Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $"

Transkript

1 $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen das die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks = sich in einem Punkt S u schneiden und das dieser der eindeutige Punkt ist der von allen Ecken des Dreiecks denselben bstand R := S u = S u = S u hat. Damit geht der Kreis mit Radius R und Mittelpunkt S u durch alle drei Ecken des Dreiecks =, und da S u der einzige Punkt ist der von allen drei Ecken gleich weit entfernt ist, ist dieser Kreis auch der einzige Kreis der durch,, geht. Man nennt den Kreis durch die Ecken von auch den Umkreis von und der Schnittpunkt S u ist daher der Mittelpunkt des Umkreises. Der Radius R des Umkreises heißt dann der Umkreisradius von. S u S u =Su Spitzwinklig Stumpfwinklig Rechtswinklig Die Lage des Umkreismittelpunkts S u unterscheided sich je nachdem ob das betrachtete Dreieck = spitz-, stumpf- und rechtwinklig. Im spitzwinkligen Fall liegt S u immer im Inneren des Dreiecks während S u im stumpfwinkligen Fall immer außerhalb des Dreiecks liegt, ist der stumpfe Winkel etwa in so liegt S u auf der anderen Seite von als. Im rechtwinkligen Fall liegt S u dagegen auf dem Dreieck, und zwar ist S u der Mittelpunkt der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite. Um dies einzusehen habe = etwa in einen rechten Winkel. Ist dann der Mittelpunkt von und bezeichnet den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf mit der Seite, so sind und beide senkrecht auf und somit sind und parallel. Damit können wir den Strahlensatz anwenden und erhalten 2 = / = /, d.h. ist der Mittelpunkt von. nalog geht auch die Mittelsenkrechte auf durch diesen Mittelpunkt, d.h. die drei Mittelsenkrechten von schneiden sich in S u. Damit haben wir S u = im rechtwinkligen Fall eingesehen. 5-1

2 φ ρ R Su R S u γ R c/2 ρ ψ φ ψ Der Umkreis von estimmung des Umkreisradius Wir wollen jetzt den Radius R des Umkreises berechnen, und dies geschieht durch etrachtung der oben rechts gezeigten Figur. Satz 1.18 (estimmung des Umkreisradius) Sei = ein Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkeln α, β, γ gemäß den Standardbezeichnungen. Weiter bezeichne F die Fläche von und R den Umkreisradius von. Dann gilt R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ = abc 4F. eweis: Ziehe von S u aus die Verbindungen mit den drei Ecken,, von. Dann ist das Dreick S u in S u gleichschenklig, also sind die Winkel dieses Dreiecks in den Ecken und nach ufgabe (4.a) gleich, und wir nennen diesen Winkel ψ. nalog sind auch die Winkel von S u in und gleich einem Winkel ϱ und die Winkel von S u in und gleich einem Winkel φ. Da der Winkel α von in in φ und ψ zerlegt wird, haben wir Es folgt γ β = φ ψ und somit Weiter folgen α = φ + ψ und analog β = ψ + ϱ, γ = ϱ + φ. π 2β = α β + γ = 2φ, d.h. φ = π 2 β. ψ = α φ = α + β π 2 = π 2 γ und ϱ = β ψ = β + γ π 2 = π 2 α. ezeichne nun den Mittelpunkt der Strecke und betrachte das rechtwinklige Dreieck S u. Der Winkel in diesem Dreieck bei S u ist π 2 ψ = γ, 5-2

3 und bezüglich dieses Winkels haben wir die Gegenkathete c/2 und die Hypothenuse R, also gilt 1 2 sin γ = c und somit R = c R 2 sin γ. nalog sind dann auch R = a/(2 sin α) = b/(2 sin β). Weiter ergibt sich F = 1 2 abc abc ab sin γ =, d.h. R = 4R 4F. Dieser eweis behandelt eigentlich nur den spitzwinkligen Fall in dem S u innerhalb des Dreiecks liegt, der eweis im stumpf- beziehungsweise rechtwinkligen Fall ist aber analog. Schreiben wir die Gleichung für den Umkreisradius etwas um, so wird sin α a = sin β b = sin γ c = 1 2R, das gemeinsame Verhältnis vom Sinus jedes Winkels zu seiner gegenüberliegenden Seite aus dem Sinussatz ist also gleich dem Kehrwert des doppelten Umkreisradius. Schauen wir uns ein explizites eispiel an und betrachten das Dreieck mit den Seiten a = 2, b = 3, c = 4. Dann sind s = = 9 2, s a = 5 2, s b = 3 2 und s c = 1 2 also wird die Fläche von F nach der Heronschen Flächenformel Satz 15 zu F = 135 s(s a)(s b)(s c) = 16 = 3 15, 4 der Inkreisradius ist nach Korollar 16 r = F s = und der Umkreisradius ist schließlich nach Satz 18 R = abc 4F = 8 15 = Wir haben jetzt drei unserer speziellen Punkte behandelt, es steht nur noch der Schnittpunkt der Höhen aus. Tatsächlich folgt die Existenz dieses Schnittpunkts aus der Existenz des Schnittpunkts der Mittelsenkrechten angewandt in einem geeigneten Hilfsdreieck. Sei = ein Dreieck und betrachte das bei der ehandlung der Seitenhalbierenden eingeführte Mittendreieck, also das Dreieck = das von den drei Seitenmittelpunkten gebildet wird. Wir wollen uns überlegen was die Höhen in sind, schauen wir uns etwa die Höhe h c auf der Seite von an. Nach Lemma 11 ist 5-3

4 parallel zur Seite von, und da h c senkrecht auf steht, ist h c auch senkrecht auf. Nun geht h c durch den Seitenmittelpunkt von, d.h. h c ist die Mittelsenkrechte von auf. nalog kann man für die beiden anderen Höhen schließen, d.h. die Höhen des Mittendreiecks sind genau die Mittelsenkrechten von. Damit schneiden sich die Höhen von nach Satz 17 im Umkreismittelpunkt von. * c hc * b a * Höhe im Mittendreieck Konstruktion von In einem Mittendreieck schneiden sich die Höhen somit immer in einem Punkt, um also zu zeigen das dies in einem allgemeinen Dreieck = ebenfalls gilt, reicht es einzusehen das das Mittendreieck eines geeigneten vergrößerten Dreiecks ist. Um dieses zu konstruieren, ziehen wir die Parallele a zu durch, die Parallele b zu durch und schließlich die Parallele c zu durch. Damit definieren wir dann als Schnittpunkt von b und c, als den Schnittpunkt von a und c und letztlich als den Schnittpunkt von a und b. Diese Konstruktion liefert uns das Dreieck = und wir behaupten das das Mittendreieck von ist. Überlegen wir uns einmal das der Seitenmittelpunkt von ist. Nach Konstruktion sind = c und, = b und sowie = = a und jeweils parallel zueinander, wir haben also zwei Parallelogramme und. Erinnern wir uns jetzt daran, dass in einem Parallelogram gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, so ergibt sich = = = und dies bedeutet tatsächlich das der Mittelpunkt von ist. nalog sind der Mittelpunkt von und der Mittelpunkt von, d.h. = ist tatsächlich das Mittendreieck von =. 5-4

5 γ D β α β γ α Die hier verwendete Tatsache über Parallelogramme ist dabei anschaulich klar, formal kann man sie beispielsweise aus dem Kongruenzsatz SWW für Dreiecke gewinnen. Geben wir uns etwa ein Parallelogram D wie oben vor, so zerlegen wir dieses durch die Strecke D in zwei Dreiecke D und D. Sind dann β der Winkel bei in D und γ der Winkel bei D in D, so folgt mit dem Stufenwinkelsatz wegen D das der Winkel in D bei D auch β ist und ebenso folgt mit D das der Winkel in D bei gleich γ ist. Nach Satz 9 sind die beiden Dreiecke D und D damit kongruent, also sind auch D = und = D wie behauptet. Satz 1.19 (Der Schnittpunkt der Höhen) Sei ein Dreieck. Dann schneiden sich die drei Höhen von in einem Punkt S h. eweis: Wir haben gerade gezeigt das es ein Dreieck mit Mittendreieck gibt und damit sind die Höhen von die Mittelsenkrechten von, schneiden sich also nach Satz 17 in einem Punkt. Damit haben wir die Konstruktion der vier speziellen Punkte S m, S w, S u und S h beendet. Die Schnittpunkte der Seitenhalbierenden, der Mittelsenkrechten und der Höhen können jetzt nicht völlig beliebig zueinander liegen, es stellt sich heraus das sie immer auf einer gemeinsamen Geraden sind, der sogenannten Euler-Geraden des Dreiecks. Dies wurde 1763 von Leonard Euler entdeckt und scheint das erste Resultat über Dreiecke zu sein das in der ntike nicht bekannt war. evor wir den entsprechenden Satz beweisen, müssen wir erst einmal den Randfall eines gleichseitigen Dreiecks aus dem Weg schaffen. In einem gleichseitigen Dreieck stimmen nach ufgabe (4.a) die Seitenhalbierenden, Winkelhalbierenden, Mittelsenkrechten und Höhen überein, also ist stets S m = S w = S u = S h, die vier speziellen Punkte fallen also alle zusammen. In nicht gleichseitigen Dreiecken kann dies nicht auftreten, und wir formulieren den Satz über die Eulergerade daher für nicht gleichseitige Dreiecke. 5-5

6 Satz 1.20 (Die Eulergerade eines Dreiecks) Sei = ein nicht gleichseitiges Dreieck. Dann sind der Schwerpunkt S m von, der Umkreismittelpunkt S u von und der Höhenschnittpunkt S h von paarweise verschieden und diese Punkte liegen auf einer Geraden e, der sogenannten Eulergeraden des Dreiecks. uf dieser Geraden liegt S m zwischen S u und S h und trennt diese Punkte im Verhältnis 1 : 2, d.h. es gilt S m S h = 2 S m S u. S h S m b h a S u c/2 c/2 eweis: ngenommen es wäre S u = S m. Dann stimmen die Mittelsenkrechten und die Seitenhalbierenden in überein, und wir behaupten das dann bezüglich aller drei Ecken gleichschenklig und somit gleichseitig ist, im Widerspruch zu unserer nnahme. Dies ist leicht zu sehen, bezeichnen wir etwa die gemeinsame Mittelsenkrechte und Seitenhalbierende über als h und wenden in den beiden rechts oben gezeigten rechtwinkligen Dreieck jeweils den Satz des Pythagoras Satz 1 an, so ergibt sich a 2 = h 2 + (c/2) 2 = b 2 also a = b. Für die beiden anderen Ecken schließt man analog. Dieser Widerspruch zeigt S u S m. Sei e die Verbindunsgerade von S u und S m und bezeichne S den Punkt auf e so, dass S m zwischen S u und S liegt und diese Strecke im Verhältnis 1 : 2 teilt, d.h. S m S = 2 S m S u, wie oben links eingezeichnet. Dann ist zu zeigen das S der Höhenschnittpunkt von ist, also auf allen drei Höhen liegt. Sei der Mittelpunkt der Strecke und nehme an das S u nicht auf der Seitenhalbierenden liegt. Nach Satz 12 zerlegt S m die Strecke im Verhältnis 2 : 1, also S m = 2 S m. Folglich ist S m S m S = 2 S m 2 S m S u = S m S m S u, d.h. die Seitenpaare S m, S m S und S m, S m S u in den beiden Dreiecken S m S und S m S u haben dasselbe Verhältnis. Die von diesen beiden eingeschlossenen Winkel in S m S und S m S u sind ebenfalls gleich, also sind die beiden Dreiecke nach dem Ähnlichkeitssatz Satz 10 ähnlich. Damit sind die Winkel dieser Dreiecke bei beziehungsweise gleich und nach dem Stufenwinkelsatz sind S und S u parallel. Nun ist S u senkrecht auf, also ist auch S senkrecht auf, d.h. S ist die Höhe von auf. nalog schließt man für die anderen beiden Höhen. Wegen S u S m liegt S u auf höchstens einer Seitenhalbierenden von, also gehen mindestens zwei der Höhen von durch S, d.h. S = S h ist der Schnittpunkt der Höhen von. Insbesondere ist damit S h S m, S u. 5-6

7 Der eweis dieses Satzes liefert uns übrigens einen zweiten eweis für die Existenz des Höhenschnittpunkts, zumindest in nicht gleichseitigen Dreiecken. Im allgemeinen liegt der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, also der Mittelpunkt des Inkreises, nicht auf der Eulergeraden. Man kann einsehen das die Eulergerade genau dann durch den Inkreismittelpunkt läuft wenn gleichschenklig ist, dies wollen wir hier aber nicht behandeln. 1.6 Einige Sätze über Kreise Im vorigen bschnitt haben wir den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks behandelt, und jetzt wollen wir noch etwa weiter auf das Zusammespiel zwischen Kreisen und Dreiecken eingehen. Wir beginnen dabei mit dem grundlegenden Satz über Kreise, den sogenannten Satz von Thales der besagt das alle Winkel im Halbkreis Rechte sind. Satz 1.21 (Satz von Thales) Sei ein Durchmesser eines Kreises k und ein Punkt auf k aber nicht auf. Dann hat das Dreieck in einen rechten Winkel. φ ψ α M β eweis: ezeichne M den Mittelpunkt des Kreises k. Dann sind die beiden Dreiecke M und M bei M gleichschenklig, also sind nach ufgabe (4.a) die Winkel α und φ bei und in M sowie die Winkel β und ψ bei und in M jeweils gleich, also φ = α und ψ = β. Der Winkel von bei ist γ = φ + ψ = α + β und da die Winkelsumme in einem Dreieck immer π ist ergibt sich Damit ist der Satz vollständig bewiesen. γ = π (α + β) = π γ, also γ = π 2. etrachten wir anstelle eines Durchmessers des Kreises k eine Sekante dieses Kreises, so liegen zwar keine rechten Winkel mehr vor, aber zumindest sind alle von der Sekante und einem weiteren Punkt auf k gebildeten Winkel gleich sofern sie auf derselben Seite der Sekante liegen. Die Winkel auf den beiden verschiedenen Seiten addieren sich dabei zu π. Um diesen sogenannten Perepheriewinkelsatz zu beweisen, ist es nützlich zunächst ein Lemma über n-ecke vorauszuschicken. Dieses benötigen wir eigentlich nur 5-7

8 für Vierecke, später in diesem Semester werden wir es aber auch für andere Werte von n verwenden. Unter einem konvexen n-eck verstehen wir ein Tupel n von Punkten die einen konvexen ereich als seinen Rand umlaufen und auf diesem Rand im Gegenuhrzeigersinn aufeinanderfolgenden angeordnet sind. Ein Dreieck ist dann auch ein konvexes 3-Eck i+1 i+1 δ i i Konvexes n-eck 3 Z γ i Unterteilung in Dreiecke i β i i 1 Lemma 1.22 (Innenwinkel konvexer n-ecke) Sei n N mit n 3 und sei = 1... n ein konvexes n-eck. Für jedes 1 i n bezeichne α i den Innenwinkel von bei i. Dann gilt α i = (n 2) π. eweis: Setze 0 := n und ähle einen Punkt Z im Inneren von. Für jedes 1 i n bezeichne i das Dreieck mit den Ecken Z, i 1 und i und die Winkel in i seien dabei der Reihe nach mit γ i, β i, δ i bezeichnet. Da die Winkelsumme im Dreieck immer π ist, haben wir dann γ i + β i + δ i = π für jedes 1 i n. Setzen wir noch β n+1 := β 1, so ist auch α i = δ i + β i+1 für jedes 1 i n. Die Winkel bei Z bilden einen vollen Kreis, also ist γ i = 2π. Summieren wir jetzt die Winkel aller Dreiecke 1,..., n, so wird schließlich nπ = (γ i + β i + δ i ) = γ i + β i + = γ i + β i+1 + δ i = δ i γ i + (δ i + β i+1 ) = 2π + α i, 5-8

9 d.h. es ist wie behauptet. α i = (n 2)π Für n = 3 erhalten wir wieder das die Winkelsumme im Dreieck π ist, für n = 4 ergibt sich das die Winkelsumme in einem Viereck gleich 2π ist und so weiter. 5-9

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $ $Id: dreieck.tex,v 1.7 013/04/ 0:37:01 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck In der letzten Sitzung hatten wir den sogenannten Inkreis eines Dreiecks eingeführt, dies ist der Kreis

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/18 15:03:29 hk Exp hk $

Mathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/18 15:03:29 hk Exp hk $ $Id: dreieck.tex,v 1.6 2013/04/18 15:03:29 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck Wir hatten gerade begonnen uns mit den speziellen Punkten im Dreieck zu beschäftigen. Dabei beschränken

Mehr

Repetition Begriffe Geometrie. 14. Juni 2012

Repetition Begriffe Geometrie. 14. Juni 2012 Repetition Begriffe Geometrie 14. Juni 2012 Planimetrie 1. Strahlensatz Planimetrie 1. Strahlensatz Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte

Mehr

Zum Einstieg. Mittelsenkrechte

Zum Einstieg. Mittelsenkrechte Zum Einstieg Mittelsenkrechte 1. Zeichne einen Kreis um A mit einem Radius r, der größer ist, als die Länge der halben Strecke AB. 2. Zeichne einen Kreis um B mit dem gleichen Radius. 3. Die Gerade durch

Mehr

Examen Kurzfragen (sortiert) VI. Dreiecke. 24. Juni 2014

Examen Kurzfragen (sortiert) VI. Dreiecke. 24. Juni 2014 Examen Kurzfragen (sortiert) VI. Dreiecke 24. Juni 2014 VI. Dreiecke Frage 1 Wie werden im rechtwinkligen Dreieck die beiden Seiten genannt, die dem rechten Winkel anliegen? VI. Dreiecke Frage 1 Wie werden

Mehr

Einleitung. Aufgaben: Vergrössern / Verkleinern. 1. Die Geo-Maus

Einleitung. Aufgaben: Vergrössern / Verkleinern. 1. Die Geo-Maus Kantonsschule Solothurn Geometrie: Zentrische Streckung und Ähnlichkeit RYS Zentrische Streckung und Ähnlichkeit Einleitung Aufgaben: Vergrössern / Verkleinern 1. Die Geo-Maus a) Zeichne die Geo-Maus noch

Mehr

2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen

2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen 2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen Aufgabe 1 Zeichne das Dreieck AC mit A( 1 2), (5 0) und C(3 6) und konstruiere seinen Umkreis. Gib den Radius und den Mittelpunkt des Umkreises an. Aufgabe 2 Konstruiere

Mehr

Lösungen zum Thema Geometrie. Lösungen zur Aufg. 0: a) Gib an, um welche besondere Linie im Dreieck es sich jeweils handelt.

Lösungen zum Thema Geometrie. Lösungen zur Aufg. 0: a) Gib an, um welche besondere Linie im Dreieck es sich jeweils handelt. Lösungen zum Thema Geometrie Lösungen zur Aufg. 0: a) Gib an, um welche besondere Linie im Dreieck es sich jeweils handelt. Höhe h c Winkelhalbierende w α Mittelsenkrechte ms c Seitenhalbierende s c b)

Mehr

Bezeichnungen am Dreieck

Bezeichnungen am Dreieck ezeichnungen am Dreieck Verbindet man drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, so entsteht ein Dreieck. llgemeine ezeichnungen: Die Eckpunkte des Dreiecks werden mit den uchstaben, und bezeichnet.

Mehr

Grundlagen. Einteilung der Dreiecke. Besondere Punkte des Dreiecks

Grundlagen. Einteilung der Dreiecke. Besondere Punkte des Dreiecks Der Name leitet sich von den griechischen Begriffen Tirgonon Dreieck und Metron Maß ab. ist also die Lehre vom Dreieck, d.h. die Grundaufgabe der besteht darin, aus drei Größen eines gegebenen Dreiecks

Mehr

F B. Abbildung 2.1: Dreieck mit Transversalen

F B. Abbildung 2.1: Dreieck mit Transversalen 2 DS DREIECK 16 2 Das Dreieck 2.1 Ein einheitliches Beweisprinzip Def. Eine Gerade, die jede Trägergerade der Seiten eines Dreiecks (in genau einem Punkt) schneidet, heißt Transversale des Dreiecks. Eine

Mehr

Lösungen IV ) β = 54,8 ; γ = 70,4 106) a) 65 b) 65 (115?) d) 57,5

Lösungen IV ) β = 54,8 ; γ = 70,4 106) a) 65 b) 65 (115?) d) 57,5 (Stark 7 S. 6ff) Lösungen IV. a) gleichschenklig 0) a) () α = β = 6,7 () β = 7,8 ; γ = 4,4 () α = 4 ; γ = (4) α = β = (80 γ)/ b) 79,6 und 0,8 oder 0, und 0, c) α = β = 64 ; γ = d) gleichschenklig; zwei

Mehr

Konstruktion Dreiecke und Vierecke PRÜFUNG 09. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote :

Konstruktion Dreiecke und Vierecke PRÜFUNG 09. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote : GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG Konstruktion Dreiecke und Vierecke PRÜFUNG 09 Name: Klasse: Datum: : Note: Ausgabe:. September 2011 Klassenschnitt/ Maximalnote : Selbsteinschätzung: / (freiwillig) Für alle

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/12 15:30:18 hk Exp hk $

Mathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/12 15:30:18 hk Exp hk $ $Id: dreieck.tex,v 1.3 2013/04/12 15:30:18 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.2 Der Strahlensatz Nachdem wir in der letzten Sitzung rechtwinklige Dreiecke betrachtet haben, kommen wir nun zur Einführung der trigonometrischen

Mehr

Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt.

Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr

Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002

Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002 Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002 Name, Vorname... Matr.Nr.... Semester-Anzahl im SS 2002:... Studiengang GH/R/S Tutor/in:... Aufg.1 Aufg,2 Aufg.3 Aufg.4 Aufg.5 Aufg.6 Aufg.7 Aufg.8 Gesamt

Mehr

5 Sphärische Trigonometrie

5 Sphärische Trigonometrie $Id: sphaere.tex,v 1.4 2013/06/24 23:05:24 hk Exp hk $ 5 Sphärische Trigonometrie 5.2 Sphärische Dreiecksberechnung Wir behandeln gerade die Berechnung sphärischer Dreiecke und haben zu diesem Zweck bereits

Mehr

Die Kapitel 1 und 2.1 haben wir im Jahr 2012 behandelt. Im Zirkel am haben wir mit Kapitel 2.2 begonnen.

Die Kapitel 1 und 2.1 haben wir im Jahr 2012 behandelt. Im Zirkel am haben wir mit Kapitel 2.2 begonnen. Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Elementargeometrie. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft(MSG) im Schuljahr 2012/2013. Die vorliegende

Mehr

Figuren Lösungen. 1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften den Dreiecken zu. Alle Winkel betragen 60.

Figuren Lösungen. 1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften den Dreiecken zu. Alle Winkel betragen 60. 1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften den Dreiecken zu. Alle Winkel betragen 60. Es gibt drei Symmetrieachsen. Gleichseitiges Dreieck Zwei Seiten stehen normal.

Mehr

MATHEMATIK ZUR VORBEREITUNG AUF DEN UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN REALSCHULREIFELEHRGANG ODER FACHSCHULREIFELEHRGANG DER BUNDESWEHRFACHSCHULE

MATHEMATIK ZUR VORBEREITUNG AUF DEN UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN REALSCHULREIFELEHRGANG ODER FACHSCHULREIFELEHRGANG DER BUNDESWEHRFACHSCHULE ZUR VORBEREITUNG AUF DEN UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN REALSCHULREIFELEHRGANG ODER FACHSCHULREIFELEHRGANG DER BUNDESWEHRFACHSCHULE MATHEMATIK Lehreinheit 11 Geometrie: Dreiecke und Vierecke II GEOMETRIE:

Mehr

Achsensymmetrie. Konstruktionen. Mathematik-Grundwissen Klassenstufe 7

Achsensymmetrie. Konstruktionen. Mathematik-Grundwissen Klassenstufe 7 Wissen Achsensymmetrie Beispiel Figuren die an einer Achse a gespiegelt werden nennt man achsensymmetrisch bezüglich a. Die Verbindungsstrecke zwischen zwei achsensymmetrischen Punkten wird durch die Achse

Mehr

Geometrie: I. Vorkenntnisse Übungenn

Geometrie: I. Vorkenntnisse Übungenn Geometrie: I. Vorkenntnisse Übungenn Übung 1: Konstruiere ein Dreieck mit Hilfe folgender Angaben: Grundseite c = 10 cm, Höhe h = 4 cm, Winkel γ = 60. 6 Ist die Konstruktion eindeutig? Kann man das Dreieck

Mehr

Vorwort: Farbe statt Formeln 7

Vorwort: Farbe statt Formeln 7 Inhaltsverzeichnis Vorwort: Farbe statt Formeln 7 1 Die Grundlagen 11 1.1 Vom Geodreieck zum Axiomensystem................ 11 1.2 Erste Folgerungen aus den Axiomen................. 24 1.3 Winkel.................................

Mehr

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Vor den eigentlichen Konstruktionen möchte ich einige emerkungen zu Faltungen machen, da sie leider in der Schule ein Stiefkind darstellen. Mit anderen Worten, sie

Mehr

2.2A. Das allgemeine Dreieck

2.2A. Das allgemeine Dreieck .A. Das allgemeine Dreieck Koordinatentransformation eines Dreiecks Jedes Dreieck läßt sich nach geeigneter Drehung und Verschiebung in ein Dreieck mit den Eckpunkten A = ( x, 0 ), B = ( y, 0 ), C = (

Mehr

1. Grundlegendes in der Geometrie

1. Grundlegendes in der Geometrie 1. Grundlegendes Geometrie 1. Grundlegendes in der Geometrie 1. 1 Übliche ezeichnungen Punkte bezeichnen wir mit Grossbuchstaben:,,,D,... P 1,P 2,P 3,...,,,... Strecken und deren Masszahl, sowie Geraden

Mehr

Grundwissen 7 Bereich 1: Terme

Grundwissen 7 Bereich 1: Terme Bereich 1: Terme Termwerte 1.1 S1 T (1) = 6 T (2) = 7 T ( 2) 3 = 12 1 4 = 12, 25 1.2 S1 m 2 0, 5 0 1 2 1 3 6 6 2 A(m) 7 11 5 0 1 Setzt man die Zahl 5 ein, so entsteht im Nenner die Zahl 0. Durch 0 zu teilen

Mehr

Montessori-Diplomkurs Inzlingen Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke

Montessori-Diplomkurs Inzlingen Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke 1 Material 4 metallene Rahmen (14 cm X 14 cm) mit gleichseitigen Dreiecken (Seitenlänge 10 cm). Die Dreiecke sind wie folgt unterteilt Ganze Halbe Drittel Viertel

Mehr

Mathematik Geometrie

Mathematik Geometrie Inhalt: Mathematik Geometrie 6.2003 2003 by Reto Da Forno bbildung / bbildungsvorschriften - Ähnlichkeitsabbildungen Seite 1 - Zentrische Streckung Seite 1 - Die Strahlensätze Seite 1 - Kongruenzabbildungen

Mehr

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1 M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr

Achsensymmetrie. Grundkonstruktionen

Achsensymmetrie. Grundkonstruktionen M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr

Winkel zeichnen. Hilfe. ACHTUNG! Achte immer genau darauf

Winkel zeichnen. Hilfe. ACHTUNG! Achte immer genau darauf Hilfe Winkel zeichnen 1. Zeichne einen Schenkel (die rote Linie) S 2. Lege das Geodreieck mit der Null am Scheitelpunkt an. (Dort wo der Winkel hinkommen soll) S 3. Möchtest du zum Beispiel einen Winkel

Mehr

5 Sphärische Trigonometrie

5 Sphärische Trigonometrie $Id: sphaere.tex,v 1.5 2013/08/13 17:21:33 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie m Ende der letzten Sitzung hatten wir mit der Untersuchung sphärischer Dreiecke begonnen. Gegeben war eine Sphäre K, oder

Mehr

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze. 6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese

Mehr

SAE. Geometrie B Name: Sekundarschulabschluss für Erwachsene

SAE. Geometrie B Name: Sekundarschulabschluss für Erwachsene SE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie 2014 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: nichtprogrammierbarer Taschenrechner, Geometrie-Werkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60 Für die

Mehr

M 7.1. Achsensymmetrie. Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind?

M 7.1. Achsensymmetrie. Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind? M 7.1 Achsensymmetrie Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind? Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren. Gegeben sind ein Punkt und die Symmetrieachse.

Mehr

ÖMO. Geometrie. Grundlagen der. Birgit Vera Schmidt. Österreichische MathematikOlympiade

ÖMO. Geometrie. Grundlagen der. Birgit Vera Schmidt. Österreichische MathematikOlympiade ÖMO Österreichische MathematikOlympiade Grundlagen der Geometrie 14. 11. 2008 Birgit Vera Schmidt 1 Wiederholung 1.1 Grundlagen 1.1.1 Strecken und Verbindungen Eine Strecke ist eine Verbindung zwischen

Mehr

Sehnenlänge. Aufgabenstellung

Sehnenlänge. Aufgabenstellung Sehnenlänge 1. Drehe die Gerade a um den Punkt A und beachte den grünen Text: a) Wann ist die Gerade eine Sekante, wann ist sie eine Tangente? Wann ist sie weder das eine noch das andere? b) Wie viele

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 DIE MERKWÜRDIGEN PUNKTE DES DREIECKS

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 DIE MERKWÜRDIGEN PUNKTE DES DREIECKS REITSLTT 14 1) Der Höhenschnittpunkt DIE MERKWÜRDIGEN PUNKTE DES DREIECKS Definition: Unter einer Höhe versteht man eine Normale auf eine Seite zum gegenüberliegenden Eckpunkt. Die Höhe h c steht also

Mehr

2. Kongruenzsätze (SWS und SSS) ohne Parallelen.

2. Kongruenzsätze (SWS und SSS) ohne Parallelen. 2. Kongruenzsätze (SWS und SSS) ohne Parallelen. In diesem Kapitel beginnen wir mit der systematischen ufstellung der Euklidischen Geometrie wie man sie in [Euklid, Elemente] findet. ls erstes Lehrstück

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: convex.tex,v /05/13 14:42:55 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: convex.tex,v /05/13 14:42:55 hk Exp $ $Id: convex.tex,v.28 206/05/3 4:42:55 hk Exp $ 3 Konvexgeometrie 3. Konvexe Polyeder In der letzten Sitzung haben wir begonnen uns mit konvexen Polyedern zu befassen, diese sind die Verallgemeinerung der

Mehr

2.2C. Das allgemeine Dreieck

2.2C. Das allgemeine Dreieck .C. Das allgemeine Dreieck Jedes Dreieck läßt sich nach geeigneter Drehung und Verschiebung in ein Dreieck mit den Eckpunkten A = ( x, 0 ), B = ( y, 0 ), C = ( 0, z ) (x, y, z > 0) transformieren. Die

Mehr

Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe

Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe ALGEBRA 1. Grundlagen Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe Menge der ganzen Zahlen Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } Menge der rationalen Zahlen Q = { z z Z und n N } (Menge aller n positiven und

Mehr

Themenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6

Themenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6 Themenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6 Lernziele: - Kenntnis der Bezeichnungen für besondere Dreiecke - Kenntnis der Seiten- und Winkelbezeichnungen bei besonderen Dreiecken - Kenntnis der Eigenschaften

Mehr

Dreieckskonstruktionen

Dreieckskonstruktionen Dreieckskonstruktionen 1. Quelle: VER C 2008 Lösung: ja, nein, ja, ja, nein 2. Wähle aus den vorgegebenen Größen jeweils drei aus und überlege anhand einer Skizze, ob aus den ausgewählten Größen ein Dreieck

Mehr

Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt.

Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr

7.1 Algebra Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen

7.1 Algebra Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 1 Grundwissen 7. Klasse 7.1 Algebra 7.1.1 Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen WH: Siehe dazu..3 Vorrangregeln und.. K-, A-, D-Gesetze sowie 6. Rechengesetze

Mehr

OvTG Gauting, Grundwissen Mathematik 7. Klasse

OvTG Gauting, Grundwissen Mathematik 7. Klasse 1. Symmetrie (vgl. auch Grundwissen 5. Klasse) Achsensymmetrie Zwei Figuren, die bezüglich einer Achse symmetrisch zueinander sind, nennt man achsensymmetrisch. a Punktsymmetrie Zwei Figuren, die bei einer

Mehr

Grundlagen der Geometrie

Grundlagen der Geometrie Grundlagen der Geometrie Vorlesungsausarbeitung zum WS 2010/11 von Prof. Dr. K. Fritzsche ii Inhalt 0 Grundlagen der Schulgeometrie 1 I Die Elemente : Inzidenz und Anordnung 9 1. Die deduktive Methode

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie II

Lineare Algebra und analytische Geometrie II Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 016 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 37 Neben den drei Eckpunkten eines Dreieckes gibt es noch weitere charakteristische Punkte eines Dreieckes wie

Mehr

Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A Bremen. Die Kursübersicht für das Fach Mathematik

Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A Bremen. Die Kursübersicht für das Fach Mathematik Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A 28195 Bremen Die Kursübersicht für das Fach Mathematik Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe

Mehr

30. Satz des Apollonius I

30. Satz des Apollonius I 30. Satz des Apollonius I Das Teilverhältnis T V (ABC) von drei Punkten ABC einer Geraden ist folgendermaßen definiert: Für den Betrag des Teilverhältnisses gilt (ABC) = AC : BC. Für das Vorzeichen des

Mehr

WF Mathematik: 1. Grundbegriffe der Geometrie

WF Mathematik: 1. Grundbegriffe der Geometrie WF Mathematik: 1. Grundbegriffe der Geometrie Geometrie setzt sich aus den beiden griechischen Wörtern geo (Erde) und metrein (messen) zusammen, bedeutet ursprünglich Erdvermessen. Alle Gegenstände unseres

Mehr

1 Dreiecke. 1.1 Rechtwinklige Dreiecke. Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: dreieck.tex,v /04/15 14:02:10 hk Exp $

1 Dreiecke. 1.1 Rechtwinklige Dreiecke. Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: dreieck.tex,v /04/15 14:02:10 hk Exp $ $Id: dreieck.tex,v 1.21 20/04/15 14:02:10 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.1 Rechtwinklige Dreiecke Am Ende der letzten Sitzung hatten wir begonnen die primitiven pythagoräischen Tripel zu bestimmen, und in einem

Mehr

3. Die pythagoräische Geometrie.

3. Die pythagoräische Geometrie. II. Geometrie. 3. Die pythagoräische Geometrie. Neben der Zahlenlehre haben sich die Pythagoräer auch mit Geometrie beschäftigt. Schließlich ist ja der bekannte Satz des Pythagoras eng mit ihrem Namen

Mehr

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere

Mehr

Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7

Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7 Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7 Wissen und Können 1. Terme Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke mit Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Berechnung von Termwerten

Mehr

SAE. Geometrie B Name: Sekundarschulabschluss für Erwachsene

SAE. Geometrie B Name: Sekundarschulabschluss für Erwachsene SE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie 2015 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: nichtprogrammierbarer Taschenrechner, Geometrie-Werkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60 Für die

Mehr

1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m)

1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m) Grundwissen Mathematik 7. Klasse 1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: Ttm (, ) = ( t 5+ 6) 20+ m (ausgesprochen: T von t und m) Ein Term besteht aus

Mehr

Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16. Kapitel 3. Dreieck, Viereck, Fünfeck, Kreis. Anwendungen & bekannte Sätze

Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16. Kapitel 3. Dreieck, Viereck, Fünfeck, Kreis. Anwendungen & bekannte Sätze Kapitel 3 Dreieck, Viereck, Fünfeck, Kreis Anwendungen & bekannte Sätze 1 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Im Folgenden werden Maßzahlen für Winkelgrößen

Mehr

LSGM Leipziger Schülergesellschaft f ur Mathematik. Dreiecksgeometrie 2. Toscho Mathecamp 12. Juli 21. Juli 2008 Olympiadezirkel

LSGM Leipziger Schülergesellschaft f ur Mathematik. Dreiecksgeometrie 2. Toscho Mathecamp 12. Juli 21. Juli 2008 Olympiadezirkel LSGM Leipziger Schülergesellschaft f ur Mathematik Dreiecksgeometrie 2 Toscho Mathecamp 12. Juli 21. Juli 2008 Olympiadezirkel Inhaltsverzeichnis 1 Ankreise 2 1.1 Grundlegendes................................

Mehr

GEOMETRIE (4a) Kurzskript

GEOMETRIE (4a) Kurzskript GEOMETRIE (4a) Kurzskript Dieses Kurzskript ist vor allem eine Sammlung von Sätzen und Definitionen und sollte ausdrücklich nur zusammen mit weiteren Erläuterungen in der Veranstaltung genutzt werden.

Mehr

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9.

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9. Koordinatengeometrie Aufgabe 1 Gegeben sind der Punkt P (-1; 9) sowie die Geraden g: 3x y + 6 = 0 und h: x + 4y 8 = 0. a) Die Geraden g und h schneiden einander im Punkt S. Berechnen Sie die exakten Koordinaten

Mehr

Wiederhole eigenständig: elementare Konstruktionen nach diesen Sätzen

Wiederhole eigenständig: elementare Konstruktionen nach diesen Sätzen 1/5 Erinnerung: Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW, SsW Wiederhole eigenständig: elementare Konstruktionen nach diesen Sätzen Grundwissen: Elementare Sätze über Dreiecke: o Winkelsumme 180 0 o Dreiecksungleichung

Mehr

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze. 6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese

Mehr

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1 M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr

Dualität in der Elementaren Geometrie

Dualität in der Elementaren Geometrie 1 Dualität in der Elementaren Geometrie Holger Stephan Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastic (WIAS) e-mail: stephan@wias-berlin.de url: www.wias-berlin.de/people/stephan FU Berlin,

Mehr

I. Symmetrie. II. Grundkonstruktionen

I. Symmetrie. II. Grundkonstruktionen I. Symmetrie Achsensymmetrie Zwei Figuren, die bezüglich einer Achse symmetrisch zueinander sind, nennt man achsensymmetrisch. Punktsymmetrie Zwei Figuren, die bei einer Halbdrehung um einen Punkt ineinander

Mehr

DOWNLOAD. Konstruieren von Figuren. Kopiervorlagen zum Grundwissen Ebene. Grundwissen Ebene Geometrie. Michael Körner

DOWNLOAD. Konstruieren von Figuren. Kopiervorlagen zum Grundwissen Ebene. Grundwissen Ebene Geometrie. Michael Körner DOWNLOAD Michael Körner Konstruieren von Figuren Kopiervorlagen zum Grundwissen Ebene Michael Körner Grundwissen Ebene Geometrie 5. 10. Klasse Bergedorfer Kopiervorlagen Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2016 Dienstag $Id: convex.tex,v /05/24 15:01:13 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2016 Dienstag $Id: convex.tex,v /05/24 15:01:13 hk Exp $ $Id: convex.tex,v 1.29 2016/05/24 15:01:13 hk Exp $ 3 Konvexgeometrie 3.2 Die platonischen Körper Am Ende der letzten Sitzung hatten wir die sogenannten platonische Körper eingeführt, ein platonischer

Mehr

Der Höhenschnittpunkt im Dreieck

Der Höhenschnittpunkt im Dreieck Der Höhenschnittpunkt im Dreieck 1. Beobachte die Lage des Höhenschnittpunktes H. Wo befindet sich H? a) bei einem spitzwinkligen Dreieck, b) bei einem rechtwinkligen Dreieck, c) bei einem stumpfwinkligen

Mehr

mentor Lernhilfe: Mathematik 8. Klasse Baumann

mentor Lernhilfe: Mathematik 8. Klasse Baumann mentor Lernhilfen mentor Lernhilfe: Mathematik 8. Klasse Geometrie: Dreieckkonstruktionen, Kongruenzsätze, Kreis und Gerade, Raumgeometrie von Rolf aumann 1. uflage mentor Lernhilfe: Mathematik 8. Klasse

Mehr

3. Ähnlichkeitsabbildungen

3. Ähnlichkeitsabbildungen 3. Ähnlichkeitsabbildungen 3.1 Definitionen: Ähnlichkeitsabbildungen, Dilatationen Bis jetzt haben wir Isometrien (Kongruenzabbildungen) betrachtet. Diese bbildungen wurden aufgebaut aus den Geradenspiegelungen.

Mehr

MAA = MAB + B AA = B CA + CAA BA A Nun sehen wir mit Proposition 10.7 aus dem Skript, dass A M AB gelten muss.

MAA = MAB + B AA = B CA + CAA BA A Nun sehen wir mit Proposition 10.7 aus dem Skript, dass A M AB gelten muss. 1. Konvexität in der absoluten Ebene In einem Dreieck in der Euklidischen Ebene hat die Strecke zwischen zwei Seitenmittelpunkten die halbe Länge der dritten Seite. In der absoluten Ebene hat man eine

Mehr

Satz von Pythagoras. Ich mache eine saubere, klare Konstruktionszeichnung und markiere das Resultat (rot)

Satz von Pythagoras. Ich mache eine saubere, klare Konstruktionszeichnung und markiere das Resultat (rot) Mathplan 8.8.1 Geometrie Dreiecke Satz von Pythagoras Name: Hilfsmittel : Geometrie Zeitvorschlag: Wochen von: Lernkontrolle am: bis c M b s b Probe 8.8.1 a Wichtige Punkte: Ich mache eine saubere, klare

Mehr

Hilfsmittel bei Geometrieaufgaben. Ein Kompendium für Klasse 8

Hilfsmittel bei Geometrieaufgaben. Ein Kompendium für Klasse 8 Hilfsmittel bei Geometrieaufgaben. Ein Kompendium für Klasse 8 Lisa Sauermann März 2013 Geometrie ist ein wichtiges Gebiet bei der Olympiade, das neben viel Kreativität und einem geübtem Auge auch einige

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 3

Beispiellösungen zu Blatt 3 µathematischer κorrespondenz- zirkel ufgabe 1 eispiellösungen zu latt 3 Mathematisches Institut Georg-ugust-Universität Göttingen Statistiken besagen, dass unter 1000 Menschen 35 zu hohen lutdruck haben.

Mehr

Achsen- und punktsymmetrische Figuren

Achsen- und punktsymmetrische Figuren Achsensymmetrie Der Punkt P und sein Bildpunkt P sind symmetrisch bzgl. der Achse s, wenn ihre Verbindungsstrecke [PP ] senkrecht auf der Achse a steht und von dieser halbiert wird. Zueinander symmetrische......strecken

Mehr

2. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 11 Saison 1962/1963 Aufgaben und Lösungen

2. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 11 Saison 1962/1963 Aufgaben und Lösungen 2. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 11 Saison 1962/1963 ufgaben und Lösungen 1 OJM 2. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 11 ufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit egründungen

Mehr

Aufgabe 1 Erstelle mit Hilfe von GEOGEBRA ein dynamisches Geometrie-Programm, das die Mittelsenkrechte

Aufgabe 1 Erstelle mit Hilfe von GEOGEBRA ein dynamisches Geometrie-Programm, das die Mittelsenkrechte AB Mathematik Experimentieren mit GeoGebra Merke Alle folgenden Aufgaben sind mit dem Programm GEOGEBRA auszuführen! Eine ausführliche Einführung in die Bedienung des Programmes erfolgt im Unterricht.

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 VERMESSUNGSAUFGABEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 VERMESSUNGSAUFGABEN Mathematik Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 4 3. Semester ARBEITSBLATT 4 VERMESSUNGSAUFGABEN Nun wollen wir unser Wissen über recht- und schiefwinkelige Aufgaben an einigen Aufgaben beweisen Beispiel

Mehr

37 II.1. Abbildungen

37 II.1. Abbildungen 37 II.1. Abbildungen "Abbildung" und "Funktion" sind verschiedene Namen für denselben Begriff, der charakterisiert ist durch die Angabe der Definitionsmenge ("Was wird abgebildet?"), der Wertemenge ("Wohin

Mehr

GEOMETRIE 1 3. Wiederholungsaufgaben

GEOMETRIE 1 3. Wiederholungsaufgaben GEOMETRIE 3 Wiederholungsaufgaben GEOMETRIE 3 Inhaltsverzeichnis 0 Wiederholungsaufgaben 0. Grundlagen der Geometrie......................... 0.2 Geometrische bbildungen......................... 2 0.3

Mehr

Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1

Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1 2006 Runde 1 Aufgabe 1 Die Ziffern von 1 bis 5 sollen so in einer Reihe angeordnet werden, dass jedes Paar benachbarter Ziffern eine Zahl ergibt, die ein Produkt zweier einstelliger Zahlen ist. Bestimme

Mehr

Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind.

Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind. 1 Sätze über Winkel Geradenkreuzung: Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, nennt man eine Geradenkreuzung. α α Nebeneinander liegende Winkel heißen Nebenwinkel, sie β ergeben zusammen stets

Mehr

a' c' Aufgabe: Spiegelung an den Dreiecksseiten und Anti-Steinersche Punkte Darij Grinberg

a' c' Aufgabe: Spiegelung an den Dreiecksseiten und Anti-Steinersche Punkte Darij Grinberg ufgabe: Spiegelung an den Dreiecksseiten und nti-steinersche Punkte Darij Grinberg Eine durch den Höhenschnittpunkt H eines Dreiecks B gehende Gerade g werde an den Dreiecksseiten B; und B gespiegelt;

Mehr

Geometrie I - Winkeljagd

Geometrie I - Winkeljagd Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Geometrie I - Winkeljagd aniel Sprecher ktualisiert: 1. ezember 2015 vers. 1.0.0 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Winkel im reieck 2 3 Winkel im Kreis 5 4 Sehnenvierecke

Mehr

Aufgaben Geometrie Lager

Aufgaben Geometrie Lager Schweizer Mathematik-Olympiade Aufgaben Geometrie Lager Aktualisiert: 26. Juni 2014 Starter 1. Zwei Städte A und B liegen auf verschiedenen Seiten eines Flusses. An welcher Stelle muss eine Brücke rechtwinklig

Mehr

Skript zur Vorlesung Elementare und analytische Geometrie

Skript zur Vorlesung Elementare und analytische Geometrie Robert Labus Skript zur Vorlesung Elementare und analytische Geometrie Studienkolleg für ausländische Studierende Universität Kassel Wintersemester 2016/2017 Inhaltsverzeichnis 1 Elementargeometrie 1 1.1

Mehr

Geometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote : Ausgabe: 2.

Geometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote : Ausgabe: 2. GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG Seite 1 Geometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02 Name: Klasse: Datum: : Note: Ausgabe: 2. Mai 2011 Klassenschnitt/ Maximalnote : Selbsteinschätzung: / (freiwillig) Für alle

Mehr

I. Elementargeometrie

I. Elementargeometrie Übungen zu Geometrie F. Hofbauer A. Einleitung Winkelberechnungen I. Elementargeometrie 1. Man zeige, dass die Winkelsumme in einem konvexen Viereck gleich 360 0 und einem konvexen n-eck gleich (n ) 180

Mehr

1. Winkel- und Seitensymmetralen (Südpolsatz) 2. An und Inkegelschnitte. 3. Zweite und erste Steinergerade

1. Winkel- und Seitensymmetralen (Südpolsatz) 2. An und Inkegelschnitte. 3. Zweite und erste Steinergerade Übungen zu GeoGebra F. Hofbauer Auf den folgenden Seiten sind Konstruktionsübungen zu finden, die mit einer dynamischen Geometriesoftware (Geogebra) durchgeführt werden können. Man kann auf diese Weise

Mehr

2.3 Sätze und Konstruktionen

2.3 Sätze und Konstruktionen 43 2.3 Sätze und Konstruktionen Proposition 1. Über einer gegebenen Strecke kann ein gleichseitiges reieck errichtet werden. eweis: ie ormulierung ist etwas eigenartig. ber viele der euklidischen Sätze

Mehr

2. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 1. Runde 1999/2000

2. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 1. Runde 1999/2000 . Landeswettbewerb Mathematik ayern. Runde 999/000 ufgabe In einem regelmäßigen Sechseck werden wie abgebildet Diagonalen eingezeichnet. Dadurch entsteht ein kleines Sechseck. Welchen nteil an der Gesamtfläche

Mehr

FACHHOCHSCHULE ZÜRICH Musterprüfung Geometrie * Klasse ZS K2 18. März 2011

FACHHOCHSCHULE ZÜRICH Musterprüfung Geometrie * Klasse ZS K2 18. März 2011 1 FACHHOCHSCHULE ZÜRICH Musterprüfung Geometrie * Klasse ZS K2 18. März 2011 A Name:... 1. Teil: Winkelberechnungen Aufgabe W-1: In nebenstehendem Sehnenviereck sei = 80º und = 70º. Wie gross sind dann

Mehr

Die Mittelsenkrechte im deduktiven Aufbau

Die Mittelsenkrechte im deduktiven Aufbau Nr.7 16.06.2016 Die Mittelsenkrechte im deduktiven Aufbau Bisher war die Mittelsenkrechte eine Ortslinie Jetzt wird deduktiv geordnet: - Definition der Mittelsenkrechte - Sätze zur Mittelsenkrechten 1

Mehr

Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck

Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck Von Florian Modler Juli 2006 Der Satz von Ceva Der Satz von Menelaus Merkwürdige Punkte und Linien im Dreieck Punkte und Geraden am Dreieck Thema I Florian Modler

Mehr

Beweise. 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck.

Beweise. 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck. Beweise 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck. (a) Gib Satz und Kehrsatz in der Wenn-dann-Form an! (b) Ist die Voraussetzung des Satzes notwendig,

Mehr

Geometrie. Homepage zur Veranstaltung: Lehre Geometrie

Geometrie. Homepage zur Veranstaltung:  Lehre Geometrie Geometrie 4.1 Geometrie Homepage zur Veranstaltung: http://www.juergen-roth.de Lehre Geometrie Geometrie 4.2 Inhaltsverzeichnis Geometrie 1 Axiome der Elementargeometrie 2 Kongruenzabbildungen 3 Längen-,

Mehr

7 Ebene Figuren (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1)

7 Ebene Figuren (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1) Name: Geometrie-Dossier 7 Ebene Figuren (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1) Inhalt: Fläche und Umfang von Rechteck und Quadrat Dreiecke (Benennung, Konstruktion) Winkelberechnung im Dreieck und

Mehr