9.6 Parameterabhängige Integrale

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1 Kpitel 9: Integrtion 9.6 Prmeterbhängige Integrle Beispiel: Die Gmm-Funktion Γ(x) := f(x, t)dt = e t t x 1 dt. Zunächst: Prmeterbhängige eigentliche Integrle. Sei f : I [, b] R, I R, so dss f für festes x I ls Funktion von y integrierbr über [, b] ist: F(x) := f(x, y)dy. Frgen: Ist die Funktion F(x) stetig, wenn f(x, y) stetig ist? Ist die Funktion F(x) differenzierbr, wenn f(x, y) nch x differenzierbr? Anlysis II TUHH, Sommersemester 27 Armin Iske 13

2 Kpitel 9: Integrtion Stetigkeit prmeterbhängiger Integrle. Stz: Ist f(x, y) stetig uf I [, b], so existiert ds Integrl F(x) := für lle x I, und F(x) ist stetig uf I. b f(x, y)dy Beweis: Sei x I I, so dss I I kompkt. Dnn ist f(x, y) uf dem Kompktum I [, b] gleichmäßig stetig. Dher gibt es zu ε > ein δ > mit x x < δ = f(x, y) f(x, y) < ε für x, x I und lle y [, b]. Mit diesem δ und x x < δ für x, x I folgt dnn F(x) F(x ) = (f(x, y) f(x, y))dy f(x, y) f(x, y) dy < ε(b ). Somit ist F stetig in x. D x beliebig gewählt, ist F uf gnz I stetig. Anlysis II TUHH, Sommersemester 27 Armin Iske 131

3 Kpitel 9: Integrtion Differenzierbrkeit prmeterbhängiger Integrle. Stz: Ist f(x, y) stetig uf I [, b] und nch x stetig (prtiell) differenzierbr, so ist uch F(x) uf dem Intervll I stetig differenzierbr, und es gilt F (x) = (x, y)dy. x Beweis: Für x, x I, x x, folgt mit dem Mittelwertstz F(x) F(x ) x x = und dmit weiterhin f(x, y) f(x, y) x x dy = F (x ) = lim x x F(x) F(x ) x x = (ξ, y)dy x für lim (ξ, y)dy = ξ x x Somit ist F differenzierbr in x. D x beliebig gewählt, ist F uf gnz I differenzierbr. ein ξ [x, x], x (x, y)dy. Anlysis II TUHH, Sommersemester 27 Armin Iske 132

4 Kpitel 9: Integrtion Zwei Beispiele. Beispiel 1: F(x) = π 1 sin(tx) t dt = F (x) = π 1 cos(tx) dt. Beispiel 2: Die Bessel-Funktion J n (x) := 1 π J n(x) = 1 π J n(x) = 1 π π π π cos(x sin(t) nt)dt, für n Z, sin(t) sin(x sin(t) nt)dt, sin 2 (t) cos(x sin(t) nt)dt. Bemerkung: Die Bessel-Funktion J n (x), n Z, ist (eine) Lösung der Besselschen Differentilgleichung x 2 y (x) + xy (x) + (x 2 n 2 )y(x) = für n Z. Beweis: Übung (mit prtieller Integrtion). Anlysis II TUHH, Sommersemester 27 Armin Iske 133

5 Kpitel 9: Integrtion Prmeterbhängige uneigentliche Integrle. F(x) := f(x, y)dy für x I. Beispiel: Die Gmm-Funktion: Γ(x) := e t t x 1 dt. Definition: Ds uneigentliche Integrl f(x, y)dy für x I heißt gleichmäßig konvergent, flls es zu ε > eine Konstnte C > gibt mit y2 f(x, y)dy < ε für lle x I und für lle y 1, y 2 C. y 1 Anlysis II TUHH, Sommersemester 27 Armin Iske 134

6 Kpitel 9: Integrtion Ds Mjorntenkriterium. Bemerkung: Es gilt ds Mjorntenkriterium, wonch ds uneigentliche Integrl f(x, y)dy gleichmäßig und bsolut konvergiert, flls es eine (gleichmäßige) Mjornte g(y) von f(x, y) gibt mit f(x, y) g(y) und g(y)dy < für lle x, y I. Beweis: f(x, y)dy f(x, y) dy g(y)dy <. Anlysis II TUHH, Sommersemester 27 Armin Iske 135

7 Kpitel 9: Integrtion Differenzierbrkeit und gleichmäßige Konvergenz. Stz: Sei f(x, y) stetig und nch x stetig (prtiell) differenzierbr. Weiterhin seien die uneigentlichen Integrle F(x) := f(x, y) dy und (x, y)dy x uf (llen) kompkten Teilmengen von I gleichmäßig konvergent. Dnn ist F(x) stetig differenzierbr, und die Ableitung F (x) von F(x) läßt sich durch Differentition unter dem Integrlzeichen gewinnen, d.h. es gilt F (x) = (x, y)dy. x Beweis: Anlog wie im Fll von eigentlichen Integrlen. Beispiel: Die Ableitung der Gmm-Funktion: Γ(x) = e t t x 1 dt Γ (x) = e t t x 1 log(t)dt. Anlysis II TUHH, Sommersemester 27 Armin Iske 136

8 Kpitel 1: Anwendungen der Integrlrechnung 1 Anwendungen der Integrlrechnung 1.1 Rottionskörper Betrchte für eine Funktion f(x) die Rottion des Funktionsgrphen y = f(x) um die x-achse über dem Intervll [, b]. Dnn gilt für die Querschnittsfläche Q(x) = π(f(x)) 2 für x [, b]. Dmit ergibt sich für den entstehenden Rottionskörper die Volumenformel V rot = π (f(x)) 2 dx. Prinzip von Cvlieri: Hben zwei Körper die jeweils gleiche Querschnittsfläche, so stimmen ihre Volumin überein. Anlysis II TUHH, Sommersemester 27 Armin Iske 137

9 Kpitel 1: Anwendungen der Integrlrechnung Beispiel. Durch die Rottion der Ellipse x y2 = 1 mit, b > b2 um die x-achse erhält mn ein Rottionsellipsoid mit dem Volumen [ ] ( x ) 2 2 V rot = π b 1 dx ) = πb (1 2 x2 2 dx = 4 3 πb2. Speziell bekommt mn für = b = r ds Volumen V rot = 4 3 πr3 der Kugel um Null mit Rdius r >. Anlysis II TUHH, Sommersemester 27 Armin Iske 138

10 Kpitel 1: Anwendungen der Integrlrechnung Die Oberfläche eines Rottionskörpers. Für die Oberfläche (Mntelfläche) eines Rottionskörpers gilt die Formel O rot = 2π y(x) 1 + (y (x)) 2 dx Beispiel: Für die Oberfläche der Kugel um Null mit Rdius r > gilt mit die Formel y = f(x) = r 2 x 2 O rot = 2π r r r2 x 2 r r2 x 2 dx = 2πr r r dx = 4πr 2. Anlysis II TUHH, Sommersemester 27 Armin Iske 139