Schwingungen und Wellen Teil II
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- Ilse Winter
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1 Shwingungen und Wellen Teil II as freie, gedäpfe Feder-Masse-Syse Erzwungene Shwingungen Beispiele Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 Shwingungslehre, Folie: 1
2 Lieraur A. Böiger, Regelungsehnik, R. Oldenbourg Verlag, Münhen Wien, 3. Auflage F. Herrann, Mehanik, Skripen für Eperienalphysik, Abeilung für idakik der Physik, Universiä Karlsruhe, Auflage 3. F. Kuypers, Physik für Ingenieure 1. Mehanik und Therodynaik, WILEY- VCH Verlag,. Auflage. W. Höger, Meharonik, Skrip, Fahhohshule Münhen, WS 3 / 4. eröder, Eperienalphysik 1, Mehanik und Wäre, Springer Verlag, 6. Auflage 13. Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 Shwingungslehre, Folie:
3 1. as freie, gedäpfe Feder-Massesyse ie Reibung wird repräsenier durh einen Soßdäpfer F R = d d = ( & F R F : Sheielwere : Masse : Federkonsane : Effekivwere : äpfungskonsane : Reibungskraf : Federkraf e Newonshe Gesez auf die Masse: & = F F R i = ( und = ( & F && + & + = F R Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 Shwingungslehre, Folie: 3
4 1. as freie, gedäpfe Feder-Massesyse Hoogene ifferenialgleihung: && + & + = Lösungsansaz: λ d( λ d ( ( = e = & = λ e = λ e d d Eingesez in die hoogene ifferenialgleihung: λ λ λ λ λ e + λe + e = λ + λ + = λ + λ + = λ 1, = ± 4 = ± i = = Abklingkonsane Eigenkreisfrequenz des ungedäpfen Syses Kennkreisfrequenz Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 Shwingungslehre, Folie: 4
5 1. as freie, gedäpfe Feder-Massesyse λ 1, = ± 4 = ± i = = Abklingkonsane Kennkreisfrequenz Fallunersheidung: Je nah de Wer der Wurzel sind drei Fälle zu unersheiden: a < b > = Wurzel iaginär Periodishes Einshwingen (Gedäpfe Shwingung Wurzel reell Kriehfall Wurzel null Aperiodisher Grenzfall Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 Shwingungslehre, Folie: 5
6 1. as freie, gedäpfe Feder-Massesyse a periodishes Einshwingen ( < : Mi der Eigenkreisfrequenz = = 4 ergib sih die allgeeine Lösung ( = e j j ( 1 e + e (i ie Lösung is reell, wenn folgende Anfangsbedingungen gelen: d( d ( = und = & Einsezen der Anfangsbedingungen in die allgeeine Lösung ergib für 1 und : + & + j 1 = + & = 1 = j ( e ( os + & = + sin = A e sin( + ϕ Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 (ii Shwingungslehre, Folie: 6
7 1. as freie, gedäpfe Feder-Massesyse + & ( = e ( os + sin = A e sin( + ϕ i A = + & + und ar an ϕ = + & (ii /A,1,5 Freie Shwingung i shwaher äpfung die eponeniell abfäll, -,5 T -,1 Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 Shwingungslehre, Folie: 7
8 1. as freie, gedäpfe Feder-Massesyse.1 / A e a periodishes Einshwingen b aperiodishe Kriehbewegung aperiodisher Grenzfall a Periodishes Einshwingen ( < : i = j ( = e ( e + e 1 j (i b Kriehfall ( > : ( = e ( e 1 + e (iii Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für ( Tehnik = Aperiodisher Grenzfall und Wirshaf ( = e : des( Saarlandes; 1 + Physik, SS 16 (iv Shwingungslehre, Folie: 8
9 . Erzwungene Shwingungen Inhoogene ifferenialgleihung: && = 1 & + ( u Mi der Anregung Längenänderung der Feder u( = u os ergib sih: && + & + ( 1 + = u( 1 & + & + = F os i F = u i = ; = ; f = F ergib sih &&+ & + = f os Zur Lösung der hoogenen ifferenialgleihung wird die spezielle Lösung der inhoogenen ifferenialgleihung addier. u( = u os u Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 Shwingungslehre, Folie: 9
10 . Erzwungene Shwingungen Vereinfahung zur Suhe der Lösung der inhoogenen ifferenialgleihung durh kopleen Ansaz 1 Ersezen von f os durh die Eponenialfunkion f j e Nah Abklingen der hoogenen Lösung shwing der Oszillaor i konsaner Apliude A und i der Anregungsfrequenz. aher wählen wir den kopleen Lösungsansaz: ( = A os( + ϕ = ( & = A j e A Re{ e j( + ϕ j( + ϕ und } && ( = A e j( + ϕ u Einsezen in die ifferenialgleihung &&+ & + j = f e u( = u os Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 Shwingungslehre, Folie: 1
11 . Erzwungene Shwingungen Einsezen von j( + ϕ ( A e ; ( & = A in die ifferenialgleihung A j e ( j jϕ j + j + e e = f e jϕ A ( + j + = f e j( + ϕ &&+ & + j = f e j( + ϕ iese (koplee Gleihung is dann erfüll, wenn Real- und Iaginäreil oder Berag und Phase gleih sind. Beragsbedingung: und & ( = A e f A ( = Phasenbedingung: anϕ = I{ z } Re{ z } = Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 (v (vi u( = u os u Shwingungslehre, Folie: 11
12 . Erzwungene Shwingungen Aus der Beragsbedingung ergib sih der Apliudengang: f F / A( = = ( A(/(F / 1,1 Aus der Phasenbeziehung folg der Phasengang: anϕ = = 1 /,1 ϕ -9 1 / -18 Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 Shwingungslehre, Folie: 1
13 . Erzwungene Shwingungen Apliudengang f A = ( + 4 1,1,1 A(/(F / = 1 Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 F / + 4,1 1 / 1 =.5,.5,1.,. ie äpfungskonsane / wird variier. Für A a 1 = A( = und ha A( das Maiu Für << = >> > 1 F / R F A = A A = F / = 1 Resonanzkreisfrequenz fäll A( onoon Shwingungslehre, Folie: 13
14 . Erzwungene Shwingungen Phasengang = Phasendifferenz ϕ( zwishen Anregung und erzwungenen Shwingung anϕ = ϕ =.5,.5,1.,. Für << ϕ( = Äußere Kraf und Oszillaor sind in Phase -9 Für ϕ( = 18 >> Oszillaor shwing i Gegenak zur äußeren Kraf -18 = Für ϕ( = 9 ie Phasendifferenz is -9 Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 Shwingungslehre, Folie: 14
15 . Erzwungene Shwingungen: Allgeeine Lösung Fallunersheidung: Für > i der hoogenen Lösung (ii h( = ae sin( + α und der speziellen Lösung j( + ϕ spez( = A Re{ e } = A os( + ϕ Allgeeine Lösung der ifferenialgleihung ( = h ( + spez ( = a e sin( + α + A os( + ϕ ie Inegraionskonsanen a, α werden durh die Anfangsbedingungen besi. Für wird der hoogene Teil der Lösung durh (iii ( = e ( 1e + e 1 oder (iv ( = e ( + ersez. Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 Shwingungslehre, Folie: 15
16 . Erzwungene Shwingungen: Elekrishe Analoga ungedäpf gedäpf erzwungen Q R=1/ L C L C R L u os C Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 Shwingungslehre, Folie: 16
17 3. Erzwungene Shwingungen: Beispiel: rehshwinger i paralleler Anordnung von Feder u. äpfer Winkelgeshwindigkei dφ = & φ d J M, φ Winkelbeshleunigung: d φ = & φ d M φ J R : Μoen : Sheielwere : Winkelauslenkung : Effekivwere : Trägheisoen M : Federkonsane : äpfungskonsane : Widersand Für die an der Shwungasse angreifenden rehoene gil ah de Ipulssaz: J & φ = ( + f ( + d ( Für das auslenkungsproporionale Torsionsoen der rehfeder gil: f ( = φ( (1 ( Für die rehzahl proporionale äpfung wird angenoen: ( = & φ ( Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 (3 Shwingungslehre, Folie: 17
18 3. Erzwungene Shwingungen: Beispiel: rehshwinger i paralleler Anordnung von Feder u. äpfer J M, φ M φ J R : Μoen : Sheielwere : Winkelauslenkung : Effekivwere : Trägheisoen M : Federkonsane : äpfungskonsane : Widersand Für das auslenkungsproporionale Torsionsoen der rehfeder gil: f ( = φ( Für die rehzahl proporionale äpfung wird angenoen: ( = & φ ( ( (3 Einsezen von ( und (3 in (1 J && φ + & φ + φ = ( (4 Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 Shwingungslehre, Folie: 18
19 3. Erzwungene Shwingungen: Beispiel: ynaish erzwungene Shwingung Frederregung durh roierende Uwuhen u u roieren gegenläufig i konsaner Winkelgeshwindigkei Ω r os i Zenrifugalbeshleunigung = + ges Blok u r Ω Blok -Ω r u u Bewegungsgleihung ges A = &&+ & + = ( u ges r u r + 4 os = i 1 = u r + 4 = ges Prof. r.-ing. Barbara Hippauf Hohshule für Tehnik und Wirshaf des Saarlandes; Physik, SS 16 Shwingungslehre, Folie: 19
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