Kapitel 8. Ergänzungen zum Riemann Integral

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1 Kpitel 8 Ergänzungen zum iemnn Integrl 8. Ds Integrbilitätskriterium von Lebesgue 8.2 Ds Integrl für komplexwertige Funktionen 8.3 Uneigentliche Integrle 8.4 Ein Integrlkriterium für eihen 8.5 Die Gmm Funktion 8. Ds Integrbilitätskriterium von Lebesgue In diesem Abschnitt geben wir eine vollständige Chrkterisierung der iemnn-integrierbren Funktionen, die für viele Zwecke recht nützlich ist. D wir dieses esultt ber zunächst nicht explizit verwenden werden und der Beweis etws technisch ist und sich obendrein bei der Behndlung mehrdimensionler Integrle nlog durchführen lässt, werden wir n dieser Stelle uf einen Beweis verzichten. Er wird im nächsten Semester nchgeholt werden. Definition 8. Eine Teilmenge M heißt Nullmenge, Lebesgue Nullmenge oder Menge vom Mß, wenn es zu jedem ε > höchstens bzählbr viele offene Intervlle I, I 2,... gibt mit k I k ε, so dss M k I k gilt (hierbei bezeichnet I k = b die Länge eines offenen Intervlls I k = (, b)). Per Definition liegt lso genu dnn eine Nullmenge vor, wenn wir diese durch höchstens bzählbr viele offene Intervlle überdecken können, so dss die Längensumme über lle diese Intervlle beliebig klein ist. Sttt offener Intervlle hätte mn in der obigen Definition genuso gut bgeschlossene Intervlle wählen können, wie der Leser sich leicht überlegen knn. Einige wichtige Beispiele und Aussgen über Nullmengen sind in dem folgenden esultt zusmmengefsst. Lemm 8.2 ( Beispiele von Nullmengen ) () Jede Teilmenge einer Nullmenge ist eine Nullmenge. 24

2 242 KAPITEL 8. EGÄNZUNGEN ZUM IEMANN INTEGAL (b) Endliche und bzählbre Teilmengen von sind Nullmengen. (c) Die Vereinigung von höchstens bzählbr vielen Nullmengen ist eine Nullmenge. (d) Eine kompkte Menge K ist genu dnn eine Nullmenge, wenn es zu jedem ε > endlich viele offene Intervlle I,...,I r gibt mit K r k= I k und r k= I k ε (die Anzhl r dieser Intervlle hängt dbei im Allgemeinen von ε b). Beweis: () Dies folgt sofort us der Definition einer Nullmenge. (b) Wir beweisen nur den Fll, dss M eine bzählbre Menge ist, lso M = {r, r 2, r 3,...} mit gewissen Zhlen r k gilt. Die Aussge über endliche Mengen folgt hierus dnn mit Teil (). Sei nun ε > beliebig gegeben. Für jedes r k M definieren wir dnn ein offenes Intervll I k durch I k := ( r k ε 2 k+, r k + ε 2 k+ ). Dnn gilt M k= I k und I k = ε, lso 2 k k= I k = ε ( k k= 2) = ε, womit die Aussge (b) bereits bewiesen ist. (c) Seien M, M 2,... (höchstens) bzählbr viele Nullmengen und ε > beliebig gegeben. D jedes M k eine Nullmenge ist, gibt es höchstens bzählbr viele offene Intervlle I k, I k2, I k3,... mit M k j I kj und j I kj ε. Dnn überdecken die höchstens bzählbr vielen Intervlle I, I 2,...,I 2, I 22,...,I 3, I 32,... die Vereinigung k M k. Ferner ist 2 k die Längensumme ller dieser Intervlle höchstens gleich ε 2 = ε ( ) k ( ) k ε = ε, k 2 2 k k k= wobei ds < Zeichen nur uftritt, wenn lediglich endlich viele M, M 2,... gegeben sind. (d) Es ist lediglich zu zeigen, dss eine kompkte Nullmenge bereits durch endlich viele offene Intervlle mit beliebig kleiner Längensumme überdeckt werden knn. Seien dzu K eine kompkte Nullmenge und ε > gegeben. Dnn existieren (höchstens) bzählbr viele offene Intervlle I, I 2,... mit K k I k und k I k ε. Die Intervlle I k bilden insbesondere lso eine offene Überdeckung der kompkten Menge K. Nch dem Stz 4.44 von Heine Borel genügen bereits endlich viele der I k, um die Menge K zu überdecken. Deren Längensumme ist erst recht höchstens ε, womit uch die Aussge (d) bewiesen ist. Es sei bereits n dieser Stelle usdrücklich druf hingewiesen, dss es uch überbzählbre Teilmengen von gibt, die Nullmengen sind. Ein explizites Beispiel dfür ist ds so gennnte Cntorsche Diskontinuum, lterntiv uch ls Cntor Menge bezeichnet. Der interessierte Leser sei hierfür uf die Litertur verwiesen, etw [9]. Als weiteres Hilfsmittel führen wir die Oszilltion einer Funktion ein. Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2

3 8.. DAS INTEGABILITÄTSKITEIUM VON LEBESGUE 243 Definition 8.3 Seien f : [, b] eine beschränkte Funktion. Für eine nichtleere Teilmenge M [, b] sei Ω f (M) := sup f(x) inf f(x) = sup { f(x) f(y) x, y M }. x M x M Für jedes feste x [, b] ist die Abbildung δ Ω f ( [, b] Bδ (x) ) mit B δ (x) := { y x y < δ } offenbr monoton steigend (und durch Ω f ([, b]) nch oben beschränkt) bzw. äquivlent, für δ monoton fllend (und durch Null nch unten beschränkt). Also existiert der Grenzwert ω f (x) := lim Ω ( f [, b] Bδ (x) ) δ + für jedes x [, b]. Dieser heißt Oszilltion von f im Punkte x. Per Definition gilt ω f (x) für lle x [, b]. Der Grenzfll ω f (x) = chrkterisiert ufgrund des folgenden esulttes gerde die Stetigkeit von f im Punkte x. Lemm 8.4 ( Chrkterisierung stetiger Funktionen mittels der Oszilltion ) Eine beschränkte Funktion f : [, b] ist genu dnn stetig in x [, b], wenn ω f (x) = gilt. Beweis: Sei f zunächst stetig in x. Nch Whl von ε > existiert dnn ein δ > derrt, dss f(y) f(x) < ε für lle y V 2 δ := [, b] B δ (x) gilt. Für je zwei Punkte y, y 2 V δ gilt dher f(y ) f(y 2 ) f(y ) f(x) + f(x) f(y2 ) < ε. Dies impliziert Ω f (V δ ) ε und dmit erst recht ω f (x) ε. D ε > beliebig gewählt werden konnte, folgt ω f (x) =. Sei nun umgekehrt ω f (x) = vorusgesetzt. Zu beliebig gewähltem ε > existiert dnn ein δ > mit Ω f (V δ ) < ε. Für lle y V δ gilt lso f(x) f(y) < ε, ws die Stetigkeit von f in x beweist. Sei f : [, b] wieder eine beschränkte Funktion und S(f) := { x [, b] f ist nicht stetig in x } = { x [, b] ωf (x) > } die Menge der Unstetigkeitspunkte von f. Dmit können wir nun ds Huptresultt dieses Abschnittes formulieren, uf dessen Beweis wir zunächst verzichten. Wir werden ihn später etws llgemeiner bei der Betrchtung mehrdimensionler Integrle beweisen. Der neugierige Leser sei derweil uf die entsprechende Litertur vertröstet, etw [, Stz 3.47]; der Beweis bsiert uf dem soeben eingeführten Begriff der Oszilltion. Stz 8.5 ( Integrbilitätskriterium von Lebesgue ) Sei f : [, b] beschränkt. Dnn ist f genu dnn iemnn integrierbr, wenn die Menge S(f) der Unstetigkeitspunkte von f eine Nullmenge ist. Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2

4 244 KAPITEL 8. EGÄNZUNGEN ZUM IEMANN INTEGAL 8.2 Ds Integrl für komplexwertige Funktionen Bislng hben wir ds iemnn Integrl für beschränkte Funktionen vom Typ f : [, b] definiert. Wir wollen diese Definition jetzt verllgemeinern uf komplexwertige Abbildungen f : [, b] C. Mn bechte hierbei llerdings, dss die Vrible x weiterhin us dem reellen Intervll [, b] stmmt. Sei lso f : [, b] C gegeben. Für jedes x [, b] ist dnn f(x) eine komplexe Zhl, so dss wir f(x) = f (x)+if 2 (x) schreiben können, wobei f (x) der elteil und f 2 (x) der Imginärteil von f ist, lso f(x) = e ( f(x) ) + iim ( f(x) ). Auf diese Weise erhlten wir die punktweise definierten Funktionen e(f) : [, b], e(f)(x) := e ( f(x) ) und Im(f) : [, b], Im(f)(x) := Im ( f(x) ). Diese spielen bei der Definition des Integrls für komplexwertige Funktionen eine wichtige olle. Definition 8.6 Seien f : [, b] C eine beschränkte Funktion und e(f), Im(f) : [, b] deren el bzw. Imginärteil. Sind e(f) und Im(f) iemnn integrierbr, so nennen wir f (iemnn ) integrierbr und setzen f(x)dx := e ( f ) (x)dx + i Im ( f ) (x)dx. Zur Illustrtion der obigen Definition betrchten wir kurz zwei Beispiele. Beispiel 8.7 () Sei f : [, 2] C definiert durch f(x) := x + 3ix 2. Dnn sind e ( f ) (x) = x und Im ( f ) (x) = 3x 2 beide stetig und somit iemnn integrierbr. Dher erhlten wir 2 f(x)dx = 2 xdx + i 2 3x 2 dx = 2 2 x2 + i x 3 2 = 2 + 8i. (b) Betrchte die Funktion f : [, 2π] C mit f(x) := e ix. Wegen e ix = cosx + i sin x ist dnn e ( f ) (x) = cosx und Im ( f ) (x) = sin x. D el und Imginärteil beide stetig sind, existiert ds Integrl von f, und es gilt 2π f(x)dx = 2π cos(x)dx + i 2π ufgrund der 2π Periodizität von Cosinus und Sinus. sin(x)dx = + i = Die obigen Beispiele zeigen deutlich, dss mn ds iemnn Integrl für eine komplexwertige Funktion sehr leicht uf die beiden iemnn Integrle für el und Imginärteil von f zurückführen knn. Dies gilt uch für die üblichen echenregeln für ds iemnn-integrl, soweit sie sich in C formulieren lssen. Wir fssen einige der wesentlichen Eigenschften in dem folgenden esultt zusmmen. Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2

5 8.2. DAS INTEGAL FÜ KOMPLEXWETIGE FUNKTIONEN 245 Stz 8.8 ( Eigenschften iemnn integrierbrer Funktionen mit Werten in C ) () Alle stetigen Funktionen f : [, b] C sind integrierbr. (b) Sind f, g : [, b] C integrierbre Funktionen sowie α, β C beliebige Sklre, so ist uch αf + βg integrierbr mit (αf + βg)(x)dx = α f(x)dx + β g(x)dx. (c) Ist f : [, b] C integrierbr, so ist uch f : [, b] integrierbr, und es gilt die Dreiecksungleichung b f(x)dx f(x) dx. (d) Ist f : [, b] C integrierbr und ist c [, b] beliebig gegeben, so gilt f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. Beweis: () Mit f sind uch die Abbildungen e(f) und Im(f) stetig (siehe die Ausführungen im Anschluss n den Stz 4.28) und dher integrierbr ufgrund des Stzes 7.2. Die Behuptung folgt somit unmittelbr us der Definition 8.6. (b) Wir beweisen die beiden zur Behuptung äquivlenten Aussgen, dss mit f, g uch f + g integrierbr ist mit (f + g)(x)dx = f(x)dx + und dss mit einer integrierbren Funktion f uch αf integrierbr ist mit (αf)(x)dx = α g(x)dx, (8.) f(x)dx. (8.2) Seien lso f, g : [, b] C integrierbr. Per Definition sind dnn die el und Imginärteile von f und g integrierbr, und es gilt Wegen b f(x)dx = g(x)dx = b e ( f ) (x)dx + i e ( g ) (x)dx + i b Im ( f ) (x)dx Im ( g ) (x)dx. e ( (f + g) ) (x) = e ( f ) (x) + e ( g ) (x) und Im ( (f + g) ) (x) = Im ( f ) (x) + Im ( g ) (x) Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2 und (8.3) (8.4)

6 246 KAPITEL 8. EGÄNZUNGEN ZUM IEMANN INTEGAL folgt ( f + g ) (x)dx Def. 8.6 = (8.4) = = (8.3) = e ( f + g ) (x)dx + i ( e ( f ) (x) + e ( g ) (x) e ( f ) (x)dx + i f(x)dx + g(x)dx, Im ( f + g ) (x)dx ) dx + i Im ( f ) (x)dx + ( Im ( f ) (x) + Im ( g ) (x) e ( g ) (x)dx + i ) dx Im ( g ) (x)dx wobei die dritte Gleichheit us der Linerität des Integrls für reellwertige Funktionen folgt. Dmit ist die erste Behuptung (8.) bewiesen. Zum Nchweis von (8.2) seien f : [, b] C integrierbr und α C beliebig. Dnn sind f := e(f) und f 2 := Im(f) integrierbr mit f(x)dx = f (x)dx + i Schreiben wir noch α = α + iα 2 mit α, α 2, so folgt f 2 (x)dx. (8.5) αf(x) = (α + iα 2 ) ( f (x) + if 2 (x) ) = ( α f (x) α 2 f 2 (x) ) +i ( α f 2 (x) + α 2 f (x) ). }{{}}{{} =e(αf)(x) =Im(αf)(x) Wegen Stz 7.23 sind die beiden reellwertigen Funktionen α f α 2 f 2 und α f 2 + α 2 f integrierbr. Dher folgt (αf)(x) Def. 8.6 = ( α f (x) α 2 f 2 (x) ) ( dx + i α f 2 (x) + α 2 f (x) ) dx [ = α f (x)dx + i (8.5) = α f(x)dx + iα 2 f(x)dx = α f(x)dx, ] [ f 2 (x)dx + iα 2 f (x)dx + i ] f 2 (x) womit uch (8.2) bewiesen ist. (c) Nch Vorussetzung sind f := e(f) und f 2 := Im(f) integrierbr. Wegen Stz 7.23 und Stz 7.4 (die Wurzel Funktion ist nämlich stetig) ist dher uch f = f 2 + f2 2 Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2

7 8.3. UNEIGENTLICHE INTEGALE 247 integrierbr. Wegen f (x) f(x) gilt nch Lemm 7.24 ußerdem f (x)dx f(x) dx, lso e ( ) f(x)dx = e(f)(x)dx f(x) dx. (8.6) Nun gibt es zu beliebigem z C stets ein λ C mit λ = und e(λz) = z (mn wähle einfch λ := z/ z im Fll z ). Speziell für z := f(x)dx C folgt dnn ( ) f(x)dx = e λ f(x)dx ( ) (b) = e λf(x)dx ( ) = e g(x)dx = = g(x) dx λ f(x) dx f(x) dx mit g := λf, wobei wir (8.6) mit g n Stelle von f verwendet hben. (d) Dies folgt durch Übergng uf el und Imginärteil sofort us dem entsprechenden Stz 7.3 für reellwertige Funktionen. 8.3 Uneigentliche Integrle Bislng hben wir nur solche Funktionen integriert, die uf einem kompkten Intervll definiert und dort zumindest beschränkt wren. Für mnche Anwendungen sind diese Einschränkungen zu restriktiv. Wir wollen den Integrlbegriff in diesem Abschnitt dher uch uf unbeschränkte Funktionen und Intervlle verllgemeinern. Mn spricht in diesem Fll von uneigentlichen Integrlen. Dzu werden wir drei Fälle unterscheiden: Eine Integrtionsgrenze ist unendlich. Der Integrnd ist n einer Integrtionsgrenze nicht definiert (z.b. unbeschränkt). Beide Integrtionsgrenzen sind kritisch. Wir untersuchen zunächst den ersten Fll. Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2

8 248 KAPITEL 8. EGÄNZUNGEN ZUM IEMANN INTEGAL Definition 8.9 Sei f : [, + ) eine gegebene Funktion, die über jedem Intervll [, ], < < +, integrierbr sei. Flls der Grenzwert lim + f(x)dx existiert, so heißt ds Integrl f(x)dx konvergent, und mn setzt f(x)dx := lim + f(x)dx. Anlog definiert mn ds Integrl f(x)dx für eine Funktion f : (, b]. Ein nicht konvergentes Integrl heißt divergent. Wir betrchten einige einfche Beispiele. Beispiel 8. für jedes >. Aus () Ds Integrl dx konvergiert für jedes s >. Es gilt nämlich x s x sdx = s = ( ) x s s s wegen s > folgt somit lim + s = xsdx = lim + x sdx = s. (b) Aus der Argumenttion im Beispiel () folgt sofort, dss ds Integrl x sdx für s < nicht konvergiert. In dem Spezilfll s = ist der ntürliche Logrithmus eine Stmmfunktion des Integrnden, so dss wir uch hier dx = lim x + dx = lim x ln(x) = lim ln() = + + erhlten. Ds uneigentliche Integrl ist dher im Fll s = ebenflls divergent. (c) Es ist Dies folgt unmittelbr us wegen lim + e c =. e cx dx = c für jedes c >. e cx dx = c e cx = ( ) e c für + c c Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2

9 8.3. UNEIGENTLICHE INTEGALE 249 Wir untersuchen ls Nächstes den zweiten Fll. Definition 8. Sei f : (, b] eine Funktion, die über jedem Intervll [ + ε, b] mit ε > integrierbr ist. Flls der Grenzwert lim f(x)dx εց +ε existiert, so heißt ds Integrl f(x)dx konvergent, und mn setzt f(x)dx := lim f(x)dx. εց +ε Anlog definiert mn ds Integrl für eine Funktion f : [, b), die im rechten Intervllpunkt b eventuell nicht definiert ist. Wir geben wieder einige einfche Beispiele. Beispiel 8.2 () Ist f : [, b] integrierbr, so gelten f(x)dx = lim f(x)dx und εց +ε f(x)dx = lim εց ε f(x)dx ufgrund des Stzes 7.3. In diesem Fll stimmt die Definition 8. dher mit der bisherigen Integrldefinition überein. (b) Ds Integrl dx konvergiert für jedes s <. Wegen x s ε x sdx = s = x s ε s ( ε s ) und lim εց ε s = für jedes s [, ) folgt nämlich xsdx = lim εց ε x sdx = s. (c) Aus der Argumenttion im Beispiel (b) folgt unmittelbr die Divergenz des Integrls x sdx für jedes s >. Im Grenzfll s = erhlten wir ebenflls Divergenz: dx = lim x εց ε dx = lim x ln(x) = lim ln(ε) = +. εց ε εց Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2

10 25 KAPITEL 8. EGÄNZUNGEN ZUM IEMANN INTEGAL s < s = s > (, ] konvergent divergent divergent [, + ) divergent divergent konvergent Tbelle 8.: Verhlten des Integrls dx für verschiedene Werte von s > und verschiedene x s Intervlle div. x div. x, s < x konv. s div. div. x s, s > konv. x Abbildung 8.: Konvergenzverhlten der uneigentlichen Integrle dx für verschiedene x s Werte von s > und verschiedene Intervlle Die Beispiele 8. (), (b) und 8.2 lssen sich wie in der Tbelle 8. zusmmenfssen. Anschulich sind die verschiedenen Situtionen in der Abbildung 8. drgestellt. Dmit kommen wir nun zu dem dritten Fll, bei dem beide Integrtionsgrenzen kritisch sind, d entweder unendlich oder d der Integrnd dort nicht definiert ist. Definition 8.3 Sei f : (, b) mit < b + eine Funktion, die über jedem Intervll [α, β] (, b) integrierbr ist. Existieren die beiden uneigentlichen Integrle c c f(x)dx := lim f(x)dx αց α und c β f(x)dx := lim f(x)dx βրb c für ein beliebiges (und dmit jedes) c (, b), so heißt ds Integrl f(x)dx konvergent, und mn setzt f(x)dx := c f(x)dx + c f(x)dx. Mn bechte, dss die obige Definition wegen der vorusgesetzten Integrierbrkeit von f uf jedem Teilintervll [α, β] (, b) ttsächlich unbhängig von der Auswhl des Zwischenpunktes c (, b) ist. Ferner ht mn zu bechten, dss die Grenzwerte der beiden rechts stehenden uneigentlichen Integrle unbhängig voneinnder existieren müssen. Die obige Definition ist im Allgemeinen nämlich nicht äquivlent zu der Setzung f(x)dx := lim εց ε +ε Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2 f(x)dx, (8.7)

11 8.3. UNEIGENTLICHE INTEGALE 25 bei der beide Grenzübergänge gleichzeitig (und nicht unbhängig voneinnder) betrchtet werden. Wir geben wieder einige Beispiele. Beispiel 8.4 () Ds Integrl x sdx divergiert für lle s. Dzu wähle mn beispielsweise c = und wende die Beispiele 8. (b) und 8.2 (c) n, wonch zumindest eines der beiden uftretenden Integrle nicht konvergiert. (b) Ds Integrl konvergiert, denn es ist + x 2dx + x2dx = lim + x2dx + lim = lim rctn( ) + lim ( = π ) + π 2 2 = π. + x 2dx rctn() (c) Ds uneigentliche Integrl ist nicht konvergent, denn cos(x)dx cos(x)dx = = lim cos(x)dx + cos(x)dx cos(x)dx + lim b + = lim sin(x) + lim sin(x) b b + = lim sin() + lim sin(b) b + cos(x)dx und die beiden hierin uftretenden Limites existieren wegen der Periodizität der Sinus Funktion offenbr nicht. (d) Anlog zum Teil (c) folgt uch, dss ds uneigentliche Integrl sin(x)dx Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2

12 252 KAPITEL 8. EGÄNZUNGEN ZUM IEMANN INTEGAL nicht existiert. Nimmt mn die Grenzwerte jedoch nicht unbhängig voneinnder, sondern simultn (wie in (8.7) ngedeutet), so erhielte mn in diesem Fll ds flsche Ergebnis sin(x)dx = +c lim sin(x)dx c c = lim cos(x) +c c c [ ] = lim cos(c) cos( c) c [ ] = lim cos(c) cos(c) c =, denn der Cosinus ist eine gerde Funktion. Dieses Beispiel verdeutlicht lso, dss mn in der Definition eines uneigentlichen Integrls mit zwei kritischen Grenzen den Grenzübergng n beiden Stellen wirklich seprt durchführen muss. Wir geben ls Nächstes Kriterien für die Konvergenz von uneigentlichen Integrlen n. Zu diesem Zweck betrchten wir nur den Fll einer Funktion f : [, + ), bei dem lso der Definitionsbereich nch rechts unbeschränkt ist. Die nderen möglichen Fälle für ds Auftreten von uneigentlichen Integrlen lssen sich nlog behndeln. Per Definition ist ds uneigentliche Integrl f(x)dx (8.8) genu dnn konvergent, wenn für eine beliebige Folge n der Grenzwert n lim I n mit I n := f(x)dx n in existiert. Aber {I n } ist eine Folge in dem vollständigen um und dher genu dnn konvergent, wenn {I n } eine Cuchy Folge ist. Also existiert ds uneigentliche Integrl (8.8) genu dnn, wenn zu jedem ε > ein N N existiert mit In I m ε n, m N. Aufgrund der Definition von I n lässt sich diese Bedingung uch schreiben ls n m n f(x)dx = f(x)dx m f(x)dx = In I m ε n, m N. D hierbei n eine beliebige Folge wr, hben wir somit ds nchstehende esultt bewiesen. Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2

13 8.3. UNEIGENTLICHE INTEGALE 253 Stz 8.5 ( Cuchy Kriterium für uneigentliche Integrle ) Ds uneigentliche Integrl f(x)dx ist genu dnn konvergent, wenn zu jedem ε > ein ξ existiert mit f(x)dx < ε für lle, ξ. Ähnlich wie bei unendlichen eihen nennen wir ds Integrl f(x)dx bsolut konvergent, wenn ds uneigentliche Integrl f(x) dx konvergiert. Aus der Dreiecksungleichung für Integrle folgt sofort, dss ein bsolut konvergentes Integrl uch konvergiert. Die Umkehrung dieser Aussge gilt im Allgemeinen nicht, wie ds folgende Beispiel zeigt. Beispiel 8.6 Betrchte die Funktion f : [, + ) mit {, flls x =, f(x) := sin x, flls x >. x Dnn ist f stetig und somit integrierbr uf jedem Teilintervll [, ]. Mittels prtieller Integrtion folgt für beliebige < < lso sin x x sin x x dx + + dx = cosx x cosx x 2 dx, x 2dx < 2 + = 3 für +. Wegen Stz 8.5 ist ds Integrl sin x dx dher konvergent. Es ist jedoch nicht bsolut x konvergent, wie mn durch Vergleich mit der hrmonischen eihe erkennt: kπ sin x k jπ x dx = sin x x dx für k. = 2 π j= k j= (j )π jπ sinx dx jπ (j )π }{{} =2 für lle j k j= + Bedingungen für die bsolute Konvergenz von uneigentlichen Integrlen erhält mn im Prinzip wie bei unendlichen eihen. Beispielhft formulieren wir ds folgende hinreichende Kriterium. Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2 j

14 254 KAPITEL 8. EGÄNZUNGEN ZUM IEMANN INTEGAL sin(x) Fläche = 2 2π 4π Abbildung 8.2: Vernschulichung zum Beispiel 8.6 Stz 8.7 ( Mjorntenkriterium für uneigentliche Integrle ) Seien f, g : [, ) zwei gegebene Funktionen mit den folgenden Eigenschften: () ds uneigentliche Integrl g(x)dx existiert in ; (b) f ist uf llen Teilintervllen [, ] [, ) integrierbr; (c) es ist f(x) g(x) für lle x [, ). Dnn existiert ds uneigentliche Integrl f(x)dx in (und ist sogr bsolut konvergent). Beweis: Wegen f(x) dx g(x)dx für lle > > nch Lemm 7.24 folgt die Behuptung sofort us dem Cuchy Kriterium 8.5, denn nch Vorussetzung () ist die Mjornte g uf dem Intervll [, ) uneigentlich integrierbr und genügt dher der Bedingung us dem Stz 8.5. Mn bechte, dss mn uf ähnliche Weise uch ds beknnte Minorntenkriterium für unendliche eihen uf uneigentliche Integrle übertrgen knn. Wir betrchten wieder einige Beispiele. Beispiel 8.8 () Ds Integrl f(x)dx mit f(x) := sin x x s, s >, ist bsolut konvergent, denn wir hben f(x) =: g(x) für lle x [, + ), xs Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2

15 8.4. EIN INTEGALKITEIUM FÜ UNENDLICHE EIHEN 255 und ds Integrl g(x)dx existiert wegen Beispiel 8. (). Die Behuptung folgt dher us dem Mjorntenkriterium. (b) Anlog zum Teil () zeigt mn, dss ds uneigentliche Integrl für jedes s > existiert. cos xdx ebenflls x s (c) Ds Integrl f(x)dx knn konvergieren, selbst wenn nicht lim x f(x) = gilt. Um dies einzusehen, betrchten wir ds so gennnte Fresnelsche Integrl sin(x 2 )dx. Durch Substitution und prtielle Integrtion erhält mn für beliebige < < sin(x 2 )dx = ( ) 2 2 sin(t) 2 t dt = cos(t) 2 t Aus Teil (b) und dem Cuchy Kriterium folgt nun ( ) ( ) 2 2 cos(t) dt. t3/2 ( ) 2 2 cos(t) dt t für 3/2, und dmit uch sin(x 2 )dx für,. Wiederum ufgrund des Cuchy Kriteriums existiert dher ds Integrl sin(x 2 )dx. Hinreichende Kriterien für die Konvergenz oder bsolute Konvergenz von Integrlen, bei denen der Integrnd n einem Intervllende kritisch ist, lssen sich nlog herleiten. Ebenso ergeben sich hinreichende Bedingungen für die Existenz uneigentlicher Integrle, bei denen beide Grenzen kritisch sind. Der Leser möge die entsprechenden Überlegungen selbst durchführen. 8.4 Ein Integrlkriterium für unendliche eihen Uneigentliche Integrle können uch benutzt werden, um die Konvergenz von unendlichen eihen mit nichtnegtiven Gliedern zu überprüfen. Umgekehrt lässt sich us der Konvergenz oder Divergenz einer eihe uch uf die Konvergenz oder Divergenz eines uneigentlichen Integrls schließen. Ds entscheidende Ergebnis ist in dem folgenden esultt enthlten. Stz 8.9 ( Integrlkriterium für unendliche eihen ) Sei { k } eine monoton fllende Nullfolge und f : [, + ) eine monoton fllende Funktion mit f(k) = k für lle k N. Dnn ist die eihe k= k genu dnn konvergent, wenn ds uneigentliche Integrl f(x)dx konvergiert. Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2

16 256 KAPITEL 8. EGÄNZUNGEN ZUM IEMANN INTEGAL Beweis: Als monotone Funktion ist f wegen des Stzes 7. uf jedem kompkten Intervll [, b] [, + ) iemnn integrierbr. Aus Monotoniegründen gilt wegen Lemm 7.24 ußerdem die Abschätzung k+ k+ Durch Summtion ergibt sich hierus n k+ k= n k= k k+ k f(x)dx k für lle k N. f(x)dx n k für lle n N. k= Bezeichnen wir die n-te Prtilsumme mit s n := n k, k= so lässt sich dies äquivlent schreiben ls s n+ n+ f(x)dx s n. (8.9) D lle n nichtnegtiv sind, ist die eihe k= k wegen Stz 3.29 somit genu dnn konvergent, wenn die Folge der Prtilsummen {s n } beschränkt ist, ws wegen (8.9) äquivlent zur Beschränktheit von { n f(x)dx} ist. Wegen f(x) für lle x [, + ) (d f monoton fällt und f(k) = k für lle k N) ist dies gleichbedeutend mit der Existenz von ws zu zeigen wr. lim b + f(x)dx = f(x)dx, Wir betrchten zwei Beispiele zu dem Stz 8.9. Beispiel 8.2 () Wir untersuchen die unendliche eihe k k= uf Konvergenz. Offenbr bilden die Glieder k := k/e k eine monoton fllende Nullfolge. Ferner ist die e k Funktion f(x) := x/e x monoton fllend uf [, ) (wegen f (x) = e x ( x) für lle x [, ) und Stz 6.8) mit f(k) = k für lle k N. Wegen f(x)dx = lim f(x)dx b = lim xe x dx [ = lim xe x b + b b ] e x dx (prtielle Integrtion) Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2

17 8.5. DIE GAMMA FUNKTION 257 [ = lim be b + b e e b + ] e = 2 e folgt us dem Stz 8.9 sofort die Konvergenz der eihe k= k. (b) Aufgrund der Beispiele 8. (), (b) ist ds uneigentliche Integrl x sdx konvergent für s > und divergent für s. Wegen Stz 8.9 und der Monotonie der Funktion f(x) = ist die entsprechende unendliche eihe x s k= dher ebenflls k s konvergent für lle s > und divergent für lle s. Speziell für s = erhält mn hierus nochmls die Divergenz der hrmonischen eihe k= Als Ergänzung zum Beispiel 8.2 (b) sei n dieser Stelle erwähnt, dss die Abbildung. k ζ(s) := k= k s ls Zetfunktion bezeichnet wird, wobei ls Argument s llerdings eine beliebige komplexe Zhl s C zugelssen ist und die llgemeine Potenz mit einer komplexen Zhl wie im eellen durch k s := exp(s ln(k)) definiert ist. 8.5 Die Gmm Funktion Wir beginnen mit der zentrlen Definition dieses Abschnitts. Definition 8.2 Die für x > definierte Funktion heißt (Eulersche) Gmm Funktion. Γ(x) := t x e t dt Für jedes feste x > ist Γ(x) ein uneigentliches Integrl, bei dem ggf. beide Integrtionsgrenzen kritisch sind: t = ufgrund des Terms t x (kritisch für Werte von x us dem Intervll (, )) und t = (kritisch für beliebige Werte von x wegen des nch rechts unbeschränkten Integrtionsintervlls). Von dher ist priori überhupt nicht klr, dss die Definition der Gmm Funktion sinnvoll ist, d ds uftretende uneigentliche Integrl nicht zu konvergieren brucht. Zum Glück gilt jedoch ds folgende esultt. Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2

18 258 KAPITEL 8. EGÄNZUNGEN ZUM IEMANN INTEGAL Lemm 8.22 Ds uneigentliche Integrl konvergiert für lle x >. t x e t dt Beweis: Sei x > beliebig gegeben. D ggf. beide Integrtionsgrenzen kritisch sind (je nch Größe von x), zerlegen wir ds Integrl in t x e t dt = t x e t dt + t x e t dt und zeigen, dss die beiden rechts stehenden Integrle existieren. Wir betrchten zunächst ds Integrl t x e t dt für x (, ) (für x hndelt es sich gr nicht um ein uneigentliches Integrl). Offenbr gilt die Abschätzung < t x e t x für < t. Außerdem ist ds Integrl t x dt = t xdt für jedes x (, ) nch Beispiel 8.2 (b) konvergent. Nch einem zum Stz 8.7 entsprechenden Mjorntenkriterium existiert dher uch ds uneigentliche Integrl Kommen wir dher zum zweiten Integrl t x e t dt. t x e t dt. (8.) Für jedes reelle x > folgt us dem Stz 5.5 reltiv leicht die Gültigkeit von lim t tx e t/2 =. Insbesondere existiert zu jedem x > dher ein t > mit < t x e t/2 < t t. Hierus folgt unmittelbr t x e t < e t/2 t t. Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2

19 8.5. DIE GAMMA FUNKTION 259 Für jedes t erhält mn somit t t x e t dt t e t/2 dt = [ 2e t/2] t 2e t /2 für. Hierus folgt unmittelbr die Existenz des zweiten Integrls (8.), und zwr sogr für jedes x >. Wegen Lemm 8.22 ist die Γ Funktion somit für lle x > wohldefiniert. Einige wichtige Eigenschften der Γ Funktion sind im folgenden esultt zusmmengefsst. Stz 8.23 ( Eigenschften der Γ Funktion ) () Es gilt xγ(x) = Γ(x + ) für lle x >. (b) Es ist Γ(n + ) = n! für lle n N. (c) Die Funktion ln(γ) : (, + ) ist konvex. Beweis: () Mittels prtieller Integrtion erhlten wir für beliebige < ε < < t x e t dt = t x e t + x t x e t dt. ε ε ε Durch Grenzübergng ε und + erhält mn unter Verwendung von Stz 5.5 sofort xγ(x) = Γ(x + ). (b) Zunächst ist Γ() = lim e t dt = lim ( e ) =. Aus Teil () folgt induktiv dnn Γ(n + ) = nγ(n) = n(n )Γ(n ) =... = n(n )... Γ() = n! für lle n N und dher die Behuptung (b). (c) Wir hben zu zeigen, dss h(x) := ln ( Γ(x) ) konvex ist, lso h ( λx + ( λ)y ) λh(x) + ( λ)h(y) x, y >, λ (, ) gilt. Aufgrund des Additionstheorems für die Exponentilfunktion ist dies äquivlent zu Γ ( λx + ( λ)y ) Γ(x) λ Γ(y) λ x, y >, λ (, ). (8.) Zum Nchweis der Eigenschft (8.) seien x, y > und λ (, ) beliebig gewählt. Setze dnn p := und q := λ λ, Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2

20 26 KAPITEL 8. EGÄNZUNGEN ZUM IEMANN INTEGAL so dss + = gilt. Wir wenden nun die Höldersche Ungleichung us dem Stz 7.44 uf p q die beiden (stetigen) Funktionen f(t) := t x p e t p und g(t) := t y q n und erhlten dmit für beliebige < ε < < ( ) /p ( /q f(t)g(t)dt f(t) p dt g(t) dt) q. (8.2) Nun ist ε ε ε e t q f(t)g(t) = t x p + y q e t, f(t) p = t x e t und g(t) q = t y e t. Dmit ergibt sich us (8.2) nch Grenzübergng ε und + unmittelbr ( x Γ p + y ) Γ(x) p Γ(y) q. q Aus der Definition von p und q folgt nun sofort die zu beweisende Ungleichung (8.). Die Eigenschft () im Stz 8.23 wird ls Funktionlgleichung der Γ Funktion bezeichnet. Wegen (b) sgt mn uch, die Γ Funktion interpoliere die Fkultät, während wir bei der Eigenschft (c) von der logrithmischen Konvexität der Γ Funktion sprechen. Allgemein heißt eine Funktion F nämlich logrithmisch konvex, wenn die Abbildung ln F konvex ist. Ds nächste esultt zeigt, dss die drei im Stz 8.23 gennnten Eigenschften die Γ Funktion bereits vollständig chrkterisieren. Stz 8.24 ( Chrkterisierung der Γ Funktion ) Sei F : (, + ) eine Funktion mit F() =, F(x + ) = xf(x) für lle x > und derrt, dss ln F konvex ist. Dnn gilt F(x) = Γ(x) für lle x >. Beweis: D die Γ Funktion ufgrund des Stzes 8.23 die drei gennnten Eigenschften besitzt, genügt es zu zeigen, dss die Funktion F durch diese Eigenschften bereits eindeutig festgelegt ist. Ttsächlich genügt es sogr zu zeigen, dss F durch diese Eigenschften uf (, ) eindeutig bestimmt ist, denn ufgrund der Funktionlgleichung gilt dnn F(x + n) = F(x)x(x + )... (x + n ) (8.3) für lle x > und lle n N, so dss der Wert von F(x) für x (, ] bereits durch den Wert von F(x) für x (, ] festgelegt ist. Außerdem ergibt sich us (8.3) unmittelbr die Gültigkeit von F(n + ) = n!. Sei nun x (, ] fest gewählt. Dnn ist n + x = ( x)n + x(n + ), lso n + x eine Konvexkombintion der Zhlen n und n +. Dmit folgt us der logrithmischen Konvexität von F sofort F(n + x) F(n) x F(n + ) x = F(n) x F(n) x n x = (n )!n x. Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2

21 8.5. DIE GAMMA FUNKTION 26 Ebenso erhält mn us n + = x(n + x) + ( x)(n + + x) ( mit x (, ) ) die Ungleichung n! = F(n + ) F(n + x) x F(n + + x) x = F(n + x)(n + x) x. Kombintion beider Ungleichungen liefert Im Hinblick uf (8.3) impliziert dies Wegen n (x) := n!(n + x) x F(n + x) (n )!n x. n!(n + x) x x(x + )... (x + n ) F(x) b n (x) n (x) (n )!n x x(x + )... (x + n ) =: b n(x). ( ) x (n )!nx n = n!(n + x) = für n x n + x folgt us dem Sndwich Theorem 3. zwngsläufig F ist in der Tt lso eindeutig bestimmt. (n )!n x F(x) = lim n x(x + )... (x + n ), Aus dem obigen Beweis erhlten wir reltiv einfch noch eine lterntive Drstellung der Γ Funktion, die uf Guß zurückgeht. Stz 8.25 ( Gußsche Drstellung der Γ Funktion ) Für lle x > gilt Γ(x) = lim n n!n x x(x + )... (x + n). n Beweis: Wegen lim n = folgt die Behuptung für x (, ) sofort us der im x+n vorigen Beweis hergeleiteten Beziehung. Für x = gilt sie ußerdem trivilerweise. Dher genügt es, die folgende Aussge zu zeigen: Gilt die Drstellung für ein x, so uch für y := x +. Nun ist ufgrund der Funktionlgleichung Γ(y) = Γ(x + ) = xγ(x) n!n x = lim n (x + )... (x + n) n!n y = lim n y(y + )... (y + n ) Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2

22 262 KAPITEL 8. EGÄNZUNGEN ZUM IEMANN INTEGAL n!n y = lim n y(y + )... (y + n )(y + n), wobei wir für die letzte Gleichheit verwendet hben, dss lim n ist die Behuptung dmit bewiesen. n y+n = gilt. Insgesmt Christin Knzow, Universität Würzburg, SS 2