Musterlösung zu Blatt 9, Aufgabe 2

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1 Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe Anlysis II MIIA SoSe 7 Mrtin Schottenloher Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe I Aufgbenstellung Es sei J [, ] und f : J R deniert durch fx x 3. Finden Sie eine Folge f n n N T J, R mit f n f n+ für lle n N und f n f. b Bestimmen Sie f nxdx für jedes n N und bestimmen Sie drus fxdx II Beweisidee Worum geht's?: Gesucht ist eine Folge von Treppenfunktionen f n n N, die monoton steigt und die eigentliche Funktion f gleichmäÿig pproximiert. Ist eine solche Folge gefunden, so berechne mn ds Integrl jedes f n, worus mn dnn uf ds Integrl von f schlieÿen soll. Wie mch' ich ds?: Mn benutze dzu einige Sätze us der Vorlesung bzw. dem Skript: Stz 7.3. Jede stetige Funktion f : J E lässt sich gleichmäÿig durch Treppenfunktionen pproximieren, ds heiÿt, es gibt eine Folge f n von Treppenfunktionen f n T J, E mit f n f in T J, E, lso f n f. Anders usgedrückt: Es gilt CJ, E SJ, E. Der Beweis wird durch fundmentle Konstruktion geführt. Um f f n zu zeigen, knn mn z.b. ds Mjorntenkriterium benutzen, lso die Abweichung einer Treppenfunktion f n von f durch die gröÿte Abweichung uf einem Intervll bschätzen und dnn die Konvergenz gegen zeigen für n. Für den zweiten Teil der Aufgbe nutzt mn die folgende Bemerkung: Bemerkung Wir erhlten durch 7.3 in Verbindung mit 7. eine neue Interprettion des Integrls für stetige f: Für jede Folge f n von Treppenfunktionen, die gleichmäÿig gegen f konvergiert, ist fxdx f n xdx wobei die f nxdx einfche endliche Summen sind. Mit diesem Stz knn mn ds gesuchte Integrl der Funktion einfch ls Grenzwert der Integrle der Folgenglieder berechnen. Der Stz 7..3 liefert für ds Integrl einer Treppenfunktion g mit der Zerlegung Z {t,..., t m } gerde gtdt : m g k t k t k, k

2 Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe Anlysis II MIIA SoSe 7 Mrtin Schottenloher wobei g k der konstnte Wert der Treppenfunktion im Intervll ]t k, t k [ ist. Nützlich wird dbei die explizite Formel der endlichen Summe von dritten Potenzen: n k k 3 n n + III Lösung Mn wähle wie im Beweis zu 7.3 eine Zerlegung Zm {t,..., t m }, mit der Feinheit Zm mx{t k+ t k, k,,..., m }. Weiterhin wähle mn f n x ft k uf ]t k, t k+ ] mit einer genügend feinen Zerlegung Zm für jedes n. Es gibt viele solche Zerlegungen. Ein Beispiel dfür ist t k k, k,,...,. Dmit ergibt sich f n x ft k t 3 k k 3 Auÿerdem sei f n, der noch fehlende Fll. Wir überprüfen, ob die Eigenschften zutreen. x 3 ist streng monoton steigend uf J [, ] und die Folge von Treppenfunktionen nährt sich von unten n. Sei Z n {u,..., u m }, u k k die Zerlegung zu f n n und Z n+ {v,..., v j }, v k k die n+ Zerlegung zu f n+, dnn gilt mit x [v k, v k+ [ [u k, u k+ [: f n x f n+ x. Auÿerdem ist mit x [v k+, v k+ [ [u k, u k+ [ fu k fv k fv k+ f n x f n+ x, d x 3 uf J streng monoton steigend ist. Abbildung : f

3 Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe Anlysis II MIIA SoSe 7 Mrtin Schottenloher Abbildung : f f n konvergiert gegen f, denn uf einem Intervll ]t k, t k+ ], t k k ist n k + 3 k 3 f f n [f streng monoton steigend uf J] 3k + 3k + 3n n Der Grenzwert ist für jedes k oensichtlich, denn lim 3n 3 n + 3 n + 3n lim 3 n + lim 3 n + lim 3n [Dreiecksungleichung] 3

4 Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe Anlysis II MIIA SoSe 7 Mrtin Schottenloher Abbildung 3: f 3 b Mit erhält mn durch Umformen f n xdx n k n k 3 n n + i i i i + i 3 i + i i 3 n n i 3 + n

5 Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe Anlysis II MIIA SoSe 7 Mrtin Schottenloher n n n n Mit der Bemerkung 7..3 knn mn dnn wie folgt ds gesuchte Integrl berechnen fxdx + f n xdx + + lim n n + lim n Ds Ergebnis entspricht dem Integrl von g n x [,] x 3 [,], ds sich us der Stmmfunktion F x x ergibt. Vrinten: Einige weitere pssende Funktionenfolgen sind g n : J R, g : i 3 [ i g n n, x n, i + [ n, i,,..., n, Z > IV Nutzen und Anwendungen Durch die Teilufgbe b ist eine Anwendung der Funktionenfolgen gegeben. Es lässt sich ds Integrl einer Funktion f neu denieren, ls Grenzwert der Integrle einer gegen die Funktion f gleichmäÿig konvergierende Folge f n von Treppenfunktionen. Pscl Reisert. Juli 7 5