NP-Vollständigkeit und der Satz von Cook und Levin

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1 NP-Vollständigkeit und der Satz von Cook und Levin Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 17. Dezember 2010 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

2 Wdh: Polynomielle Reduktion L 1 p L 2, genau dann, wenn es eine Funktion f : Σ 1 Σ 2 mit folgenden Eigenschaften gibt: f ist in polynomieller Zeit berechenbar x Σ 1 : x L 1 f (x) L 2 Lemma L 1 p L 2, L 2 P L 1 P. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

3 Def: NP-Härte Definition (NP-Härte) Ein Problem L heißt NP-hart, wenn L NP : L p L. Satz L NP-hart, L P P = NP Beweis: Polyzeitalgo für L liefert Polyzeitalgo für alle L NP. Fazit: NP-harte Probleme haben keine Polyzeitalgo, es sei denn P= NP. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

4 Beispiel Triviale Beispiele für NP-harte Probleme: Das Akzeptanzproblem für NTM mit polynomiell beschränkter worst case Laufzeit Das Akzeptanzproblem für DTM mit exponentiell beschränkter worst case Laufzeit. Von letzterem wissen wir aber noch nicht einmal, ob es überhaupt in NP liegt. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

5 Def: NP-Vollständigkeit Definition (NP-Vollständigkeit) Ein Problem L heißt NP-vollständig, falls gilt 1 L NP, und 2 L ist NP-hart. Die Klasse der NP-vollständigen Probleme wird mit NPC bezeichnet. Wir werden heute die NP-Vollständigkeit einiger Probleme zeigen. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

6 Weihnachten vor 40 Jahren Im Jahr 1970 formuliert der Weihnachtsmann folgendes Problem. Das G.E.S.C.H.E.N.K.-Problem (Gifts Encouraging Sharing Considering Holistic Extended Neighborhood Knowledge) Finde die minimale Anzahl an veschiedenen Geschenken, so dass jeder Mensch ein anderes Geschenk als alle seine Bekannten bekommt. Bekanntschaftsrelation wird durch einen Graphen modelliert.? Berthold V ocking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexit at 17. Dezember / 40

7 Graphentheoretische Formulierung Dem Weihnachtsmann ist dieses Problem in einer anderen Formulierung während seines Informatikstudiums schon einmal begegnet. Problem (Knotenfärbung COLORING) Eingabe: Graph G = (V, E), Zahl k {1,..., V } Frage: Gibt es eine Färbung c : V {1,..., k} der Knoten von G mit k Farben, so dass benachbarte Knoten verschiedene Farben haben, d.h. {u, v} E : c(u) c(v). Da er das Problem alleine nicht lösen kann, beschließt er, seinen Professor an der University of Toronto, Prof. Stephen Cook, zu fragen. Dieser versucht das G.E.S.C.H.E.N.K. bzw. COLORING-Problem mit Hilfe eines anderen Problems zu lösen, an dem er schon einige Zeit arbeitet. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

8 Das SAT-Problem Problem (Erfüllbarkeitsproblem / Satisfiability SAT) Eingabe: Aussagenlogische Formel φ in KNF Frage: Gibt es eine erfüllende Belegung für φ? Beispiel 1: φ = ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) (x 2 x 3 x 4 ) φ ist erfüllbar, denn x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 1, x 4 = 0 ist eine erfüllende Belegung. Beispiel 2: φ = (x 1 x 2 ) ( x 2 x 1 ) ( x 1 x 3 ) ( x 3 x 1 ) φ ist nicht erfüllbar. (Warum?) Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

9 Beispiel einer polyn. Reduktion: COLORING p SAT Durch eine polynomielle Reduktion überzeugt Cook den Weihnachtsmann, dass er sein Problem effizient lösen kann, sobald er die einfache Aufgabe erledigt hat, einen Polynomialzeitalgorithmus für SAT zu finden. Satz COLORING p SAT. Beweis: Wir beschreiben eine polynomiell berechenbare Funktion f, die eine Eingabe (G, k) für das COLORING-Problem auf eine Formel φ für das SAT-Problem abbildet, mit der Eigenschaft G hat eine k-färbung φ ist erfüllbar. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

10 Beispiel einer polyn. Reduktion: COLORING p SAT Beschreibung der Funktion f : Die Formel φ hat für jede Knoten-Farb-Kombination (v, i), v V, i {1,..., k}, eine Variable x i v. Die Formel für (G, k) lautet φ = (xv 1 xv 2... xv k ) }{{} Knotenbedingung v V ( x i u x i v ) }{{} {u,v} E i {1,...,k} Kantenbedingung. Anzahl der Literale = O(k V + k E ) = O( V 3 ). Die Länge der Formel ist somit polynomiell beschränkt und die Formel kann in polynomieller Zeit konstruiert werden. Aber ist die Konstruktion auch korrekt? Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

11 Beispiel einer polyn. Reduktion: COLORING p SAT φ = (xv 1 xv 2... xv k ) }{{} Knotenbedingung v V Korrektheit: zz: G hat eine k Färbung φ ist erfüllbar Sei c eine k-färbung für G. ( x i u x i v ) }{{} {u,v} E i {1,...,k} Kantenbedingung Für jeden Knoten v mit c(v) = i setzen wir x i v = 1 und alle anderen Variablen auf 0. Knotenbedingung: Offensichtlich erfüllt. Kantenbedingung: Für jede Farbe i und jede Kante {u, v} gilt x i u x i v, denn sonst hätten u und v beide die Farbe i. Damit erfüllt diese Belegung die Formel φ. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

12 Beispiel einer polyn. Reduktion: COLORING p SAT φ = (xv 1 xv 2... xv k ) }{{} Knotenbedingung v V ( x i u x i v ) }{{} {u,v} E i {1,...,k} Kantenbedingung zz: φ ist erfüllbar G hat eine k Färbung Fixiere eine beliebige erfüllende Belegung für φ. Wegen der Knotenbedingung gibt es für jeden Knoten v mindestens eine Farbe mit x i v = 1. Für jeden Knoten wähle eine beliebige derartige Farbe aus. Sei {u, v} E. Wir behaupten c(u) c(v). Zum Widerspruch nehmen wir an, c(u) = c(v) = i. Dann wäre x i u = x i v = 1 und die Kantenbedingung x i u x i v wäre verletzt. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

13 NP-Vollständigkeit von SAT Die einfache Aufgabe, einen Polynomialzeitalgorithmus für SAT anzugeben, erweist sich allerdings als schwieriger als zunächst angenommen. Da sich aber scheinbar alle Probleme aus NP auf SAT reduzieren lassen, versucht Cook sich an einer Master-Reduktion. Satz (Cook und Levin) SAT ist NP-vollständig. SAT hat somit keinen Polynomialzeitalgorithmus; es sei denn P = NP. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

14 Beweis des Satzes von Cook und Levin Offensichtlich gilt SAT NP, denn die erfüllende Belegung kann als Zertifikat verwendet werden. Wir müssen also nur noch zeigen, dass SAT NP-hart ist. Sei L Σ ein Problem aus NP. Wir müssen zeigen L p SAT. Dazu konstruieren wir eine polynomiell berechenbare Funktion f, die jedes x Σ auf eine Formel φ abbildet, so dass gilt x L φ SAT. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

15 Beweis des Satzes von Cook und Levin M sei eine NTM, die L in polynomieller Zeit erkennt. Wir zeigen M akzeptiert x φ SAT. Eigenschaften von M O.B.d.A. besuche M keine Bandpositionen links von der Startposition. Eine akzeptierende Rechnung von M gehe in den Zustand q accept über und bleibt dort in einer Endlosschleife. Sei p( ) ein Polynom, so dass M eine Eingabe x genau dann akzeptiert, wenn es einen Rechenweg gibt, der nach p(n) Schritten im Zustand q accept ist, wobei n die Länge von x bezeichne. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

16 Beweis des Satzes von Cook und Levin Beobachtung: Sei K 0 = q 0 x die Startkonfiguration von M. M akzeptiert genau dann, wenn es einen Rechenweg, d.h. eine mögliche Konfigurationsfolge K 0 K 1 K p(n) gibt, bei der K p(n) im Zustand q accept ist. Weiteres Vorgehen: Wir konstruieren die Formel φ derart, dass φ genau dann erfüllbar ist, wenn es eine solche akzeptierende Konfigurationsfolge gibt. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

17 Beweis des Satzes von Cook und Levin Variablen in φ Q(t, k) für t {0,..., p(n)} und k Q H(t, j) für t, j {0,..., p(n)} S(t, j, a) für t, j {0,..., p(n)} und a Γ Interpretation der Variablen: Die Belegung Q(t, k) = 1 soll besagen, dass sich die Rechnung zum Zeitpunkt t im Zustand k befindet. Die Belegung H(t, j) = 1 steht dafür, dass sich der Kopf zum Zeitpunkt t an Bandposition j befindet. die Belegung S(t, j, a) = 1 bedeutet, dass zum Zeitpunkt t an Bandposition j das Zeichen a geschrieben steht. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

18 Beweis des Satzes von Cook und Levin Kodierung einzelner Konfigurationen in der Teilformel φ t : Für jedes t {0,..., p(n)}, benötigen wir eine Formel φ t, die nur dann erfüllt ist, wenn es 1 genau einen Zustand k Q mit Q(t, k) = 1 gibt, 2 genau eine Bandposition j {0,..., p(n)} mit H(t, j) = 1 gibt, und 3 für jedes j {0,..., p(n)} jeweils genau ein Zeichen a Γ mit S(t, j, a) = 1 gibt. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

19 Beweis des Satzes von Cook und Levin Erläuterung zur Formel φ t : Für eine beliebige Variablenmenge {y 1,..., y m } besagt das folgende Prädikat in KNF, dass genau eine der Variablen y i den Wert 1 annimmt: (y 1... y m ) i j(ȳ i ȳ j ) Die Anzahl der Literale in dieser Formel ist quadratisch in der Anzahl der Variablen. Die drei Anforderungen können also jeweils durch eine Formel in polynomiell beschränkter Länge kodiert werden. Wir betrachten nun nur noch Belegungen, die die Teilformeln φ 0,..., φ p(n) erfüllen und somit Konfigurationen K 0,..., K p(n) beschreiben. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

20 Beweis des Satzes von Cook und Levin Als nächstes konstruieren wir eine Formel φ t für 1 t p(n), die nur für solche Belegungen erfüllt ist, bei denen K t eine direkte Nachfolgekonfiguration von K t 1 ist. Die Formel φ t kodiert zwei Eigenschaften: 1 Die Bandinschrift von K t stimmt an allen Positionen außer der Kopfposition (zum Zeitpunkt t 1) mit der Inschrift von K t 1 überein. 2 Zustand, Kopfposition und Bandinschrift an der Kopfposition verändern sich gemäß der Übergangsrelation δ. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

21 Beweis des Satzes von Cook und Levin Die Eigenschaft, dass die Bandinschrift von K t an allen Positionen außer der Kopfposition (zum Zeitpunkt t 1) mit der Inschrift von K t 1 übereinstimmt, kann wie folgt kodiert werden: p(n) i=0 z Γ ((S(t 1, i, z) H(t 1, i)) S(t, i, z)) Dabei steht A B für A B. D.h. die Formel lautet eigentlich p(n) i=0 z Γ ( (S(t 1, i, z) H(t 1, i)) S(t, i, z)) Das De Morgansche Gesetz besagt, dass (A B) äquivalent ist zu A B. Dadurch ergibt sich folgende Teilformel in KNF p(n) i=0 z Γ ( S(t 1, i, z) H(t 1, i) S(t, i, z)) Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

22 Beweis des Satzes von Cook und Levin Für die Eigenschaft, dass Zustand, Kopfposition und Bandinschrift an der Kopfposition sich gemäß der Übergangsrelation δ verändern, ergänzen wir für alle k Q, j {0,..., p(n) 1} und a Γ die folgende Teilformel (Q(t 1, k) H(t 1, j) S(t 1, j, a)) (Q(t, k ) H(t, j + κ) S(t, j, a )), (k,a,k,a,κ) δ wobei κ die Werte L = 1, N = 0 und R = 1 annehmen kann. Die Transformation in die KNF behandeln wir in einer Übungsaufgabe. Damit ist die Beschreibung von φ t abgeschlossen. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

23 Beweis des Satzes von Cook und Levin Die Formel φ ergibt sich nun wie folgt: Q(0, q 0 ) H(0, 0) p(n) i=0 φ i n S(0, i, x i ) i=0 p(n) i=1 p(n) i=n+1 S(0, i, B) φ i Q(p(n), q accept ) Die Länge von φ ist polynomiell beschränkt in n, und φ ist effizient aus x berechenbar. Gemäß unserer Konstruktion ist φ genau dann erfüllbar, wenn es eine akzeptierende Konfigurationsfolge für M auf x der Länge p(n) gibt. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

24 Wie geht s weiter? Der Weihnachtsmann ist schwer enttäuscht von Cook. Statt das G.E.S.C.H.E.N.K.-Problem effizient zu lösen, verschwendete dieser seine Zeit mit einem völlig anderen Problem. Satz (Cook und Levin) SAT ist NP-vollständig. Dem Weihnachtsmann war von vorneherein klar, dass SAT wohl schwer zu lösen sein würde, da es sehr allgemeine Aussagen erlaubt. Das G.E.S.C.H.E.N.K.-Problem ist aber doch offensichtlich viel einfacher. Wenn sich also endlich mal ein fähiger Informatiker mit dem Problem beschäftigen würde, wäre es wohl schnell gelöst. Er wendet sich daher an den Algorithmenspezialisten Prof. Richard Manning Karp. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

25 Kurze Pause Mehr dazu nach der Unterbrechung... Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

26 Evaluation Eure Meinung ist uns wichtig! Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

27 Stellenanzeige Schon seit der Grundschule fallen Dir polynomielle Reduktionen leichter als Deinen Bekannten? Während Deines Mittagessens in der Mensa Ahornstraße hast Du auf Anhieb mehr Verbesserungsvorschläge zum BuK-Übungsbetrieb als zum Essen? Dann bist Du genau der richtige für den Job! Hilf uns, BuK noch besser zu machen! Werde BuK-Hiwi 2011/12! Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

28 Du musst Weihnachten retten! Heute in der Übung: [... ] Auf Wikileaks durchgesickerte interne Depeschen legen jedoch folgende Schlussfolgerung nahe: Der Weihnachtsmann hat all seinen Glauben in die Informatik verloren und lässt seine tiefe Verbitterung darüber nun an allen Informatikern aus. Sollte sich daran nicht bald etwas ändern, wird Weihnachten 2010 für alle Informatikstudenten ein Desaster! Du musst Weihnachten retten und den Glauben des Weihnachtsmannes in die Informatik wiederherstellen! Mehr dazu am Ende der Vorlesung. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

29 NP-Vollständigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING Mittlerweile ist einige Zeit vergangen. Wir schreiben das Jahr Richard Karp veranschaulicht dem Weihnachtsmann durch eine NP-Vollständigkeitsreduktion, dass das G.E.S.C.H.E.N.K.-Problem über genauso viel Aussagekraft verfügt wie das SAT-Problem (so wie auch alle anderen der 21 Probleme, mit denen sich der Weihnachtsmann an Karp gewandt hat: dem Knapsack Problem (KP), dem Traveling Santa Problem (TSP),... ) Satz Das G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING-Problem ist NP-vollständig. Wir betrachten eine Einschränkung von SAT, die, wie wir nächstes Mal sehen werden, immer noch NP-vollständig ist: 3-SAT. Wir zeigen: 3-SAT 3-COLORING. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

30 NP-Vollständigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING Konstruiere aus einer beliebigen Formel φ in 3-KNF einen Graphen G φ, der genau dann 3-färbbar ist, wenn es eine erfüllende Belegung von φ gibt. Stelle Literale als Knoten eines Graphen dar. Die Farbe eines Knoten soll seine Wahrheitsbelegung ausdrücken. Wir erlauben 3 Farben: Wahr, Falsch und Unzulässig Literale sollen nicht Unzulässig gefärbt werden können, weshalb wir jedes von ihnen durch eine Kante mit einem Knoten verbinden, welcher die Farbklasse Unzulässig repräsentiert. Für Literale stehen dann nur noch 2 Farben zur Verfügung. Ein Literal und seine Negation werden zusätzlich durch eine Kante verbunden. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

31 NP-Vollständigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING x x F U W Durch die Kanten wird sichergestellt, dass für jede Variable x nur jeweils eines der zugehörigen Literale x und x in der Farbe für Wahr und das andere in der Farbe für Falsch gefärbt wird. Zusätzlich zu U, dem Repräsentanten für die Farbklasse Unzulässig, fügen wir noch die Repräsentantenknoten W und F für Wahr und Falsch hinzu und verbinden diese als 3-er Clique. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

32 NP-Vollständigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING x x F U W u u W, F und U bekommen in einer 3-Färbung jeweils verschiedene Farben. Für jede Variable x wird entweder x oder x in der gleichen Farbe wie W gefärbt. Dies gibt dann die Wahrheitsbelegung des Literals an. y y v v z z t t w w Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

33 NP-Vollständigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING x x y y F U W u u v v Wir müssen noch dafür sorgen, dass nicht alle 3 Literale einer Klausel auf Falsch gesetzt werden. Dazu verbinden wir für jede Klausel die entsprechenden Literale durch einen speziellen Untergraphen mit F, welcher sicherstellt, dass nur maximal drei der vier Knoten gleich gefärbt werden können. z z t t w w Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

34 NP-Vollständigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING F W U v w x y v w x x u u x y y y v v z z t t w w Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

35 NP-Vollständigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING Behauptung: Es können nicht alle vier der durch das Weihnachtsengel-Gadget verbundenen Knoten in der gleichen Farbe gefärbt werden. v w x y v w x y Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

36 NP-Vollständigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING Behauptung: Es können nicht alle vier der durch das Weihnachtsengel-Gadget verbundenen Knoten in der gleichen Farbe gefärbt werden. Beweis durch Widerspruch: Seien v, w, x und y alle gleich gefärbt. Dann werden durch die jeweiligen Nachbarknoten die übrigen zwei Farben blockiert, weshalb A und B die gleiche Farbe wie v, w, x und y annehmen müssten. Aufgrund der verbindenden Kante ist dies aber nicht möglich. v w x y v x A B w y Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

37 NP-Vollständigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING Umgekehrt ist aber jede Färbung möglich, bei der ist. {c(v), c(w), c(x), c(y)} 2 Seien v und x gleich gefärbt. Dann muss auch A diese Farbe annehmen. Da aber nun {c(w), c(y)} 2 ist, kann B in der bei w oder y vorkommenden, anderen Farbe gefärbt werden. Falls c(v) c(x) gilt, ist es für A ohnehin immer möglich, eine von B abweichende Farbe anzunehmen. v w x y Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40 v x A B w y

38 Korrektheit der Reduktion x x y y z z F U t t W u u v v w w φ erfüllbar G φ 3-färbbar W, F und U erhalten beliebige von einander verschiedene Farben. Betrachte erfüllende Belegung von φ Alle Literale mit Wahrheitsbelegung Wahr werden mit der gleichen Farbe wie W gefärbt, die übrigen Literale so wie F Bis auf die inneren Gadget-Knoten sind nun alle Knoten gültig gefärbt. Da die Wahrheitsbelegung erfüllend ist, gibt es in jeder Klausel mindestens ein erfülltes Literal. Somit liegen an jedem Gadget mindestens zwei verschiedene Farben an und es folgt die 3-Färbbarkeit. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

39 Korrektheit der Reduktion F W U x x u u G φ 3-färbbar φ erfüllbar Betrachte 3-Färbung des Graphen. Alle Literale mit der gleichen Farbe wie W werden mit Wahr belegt. Die jeweiligen Komplemente haben zwangsweise die gleiche Farbe wie F und werden mit Falsch belegt. y y z z t t v v w w Da die Gadgets in G φ 3-färbbar sind, hat mindestens eines der anliegenden Literale eine von F (und trivialerweise auch von U) verschiedene Farbe. Die entsprechende Klausel ist also erfüllbar. Insgesamt folgt die Erfüllbarkeit von φ Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 17. Dezember / 40

40 Frohe Weihnachten und ein Gutes Neues Jahr! F W U v w x y v w x x u u x y y y v v z z t t w w