Lösung 1. Übungsblatt

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1 Fakultät Informatik, Technische Informatik, Lehrstuhl für Eingebettete Systeme Lösung 1. Übungsblatt Konvertierung von Zahlendarstellungen verschiedener Alphabete und Darstellung negativer Zahlen

2 Stoffverteilung 1. Informationsdarstellung, Zahlensysteme und Konvertierung 2. Festkomma- und Gleitkommaformat, Rechnen mit Binärzahlen 3. Entwurf und Analyse einfacher kombinatorischer und squenzieller Schaltungen 4. Elementare Rechenwerke FK-Addition, -Multiplikation und -Division 5. Steuerwerke und Automaten 6. Befehlsformate, Addressierungsarten, Befehlszyklus und Hauptspeicher 7. MIPS-Instruction-Set, Basispipeline, Daten- und Steuer-Hazards Übungsblatt 1 2

3 Aufgabe 1 Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in Binärzahlen, Oktalzahlen und Hexadezimalzahlen um und überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Rückkonvertierung a) : 2 = 36 Rest 1 36 : 2 = 18 Rest 0 18 : 2 = 9 Rest 0 9 : 2 = 4 Rest 1 4 : 2 = 2 Rest 0 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1 Binärzahl: Z = 1* * * * * * *2 0 Z = = Übungsblatt 1 4

4 Aufgabe 1 Binärzahl: Oktalzahl: Berechnung: : 8 = 9 Rest 1 9 : 8 = 1 Rest 1 1 : 8 = 0 Rest 1 Binärzahl: Hexadezimalzahl: Berechnung: : 16 = 4 Rest 9 4 : 16 = 0 Rest 4 Übungsblatt 1 5

5 Binäre Darstellung der Hexadezimalzahlen und Oktalzahlen Stellenwert: Binär Oktal Binär Hexadezimal Wert Aufgabe 1a = A = B = C = D = E = F Übungsblatt 1 6

6 Aufgabe 1 b) : 2 = 123 Rest : 2 = 61 Rest 1 61 : 2 = 30 Rest 1 30 : 2 = 15 Rest 0 15 : 2 = 7 Rest 1 7 : 2 = 3 Rest 1 3 : 2 = 1 Rest 1 1 : 2 = 0 Rest 1 Binärzahl: Z = 1* * * * * * * *2 0 Z = = Übungsblatt 1 8

7 Aufgabe 1 Binärzahl: Oktalzahl: Berechnung: : 8 = 30 Rest 7 30 : 8 = 3 Rest 6 3 : 8 = 0 Rest 3 Binärzahl: Hexadezimalzahl: F 7 16 Berechnung: : 16 = 15 Rest 7 15 : 16 = 0 Rest F Übungsblatt 1 9

8 Aufgabe 1 c) : 2 = 702 Rest : 2 = 351 Rest : 2 = 175 Rest : 2 = 87 Rest 1 87 : 2 = 43 Rest 1 43 : 2 = 21 Rest 1 21 : 2 = 10 Rest 1 10 : 2 = 5 Rest 0 5 : 2 = 2 Rest 1 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1 Binärzahl: Z = 1* * * * * * * * * * *2 0 Z = = Übungsblatt 1 11

9 Aufgabe 1 Binärzahl: Oktalzahl: Berechnung: : 8 = 175 Rest : 8 = 21 Rest 7 21 : 8 = 2 Rest 5 2 : 8 = 0 Rest 2 Binärzahl: Hexadezimalzahl: 5 7 C 16 Berechnung: : 16 = 87 Rest C 87 : 16 = 5 Rest 7 5 : 16 = 0 Rest 5 Übungsblatt 1 12

10 Aufgabe 2 Konvertieren Sie in das Dezimal- und Oktalsystem: a) AF1,2B 16 10* * * * *16-2 = Z / /256 = Z , , = 2801, , , Z 8 = 5361,126 8 Übungsblatt 1 14

11 Aufgabe 2 Konvertieren Sie in das Binär- und Hexadezimalsystem. b) 224, Berechnung des ganzzahligen Teils: : 2 = 112 Rest : 2 = 56 Rest 0 56 : 2 = 28 Rest 0 28 : 2 = 14 Rest 0 14 : 2 = 7 Rest 0 7 : 2 = 3 Rest 1 3 : 2 = 1 Rest 1 1 : 2 = 0 Rest 1 Übungsblatt 1 16

12 Aufgabe 2 Berechnung der Nachkommastellen: ,625 * 2 = 1,25 1 0,5 0,25 * 2 = 0,5 0 0,5 * 2 = 1 1 0,625 Binärzahl: ,101 2 Hexadezimalzahl: E 0, A 16 Übungsblatt 1 18

13 Aufgabe 2 Konvertieren Sie in das Binär- und Hexadezimalsystem. Die Abweichung soll 0,01% nicht überschreiten: c) 44,92 10 Mögliche Abweichung: 0,01% von 44,92 ±0, Berechnung des ganzzahligen Teils: : 2 = 22 Rest 0 22 : 2 = 11 Rest 0 11 : 2 = 5 Rest 1 5 : 2 = 2 Rest 1 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1 Übungsblatt 1 21

14 Aufgabe 2 Berechnung der Nachkommastellen: ,92 * 2 = 1,84 1 0,5 0,84 * 2 = 1,68 1 0,75 0,68 * 2 = 1,36 1 0,875 0,36 * 2 = 0,72 0 0,72 * 2 = 1,44 1 0, ,44 * 2 = 0,88 0 0,88 * 2 = 1,76 1 0, ,76 * 2 = 1,52 1 0, Gewünschte Genauigkeit erreicht. Binärzahl: , Hexadezimalzahl: 2 C, E B 16 Übungsblatt 1 23

15 Aufgabe 3 a) Wieviele Stellen im Binärsystem benötigen Sie für die Konvertierung von 9 10, 99 10, und Stellen Stellen Stellen Stellen Stellen Dez Stellen Binär Übungsblatt 1 25

16 Aufgabe 3 b) Versuchen Sie anhand dieser Beispiele eine allgemeine Regel für die Anzahl benötigter Stellen bei der Konversion von Zahlen aus dem Dezimalsystem ins Binärsystem abzuleiten. 16 Stellenzahl Dezimalzahl f(z) = ld(z+1) f(z) = lg(z+1) Stellen n der Zahl z dezimal: n = log 10 (z+1) = lg(z+1) Stellen n der Zahl z binär: n = log 2 (z+1) = ld(z+1) Übungsblatt 1 27

17 Aufgabe 3 Umrechnungsformel: log b z = log a z : log a b (lg z)/(lg 2) pro Stelle (lg 10)/(lg 2) = 3, z n= (lg(z+1))/(lg 2) 3,322 6,644 9,966 13,288 Stellen Binär Beispiel: Stellen 3 * 3,3 = 9,9 10 Stellen Stellen Dezimal f(z) 3,3 z Die Anzahl der Stellen nach dem Komma ist nicht exakt bestimmbar. Übungsblatt 1 29

18 Aufgabe 4 Konvertieren sie die Zahlen 57 10, , und in ein 8 Bit Binarformat. Verwenden Sie dabei jeweils die Vorzeichen-Betrag-Darstellung, die Offset-Darstellung und (B-1)-Komplement- und B-Komplement-Darstellung. Ermitteln der Binär-Beträge: Übungsblatt 1 31

19 Aufgabe 4 a) 8 Bit Vorzeichen-Betrag-Darstellung Höchstwertiges Bit wird als Vorzeichen interpretiert (0=positiv, 1=negativ) Binär-Betrag Wert mit Vorzeichen (Vorzeichen-Betrag- Darstellung) Interpretierte Dezimalzahl Überlauf Überlauf Übungsblatt 1 33

20 Aufgabe 4 b) 8 Bit Offset-Darstellung (Offset = 128) Addition des Binär-Betrags mit 128 ( ) 0 durch 128 kodiert Wert mit Vorzeichen (Offset-Darstellung) Interpretierte Dezimalzahl = = = = Überlauf = = = = Übungsblatt 1 35

21 Aufgabe 4 c) 8 Bit (B-1)-Komplement-Darstellung Die Differenz zu bilden entspricht bei binären Zahlen der Negation aller Stellen für negativen Zahlen Binär-Betrag Wert mit Vorzeichen (Komplement- Darstellung) Interpretierte Dezimalzahl Überlauf Überlauf Übungsblatt 1 37

22 Aufgabe 4 c) 8 Bit B-Komplement-Darstellung (Eliminierung der doppelten Null) Binär-Betrag Wert mit Vorzeichen (B-Komplement- Darstellung) Interpretierte Dezimalzahl Überlauf Übungsblatt 1 39

23 d) Aufgabe 4 8 Bit B-Komplement-Darstellung (Eliminierung der doppelten Null) Alle Werte für 8 Bit ohne Vorzeichen am Zahlenkreis angetragen Mit Vorzeichen stehen die Werte links für negative Zahlen und rechts für positive Zahlen Übungsblatt 1 41

24 Das B-Komplement ist die Differenz zu dem in der vorgegebenen Stellenanzahl größtem darstellbarem Wert Stellen Dezimal sind = Das B-Komplement von 4321 ist: = 5679 oder man bildet das B-1 Komplement und addiert danach 1. Das B-1 Komplement ist: = 5678 und nun noch +1 4 Stellen Binär sind = Das B-Komplement von 0101 ist: = 1011 oder man bildet das B-1 Komplement und addiert danach 1. Das B-1 Komplement ist: = 1010 und nun noch ist die Negation jeder Stelle in der Binären Darstellung! Übungsblatt 1 42

25 Aufgabe 5 Konvertieren Sie in B-Komplement-Darstellung ohne in ein anderes Zahlensystem umzurechnen. Achten Sie dabei auf den gegebenen Darstellungsbereich. a) 8 Bit B-Komplement-Darstellung (Differenz zu und +1) kein Überlauf b) 8 Bit B-Komplement-Darstellung (Differenz zu und +1) Überlauf (Interpretation als positive Zahl) Übungsblatt 1 45

26 Aufgabe 5 c) B-Komplement-Darstellung Hexadezimal (Differenz zu FFFF und +1) Negation: F-0 F, F-1 E, F-2 D, F-3 C,...,F-F 0-32FA C D C 0 D kein Überlauf oder: F A 0 1 C 1 D d) B-Komplement-Darstellung Dezimal (Differenz zu 9999 und +1) Negation: 9-0 9, 9-1 8, 9-2 7, 9-3 6,..., kein Überlauf oder: Übungsblatt 1 48