Beschreibung quantitativer Daten

Transkript

1 Beschrebug quattatver Date Um ee emprsche Vertelug ees quattatve Merkmals zu beschrebe, betrachte wr Parameter, de ee Verdchtug der Iformato des Datesatzes bzw. der Vertelug ermöglche. De wchtgste Parameter sd de sog. Lageparameter, de das absolute Nveau (de Größeordug) der Date beschrebe sowe de Streuugsparameter, de messe, we stark sch de Beobachtuge um de Mtte kozetrere Lagemaße Mmum, Mamum, Quatle zetrale Lage: Arthmetsches Mttel, Meda, Modalwert Streuugsmaße Spawete, Quartlsabstad, G-Koeffzet, Varaz, Stadardabwechug, Varatoskoeffzet Statstk für SozologIe 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Lagemaßzahle () Statstsche Maßzahle, welche de absolute Lage der Vertelug beschrebe Mmum Der kleste Wert ees quattatve Merkmals m(,, ) Mamum Der größte Wert ees quattatve Merkmals ma(,, ) Statstk für SozologIe 5. Maßzahle der Lage ud Streuug

2 Lagemaßzahle () Arthmetsches Mttel (mea) Mttelwert; Summe der Werte (Merkmalssumme) getelt durch de Azahl der Beobachtuge(Fälle) Modalwert Der am häufgste auftretede Wert Statstk für SozologIe 3 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Lagemaßzahle (3) Meda Der Meda oder Zetralwert ees (zumdest ordal-skalerte) Merkmals st der Wert jeer Beobachtug, de der ach desem Merkmal geordete Gesamthet der Mtte zu lege kommt. ( ( + ) /) ( /) + ( + ) / ~ 0,5 ( + ) ( ), ugerade, gerade () sd de geordete Beobachtuge Statstk für SozologIe 4 5. Maßzahle der Lage ud Streuug

3 Mttelwert versus Meda Das arthmetsche Mttel reagert sehr sesbel auf ezele Etremwerte Der Meda erwest sch gegeüber etreme Beobachtuge als relatv robust Rchter Note Rchter Note Rchter Note A 9 A A B 8,5 B 8,5 B C 9,5 C 9,5 C 9,5 D 9 D 9 D 9 E 9 E 9 E 9 Arth. Mttel 9 Arth. Mttel 7,6 Arth. Mttel 6,3 Meda 9 Meda 9 Meda 9 Trmmed Mea 9 Trmmed Mea 8,83 Trmmed Mea 6,67 Statstk für SozologIe 5 5. Maßzahle der Lage ud Streuug α-trmmed Mea Grudgedake: etfere vor der Mttelug de etreme Beobachtuge, de das Ergebs stark beeflusse köe Der Datesatz wrd um α Beobachtuge reduzert. Es werde de (α/) kleste ud de (α/) größte Beobachtuge vo der Mttelwertsbldug ausgeschlosse Allgemees Przp umfasst ee Famle vo Lagemaßzahle: α0 ergbt das Arthmetsche Mttel α 00% ergbt de Meda Statstk für SozologIe 6 5. Maßzahle der Lage ud Streuug 3

4 Bespel zu α-trmmed Mea Bespel: 40 α-trmmed Mea mt α0% Ausgeschlosse werde de ver etreme Beobachtuge: (), (), (39), (40) ud α 0, ( ) 3 I Ecel Fukto: GESTUTZTMITTEL Statstk für SozologIe 7 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Awedugsbespel für Trmmed Mea EURIBOR: Euro Iterbak Offered Rate; wrd täglch um Uhr Brüsseler Zet als ugewchteter Durchschtt aus Brefsätze vo Iterbakelage erstklassger Isttute auf Bass der Trasaktoe vo 57 Bake, daruter 47 aus dem Euroraum, 4 aus sostge EU-Läder ud aus 6 teratoale Bake, berechet. Dabe werde de jewels 5% höchste ud tefste Werte elmert. Statstk für SozologIe 8 5. Maßzahle der Lage ud Streuug 4

5 Lagemaße (4) Quatl Wert eer quattatve Varable, welcher de geordete Date Gruppe utertelt, so dass e bestmmter Prozetsatz darüber ud e bestmmter Prozetsatz daruter legt ~ Quartl (0%, 5%, 50%, 75%, 00%) Dezl (0%, 0%, 0%, 30%,... 90%,00%) Zwe Kozepte a) Emprsches alpha-quatl (k) wobe (k-) < α* k b) Alpha-Quatl: Iterpolato (z.b. Ecel) Statstk für SozologIe 9 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Bespel Schüler Wochezet für Hausaufgabe h Wochezet für Hausaufgabe h () 4,5 () 0,75,50 () 3,5 3 3,75 (3) 4,5 4 3,75 (4) 5,50 5 6,75 (5) 6,75 < emprsches.quartl 6 3,5 (6) 9,5 7,00 (7) 0,5 8 3,50 (8),75 9 0,75 (9) 3,50 0 3,75 (0) 3,50 9,5 () 3,75,75 () 3,75 3 5,75 (3) 3,75 4 3,5 (4) 5,75 5 5,50 (5),00 < emprsches 3.Quartl 6,00 (6),00 7 0,5 (7),50 8 3,50 (8),00 9 3,50 (9) 3,5 0,00 (0) 3,50 Summe 69,00 Mttelwert 3,45 Meda 3,65 Mmum 0,75. Quartl 8,65 Mamum 3,50 3.Quartl Statstk für SozologIe 0 5. Maßzahle der Lage ud Streuug 5

6 Ee falsche Beobachtug alpha Trmmed Mea 0%,90 Trmmed Mea 0% 3,74 Trmmed Mea 99% 3,63 Bem Trmmed Mea (gestutztes Mttel) werde de größte ud de kleste α/- Prozet abgeschtte ud das Mttel der verblebede -α Prozet berechet. Wochezet für Hausaufgabe h Schüler 4,5,50 3 3,75 4 3,75 5 6,75 6 3,5 7 0,00 8 3,50 9 0,75 0 3,75 9,5,75 3 5,75 4 3,5 5 5,50 6,00 7 0,5 8 3,50 9 3,50 0,00 Summe 458,00 Mttelwert,90 Meda 3,63 Statstk für SozologIe 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Arthmetsches Mttel Be Würfe mt dem Würfel wurde folgedes Ergebs beobachtet: 5, 3, 4, 5, 5,, 6,, 4,, 3, 6 Der Durchschtt (das Arthmetsche Mttel) deser Augezahle st 3,75. Statstk für SozologIe 5. Maßzahle der Lage ud Streuug 6

7 Bespel Würfelwurf Das Ergebs des Würfelwurfs lässt sch auch eer Häufgketstabelle zusammefasse: h h / / / / 3 / 6/ 6 4 / 8/ / 5/ 5 6 / / Summe 45/ 45 45/ 3,75 Statstk für SozologIe 3 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Arthmetsches Mttel be tabellerte Date Aus vorgem Bespel ergebe sch folgede Formel: k... Azahl der verschedee Auspräguge k k h Statstk für SozologIe 4 5. Maßzahle der Lage ud Streuug 7

8 4 Egeschafte des arthmetsche Mttels ) ( ) 0 ( ) ) c m! für c 3) y a + b y a + b Leartät 4) Telg esamthete A, B: A,,, mt B y, y,, y mt y A Arthmetsche Mttel der Grudgesamthet A B: A + B y z + A falls z + y A B B B bzw. z h + h y A B Statstk für SozologIe 5 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Bespele: ad 3) Leartät Das Durchschttsekomme eer bestmmte Gruppe vo Arbeter beträgt.000,- Im Zuge eer Tarfverhadlug wrd ee 4% Loherhöhug beschlosse. Glechzetg wrd beschlosse, dass vom eue Gehalt vo jedem Arbeter 0 für ee Soldartätsfod ebehalte werde. We hoch st das eue Durchschttsekomme? X... Ekomme bsher Y... Ekomme eu Y,04*X-0 Neues Durchschttsekomme y a + b 0 +, Statstk für SozologIe 6 5. Maßzahle der Lage ud Streuug 8

9 Bespele ad 4) I eem Uterehme sd 0 Persoe beschäftgt. De Lohsumme beträgt Das Durchschttsekomme der 40 mälche Agestellte se.400. We hoch st das Durchschttsekomme der weblche Agestellte? Gesamtmttelwert: (40* *X)/0 X.800 Statstk für SozologIe 7 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Geometrsches Mttel Awedugsbespel: Bevölkerugswachstum Beobachtuge,,..., + Wachstumsfaktore: w + bzw. w + Wachstumsrate: + r *00 bzw. r ( w Durchschttlches Wachstum? )*00 00 Statstk für SozologIe 8 5. Maßzahle der Lage ud Streuug 9

10 Geometrsches Mttel w w + + geom geom log( w w w w geom geom w w w ) log( w geom w w w + geom w w ) log( w w w) w log( w ) Statstk für SozologIe 9 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Bespel zum Geometrsche Mttel Jahr Umsatz Mo DM Wachstumsfaktor Wachstumsrate Wachstumsrate % l(w.-faktor) ,4,0 0,0% 0,83 978,9, 0,8% 0,89 979,7 0,93-6,9% -0, ,,5 4,8% 0,38 Produkt,55 Arth. Mttel 0,096 4.Wurzel,6,6% ep(a.m.),6 l 0,096 Statstk für SozologIe 0 5. Maßzahle der Lage ud Streuug 0

11 Harmosches Mttel bzw. w W w W Merkmal se Quotet: Dmeso-A/Dmeso-B Azahl (Gewchte) der Merkmalsträger: Dmeso-B: Mttelug durch arthmetsches Mttel Dmeso-A: Mttelug durch harmosches Mttel Statstk für SozologIe 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Bespel zum Harmosche Mttel Geschw. Strecke 30 km/h 60km 90 km/h 60km Ugewchtetes Harmosches Mttel (ur zulässg, da bede /*4/90 4 /*( + ) /0*40 40/90 /0*( + ) Strecke glech lag sd) Gewchtetes Harmosches Mttel (Gewchte sd Strecke) W w w W Statstk für SozologIe 5. Maßzahle der Lage ud Streuug

12 Bespel zum Harmosche Mttel Berechug der Durchschttsgeschwdgket: Geschw. Dauer 30 km/h h 90 km/h /3h Berechug mttels gewogeem arthmetsche Mttels: Gewchte sd Zetdauer (30* +90*/3)/(+/3)3*0/845 W w W w Statstk für SozologIe 3 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Perodscher Kauf vo Wertpapere kostates Budget Kurs / , , , ,0005 Summe Summe/ / , , Cost average effect Statstk für SozologIe 4 5. Maßzahle der Lage ud Streuug

13 Perodscher Kauf vo Wertpapere Kurs / Stück Volume , , , , , , , , Statstk für SozologIe 5 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Streuugsmaße Statstsche Maßzahle, welche de Varabltät oder de Streubrete de Date messe. Se beschrebe de Abwechug vom Zetrum eer Häufgketsvertelug We eg lege de Merkmalsauspräguge ees quattatve Merkmals beeader? Maßzahle: Dfferez vo Quatle Summe der Abstäde aller Merkmalsauspräguge vo eem Lagemaß Statstk für SozologIe 6 5. Maßzahle der Lage ud Streuug 3

14 Bespel: Altersverteluge mt glechem Mttel Gruppe A Gruppe B Durchschtt 37, 37, Gruppe A Gruppe B Mmum,0, Mamum 57,0 57, Spawete 36,0 36, Varaz 44,6 37, Std.Abw.,0 6, VC 3% 6% Quartl 8,5 35, Quartl 34,0 37, Quartl 5,5 38,3 36 Meda 34,0 37, IQ-Dstaz 3,0 3, bs 9 30 bs 39 bs bs 59 bs Statstk für SozologIe 7 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Streuugsmaße () Spawete (rage) Dfferez zwsche größtem ud klestem Wert eer umersche Varable; Werteberech, dem alle Merkmalswerte lege R ( ( ) () Statstk für SozologIe 8 5. Maßzahle der Lage ud Streuug 4

15 Streuugsmaße () Quartlsabstad (IQ-rage) Dfferez zwsche drttem ud erstem Quartl; Ierhalb des Quartlsabstades lege 50% der Werte; uempfdlch gegeüber Etremwerte ~ ~ 0,75 0,5 Statstk für SozologIe 9 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Mttlere Abstäde vo eem Lagemaß Mttlere absolute Abwechug vom Meda (mea absolute devato (from the meda) - MD) MD Mttlere absolute Abwechug vom arthmetsche Mttel (MAA) (mea absolute devato (from the mea) -MAD) MAA Meda der absolute Abwechuge vom Meda (meda absolute devato - MAD) MAD meda( ) Statstk für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug 5

16 Abstäde vo eem Lagemaß Varaz (varace) s ( ) De mttlere quadrerte Abwechug vom arthmetsche Mttel Häufg wrd auch statt durch durch - dvdert (Erklärug folgt m.semester) Statstk für SozologIe 3 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Berechug vo Streuugsmaße Nr. Gruppe A Abwechug vom Mttel Absolute Abwechug vom Meda Quadraterte Abwechug vom Mttel Nr. Gruppe B Abwechug vom Mttel Absolute Abwechug vom Meda Quadraterte Abwechug vom Mttel 4-3, 0,0 70,3-6, 6,0 57,6 34-3, 0,0 9,3 35 -,,0 4, , 0,0 9, , 3,0 9, ,,0 4, ,0 0,0 0, ,,0 97, ,,0 4, 6 3-5,,0 5, ,,0, 7-6, 3,0 57, ,0 0,0 0, ,,0, , 3,0 9, , 4,0 49, ,,0 4, 0 3-5,,0 5,5 0 39,0,0 3,8 34-3, 0,0 9,3 57 0,0 0,0 398,0 38,0 4,0 0,9 37 0,0 0,0 0,0 3-5,,0 6, ,,0, ,0 9,0 54,4 4 38,0,0 0, ,0 0,0 87, ,0 0,0 0, ,0 7,0 94, , 3,0 9, ,,0 97,4 7 38,0,0 0, ,0 3,0 398,0 8 39,0,0 3, ,0 0,0 87, ,0 3,0 8, ,0 0,0 87, ,0 5,0 4,5 Summe: 0,0 9,0 893,0 Summe: 0,0 67,0 74,0 9,55 44,6 3,35 37,0 MD Varaz MD Varaz Statstk für SozologIe 3 5. Maßzahle der Lage ud Streuug 6

17 Abgeletete Streuugsparameter Stadardabwechug (stadard devato) s s ( ) Varatoskoeffzet (coeffcet of varace) s s v bzw. v 00 Statstk für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug Bedeutug des Varatoskoeffzete Ee Stadardabwechug vo 300,- bem moatlche Ekomme st eer Gesellschaftsschcht mt eem Durchschttsekomme vo.500,- vo wesetlch größerer Bedeutug als eer Gruppe vo Ekommesbezeher, de m Moatsdurchschtt.400,- verdee. I der erste Gruppe st der Varatoskoeffzet 0%, währed er der zwete Gruppe ur,5% beträgt, obwohl de Stadardabwechug bede Gruppe glech groß st. Statstk für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug 7

18 Volatltät De Volatltät glt als Eschätzug des küftge Rskos eer Akte. Als Maß für de Volatltät verwedet ma häufg de Varatoskoeffzete Bespel: Im Durchschtt h über 50 Hadelstage betrug der mttlere Kurs eer Akte A 50,59 be eer Stadardabwechug vo 36,8. Über de selbe Verglechszetraum betrug der mttlere Kurs eer Akte B 396,0 be eer Stadardabwechug vo 8,96. Obwohl de Stadardabwechug der Akte A deutlch gerger st, muss e Ivestor her mt eem größere Rsko reche als be der Akte B, des wrd durch de Varatoskoeffzete quatfzert: VK A 36,8/50,59*007% VK B 8,96/396,0*0046% Statstk für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug Rechebespel: Reaktoszete -q abs( -q) abs( -med) ( -q)² 0,30 0,04 0,04 0,035 0,0076 0, -0,05 0,048 0,055 0, ,9-0,07 0,068 0,075 0, ,7 0,0 0,0 0,005 0, , ,06 0,0606 0, , ,30 0,04 0,04 0,035 0, ,6 0,00 0,00 0,005 0, , -0,04 0,038 0,045 0, ,3 0,05 0,05 0,045 0, ,0-0,06 0,058 0,065 0,00336 Summe,58 0,00 0,44 0,40 0,096 Arthmetsches Mttel (q) Meda (med): 0,58 0,65 MD: 0,040 Mttlere absolute Abwechug vom Meda MAA: 0,044 Mttlere absolute Abwechug vom arthmetsche Mttel MAD: 0,0450 Meda der absolute Abwechuge vom Meda Varaz: 0,0096 Stadardabwechug: 0,04686 Varatoskoeffzet: 8,% Statstk für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug 8

19 Iterpretato De Agabe der Stadardabwechug erfolgt oft der Form ±σ Im Bespel: 0,58±0,047 Uter der Aahme eer Normalvertelug (Form der Häufgketsdchte etsprcht eer Glockekurve) [Detals m SS] lege ca. 95% der Datepukte eem Berech vo ± σ Statstk für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug Alteratve Berechugsformel s () ( ) () (3) s s Statstk für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug 9

20 Alteratve Berechugsformel m Bespel ² 0,30 0,09 0, 0,04 ( ) 3 0,9 0, , ,07 (/0)*0 0,69-0,58² 5 0,3 0,0 0, ,30 0,09 7 0,6 0,07 8 0, 0,05 s 9 0,3 0,0 0 0,0 0,04 Summe,58 0,69 (/0)*(0,69-,58²/0) Arthmetsches Mttel (q) 0,58 0, (/0)*(0,69-0*0,58²) 0,0096 Statstk für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug s Egeschafte der Varaz "Steer scher Verschebugssatz" ( a) ( ) + ( a) Auswrkug learer Trasformatoe ( ) ( ) y a+ b s y b s Verschebugs-Ivaraz Statstk für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug 0

21 Varazermttlug aus Telpopulatoe Telg esamthete A, B: A,,, mt B y, y,, y mt y s p A A B ( ) + ( ) s s + A A + B B A A B B A A + A B B p B B + A B A B ( ) ( ) s p s + p s + p + p A A B B A A B B Gesamte Varaz st das gewchtete Mttel der Telvaraze plus dem gewchtete Mttel der quadratsche Abwechuge der Gruppemttel vom Gesamtmttel (V tot V wth +V betwee ) Statstk für SozologIe 4 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Bespel: Ermttlug des Mttelwertes aus Telgesamthete Es lege Date aus Betrebe A ud B vor: 400 Agestellte aus Betreb A verdee moatlch m Mttel.90, Agestellte aus Betreb B verdee moatlch m Mttel.0,7 Da beträgt der Gesamtmttelwert ach dem Przp des gewogee arthmetsche Mttels:.959, , ,7 μ Statstk für SozologIe 4 5. Maßzahle der Lage ud Streuug

22 Bespel: Ermttlug der Varaz aus Telgesamthete Das Ekomme der 400 Agestellte aus Betreb A hat ee Stadardabwechug vo 0,3 Das Ekomme der 300 Agestellte aus Betreb B hat ee Stadardabwechug vo 4,98 Da beträgt de Stadardabwechug der Agestellte beder Betrebe zusamme: 30, ,3² ,98² s² (90,84 959,98)² (0,7 959,98)² ,76 s 050,76 30,9 Statstk für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug Stadardserug Gegebe see Beobachtuge,..., mt Mttel ud Varaz s Gesucht st ee leare Trasformato za+b, so dass für de trasformerte Date das arthmetsche Mttel 0 ud de Varaz wrd. z + s s s a b z + s s 0 s s s z Uterschede: - () /( () - () ) bldet [0,] ab Statstk für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug

23 Bespel zur Stadardserug -q z ( -q)/s z ² 0,30 0,04 0,8963 0, , -0,05 -,043, ,9-0,07 -,45, ,7 0,0 0,56 0, ,3 0,06,330, ,30 0,04 0,8963 0, ,6 0,00 0,047 0, , -0,04-0,809 0, ,3 0,05,097, ,0-0,06 -,377, Summe,58 0,0000 0,0000 0,0000 Arthmetsches Mttel (q): 0,58 Varaz(z): Stadardabwechug (): 0,04686 Stadardabwechug (z): Statstk für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug Berechug be dskrete Date Trete ur k uterschedlche Werte,..., k mt zugehörge absolute Häufgkete,..., k bzw. relatve Häufgkete h,..., h k auf, so ergbt sch de Varaz als: s h k ( ) k ( ) s h k k ² ² ² Statstk für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug 3

24 Berechug Varaz dskrete Date Be Würfe mt dem Würfel wurde folgedes Ergebs beobachtet: 5, 3, 4, 5, 5,, 6,, 4,, 3, 6 De Summe der Augezahle st 45. Der Durchschtt (das Arthmetsche Mttel) deser Augezahle st 3,75. De Summe der quadrerte Augezahle beträgt Demach st de Varaz: s s /(03 *3,75²),85 Statstk für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug Berechug mttels Häufgkete h h ² -q ( -q)² ( -q²)h ( -q²) 0,7 0,7 -,75 7,56,6 5,3 0,08 0,7 4 -,75 3,06 0,6 3,06 3 0,7 0, ,75 0,56 0,09,3 4 0,7 0, ,5 0,06 0,0 0, ,5,5 5 75,5,56 0,39 4,69 6 0,7,00 7,5 5,06 0,84 0,3,00 3, ,85 34,5 Arthmetsches Mttel 3,75 Varaz,85 Alteratv: 03/-3,75²,85 s k ² ² Statstk für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug 4

25 Berechug be klassfzerte Date Sd de Date k Klasse egetelt, ka ma de Varaz ur äherugswese bereche, dem ma mt de Klassemttelwerte m,..., m k arbetet. s m m h k ( ) k ( ) bzw. k k s m m h Statstk für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug Rechebespel:Varaz be klassfzerte Date Vo Bs Azahl m h m *h m ² *h 0 0, 0, 0, , ,96 88, ,3,9, ,6, ,08,8 0,48 SUMME 00 5,88 5 Varaz 6,4 (5-5,88²) Stadardabwechug 4,05 Varatoskoeffzet 0,69 Statstk für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug 5

26 Bespel Körpergröße vo 00 Studete Klasse h m m h m ²h bs ,00 (50-55] 3 0,03 5,5 4,58 697,69 (55-60] 4 0,04 57,5 6,30 99,5 (60-65] 0 0,0 6,5 6,5 640,63 (65-70] 6 0,6 67,5 6, ,00 (70-75] 3 0,3 7,5 39, ,94 (75-80] 0 0,0 77,5 35,50 630,5 (80-85] 0, 8,5 0, ,69 (85-90] 0 0,0 87,5 8,75 355,63 (90-95] 0,0 9,5,93 370,56 (95-00] 0,0 97,5 3,95 780, , ,75 Mttelwert 73,80 Varaz 30.94,75-73,8²88,3 Eakte Berechuge auf Bass der Urlste 00 Summe Summe ² Arthmetsches Mttel 74,4 Varaz 83,78 Stadardabwechug 9,5 Statstk für SozologIe 5 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Sheppard-Korrektur Es lässt sch theoretsch zege, dass be eer umodale Vertelug de auf der Bass der klassfzerte Date berechete Varaz größer st als de aus de Orgaldate. Be eer Klasseetelug mt kostater Brete Δ ka der Fehler mt der sog. Sheppard-Korrektur aäherd ausgeglche werde: Δ σ² korr. σ² 5 σ ² korr. 88,3 86, 3 Statstk für SozologIe 5 5. Maßzahle der Lage ud Streuug 6