1. Bestimmen Sie die Phasengeschwindigkeit von Ultraschallwellen in Wasser durch Messung der Wellenlänge und Frequenz stehender Wellen.

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Sophie Auttenberg
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1 Universität Potsdam Institut für Physik und Astronomie Grundpraktikum 10/015 M Schallwellen Am Beispiel von Ultraschallwellen in Wasser werden Eigenschaften von Longitudinalwellen betrachtet. Im ersten Versuchsteil soll aus Messung von Frequenz und Wellenlänge einer stehenden Welle deren Phasengeschwindigkeit betimmt werden. Im zweiten Versuchsteil wird die Gruppengeschwindigkeit eines Schallimpulses untersucht. Aufgaben 1. Bestimmen Sie die Phasengeschwindigkeit von Ultraschallwellen in Wasser durch Messung der Wellenlänge und Frequenz stehender Wellen.. Bestimmen Sie die Gruppengeschwindigkeit von Ultraschallwellen in Wasser durch Messung der Laufzeit von Ultraschallimpulsen. Zubehör Optische Bank mit Laser, Irisblende und Linsen zur Strahlaufweitung und Fokussierung, Glasküvette zur Aufnahme der Versuchsflüssigkeit (Wasser), Ultraschallkopf mit Steuergerät und Ultraschallmeßkopf, Zweikanalozilloskop. Grundlagen Phasengeschwindigkeit: Eine Welle ist ein Vorgang, bei dem eine physikalische Größe y = f x, t räumlich und zeitlich periodisch variiert. Bei Schallwellen ist diese Auslenkung y die kollektive 1) Bewegung der Moleküle des Mediums, in dem sich die Welle ausbreitet (in unserem Fall Wasser) und die daraus resultierenden Dichte- und Druckänderungen. Bei elektromagnetischen Wellen sind es die elektrische und magnetische Feldstärke (also vektorielle Größen), die räumlich und zeitlich periodisch variieren. Je nachdem, ob die Richtung der Auslenkung y senkrecht oder parallel zur Ausbreitungsrichtung der Welle steht, unterscheidet man zwischen Transversal- und Longitudinalwellen. 1) Im Gegensatz zur thermisch zufälligen Bewegung der Moleküle 1

2 10/015 Diese Auslenkung y an einer Stelle x soll nach der Zeit t um die Strecke v t gewandert sein, wenn v die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist. Dieselbe Auslenkung y, die anfangs (z.b. bei t = 0 ) herrschte - also f(x,0) - besteht jetzt (nach der Zeit t) bei f x vt, t. Dies ist gegeben, wenn die Funktion f nicht explizit von der Zeit abhängt, sondern die Abhängigkeit implizit in der Form y = f x vt (1) besteht (vgl. dazu Abb.1). x-vt wird als die Phase der Welle bezeichnet. An den Stellen, wo das Argument der Funktion f (die Bezeichnung f hier nicht mit der Frequenz weiter unten verwechseln!), also die Phase x-vt, den gleichen Wert besitzt, ist auch die momentane Auslenkung y gleich. Abb.1: zur Veranschaulichung der Wellenausbreitung. Die Funktion f(x, t), die; wie in dieser Abbildung, noch nicht einmal harmonisch sein muss, hängt nur indirekt von der Zeit t ab. Der Punkt gleicher Phase ist willkürlich gewählt. Ein in Abb.1 beliebig gewählter Punkt (y, x) der Welle mit der Phase x v0 zur Zeit t = 0 hat sich nach der Zeit t um x = v t fortbewegt. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit v wird daher als Phasengeschwindigkeit v Ph bezeichnet. Für harmonische Wellen hängt die Auslenkung vom Ort und der Zeit sinusförmig ab, siehe Abb.: y = y 0 sin kx t, mit k = () y 0 = Amplitude, k = Wellenvektor, = Wellenlänge, f = Frequenz, = Kreisfrequenz

3 10/015 Abb..: Darstellung einer unendlich ausgedehnten, harmonischen Welle zur Zeit t = 0 (orange) und 0 < t < T (grün), T = 1 f :Periodendauer. Der Punkt gleicher Phase ist willkürlich gewählt. v: Phasengeschwindigkeit Die Gleichung () hat die Form (1) und die Phasengeschwindigkeit v Ph ergibt sich durch Vergleich mit (1) zu (3a) v Ph = k bzw. v ph = f In diesem Versuch werden harmonische Ultraschallwellen in Wasser erzeugt, die an der Gefäßwand reflektiert werden und sich mit den einfallenden Schallwellen zu stehenden Wellen überlagern, siehe Abb. 3. (3b) Abb.3: Stehende Welle zur Zeit t = 0 (fett) und 0 < t < T. Wellenbäuche und -knoten haben zu jeder Zeit die gleiche Position (daher stehende Welle). 3

4 10/015 Durch Abzählen der Bäuche oder Knoten (Anzahl N) innerhalb der Strecke s kann die Wellenlänge berechnet werden: = s (4) N Aus der Wellenlänge und der Erregerfrequenz f kann nach Gl. (3b) die Phasengeschwindigkeit v Ph berechnet werden. Gruppengeschwindigkeit: Bisher wurde davon ausgegangen, dass die Welle unendlich ausgedehnt ist. Wird aber ein Schallimpuls oder Lichtstrahl für eine begrenzte Zeit gesendet, so hat die Welle einen Anfang und ein Ende. Man spricht hier von einer Wellengruppe, die mathematisch als Überlagerung harmonischer Wellen unterschiedlicher Frequenz beschrieben wird (Fourieranalyse). Betrachtet werde dazu zunächst die Überlagerung zweier Wellen gleicher Amplitude Y 0 mit unterschiedlicher Wellenlänge und Frequenz: Y 1 = Y 0 sin k 1 x 1 t (5) Y = Y 0 sin k x t Unter Anwendung der Additionstheoreme der Winkelfunktionen ergibt sich für die Überlagerung Y = Y 1 + Y folgendes Ergebnis, die graphische Darstellung ist in Abb. 4 zu sehen. mit Y x, t = Y 0 cos k x t sin kx t (6) = 1, k = k 1 k, = 1, k = k 1 k Abb.4: Ergebnis der Überlagerung zweier Wellen gleicher Amplitude aber unterschiedlicher Wellenlängen 1 und mit Wellenvektoren vom Betrag k 1 = 1 und k =. 4

5 10/015 Man erhält eine Welle mit Wellenvektor vom Betrag k = k k 1 und Kreisfrequenz = 1, deren Amplitude mit der Periode ' = 4 moduliert ist (Einhüllende), wobei k k = k 1 k. Vergleicht man nun die Argumente der Funktion aus Gl.(6) mit denen aus Gl.() und (1), so ergibt sich die Phasengeschwindigkeit der Welle zu v Ph = k (7) Das Maximum der Einhüllenden, die als Wellengruppe bezeichnet wird, hat dagegen die sog. Gruppengeschwindigkeit : mit = k = 1, k = k 1 k Durch Überlagerung zweier Wellen unterschiedlicher Wellenlänge ( 1,, bzw. 1, ) wird der in Abb.4 gezeigte Verlauf erhalten, der aber noch nicht dem eines räumlich (und zeitlich) begrenzten Wellenzuges entspricht. Um einen, wie in Abb.5 gezeigten räumlich und zeitlich begrenzten Wellenzug mathematisch zu beschreiben, müssen unendlich viele harmonische Wellen überlagert werden (Fourieranalyse). (8) Abb.5: Form eines räumlich und zeitlich begrenzten Wellenzuges, der mathematisch durch Überlagerung unendlich vieler harmonischer Wellen beschrieben wird (Fourieranalyse) 5

6 10/015 Das Frequenzspektrum (Amplitude der harmonischen Wellen in Abhängigkeit von der Wellenlänge bzw. Frequenz) hängt von der Form des Wellenzuges ab. Das Maximum der Einhüllenden bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit c Gr : Die Gruppengeschwindigkeit von Ultraschallwellen in Wasser wird in diesem Versuch durch Messung der Laufzeit von Ultraschallimpulsen ermittelt. Zusammenhang zwischen Phasen- und Gruppengeschwindigkeit: lässt sich dies auch schreiben: = k = ω k, = k (v phk ), (aus Gl.(6)) = v Ph + k v Ph k, mit k = π λ (9) = v Ph v Ph Als Dispersion wird die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit v Ph von der Wellenlänge bezeichnet. Liegt keine Dispersion vor v ph gleich. = 0, so sind Phasen- und Gruppengeschwindigkeit Hinweise zur Vorbereitung Was ist eine Welle? Was gibt es für Wellen (Beispiele), Transversal- und Longitudinalwellen. Was bedeutet Phasen- und Gruppengeschwindigkeit? Interferenz von Wellen: konstruktive und destruktive Interferenz (unter welchen Bedingungen), stehende Wellen Was versteht man unter Dispersion? 6

7 Hinweise zur Auswertung 10/015 zu 1.: a) Die Frequenz f der Ultraschallwelle wird für die beiden sinusförmigen Signale (Betriebsspannung des Schallkopfes = Ausgangsspannung des Ultraschallgenerators und Signalspannung des Ultraschallsensors) aus der jeweils gemessenen Periodendauer T berechnet. Geben Sie als Ergebnis das arithmetische Mittel f an. b) Die Wellenlänge l der Ultraschallwelle wird aus 3 unterschiedlichen Messungen ermittelt: aus dem Abstand der Maxima der stehenden Welle nach = s. N ist die Anzahl der N Schalldruckmaxima, wenn der Detektor um die Strecke s verschoben wird. aus dem Abstand von Punkten gleicher Phasenlage zwischen den sinusförmigen Spannungen von Schallkopf (= Ausgangsspannung des Ultraschallgenerators) und Ultraschallsensor nach = s. N ist die Anzahl der Punkte gleicher Phasenlage, wenn N der Detektor um die Strecke s verschoben wird. s aus dem Streifenabstand a des projizierten Dichtemusters nach = a 1. s 1 s s 1 ist der Abstand zwischen Lochblende und Küvette und s der Abstand zwischen Küvette und Schirm. Geben Sie als Ergebnis das arithmetische Mittel an. Berechnen Sie die Phasengeschwindigkeit c Ph nach c Ph = f. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis für c Ph mit Tabellenwerten (relative Abweichung in %). Beachten Sie die Temperaturabhängigkeit! Zu.: Ermitteln Sie die Gruppengeschwindigkeit c Gr nach c Gr = s. Dt ist die Laufzeit des t impulsförmigen Signals, wenn der Detektor um die Strecke Ds verschoben wird. Vergleichen Sie Phasen- und Gruppengeschwindigkeit. Formulieren Sie eine Schlussfolgerung zur Dispersion. Literatur /1/ Bergmann/Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. 4: Teilchen, Berlin 199 // Grimsehl, E.: Lehrbuch der Physik, Bd. 4: Struktur der Materie, Leipzig 1990 /3/ Vogel, H.: Gerthsen Physik, Berlin 004 /4/ Kohlrausch, F.: Praktische Physik, Bd., Stuttgart

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