Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $

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1 $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen das die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks = sich in einem Punkt S u schneiden und das dieser der eindeutige Punkt ist der von allen Ecken des Dreiecks denselben bstand R := S u = S u = S u hat. Damit geht der Kreis mit Radius R und Mittelpunkt S u durch alle drei Ecken des Dreiecks =, und da S u der einzige Punkt ist der von allen drei Ecken gleich weit entfernt ist, ist dieser Kreis auch der einzige Kreis der durch,, geht. Man nennt den Kreis durch die Ecken von auch den Umkreis von und der Schnittpunkt S u ist daher der Mittelpunkt des Umkreises. Der Radius R des Umkreises heißt dann der Umkreisradius von. S u S u =Su Spitzwinklig Stumpfwinklig Rechtswinklig Die Lage des Umkreismittelpunkts S u unterscheided sich je nachdem ob das betrachtete Dreieck = spitz-, stumpf- und rechtwinklig. Im spitzwinkligen Fall liegt S u immer im Inneren des Dreiecks während S u im stumpfwinkligen Fall immer außerhalb des Dreiecks liegt, ist der stumpfe Winkel etwa in so liegt S u auf der anderen Seite von als. Im rechtwinkligen Fall liegt S u dagegen auf dem Dreieck, und zwar ist S u der Mittelpunkt der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite. Um dies einzusehen habe = etwa in einen rechten Winkel. Ist dann der Mittelpunkt von und bezeichnet den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf mit der Seite, so sind und beide senkrecht auf und somit sind und parallel. Damit können wir den Strahlensatz anwenden und erhalten 2 = / = /, d.h. ist der Mittelpunkt von. nalog geht auch die Mittelsenkrechte auf durch diesen Mittelpunkt, d.h. die drei Mittelsenkrechten von schneiden sich in S u. Damit haben wir S u = im rechtwinkligen Fall eingesehen. 5-1

2 φ ρ R Su R S u γ R c/2 ρ ψ φ ψ Der Umkreis von estimmung des Umkreisradius Wir wollen jetzt den Radius R des Umkreises berechnen, und dies geschieht durch etrachtung der oben rechts gezeigten Figur. Satz 1.18 (estimmung des Umkreisradius) Sei = ein Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkeln α, β, γ gemäß den Standardbezeichnungen. Weiter bezeichne F die Fläche von und R den Umkreisradius von. Dann gilt R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ = abc 4F. eweis: Ziehe von S u aus die Verbindungen mit den drei Ecken,, von. Dann ist das Dreick S u in S u gleichschenklig, also sind die Winkel dieses Dreiecks in den Ecken und nach ufgabe (4.a) gleich, und wir nennen diesen Winkel ψ. nalog sind auch die Winkel von S u in und gleich einem Winkel ϱ und die Winkel von S u in und gleich einem Winkel φ. Da der Winkel α von in in φ und ψ zerlegt wird, haben wir Es folgt γ β = φ ψ und somit Weiter folgen α = φ + ψ und analog β = ψ + ϱ, γ = ϱ + φ. π 2β = α β + γ = 2φ, d.h. φ = π 2 β. ψ = α φ = α + β π 2 = π 2 γ und ϱ = β ψ = β + γ π 2 = π 2 α. ezeichne nun den Mittelpunkt der Strecke und betrachte das rechtwinklige Dreieck S u. Der Winkel in diesem Dreieck bei S u ist π 2 ψ = γ, 5-2

3 und bezüglich dieses Winkels haben wir die Gegenkathete c/2 und die Hypothenuse R, also gilt 1 2 sin γ = c und somit R = c R 2 sin γ. nalog sind dann auch R = a/(2 sin α) = b/(2 sin β). Weiter ergibt sich F = 1 2 abc abc ab sin γ =, d.h. R = 4R 4F. Dieser eweis behandelt eigentlich nur den spitzwinkligen Fall in dem S u innerhalb des Dreiecks liegt, der eweis im stumpf- beziehungsweise rechtwinkligen Fall ist aber analog. Schreiben wir die Gleichung für den Umkreisradius etwas um, so wird sin α a = sin β b = sin γ c = 1 2R, das gemeinsame Verhältnis vom Sinus jedes Winkels zu seiner gegenüberliegenden Seite aus dem Sinussatz ist also gleich dem Kehrwert des doppelten Umkreisradius. Schauen wir uns ein explizites eispiel an und betrachten das Dreieck mit den Seiten a = 2, b = 3, c = 4. Dann sind s = = 9 2, s a = 5 2, s b = 3 2 und s c = 1 2 also wird die Fläche von F nach der Heronschen Flächenformel Satz 15 zu F = 135 s(s a)(s b)(s c) = 16 = 3 15, 4 der Inkreisradius ist nach Korollar 16 r = F s = und der Umkreisradius ist schließlich nach Satz 18 R = abc 4F = 8 15 = Wir haben jetzt drei unserer speziellen Punkte behandelt, es steht nur noch der Schnittpunkt der Höhen aus. Tatsächlich folgt die Existenz dieses Schnittpunkts aus der Existenz des Schnittpunkts der Mittelsenkrechten angewandt in einem geeigneten Hilfsdreieck. Sei = ein Dreieck und betrachte das bei der ehandlung der Seitenhalbierenden eingeführte Mittendreieck, also das Dreieck = das von den drei Seitenmittelpunkten gebildet wird. Wir wollen uns überlegen was die Höhen in sind, schauen wir uns etwa die Höhe h c auf der Seite von an. Nach Lemma 11 ist 5-3

4 parallel zur Seite von, und da h c senkrecht auf steht, ist h c auch senkrecht auf. Nun geht h c durch den Seitenmittelpunkt von, d.h. h c ist die Mittelsenkrechte von auf. nalog kann man für die beiden anderen Höhen schließen, d.h. die Höhen des Mittendreiecks sind genau die Mittelsenkrechten von. Damit schneiden sich die Höhen von nach Satz 17 im Umkreismittelpunkt von. * c hc * b a * Höhe im Mittendreieck Konstruktion von In einem Mittendreieck schneiden sich die Höhen somit immer in einem Punkt, um also zu zeigen das dies in einem allgemeinen Dreieck = ebenfalls gilt, reicht es einzusehen das das Mittendreieck eines geeigneten vergrößerten Dreiecks ist. Um dieses zu konstruieren, ziehen wir die Parallele a zu durch, die Parallele b zu durch und schließlich die Parallele c zu durch. Damit definieren wir dann als Schnittpunkt von b und c, als den Schnittpunkt von a und c und letztlich als den Schnittpunkt von a und b. Diese Konstruktion liefert uns das Dreieck = und wir behaupten das das Mittendreieck von ist. Überlegen wir uns einmal das der Seitenmittelpunkt von ist. Nach Konstruktion sind = c und, = b und sowie = = a und jeweils parallel zueinander, wir haben also zwei Parallelogramme und. Erinnern wir uns jetzt daran, dass in einem Parallelogram gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, so ergibt sich = = = und dies bedeutet tatsächlich das der Mittelpunkt von ist. nalog sind der Mittelpunkt von und der Mittelpunkt von, d.h. = ist tatsächlich das Mittendreieck von =. 5-4

5 γ D β α β γ α Die hier verwendete Tatsache über Parallelogramme ist dabei anschaulich klar, formal kann man sie beispielsweise aus dem Kongruenzsatz SWW für Dreiecke gewinnen. Geben wir uns etwa ein Parallelogram D wie oben vor, so zerlegen wir dieses durch die Strecke D in zwei Dreiecke D und D. Sind dann β der Winkel bei in D und γ der Winkel bei D in D, so folgt mit dem Stufenwinkelsatz wegen D das der Winkel in D bei D auch β ist und ebenso folgt mit D das der Winkel in D bei gleich γ ist. Nach Satz 9 sind die beiden Dreiecke D und D damit kongruent, also sind auch D = und = D wie behauptet. Satz 1.19 (Der Schnittpunkt der Höhen) Sei ein Dreieck. Dann schneiden sich die drei Höhen von in einem Punkt S h. eweis: Wir haben gerade gezeigt das es ein Dreieck mit Mittendreieck gibt und damit sind die Höhen von die Mittelsenkrechten von, schneiden sich also nach Satz 17 in einem Punkt. Damit haben wir die Konstruktion der vier speziellen Punkte S m, S w, S u und S h beendet. Die Schnittpunkte der Seitenhalbierenden, der Mittelsenkrechten und der Höhen können jetzt nicht völlig beliebig zueinander liegen, es stellt sich heraus das sie immer auf einer gemeinsamen Geraden sind, der sogenannten Euler-Geraden des Dreiecks. Dies wurde 1763 von Leonard Euler entdeckt und scheint das erste Resultat über Dreiecke zu sein das in der ntike nicht bekannt war. evor wir den entsprechenden Satz beweisen, müssen wir erst einmal den Randfall eines gleichseitigen Dreiecks aus dem Weg schaffen. In einem gleichseitigen Dreieck stimmen nach ufgabe (4.a) die Seitenhalbierenden, Winkelhalbierenden, Mittelsenkrechten und Höhen überein, also ist stets S m = S w = S u = S h, die vier speziellen Punkte fallen also alle zusammen. In nicht gleichseitigen Dreiecken kann dies nicht auftreten, und wir formulieren den Satz über die Eulergerade daher für nicht gleichseitige Dreiecke. 5-5

6 Satz 1.20 (Die Eulergerade eines Dreiecks) Sei = ein nicht gleichseitiges Dreieck. Dann sind der Schwerpunkt S m von, der Umkreismittelpunkt S u von und der Höhenschnittpunkt S h von paarweise verschieden und diese Punkte liegen auf einer Geraden e, der sogenannten Eulergeraden des Dreiecks. uf dieser Geraden liegt S m zwischen S u und S h und trennt diese Punkte im Verhältnis 1 : 2, d.h. es gilt S m S h = 2 S m S u. S h S m b h a S u c/2 c/2 eweis: ngenommen es wäre S u = S m. Dann stimmen die Mittelsenkrechten und die Seitenhalbierenden in überein, und wir behaupten das dann bezüglich aller drei Ecken gleichschenklig und somit gleichseitig ist, im Widerspruch zu unserer nnahme. Dies ist leicht zu sehen, bezeichnen wir etwa die gemeinsame Mittelsenkrechte und Seitenhalbierende über als h und wenden in den beiden rechts oben gezeigten rechtwinkligen Dreieck jeweils den Satz des Pythagoras Satz 1 an, so ergibt sich a 2 = h 2 + (c/2) 2 = b 2 also a = b. Für die beiden anderen Ecken schließt man analog. Dieser Widerspruch zeigt S u S m. Sei e die Verbindunsgerade von S u und S m und bezeichne S den Punkt auf e so, dass S m zwischen S u und S liegt und diese Strecke im Verhältnis 1 : 2 teilt, d.h. S m S = 2 S m S u, wie oben links eingezeichnet. Dann ist zu zeigen das S der Höhenschnittpunkt von ist, also auf allen drei Höhen liegt. Sei der Mittelpunkt der Strecke und nehme an das S u nicht auf der Seitenhalbierenden liegt. Nach Satz 12 zerlegt S m die Strecke im Verhältnis 2 : 1, also S m = 2 S m. Folglich ist S m S m S = 2 S m 2 S m S u = S m S m S u, d.h. die Seitenpaare S m, S m S und S m, S m S u in den beiden Dreiecken S m S und S m S u haben dasselbe Verhältnis. Die von diesen beiden eingeschlossenen Winkel in S m S und S m S u sind ebenfalls gleich, also sind die beiden Dreiecke nach dem Ähnlichkeitssatz Satz 10 ähnlich. Damit sind die Winkel dieser Dreiecke bei beziehungsweise gleich und nach dem Stufenwinkelsatz sind S und S u parallel. Nun ist S u senkrecht auf, also ist auch S senkrecht auf, d.h. S ist die Höhe von auf. nalog schließt man für die anderen beiden Höhen. Wegen S u S m liegt S u auf höchstens einer Seitenhalbierenden von, also gehen mindestens zwei der Höhen von durch S, d.h. S = S h ist der Schnittpunkt der Höhen von. Insbesondere ist damit S h S m, S u. 5-6

7 Der eweis dieses Satzes liefert uns übrigens einen zweiten eweis für die Existenz des Höhenschnittpunkts, zumindest in nicht gleichseitigen Dreiecken. Im allgemeinen liegt der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, also der Mittelpunkt des Inkreises, nicht auf der Eulergeraden. Man kann einsehen das die Eulergerade genau dann durch den Inkreismittelpunkt läuft wenn gleichschenklig ist, dies wollen wir hier aber nicht behandeln. 1.6 Einige Sätze über Kreise Im vorigen bschnitt haben wir den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks behandelt, und jetzt wollen wir noch etwa weiter auf das Zusammespiel zwischen Kreisen und Dreiecken eingehen. Wir beginnen dabei mit dem grundlegenden Satz über Kreise, den sogenannten Satz von Thales der besagt das alle Winkel im Halbkreis Rechte sind. Satz 1.21 (Satz von Thales) Sei ein Durchmesser eines Kreises k und ein Punkt auf k aber nicht auf. Dann hat das Dreieck in einen rechten Winkel. φ ψ α M β eweis: ezeichne M den Mittelpunkt des Kreises k. Dann sind die beiden Dreiecke M und M bei M gleichschenklig, also sind nach ufgabe (4.a) die Winkel α und φ bei und in M sowie die Winkel β und ψ bei und in M jeweils gleich, also φ = α und ψ = β. Der Winkel von bei ist γ = φ + ψ = α + β und da die Winkelsumme in einem Dreieck immer π ist ergibt sich Damit ist der Satz vollständig bewiesen. γ = π (α + β) = π γ, also γ = π 2. etrachten wir anstelle eines Durchmessers des Kreises k eine Sekante dieses Kreises, so liegen zwar keine rechten Winkel mehr vor, aber zumindest sind alle von der Sekante und einem weiteren Punkt auf k gebildeten Winkel gleich sofern sie auf derselben Seite der Sekante liegen. Die Winkel auf den beiden verschiedenen Seiten addieren sich dabei zu π. Um diesen sogenannten Perepheriewinkelsatz zu beweisen, ist es nützlich zunächst ein Lemma über n-ecke vorauszuschicken. Dieses benötigen wir eigentlich nur 5-7

8 für Vierecke, später in diesem Semester werden wir es aber auch für andere Werte von n verwenden. Unter einem konvexen n-eck verstehen wir ein Tupel n von Punkten die einen konvexen ereich als seinen Rand umlaufen und auf diesem Rand im Gegenuhrzeigersinn aufeinanderfolgenden angeordnet sind. Ein Dreieck ist dann auch ein konvexes 3-Eck i+1 i+1 δ i i Konvexes n-eck 3 Z γ i Unterteilung in Dreiecke i β i i 1 Lemma 1.22 (Innenwinkel konvexer n-ecke) Sei n N mit n 3 und sei = 1... n ein konvexes n-eck. Für jedes 1 i n bezeichne α i den Innenwinkel von bei i. Dann gilt α i = (n 2) π. eweis: Setze 0 := n und ähle einen Punkt Z im Inneren von. Für jedes 1 i n bezeichne i das Dreieck mit den Ecken Z, i 1 und i und die Winkel in i seien dabei der Reihe nach mit γ i, β i, δ i bezeichnet. Da die Winkelsumme im Dreieck immer π ist, haben wir dann γ i + β i + δ i = π für jedes 1 i n. Setzen wir noch β n+1 := β 1, so ist auch α i = δ i + β i+1 für jedes 1 i n. Die Winkel bei Z bilden einen vollen Kreis, also ist γ i = 2π. Summieren wir jetzt die Winkel aller Dreiecke 1,..., n, so wird schließlich nπ = (γ i + β i + δ i ) = γ i + β i + = γ i + β i+1 + δ i = δ i γ i + (δ i + β i+1 ) = 2π + α i, 5-8

9 d.h. es ist wie behauptet. α i = (n 2)π Für n = 3 erhalten wir wieder das die Winkelsumme im Dreieck π ist, für n = 4 ergibt sich das die Winkelsumme in einem Viereck gleich 2π ist und so weiter. 5-9