Achilles und die Schildkröte Sommersemester 2008

Transkript

1 Achilles und die Schildkröte Sommersemester 2008 Färbbarkeit planarer Graphen Alexander Damarowsky V6,

2 Problemstellung /Ziel des Vortrags: Wie viele Farben werden benötigt, um jeden beliebigen planaren Graphen zu färben? Dieses Problem wird als der 4-Farben-Satz / -Vermutung / -Problem beschrieben. Lösung: Es reichen 4 Farben aus. Aufgrund der Komplexität des 4-Farben-Satzes werden wir zeigen, dass 5 Farben dazu ausreichen. Zunächst müssen grundlegende Definitionen geklärt werden: Definition eines Graphen G bezeichne einen Graph. E bezeichne die Menge der Kanten/Bögen. V bezeichne die Menge der Ecken/Knoten. F bezeichne die Menge der Flächen / Regionen / Gebiete, die von Kanten eingeschlossen wird. Ein Graph G ist ein Tupel (V,E). Knotenfärbung Unter einer Knotenfärbung verstehen wir, dass jeder Knoten eines Graphen mit einer Farbe k N eingefärbt wird. Knoten, die über eine Kante miteinander verbunden sind, dürfen nicht dieselbe Farbe tragen. Eine Färbung, die k verschiedene Farben verwendet, heißt k-färbung. Chromatische Zahl Die kleinste zulässige Anzahl von Farben, die benötigt wird, um einen Graphen zu färben, wird mit chromatischer Zahl (engl. chromatic number) benannt. Planare Graphen Ein Graph heißt planar oder plättbar, falls es eine Einbettung von G in die Ebene gibt, d.h. eine Darstellung von G, in der die Knoten durch Punkte und die Kanten durch Jordankurven repräsentiert werden, so dass jede Jordankurve genau ihre Endpunkte mit der Menge der Knotenpunkte gemeinsam hat und sich zwei verschiedene Kanten höchsten in einem gemeinsamen Knoten schneiden. Färbungsprobleme treten in verschiedenen Situationen auf. Z.B. bei Terminplanung von Prüfungen oder auch beim Aufteilen von Raumkapazitäten, auch bekannt als Kongress-Problem. Ein Kongress sei modelliert als Graph G = (V,E). E stellt die Veranstaltungen dar. Zwei Ecken sind durch eine Kante verbunden gdw. die beiden Veranstaltungen zeitgleich stattfinden. Dann ist die chromatische Zahl dieses Graphen gerade die Mindestanzahl der benötigten Räume.

3 Eulers Polyederformel ist für den weiteren Verlauf des Beweis essentiell. Eulers Polyederformel e + f v = 2 #Knoten + #Flächen - #Kanten = 2 Beweis durch vollständige Induktion über die Anzahl der Kanten v. Sei G = (V,E) ein nicht leerer Graph ohne Mehrfachkanten mit einer Kante v V. IA: v=0: Dann gilt e = f = =2 IV: v + f e = 2 gilt für v = 0. IS: v v + 1: Wir entfernen e aus G und haben nun G = (V, E ). 1. Fall: Sei v eine Kante, die einen (mit Ausnahme eben dieser Kante) isolierten Knoten mit dem Rest des Graphen verbindet. Dann gilt: e = e 1, f = f, v = v -1. Also: (e-1) + f (v-1) = 2 2.Fall: v ist eine Schlinge. Dann gilt: e = e, f = f-1, v = v 1. Also: e + (f-1) (v-1) = 2 Überlegen wir uns weitere Eigenschaften für Graphen und beweisen diese: Graphen, die nur aus Dreiecksflächen bestehen, werden Triangulation genannt. Behauptung: Triangulationen sind die einzigen maximalen planaren Graphen. Was heißt das? D.h., es lassen sich keine Kanten zwischen zwei Knoten setzen, ohne dass es zu Überschneidungen kommt. Auch das äußere, unbeschränkte Gebiet, muss bei der Triangulation berücksichtigt werden. Der nebenstehende Graph ist durch die Knoten 2,5,7 begrenzt. Beweis, dass eine Triangulaton die einzige maximale Form von planaren Graphen ist: Angenommen, das Gebiet eines Graphen wäre nicht durch 3 Kanten begrenzt. Also muss es für 4 Kanten begrenzt sein. So ließe sich für diesen Graphen keine Kante hinzufügen Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass es sich um einen maximalen planaren Graphen handelt.

4 Behauptung Jeder planare Graph hat höchstens e 3v - 6 Kanten Beweis Es genügt den Fall eines maximalen planaren Graphen G zu betrachten. Wir verschärfen für den Beweis die Behauptung zur Gleichheit. Euler sche Formel: v + f - e = 2. Aus der Eigenschaft einer Triangulation wissen wir: Jede Fläche hat genau 3 Ecken auf seiner Begrenzung. Jede Ecke bindet 2 Flächen. Also: 3 f = 2e Damit haben wir: 2e v e + = 2 3 3v = e + 6 Kommen wir nun zum eigentlichen Teil des Vortrags! 5-Farben-Theorem Vorwissen Was wissen wir bisher? Beispiel Landkarte / Nicht-Dreifärbbarkeit Das Beispiel der Landkarte hat uns gezeigt, dass mindestens einen planaren Graphen gibt, für den die chromatische Zahl 4 beträgt. Behauptung Es sei G ein planarer Graph mit mindestens 5 Knoten. Dann gibt es mindestens einen Knoten vom Grad 5. Beweis Nehmen wir an, wir hätten einen Graphen G und kein Knoten hätte einen Grad kleiner 6. Es gilt aber: e 3v - 6. Daher können wir folgenden Widerspruch formulieren: 1 1 e = deg( v) ( v *6) = 3v 3v v V ( g ) Dieser Satz ist essentiell für den weiteren Verlauf des Beweises.

5 Behauptung Für jeden planaren Graphen G beträgt die chromatische Zahl höchstens 5. Beweis Wir führen den Beweis über die Anzahl der Ecken in G. IA: Besteht G aus 5 Knoten, dann ist G 5-färbbar. IV: Wir nehmen an, dass alle planaren Graphen mit n Knoten 5färbbar sind und dass G aus n+1 Knoten besteht. IS: Wir wissen, dass es also für G mindestens einen Knoten v mit dem Grad 5 gibt. Wir entfernen nun v aus G und nennen G dann G Red. Dann muss G Red mit 5 Farben färbbar sein. Nach der Einfärbung fügen wir x wieder in G ein und zeigen, dass der Graph weiterhin 5färbbar ist. Fall 1: deg(v) 4: Dann ist v zu 4 Knoten verbunden und es gibt nur noch genau 1 Farbe mit der v gefärbt werden kann. Fertig. Fall 2: deg(v) = 5: Dann ist v zu genau 5 Knoten verbunden. Fall 2.A: Sind die 5 Nachbarknoten von x mit 4 Farben gefärbt, dann gibt es mindestens eine Farbe mit der wir v färben können und der Graph bleibt weiterhin 5färbbar. Fertig. Fall 2.B: Dies ist der schwierigste Fall. Zum Beweis benötigen wir einen Trick.

6 Der Trick: Wir spannen nun zwei Untergraphen(UG) auf, sog. Kempe-Chains. UG13 besteht aus den Ecken mit den Farben 1,3 und UG 24 besteht aus den Ecken mit den Farben 2,4. Beide UG können jedoch nicht beide verbunden sein, da sie, aufgrund der verschiedenen Farben keinen gemeinsamen Knoten besitzen. U 13 U 24 = Ø Das bedeutet aber weiter, das wir nun durch Umfärbung (Vertauschen der Farben 2 und 4) des nicht zusammenhängenden UG eine Farbe gewinnen können mit der v eingefärbt werden könnte. Damit wären wir aber schon am Ziel! Denn wir haben vermieden, eine sechste Farbe zu verwenden! Literatur [1] Boolobas Bela, Modern Graph Theory, Springer Verlag, 1998 [2] Apple Kenneth & Haken Wolfgang, Der Beweis des Vierfarbensatzes, Spectrum Verlag