klassischer Raumflug (Newton)

Transkript

1 Raumflug: Bewegungsgleihungen v.8 1/4 klassisher Raumflug (Newon) Ein Raumshiff flieg mi konsaner Beshleunigung a. Die Zeimessung im Raumshiff unersheide sih nih von der auf der Erde, Geshwindigkeien und Wegsreken dürfen einfah addier werden. a ons die Beshleunigung (A) v a a v a die momenane Geshwindigkei zur Zei (V) s a a s a und einfah umgeform der zurükgelege Weg zur Zei (S) d a die nöige Zei, um die Disanz d zurükzulegen () v ad die Geshwindigkei im Absand d von der Erde (V') relivisisher Raumflug (Einsein) Wir nehmen genauso an, dass das Raumshiff mi konsaner Beshleunigung a> flieg. Daruner versehen wir ganz präzise folgendes: die vom Reisenden (Eigenzei ) fesgeselle Geshwindigkeiszunahme is zu jeder Zei gleih dv a d Wir müssen das Gesez der relivisishen Geshwindigkeisaddiion (Lorenz ransformion) anwenden, da keine simple Addiion von Geshwindigkeien erlaub is. v dv v a d 1 v a d 1 da für kleine x 1 x gil, erhalen wir 1 x v dv v a d 1 v a d und wenn wir dies ausmuliplizieren und quadrishe erme in d vernahlässigen erhalen wir für die Differenziale v dv v a d v a d Wolfgang Urban, HIB Wien 1

2 Raumflug: Bewegungsgleihungen v.8 1/4 Sezen wir wie üblih v, so erhalen wir dv a d 1 und nah Division durh die separiere Differenialgleihung 1 a d Diese läss sih inegrieren zu aranh a ons. Wenn bei = v= sein soll, erhalen wir v anh a Dami haben wir eine Formel gewonnen, die uns die erreihe Endgeshwindigkei liefer, wenn das Raumshiff über die Zei (Eigenzei) hinweg mi Beshleunigung a flieg. (1) Wir wollen auh den Fakor γ besimmen, der in den Formeln der Längenkonrakion und der Zeidilion aufri. Auh dies is für ein beshleuniges Raumshiff keine Konsane mehr! Dazu verwenden wir Gleihung (1) und wenden den rik 1 anh 1 osh 1 1 an osh osh 1 1 osh a relivisisher Verkürzungsfakor zur Eigenzei (1') Prakish wäre auh eine Formel, um zwishen Bordzei (beweges Sysem) und Erdzei (ruhendes Sysem) umrehnen zu können. Wir wenden das Gesez der Zeidilion an Differenziell wird einfah zu d d 1. Das inegrieren wir zu 1 1 anh a osh a Es ergib sih somi a sinh a Zur Berehnung der auf der Erde vergangenen Zei, wenn an Bord die Zei vergangen is. () Drüken wir aus, können wir auh von auf shließen: arsinh a Zur Berehnung der im Raumshiff vergangenen Zei, wenn auf der Erde die Zei vergangen is. (') Weiers können wir () in (1') uner Verwendung von osh 1 sinh einsezen und gewinnen Wolfgang Urban, HIB Wien

3 Raumflug: Bewegungsgleihungen v.8 1/4 relivisisher Verkürzungsfakor zur Erdzei (1'') Um nun die vom Raumshiff innerhalb der Erdzei zurükgelege Disanz d zu ermieln, berehnen wir durh Kombinion der beiden Ergebnisse vorers v(). Dazu müssen wir in (1) durh ersezen. Das klapp mi (') ganz leih. Erinnern wir uns dabei an anh sinh osh sinh, so ergib sih 1 sinh v anh arsinh sinh arsinh 1 sinh arsinh und somi v 1 Die Geshwindigkei des Raumshiffes nah vergangener Zei des Ruhsysems (3) So eine 'einfahe' Formel haben wir kaum erware. Differenzieren wir sie doh shnell einmal, um einen Ausdruk für die von der Erde aus beobahee Beshleunigung zu gewinnen! a a 1 3 Von der Erde aus beobahee Beshleunigung des Raumshiffes, wenn dieses mi konsaner Beshleunigung a flieg. (4) Nun aber endlih zum zurükgelegen Weg. Dafür brauhen wir nur (3) zu inegrieren, was miels Subsiuion leih geling: a s v 1 a a 1 s a 1 Der innerhalb der Zei (Ruhsysem) zurükgelege Weg (5) Da wir aus () wissen, dass sinh a gil, können wir mi 1 sinh osh umformen s a osh a 1 Der innerhalb der Zei (Raumshiff) zurükgelege Weg, von der Erde aus berahe (5') Wolfgang Urban, HIB Wien 3

4 Raumflug: Bewegungsgleihungen v.8 1/4 In vielen Aufgaben is die vom Raumshiff zurükzulegende Disanz d bekann. Formen wir (5') um: ad 1 osh a und durh auflösen nah ad arosh a 1 Zei im Raumshiff nah Zurüklegen der Sreke d (von Erde aus gesehen) (6) Gleihung () besag a sinh a a osh a 1. Mi (5') gib das ad a 1 1 a a d 4 a und somi d d a Erdzei die das Raumshiff zum Zurüklegen der Sreke d benöig (7) Weiers können wir (1'') und (5) verbinden: und ad 1 ad 1 relivisisher Verkürzungsfakor nah Durhfliegen der Sreke d (8) Bemerkung: Die abgeleieen Gleihungen gelen nur im Rahmen der speziellen Reliviä, also innerhalb von Millionen Lihjahren in einem nih gekrümmen leeren Raum. Genaugenommen müssen wir Graviionsfelder berüksihigen (die Rakee muss das Feld der Erde, der Sonne, der Galaxie verlassen) und die Änderung der Raumgeomerie (und dadurh eine Veränderung der Längen und der Uhren) durh Massen berüksihigen. Für größere Disanzen (Milliarden Lihjahre) spiel außerdem die Expansion des Welalls eine Rolle. Berehnungen sind dann nur mehr im Rahmen der allgemeinen Reliviä möglih. Wolfgang Urban, HIB Wien 4

5 Raumflug: Bewegungsgleihungen v.8 1/4 Zusammenfassung: a konsane Beshleunigung des Raumshiffs im eigenen Sysem Bordzei, Eigenzei des Raumshiffes Erdzei, Zei im ruhenden Sysem v Geshwindigkei des Raumshiffs d Disanz zum Ziel zurükgeleger Weg erreihe Geshwindigkei s a 1 s a osh a 1 v 1 v anh a (5) (5') (3) (1) Beshleunigung (im Erdsysem) a a 1 3 (4) relivisisher Fakor Flugdauer Zeiumrehnung osh a ad 1 d d a ad arosh a 1 a sinh a arsinh a (1'') (1') (8) (7) (6) () (') Erdbeshleunigung g = 9.87 m/s = 1.3 Lihjahre/Jahre Wolfgang Urban, HIB Wien 5