijektive, stetig differenzierbre Funktion. Dnn gilt Beweis. Nch Stz 33.7 ist f(t)dt = ϕ 1 (b) ϕ 1 () f(ϕ(s)) ϕ (s)ds ϕ 1 (b) ϕ 1 () f(ϕ(s))ϕ (s)ds = ϕ(ϕ 1 (b)) ϕ(ϕ 1 ()) f(t)dt = f(t)dt.

6 6 Bemerkung Die Substitution wird folgendermßen ngewendet: Es soll ds Integrl f(t)dt usgerechnet werden. Mn muss dnn eine Idee hben, dss durch die Substitution t = ϕ(s) ds Integrl einfcher wird (und zwr unter Berücksichtigung der Ableitung ϕ (t) und unter der Bedingung, dss die Umkehrfunktion ϕ 1 berechenbr ist). Mit c = ϕ 1 () und d = ϕ 1 (b) liegt insgesmt die Sitution [c,d] ϕ f [,b] R vor. In vielen Fällen kommt mn mit gewissen Stndrdsubstitutionen weiter. Bei einer Substitution werden drei Opertionen durchgeführt. (1) Ersetze f(t) durch f(ϕ(s)). () Ersetze dt durch ϕ (s)ds. (3) Ersetze die Integrtionsgrenzen und b durch ϕ 1 () und ϕ 1 (b). Für den zweiten Schritt empfiehlt sich die Merkregel dt = dϕ(s) = ϕ (s)ds, der mn im Rhmen der Theorie der Differentilformen uch eine inhltliche Bedeutung geben knn. Beispiel Die obere Kreislinie des Einheitskreises ist die Punktmenge {(,y) +y = 1, 1 1, y }. Zugegebenem, 1 1,gibtesgenueiny,dsdieseBedingungerfüllt, nämlich y = 1. Dher ist der Flächeninhlt des oberen Einheitskreises gleich der Fläche unter dem Grphen der Funktion 1 über dem Intervll [ 1, 1], lso gleich Mit der Substitution d. = cos t und t = rccos (wobei cos : [,π] [ 1,1] bijektiv ist), erhält mn 1 d = rccos b 1 cos t( sin t)dt = rccos rccos b rccos sin t dt = 1 b (sin t cos t t) rccos.

7 Insbesondere ist 1 ( sin(rccos ) rccos ) = 1 ( 1 rccos ) eine Stmmfunktion zu 1. Dher ist 1 1 d = 1 (sin + sin π +π) = π/. 1 Beispiel WirbestimmeneineStmmfunktionvon 1unterVerwendung der Hyperbelfunktionen sinh t und cosh t, für die die Beziehung cosh t sinh t = 1 gilt. Die Substitution liefert 1d = = cosh t mit d = sinh tdt rccosh b rccosh cosh t 1 sinh t dt = rccosh b rccosh 7 sinh t dt. Eine Stmmfunktion des Sinus hyperbolicus im Qudrt ergibt sich us sinh t = ( 1 (et e t )) = 1 4 (et +e t ). Dher ist sinh t dt = 1 4 (1 eu 1 e u u) = 1 4 sinh u 1 u und somit 1d = 1 4 sinh( rccosh ) 1 rccosh. Beispiel Wir wollen eine Stmmfunktion für die Funktion f() = ( cos sin ) bestimmen. Als Vorüberlegung berechnen wir die Ableitung von Diese ist ( cos sin ) 1. cos sin cos ( cos sin ) = Wir schreiben dher f ls ein Produkt f() = sin ( cos sin ) sin ( cos sin ). sin und wenden druf prtielle Integrtion n, wobei wir den ersten Fktor integrieren und den zweiten Fktor bleiten. Die Ableitung des zweiten Fktors ist ( sin ) = sin cos sin.

8 8 Dher ist f()d = ( cos sin ) 1 sin ( cos sin ) 1 sin cos sin d = ( cos sin ) 1 ( sin )+ 1 sin d = ( cos sin ) 1 ( ) cot. sin

9 Abbildungsverzeichnis Quelle = John Wllis.jpg, Autor = Benutzer Gene.rboit uf Commons, Lizenz = CC-by-s 3. 9