Vertauschen von Limiten

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1 Vertauscen von Limiten W. Herfort December 28, 25 Contents Die Mutter aller Sclacten 2 2 Anwendungen in Beispielen 2 2. Vertauscen von GW in ANA Aufgabe Lösung Vertauscung von GW bei Folgen von Funktionen: ANA Aufgabe Lösung Vertauscung von Dierentiation und Grenzwert Aufgabe Lösung Vertauscung von Integration und Grenzwert von Funktionen (Seite 59 unterer Kasten) Aufgabe Lösung Vertauscung von uneigentlicer Riemannintegration und Grenzwert von Funktionen Aufgabe Lösung Partielle Ableitung unter das uneigentlice Integral zieen Aufgabe 8* Lösung A Anang A. Satz von der majorisierten Konvergenz (Maÿteorie) A.2 Anwendungen A.2. Nocmals A.2.2 Nocmals A.2.3 Nocmals

2 In der Honung, ier gemeinscaftlice Aspekte des Vertauscens von Integration und Bilden von uneigentlicen Integralen zu bringen, zitiere ic Satz (aus ANA 2) und versuce zu zeigen, wie Satz in rect untersciedlicen Situationen zumindest in Rictung Lösung zeigt. Die Mutter aller Sclacten Satz (Ana 2 Skriptum Seite 8) Es seien (M i, d i ) für i =, 2 und (M, d) metrisce Räume, sowie (M, d) vollständig. Es sei f : M M 2 M eine Funktion. Dann gilt x x f(x, ) = f(x, ) x x zumindest dann wenn die folgenden Voraussetzungen gelten:. Die inneren Grenzwerte f(x, ) und x x f(x, ) existieren für alle x M bzw. M 2 ; 2. mindestens einer der GW ist gleicmäÿig bezüglic der festgealtenen Variablen; 2 Anwendungen in Beispielen 2. Vertauscen von GW in ANA Aufgabe Man zeige 2..2 Lösung Es ersceint ein wenig einfacer, x + x 2 sin x + x 2 sin =. = = zu berecnen, und desalb erweist sic die Anwendung des obigen Satzes in folgender Weise als sinnvoll: Wälen M := [ 2, 2 ] und d sei die euklidisce Metrik, d.. d (x, x ) := x x. Desgleicen sei M 2 = M und d 2 := d. Sclieÿlic sei M := IR mit der euklidiscen Metrik (ist vollständig). 2

3 Die Existenz der inneren Limiten ist gesicert. x + x 2 sin =, + x 2 sin = + x 2 (Zugegeben, ier wird der GW bei ausgerecnet, sodaÿ es eigentlic nict so klar ist, warum der eingesclagene Weg der einfacere sein soll!) Es ersceint zweckmäÿig, die Gleicmäÿigkeit der Konvergenz bei x für alle M zu untersucen, weil die involvierten kleinen Recnereien etwas einfacer sind. Es genügt, zu jedem < ɛ < 2 ein < δ < 2 zu garantieren, derart daÿ für alle M + x 2 sin < ɛ falls x < δ gilt. Als vorbereitende Abscätzung ergibt sic wegen sin (als Konsequenz d. MWS der DR, nämlic sin x sin x sup t (,x) cos t x ) die Kette von Abscätzungen + x 2 sin x2 x x ergibt, sodaÿ bei gegebenem ɛ man δ := 3 4ɛ wälen kann. 2.2 Vertauscung von GW bei Folgen von Funktionen: ANA Aufgabe Man zeige a n n 2 +3a n 2 = Lösung Keine scwierige Recnung auf direktem Weg. Könnte man die Limiten vertauscen, ergibt sic sogar noc etwas einfacer n 2 + 3a n a n 2 = =. n 3

4 Es sei M := IN { } und als Metrik wälen wir d (m, n) := m n falls, m, n IN und d (m, ) := m, falls m IN ist. (Es ist vereinbart, daÿ IN.) Es ist klar, daÿ diese DN Anlaÿ zu einer Metrik auf M gibt. Der Grund dafür, in den Raum einzubezieen liegt darin, daÿ in Satz die Elemente x bzw. tatsäclic Elemente eines entsprecenden metriscen Raums sind und nict bloÿ Smbole für uneigentlice Grenzübergänge. Weiters sei M 2 := [, ] verseen mit der euklidiscen Metrik. Sclieÿlic sei M := IR und d die euklidisce Metrik. Es ist M vollständig. Die Existenz der inneren Limiten ist rect einfac einzuseen. Um nun (beispielalber) zu prüfen, daÿ der GW bei n gleicmäÿig auf ganz M 2 gilt, at man bei gegebenem positiven ɛ ein δ anzugeben, sodaÿ n 2 + 3a n 2 < ɛ für alle n mit d (n, ) < δ und alle a M 2 gilt. Dies zu bewerkstelligen, läuft darauf inaus, n 2 + 3a n 2 = 3a n 2 3 n = 3d (n, ) benützend, als δ den Wert ɛ 3 zu wälen. Überüssigerweise sei ier die Frage gestellt, ob a auc gleicmäÿig für alle n M ist. Dann müÿte zu jedem positivem ɛ ein δ angebbar sein, sodaÿ n 2 + 3a n 2 < ɛ für alle n M und a < δ ist. Allerdings ist der Ausdruck n 2 + 3a n 2 nict für alle n M nict deniert. Für n = müÿte man in (gescickterweise) durc festlegen. Danac läÿt sic Satz auc in dieser Form benützen. 2.3 Vertauscung von Dierentiation und Grenzwert 2.3. Aufgabe Man zeige für beliebiges reelles x daÿ a (arctan ax) =, wobei Dierentiation nac x bedeutet. 4

5 2.3.2 Lösung Wüÿte man, daÿ man Dierentiation und GW vertauscen darf, wäre die Antwort sofort klar, nämlic. Natürlic ist das auc klar durc direktes Nacrecnen. Hier eine sstematisce Ausarbeitung, das Vertauscen betreend: Zunäcst sei x IR festgealten. Dann entstet durc Bezugname auf die DN des Dierenzierens die Frage, ob arctan a(x + ) arctan ax arctan a(x + ) arctan ax = a a gilt. Eine Frage nac der Vertauscbarkeit von Limiten. Wir wälen M := [, ] mit der euklidiscen Metrik. M 2 := [, ] mit der euklidiscen Metrik, und M := IR auc mit der euklidiscen Metrik (ist vollständig). Die Existenz der inneren Limiten ist sictlic gegeben, wobei bei man die Regel von De L'Hospital anwendet, was auf das Dierenzieren nac x inausläuft. Wir wollen die Gleicmäÿigkeit des GW bei Übergang von a für alle M zeigen und beacten die Abscätzung arctan a arctan b a b als Konsequenz des MWS d DR. Dann ist arctan a(x + ) arctan ax a a. Somit kann bei vorgegebenem ɛ > als δ := ɛ gewält werden, und dann ist für alle M gleicmäÿig arctan a(x + ) arctan ax arctan a(x + ) arctan ax a < ɛ, sobald a < δ ist. 2.4 Vertauscung von Integration und Grenzwert von Funktionen (Seite 59 unterer Kasten) 2.4. Aufgabe Man berecne dx I := a + a sin 2 (x). 5

6 2.4.2 Lösung Es ist ier rect scwierig, auf direktem Weg den Wert I = zu eralten. Könnte man Integration und GW vertauscen, so ergäbe sic in einfacer Weise a dx + a sin 2 (x) = dx =. Um Satz ins Spiel bringen zu können, beacten wir, daÿ der Integrand für jedes a mit a 2 Riemannintegrierbar ist. Wir wälen eine Zerlegungsfolge Z n des Intervalls [, ] mit nac Null strebender Feineit, sowie eine Belegungsfolge B n, sodaÿ, dies alles berücksictigend, eine auf [ 2, 2 ] IN denierte Funktion F (a, n) := R(/( + ax 2 ), Z n, B n ) gebildet werden kann, wobei R für die entsprecende Riemannsumme stet, und wegen der R-Integrierbarkeit von +a sin 2 (x) für alle a [ 2, 2 ] ist F (a, n) = dx n + a sin 2 (x). Damit wird die Näe zu Satz erkennbarer, nämlic F (a, n) = F (a, n)? a n n a Wir geen jetzt änlic wie in Abscnitt 2.2 vor: Es sei M := [ 2, 2 ] verseen mit der euklidiscen Metrik. Weiters sei M 2 := IN { } genau wie in mit der Metrik wie dort, nämlic d 2 (m, n) := n m falls m, n IN und d 2(m, ) = d 2 (, m) = m falls m IN. Weiters sei M := IR mit der euklidiscen Metrik, und wir vermerken, daÿ M vollständig ist. Die inneren Grenzwerte sind F (a, n) = R(, Z n, B n ) a und F (a, n) = dx n + a sin 2 (x), und, wie scon bemerkt wurde, existieren somit. Wir wollen zeigen, daÿ der zweite der beiden GW (im vorigen Punkt) gleicmäÿig bezüglic a M ist. Dazu benützen wir die leict einzuseende Abscätzung (bitte sic die R-Summen explizit anzuscreiben): F (a, n) F (, n) R(/( + a sin 2 (x)), Z n, B n ) R(, Z n, B n ) R(, Z n, B n ) sup + a sin 2 (x) 2 a, x [,] aus der die gleicmäÿige Konvergenz für alle a M unmittelbar ablesbar ist. 6

7 (Auc der obere Kasten auf Seite 59 kann mit einem änlicen Beispiel belegt werden, z.b. m Bitte entsprecende Details selbst zu überlegen.) dx + 2m 2 sin2 (x). 2.5 Vertauscung von uneigentlicer Riemannintegration und Grenzwert von Funktionen 2.5. Aufgabe Man zeige (Sobald man das weiÿ, ergibt sic π Lösung e x d x + 2 = e x d x als Resultat). Um den Satz anwenden zu können, geen wir änlic wie biser vor: Wir denieren eine Funktion in 2 Variablen: f(x, R) := R e x d + und 2 metrisce Räume M := [, ] (auc jedes Intervall der Form [, ɛ] mit positivem ɛ ätte es getan) mit d der euklidiscen Metrik, sowie M 2 := [, ] mit einer Metrik, die den Punkt mitberücksictigt: d 2 (R, R ) := R +R R +R, falls beide, R, R IR + R {} liegen, bzw +R, falls R im Endlicen liegt und R = ist. Smmetrie beactend läÿt sic diese Denition zu einer Metrik d 2 auf [, ] ergänzen. Sclieÿlic wird in M := IR die euklidisce Metrik verwendet, und wir vermerken die Vollständigkeit des Bildbereices von f (d.i. von IR ). Nun soll der Satz angewendet werden und wir betracten die inneren Limiten. Auf der linken Seite wird die Rolle von durc R übernommen. Es existiert oenkundig R f(x, R), was auf die Untersucung der Konvergenz von e x d + für beliebiges x [, ] inausläuft. 2 Auf der recten Seite der GW-Formel im Satz ist der innere Limes Somit at man. überprüft. e x d x + 2 = + 2. Um vollen Erfolg zu garantieren, genügt es naczuweisen, daÿ F (x, R) R gleicmäÿig für alle x [, ] konvergiert. 7

8 Dann müÿte zu jedem positiven ɛ ein δ existieren, derart, daÿ für alle x [, ] der Ausdruck ( e x ) d R d + 2, e x d + 2 = = e x d + 2 kleiner als ɛ wird, sobald +R = d 2(R, ) < δ ist. Man erkennt unscwer, wie das Majorantenkriterium für uneigentlice Integrale (nämlic e x ) zur Bejaung dieser Frage fürt Partielle Ableitung unter das uneigentlice Integral zieen 2.6. Aufgabe 8* Man zeige, daÿ für alle positiven a die Ableitung von F (a) := f(x, a) dx mit f(x, a) := ln(+a2 x 2 ) 3+x durc Dierenzieren unter dem Integralzeicen gewonnen werden kann, m.a.w., 2 daÿ R gilt. F (a) = f a (x, a) dx Lösung Die Näe zu Satz wird erkennbarer wenn man sic auf die DN der partiellen Ableitung besinnt: f(x, a + ) f(x, a) f a (x, a) =, sodaÿ sic die Frage nac Gleiceit von R R f(x, a + ) f(x, a) R dx = f(x, a + ) f(x, a) dx R stellt. Um den Satz anwenden zu können, bedarf es folgender Scritte: Wal von (M, d ) als ([ a 2, a 2 ], ) (euklidisce Metrik). Wal von M 2 := [, ] mit der Metrik wie in Nun wünsct man sic R f(x,a+) f(x,a) die glm. Konv. von z.b. dx bezüglic R M 2. 8

9 Dieser innere GW ergibt sic durc Vertauscen von Limes und Integral (das ist auc eine Anwendung von Satz, vgl. 2.4) zu R f a (x, a) dx, sodaÿ es genügt, die bezüglic R M 2 glm. Konv. von R f(x, a + ) f(x, a) f a (x, a) dx bei zu zeigen. Talorentwicklung um die Stelle a = a (d.i. für ein in einer Umgebung von a zwei mal stetig dierenzierbares g gibt es ein θ (, ) mit g(a + ) g(a) g (a) = 2 g (a + θ) 2 ) zeigt die Existenz einer (nict notwendig in der Variablen x stetigen) Funktion θ(x) mit Werten in (, ) mit f(x, a + ) f(x, a) f a (x, a) = 2 f aa(x, a + θ(x)) = x 2 ( 2(a + θ(x))x 2 ( + (a + θ(x)) 2 x 2 ) 2 (3 + x 2 ). Der letztere Ausdruck erlaubt die Abscätzung 2 f aa(x, a + θ(x)) = x 2 ( 2(a + θ(x))x 2 ( + (a + θ(x)) 2 x 2 ) 2 (3 + x 2 ) Setzt man C := x 2 ( + 2(a + a 2 )x2 ) dx ( + (a a 2 )2 x 2 ) 2 (3 + x 2 ). x 2 ( + 2(a + a 2 )x2 ) dx ( + (a a 2 )2 x 2 ) 2 (3 + x 2 ), (das Integral konvergiert, wie man sic bitte selbst überlege), so wird man zur Abscätzung, R f(x, a + ) f(x, a) f a (x, a) dx C für alle [ a 2, a 2 ] gefürt, woraus die entsprecende gleicmäÿige Konvergenz abgelesen werden kann. 9

10 A Anang A. Satz von der majorisierten Konvergenz (Maÿteorie) Der Satz lautet Satz 2 Es sei {f n } eine Folge reellwertiger Funktionen, jede fast überall auf einer Lebesguemessbaren Menge X deniert. Weiters gebe es eine L-messbare Funktion g, die f n (x) g(x) fast überall auf X erfüllt und g(x) dx < X erfüllt. Dann folgt aus n f n (x) = f(x) für fast alle x X, daÿ n X f n(x) dx existiert und gleic ist mit f(x) dx. X Eine entsprecende Formulierung für kontinuierlice Limiten gibt es auc: Satz 3 Es sei (M, d) ein metriscer Raum, (X, Ω, µ) ein vollständiger Maÿraum und f : M X IR eine Funktion mit Alle Funktionen x f(m, x) sind meÿbar. Für alle x X gilt m m f(m, x) = f(m, x). (man kann das abscwäcen, indem man eine Nullmenge aus X entfernt, bzw., wenn M abzälbar ist, für jedes f(m, ) eine Nullmenge in X entfernt man bekommt die obige Version auf diese Weise.) Es gibt eine absolutintegrierbare, meÿbare Funktion g : X IR mit Unter diesen Prämissen gilt A.2 Anwendungen f(m, x) dµ(x) = m m X f(m, x) g(x). X f(m, x) dµ(x). m m Im weiteren soll noc verwendet werden, daÿ jedes (uneigentlice) Bereicsintegral im Sinne der ANA3-Vorlesung ein Lebesgueintegral ist, und der Integrand in L (IR n ) liegt. A.2. Nocmals 2.4. zu bestimmen. Wir wollen Satz 3 ver- Hier ging es darum a wenden: dx +a sin 2 (x) Es sei M := [ 2, 2 ] und d die euklidisce Metrik. Jede der Funktionen x ist absolut integrierbar, sobald a M +a sin 2 (x) liegt. Als Funktion g denieren wir g(x) := 2 Integranden!). (evidente Abscätzung für alle

11 Nun sind die Voraussetzungen von Satz 3 erfüllt und man darf desalb die Limiten vertauscen. Wenn man jetzt zu blickt, erkennt man eine beträctlice Vereinfactung: natürlic, Satz 3 ist viel stärker auf Integration zugescnitten vergleicbar Seite 59 im Skriptum. Der Nacweis für a xa dx = a (x a ) dx = = kann mittels Seite 59 nict erbract werden, wol aber in der gleicen Weise wie eben mittels Satz 3. A.2.2 Nocmals 2.5. Hier ging es um Vertauscen von e x d x = ( x + e x ) + 2 d. Zunäcst interpretiert man die Integrale als uneigentlice R-Bereicsintegrale, und demgemäÿ, weil die Integranden als Funktionen von stetig und somit meÿbar sind, als L-Integrale. Nun bemüt man sic, Satz 3 ins Spiel zu bringen: M := [, ] mit der euklidiscen Metrik. (Natürlic, M könnte jedes endlice Teilintervall von IR + {} sein, welces entält.) Absolutinte- Die entsprecende Meÿbarkeit und L -angeörigkeit (d.i. grierbarkeit) wurde scon erwänt und ist erkennbar. Als Majorante ndet man g() := + 2. Nac diesen Andeutungen, die der interessierte Leser etwas genauer ausfüre, ndet man die Vertauscbarkeit. Im vorliegenden Beispiel funktioniert natürlic auc die glm. Konvergenz, wie 2.5 gezeigt at. A.2.3 Nocmals 2.6. Hier ging es bei positivem a (nac Rekursname auf die Grenzwertdenition der Ableitung) um das Vertauscen f(x, a + ) f(x, a) ( ) f(x, a + ) f(x, a) dx = dx, wobei f(x, a) := ln(+a2 x 2 ) 3+x 2 ist. Um Satz 3 anwenden zu können, kann wie folgt vorgegangen werden: Es sei M := [ a 2, a 2 ] und d die euklidisce Metrik. ( ) es sei F (, x) := (f(x, a + ) f(x, a)) = 3+x 2 ln +(a+) 2 x 2 +a 2 x 2 2ax und F (, x) := f a (x, a) = 2 (3+x 2 )(+a 2 x 2 ). für

12 Die Rolle von f im Satz werde von F gespielt. Die Meÿbarkeit von x F (, x) für alle M ergibt sic aus der Stetigkeit (bezüglic x). Nun begibt man sic auf die Suce nac dem g. Der MWS der DR liefert ein θ = θ(x) mit ln( + (a + ) 2 x 2 ) ln( + a 2 x 2 ) sup 2(a + θ)x 2 + (a + θ) 2 x 2 2(a + a 2 )x2 + (a a 2 )2 x 2 2 a. (man könnte es besser macen nict nötig, wie wir gleic seen werden.) Nun setzen wir g(x) := 2 a(3+x 2 ). Dann ist g eine Scranke für alle x F (, x) mit M, auc für =, wie man unmittelbar nacvollziet. Verbleibt, die Meÿbarkeit von g (als stetiger Funktion) und ire Absolutintegrierbarkeit anzumerken. Somit ergibt Anwendung von Satz 3 die Vertauscbarkeit der Limiten. Satz 3 reduziert somit den Aufwand an Abscätzungsarbeit ereblic! 2