Analysis I. Vorlesung 17. Logarithmen. R R, x exp x,

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1 Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analyss I Vorlesung 17 Logarthmen Satz De reelle Exponentalfunkton R R, x exp x, st stetg und stftet ene Bjekton zwschen R und R +. Bewes. De Stetgket folgt aus Korollar Nach Korollar 15.8 (4) legt das Bld n R + und st nach dem Zwschenwertsatz en Intervall. De Unbeschränkthet des Bldes folgt aus Korollar 15.8 (3), woraus wegen Korollar 15.8 (2), folgt, dass auch belebg klene postve reelle Zahlen zum Bld gehören. Daher st das Bld glech R +. De Injektvtät ergbt sch aus Korollar 15.8 (6). Defnton Der natürlche Logarthmus ln : R + R, x ln x, st als de Umkehrfunkton der reellen Exponentalfunkton defnert. Satz Der natürlche Logarthmus ln : R + R, x ln x, st ene stetge, streng wachsende Funkton, de ene Bjekton zwschen R + und R stftet. Dabe glt für alle x,y R +. ln(x y) ln x+ ln y Bewes. Des folgt aus Satz 17.1, Satz 13.5, Satz 15.7 und Korollar

2 2 De Exponentalfunktonen für verschedene Basen Defnton Zu ener postven reellen Zahl b > 0 defnert man de Exponentalfunkton zur Bass b von z C als b z : exp(z ln b). Aufgabe 17.1 zegt, dass für reelle Argumente dese Defnton mt der aus der 14ten Vorlesung überenstmmt. Satz Für de Exponentalfunktonen C C, z a z, zur Bass a R + gelten de folgenden Rechenregeln (dabe seen a,b R + und z,w C, be (4) se zusätzlch z R). (1) a z+w a z a w. (2) a z 1. a z (3) (ab) z a z b z. (4) (a z ) w a zw. Bewes. Sehe Aufgabe Defnton Zu ener postven reellen Zahl b > 0 wrd der Logarthmus zur Bass b von x R + durch defnert. log b x : ln x ln b

3 3 Logarthmen zu verschedenen Basen Satz De Logarthmen zur Bass b erfüllen de folgenden Rechenregeln. (1) Es st log b (b x ) x und b log b (y) y, das heßt der Logarthmus zur Bass b st de Umkehrfunkton zur Exponentalfunkton zur Bass b. (2) Es glt log b (y z) log b y +log b z (3) Es glt log b y u u log b y für u R. (4) Es glt log a y log a (b log b y ) log b y log a b. Bewes. Sehe Aufgabe Summerbarket Be ener Rehe snd de aufzusummerenden Gleder durch de natürlchen Zahlen geordnet. Häufg kommt es vor, dass dese Ordnung verändert wrd. Dafür st es snnvoll, enen Summatonsbegrff zu bestzen, der unabhängg von jeder Ordnung der Indexmenge st. Wr werden dese Theore ncht systematsch entwckeln, sondern nur den großen Umordnungssatz bewesen, den wr soglech für das Entwckeln ener Potenzrehen n enem neuen Entwcklungspunkt benötgen. De Famle se als a, I, gegeben. Für jede endlche Telmenge E I kann man de zugehörgen Gleder aufsummeren, und wr setzen a E a. E Ene snnvolle Aufsummerung der gesamten Famle muss auf dese endlchen Telsummen a E Bezug nehmen. Defnton Se I ene Indexmenge und a, I, ene Famle von komplexen Zahlen. Dese Famle heßt summerbar, wenn es en s C gbt mt folgender Egenschaft: Zu jedem ǫ > 0 gbt es ene endlche Telmenge E 0 I derart, dass für alle endlchen Telmengen E I mt E 0 E de Bezehung a E s ǫ glt. Dabe st a E E a. Im summerbaren Fall heßt s de Summe der Famle.

4 4 Defnton Se I ene Indexmenge und a, I, ene Famle von komplexen Zahlen. Dese Famle heßt ene Cauchy-Famle, wenn es zu jedem ǫ > 0 ene endlche Telmenge E 0 I derart gbt, dass für jede endlche Telmenge D I mt E 0 D de Bezehung glt. Dabe st a D D a. a D ǫ Lemma Se I ene Indexmenge und a, I, ene Famle von komplexen Zahlen. Dann st de Famle genau dann summerbar, wenn se ene Cauchy-Famle st. Bewes. Se zunächst de Famle summerbar mt der Summe s, und se ǫ > 0 vorgegeben. Zu ǫ/2 gbt es ene endlche Telmenge E 0 I derart, dass für alle endlchen Mengen E I mt E 0 E de Abschätzung a E s ǫ/2 glt. Für jede zu E 0 dsjunkte endlche Telmenge D glt dann a D a D +a E0 s a E0 +s a D +a E0 s + a E0 s ǫ/2+ǫ/2 ǫ, so dass de Cauchy-Bedngung erfüllt st. Se nun a, I, ene Cauchy- Famle. Wr brauchen zunächst enen Kanddaten für de Summe. Für jedes n N + gbt es ene endlche Telmenge E n I derart, dass für jede endlche Telmenge D I mt E n D de Abschätzung a D 1/n glt. Wr können annehmen, dass E n E n+1 für alle n glt. Wr setzen Für k m n glt x k x m a E k x n : a En E n a. E m a aek \E m 1/m 1/n, da de Menge E k \ E m dsjunkt zu E m st. Daher st (x n ) n N ene Cauchy- Folge und somt wegen der Vollständgket von C konvergent gegen en s C. Wr behaupten, dass de Famle summerbar st mt der Summe s. Se dazu en ǫ > 0 vorgegeben. Es gbt n N + mt 1/n ǫ/2. Dann st wegen der Folgenkonvergenz x n s ǫ/2. Für jedes endlche E E n schreben wr E E n D mt E n D. Damt gelten de Abschätzungen a E s a En +a D s a En s + a D ǫ/2+ǫ/2 ǫ.

5 Korollar Es se a, I, ene summerbare Famle komplexer Zahlen und J I ene Telmenge. Dann st auch a, J, summerbar. 5 Bewes. Sehe Aufgabe Der große Umordnungssatz Satz Es se a, I, ene summerbare Famle von komplexen Zahlen mt der Summe s. Es se J ene wetere Indexmenge und zu jedem j J se ene Telmenge I j I gegeben mt j J I j I und I j I j für j j. 1 Dann snd de Telfamlen a, I j, summerbar und für hre Summen s j I j a glt, dass de Famle s j, j J, summerbar st mt s j J s j. Bewes. De Summerbarket der Telfamlen folgt aus Korollar Es se ǫ > 0 vorgegeben. Da de Ausgangsfamle summerbar st, gbt es ene endlche Telmenge E 0 I mt a E s ǫ/2 für alle endlchen Telmengen E I mt E 0 E. Es gbt ene endlche Telmenge F 0 J derart, dass E 0 j F 0 I j st. Wr behaupten, dass deses F 0 für de Famle s j, j J, de Summatonsegenschaft für ǫ erfüllt. Se dazu F J mt F 0 F endlch und n #(F). Da de Famlen a, I j, summerbar snd mt den Summen s j, gbt es für jedes j F en endlches G j,0 I j mt a Gj s j ǫ/2n für alle endlchen G j I j mt G j,0 G j. Wr wählen nun für jedes j F en solches G j so, dass zusätzlch E 0 I j G j glt. Dann st E 0 E : j F G j und daher j F a G j s E a s ǫ/2. Somt haben wr nsgesamt de Abschätzungen s j s j a Gj j F j F(s )+ a Gj s j F s j a Gj + a Gj s j F 1 D.h. de I j blden ene dsjunkte Verengung von I. j F

6 6 n ǫ/2n+ a s E n ǫ/2n+ǫ/2 ǫ. Der Entwcklungssatz für Potenzrehen Satz Es se f c n (z a) n n0 ene konvergente Potenzrehe mt dem Konvergenzradus R > 0 und se b U (a, R). Dann gbt es ene konvergente Potenzrehe h d (z b) 0 mt Entwcklungspunkt b und mt enem Konvergenzradus s R a b > 0 derart, dass de durch dese beden Potenzrehen dargestellten Funktonen auf U (b, s) überenstmmen. De Koeffzenten von h snd und nsbesondere st d d 1 n ( n ) c n (b a) n nc n (b a) n 1. n1 Bewes. Zur Notatonsverenfachung se a 0, b U (0, R) und z U (b,r b ). Wr betrachten de Famle ( ) n x n c n (z b) b n, n N, {0,...,n}. Wr zegen zuerst, dass dese Famle summerbar st. Des folgt aus der Abschätzung (unter Verwendung von Aufgabe 17.14) ( ) ( n N n ( ) ) n c n (z b) b n c n z b b n n0,...,n,0,...,n n0 0 N c n ( z b + b ) n n0

7 und daraus, dass wegen z b + b < R gemäß Lemma 16.7 de rechte Sete für belebges N beschränkt st. Wegen der Summerbarket gelten aufgrund des großen Umordnungssatzes de Glechungen f(z) c n z n n0 c n ((z b)+b) n n0 ( n ( ) n c n )(z b) b n 0 ( ) n c n (z b) b n ( ( ) n )c n b n (z b) n d (z b). n0 n N,0,...,n 0 0 7

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9 Abbldungsverzechns Quelle Exponentals.svg, Autor Benutzer Superborsuk auf Commons, Lzenz CC-by-sa Quelle Fonctonslog3.svg, Autor Benutzer HB auf Commons, Lzenz CC-by-sa