Zeichnung 1: Wir zeichnen vier beliebige Punkte A, B, C und D. Sei E der Schnittpunkt

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1 Übungen zu GeoGebra F. Hofbauer Auf den folgenden Seiten sind Konstruktionsübungen zu finden, die mit einer dynamischen Geometriesoftware (Geogebra) durchgeführt werden können. Man kann auf diese Weise Sätze aus der Geometrie verifizieren, ohne einen mathematischen Beweis zu geben. 1. Winkel- und Seitensymmetralen (Südpolsatz) Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und die Winkelsymmetralen der Innen- und Außenwinkel. Die Schnittpunkte sind der Inkreismittelpunkt I und die Ankreismittelpunkte I a, I b und I c. Wir zeichnen die Mittelpunkte der sechs Strecken I a I, I b I, I c I, I a I b, I a I c und I b I c, am besten in roter Farbe. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Seitensymmetralen und den Umkreis des Dreiecks ABC. Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir Kreise, die die rot gezeichneten Punkte als Mittelpunkte haben und durch möglichst viele Punkte hindurchlaufen. Zeichnung 4: In Zeichnung 1 sei S der Mittelpunkt der Strecke I c I. Wir zeichnen den Kreis k mit Mittelpunkt S durch A und durch B. Die Schnittpunkte von k und l(a, C) seien A und D (wenn l(a, C) Tangente an k ist, dann fallen sie zusammen). Die Schnittpunkte von k und l(b, C) seien B und E (wenn l(b, C) Tangente an k ist, dann fallen sie zusammen). Was kann man über die Längen der Strecken AD und BE sagen? 2. Zweite und erste Steinergerade Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und den Umkreis. Wir wählen einen Punkt F auf dem Umkreis. Wir spiegeln F an der Dreieckseite BC und erhalten F a, an der Dreieckseite AC und erhalten F b, und an der Dreieckseite AB und erhalten F c. Wir konstruieren den Höhenschnittpunkt H und zeichnen die Gerade g durch H und F a. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Verlängerungen der Seiten des Dreiecks ABC und die Parabel mit Brennpunkt F und Leitlinie g. Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Schnittpunkt P a F der Geraden l(f a, F ) mit dem Umkreis, den Schnittpunkt P b F der Geraden l(f b, F ) mit dem Umkreis, und den Schnittpunkt P c F der Geraden l(f c, F ) mit dem Umkreis. Schließlich zeichnen wir die Geraden l(p a, A), l(p b, B) und l(p c, C). 3. Vierseit Zeichnung 1: Wir zeichnen vier beliebige Punkte A, B, C und D. Sei E der Schnittpunkt der Geraden l(a, B) und l(c, D). Sei F der Schnittpunkt der Geraden l(b, C) und l(d, A). Es entstehen vier Dreiecke ABF, CDF, ADE und BCE. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Umkreise der vier Dreiecke. Zeichnung 3: In Zeichnung 2 zeichnen wir die Mittelpunkte der vier Umkreise ein. Was kann man über die Mittelpunkte sagen? Zeichnung 4: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Höhenschnittpunkte der vier Dreiecke. Was kann man über die Höhenschnittpunkte sagen?

2 Zeichnung 5: In Zeichnung 4 zeichnen wir zwei Umkreise und deren Schnittpunkt P, der kein Eckpunkt ist. Wir spiegeln P an den vier Geraden, die die Dreieckseiten bilden. Zeichnung 6: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Strecken AC, BD und EF und deren Mittelpunkte. Was kann man über diese Mittelpunkte sagen? Zeichnung 7: In Zeichnung 6 zeichnen wir die drei Kreise, die die Strecken AC, BD und EF als Durchmesser haben. Zeichnung 8: In Zeichnung 4 zeichnen wir die Geraden l(a, C), l(b, D) und l(e, F ) und deren Schnittpunkte U, V und W. Wir zeichnen den Umkreismittelpunkt des Dreiecks UV W. Zeichnung 9: In Zeichnung 1 schneiden wir die Winkelsymmetralen des Geradenpaars l(a, B) und l(a, D) mit den Winkelsymmetralen des Geradenpaars l(c, B) und l(c, D). Die vier Schnittpunkte zeichnen wir in blauer Farbe. Wir schneiden die Winkelsymmetralen des Geradenpaars l(b, A) und l(b, C) mit den Winkelsymmetralen des Geradenpaars l(d, A) und l(d, C). Die vier Schnittpunkte zeichnen wir in roter Farbe. Wir schneiden die Winkelsymmetralen des Geradenpaars l(e, B) und l(e, D) mit den Winkelsymmetralen des Geradenpaars l(f, B) und l(f, D). Die vier Schnittpunkte zeichnen wir in grüner Farbe. Wir suchen Geraden, auf denen ein blauer, ein roter und ein grüner Punkt liegt (es gibt acht solche Geraden). 4. Ortslinie eines Schnittpunktes (Kiepert-Hyperbel) Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC. Wir wählen einen Winkel w = 30 0 (Das Zeichen für Grad findet man, wenn man auf das Symbol α klickt). Auf jede der Seiten des Dreiecks ABC als Basis setzen wir ein gleichschenkeliges Dreieck mit Basiswinkel w. Die Spitzen dieser aufgesetzten Dreiecke seien S a, S b und S c. (Das kann man so machen: Wir zeichnen l(a, B) und drehen diese Gerade um den Punkt A mit Winkel w im Uhrzeigersinn und um den Punkt B mit Winkel w im Gegenuhrzeigersinn. Der Schnittpunkt S c der gedrehten Geraden ist die Spitze des Dreiecks. Ebenso für die anderen beiden Dreieckseiten.) Durch Klicken auf den Punkt links neben w in der Algebraansicht richten wir einen Schieberegler für w ein. Wir lassen w von 90 0 bis 90 0 laufen. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Geraden l(s a, A), l(s b, B) und l(s c, C). Sei K der Schnittpunkt von l(s a, A) und l(s b, B). Wir schalten die Spur von K ein und lassen w laufen. Zeichnung 3: In Zeichnung 2 zeichnen wir den Schwerpunkt S und den Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC und den Kegelschnitt durch die fünf Punkte A, B, C, H und S. Zeichnung 4: In Zeichnung 3 zeichnen wir die Asymptoten der Hyperbel und bestimmen den Winkel zwischen ihnen. Weiters zeichnen wir den Umkreis des Seitenmittendreiecks. Zeichnung 5: In Zeichnung 4 können wir auch noch die Lote vom Schwerpunkt S auf die drei Dreieckseiten zeichnen und den Kreis durch die Fußpunkte dieser Lote. Zeichnung 6: In Zeichnung 3 zeichnen wir das Seitenmittendreieck und dessen Inkreismittelpunkt I. 5. Dreiecke auf den Dreieckseiten (Napoleon und Morley) Zeichnung 1: Wir übernehmen Zeichnung 1 aus dem letzten Abschnitt. Wir löschen den Schieberegler für w (in der Algebraansicht auf den Punkt links neben der Zahl w klicken).

3 Zeichnung 2: In Zeichnung 1 geben wir w = 30 0 ein. Wir zeichnen das Dreieck S a S b S c und bestimmen die Winkel in diesem Dreieck. (Wir geben w = 30 0 ein.) Zeichnung 3: In Zeichnung 1 geben wir w = 45 0 ein. Wir zeichnen die Strecken S a S b und S c C und vergleichen deren Länge. Wir bestimmen den Winkel zwischen diesen beiden Strecken. Zeichnung 4: In Zeichnung 1 geben wir w = 60 0 ein. Wir zeichnen die Strecken S a A, S b B und S c C und vergleichen deren Längen. Wir zeichnen die Umkreise der aufgesetzten Dreiecke. Zeichnung 5: In Zeichnung 4 geben wir v = 47 0 und u = 21 0 ein. Die Geraden l(a, B) und l(a, C) wurden um den Punkt A mit Winkel w gedreht. Wir definieren die gedrehten Geraden um (Doppelklicken auf die gedrehte Gerade), indem wir den Winkel von w auf u ändern. Die Geraden l(a, B) und l(b, C) wurden um den Punkt B mit Winkel w gedreht. Wir definieren die gedrehten Geraden um, indem wir den Winkel von w auf v ändern. Die um C gedrehten Geraden lassen wir unverändert. Wir geben andere Winkel für u, v und w ein (Schieberegler). Was passiert mit den Strecken S a A, S b B und S c C, was mit den Umkreisen? Zeichnung 6: In Zeichnung 5 geben wir w = u v ein. Was passiert mit den Umkreisen? Wir vergleichen die Winkel zwischen den Strecken S a A, S b B und S c C mit den Winkeln u, v und w. Wir geben wir w = 90 0 u v ein. Was passiert in diesem Fall mit den Umkreisen? Zeichnung 7: In Zeichnung 5 löschen wir die Umkreise. Wir bestimmen die Winkel α, β und γ des Dreiecks ABC. Wir geben u = 60 0 α/3, v = 60 0 β/3 und w = 60 0 γ/3 ein. (Die Basiswinkel der aufgesetzten Dreiecke dritteln die Außenwinkel beim jeweiligen Eckpunkt des Dreiecks ABC.) Wir zeichnen das Dreieck S a S b S c und bestimmen dessen Winkel. (Wir können auch noch den Schnittpunkt T a von l(b, S c ) mit l(c, S b ), den Schnittpunkt T b von l(a, S c ) mit l(c, S a ) und den Schnittpunkt T c von l(a, S b ) mit l(b, S a ) konstruieren und dann die Geraden l(s a, T a ), l(s b, T b ) und l(s c, T c ) zeichnen.) Zeichnung 8: In Zeichnung 7 geben wir u = α/3, v = β/3 und w = γ/3 ein. Die aufgesetzten Dreiecke sitzen jetzt innen. Ihre Basiswinkel dritteln die Innenwinkel beim jeweiligen Eckpunkt des Dreiecks ABC. 6. Höhenfußpunkt und Tangentendreieck Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC, dessen Höhen und den Höhenschnittpunkt H. Wir zeichnen den Umkreis des Dreiecks ABC und die Tangenten an den Umkreis in den Punkten A, B und C. Diese Tangenten bilden die Seiten des Tangentendreiecks. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Höhenfußpunkt H a der Höhe durch A, den Höhenfußpunkt H b der Höhe durch B und den Höhenfußpunkt H c der Höhe durch C. Wir zeichnen das Dreieck H c H a H b (Höhenfußpunktdreieck). Wie liegt das Höhenfußpunktdreieck zum Tangentendreieck? Zeichnung 3: In Zeichnung 2 bestimmen wir die Winkel in den Dreiecken AH c H b, BH c H a und CH a H b. Zeichnung 4: In Zeichnung 2 zeichnen wir den Umkreismittelpunkt U des Dreiecks ABC und die Eulergerade l(h, U). Weiters zeichnen wir die Ecken und den Umkreismittelpunkt V des Tangentendreiecks. Zeichnung 5: In Zeichnung 4 zeichnen wir die Verbindungsgeraden einander entsprechender Eckpunkte des Höhenfußpunktdreiecks und des Tangentendreiecks.

4 7. Besondere Punkte Wir versuchen, viele besondere Punkte des Dreiecks in eine Zeichnung zu zeichnen. Am besten ist es, sie besonders hervorzuheben, zum Beispiel durch rote Farbe. Hilfslinien, wie zum Beispiel Höhen und Winkelsymmetralen, sollten strichliert oder punktiert gezeichnet werden (unsichtbar gemacht werden), damit die Übersicht nicht verloren geht. Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC. Den Höhenschnittpunkt H zeichnen wir als Schnittpunkt der drei Höhen. Um den Umkreismittelpunkt U zu erhalten, zeichnen wir den Umkreis und dessen Mittelpunkt (das erspart das Zeichnen von Hilfslinien). Den Schwerpunkt S erhalten wir als Schnittpunkt der drei Schwerlinien. Wir zeichnen die Symmetralen der Innen- und Außenwinkel. Wir spiegeln die Schwerlinie durch A an der Winkelsymmetrale durch A, die Schwerlinie durch B an der Winkelsymmetrale durch B und die Schwerlinie durch C an der Winkelsymmetrale durch C. Die drei so erhaltenen Geraden schneiden einander in einem Punkt, dem Symmedianpunkt E (wird auch Grebeoder Lemoinepunkt genannt). Der Mittelpunkt der Strecke U H ist der Mittelpunkt F des Neunpunktkreises. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir weitere Punkte ein: Die Schnittpunkte der Symmetralen der Innen- und Außenwinkel sind der Inkreismittelpunkt I und die Ankreismittelpunkte I a, I b und I c. Wir zeichnen die Senkrechte g a auf BC durch I a, die Senkrechte g b auf AC durch I b und die Senkrechte g c auf AB durch I c. Die Geraden g a, g b und g c schneiden einander in einem Punkt, dem Bevanpunkt V. (Dieser ist auch der Mittelpunkt des Kreises durch I a, I b und I c.) Sei P a der Schnittpunkt von g a mit BC, P b der von g b mit AC und P c der von g c mit AB (Berührpunkte der Ankreise). Die Geraden l(p a, A), l(p b, B) und l(p c, C) schneiden einander in einem Punkt, dem Nagelpunkt N. Seien M a, M b und M c die Mitten der Dreieckseiten. Die Geraden l(i a, M a ), l(i b, M b ) und l(i c, M c ) schneiden einander in einem Punkt, dem Mittenpunkt M. Wir spiegeln P a an M a, P b an M b und P c an M c. Das ergibt die Punkte Q a, Q b und Q c. (Es sind die Berührpunkte des Inkreises Ausprobieren: Kreis mit Mittelpunkt I durch Q a.) Die Geraden l(q a, A), l(q b, B) und l(q c, C) schneiden einander in einem Punkt, dem Gergonnepunkt G. Wir spiegeln H an U und erhalten den Longchampspunkt L. Der Schnittpunkt der Symmetralen der Innenwinkel des Seitenmittendreiecks (Inkreismittelpunkt des Seitenmittendreiecks) ist der Spiekerpunkt K. Wir suchen Gerade, auf denen mehr als zwei dieser besonderen Punkte liegen (es gibt acht solche Geraden). Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir jetzt noch folgende Punkte ein: Die innere und äußere Winkelsymmetrale durch A schneiden aus der Gerade l(b, C) eine Strecke heraus. Wir zeichnen den Kreis k a, der diese Strecke als Durchmesser hat. (Er geht durch A). Die innere und äußere Winkelsymmetrale durch B schneiden aus der Gerade l(a, C) eine Strecke heraus. Wir zeichnen den Kreis k b, der diese Strecke als Durchmesser hat. (Er geht durch B). Die innere und äußere Winkelsymmetrale durch C schneiden aus der Gerade l(a, B) eine Strecke heraus. Wir zeichnen den Kreis k c, der diese Strecke als Durchmesser hat. (Er geht durch C). Es gibt zwei Punkte, die auf allen drei Kreisen liegen. Es sind die beiden isodynamischen Punkte I 1 und I 2. Wir setzen außen auf den Dreieckseiten gleichseitige Dreiecke auf. Die Spitze des Dreiecks auf BC verbinden wir mit A, die des Dreiecks auf AC verbinden wir mit B und die des Dreiecks auf AB verbinden wir mit C. Diese drei Verbindungslinien schneiden einander in einem Punkt, dem

5 ersten Fermatpunkt F 1. Den Mittelpunkt des Dreiecks auf BC verbinden wir mit A, den des Dreiecks auf AC verbinden wir mit B und den des Dreiecks auf AB verbinden wir mit C. Diese drei Verbindungslinien schneiden einander in einem Punkt, dem ersten Napoleonpunkt N 1. Wir setzen innen auf den Dreieckseiten gleichseitige Dreiecke auf. Die Spitze des Dreiecks auf BC verbinden wir mit A, die des Dreiecks auf AC verbinden wir mit B und die des Dreiecks auf AB verbinden wir mit C. Diese drei Verbindungslinien schneiden einander in einem Punkt, dem zweiten Fermatpunkt F 2. Den Mittelpunkt des Dreiecks auf BC verbinden wir mit A, den des Dreiecks auf AC verbinden wir mit B und den des Dreiecks auf AB verbinden wir mit C. Diese drei Verbindungslinien schneiden einander in einem Punkt, dem zweiten Napoleonpunkt N 2. (Die Spitzen der innen aufgesetzten Dreiecke kann man auch durch Spiegeln der Spitzen der außen aufgesetzten Dreiecke an den Dreieckseiten erhalten. Dasselbe gilt für die Mittelpunkte dieser Dreiecke.) Wir suchen Gerade, auf denen mehr als zwei dieser besonderen Punkte liegen (es gibt zwölf solche Geraden). 8. Miquel Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und die Verlängerungen l(a, B), l(b, C) und l(a, C) der Dreieckseiten. Wir wählen beliebige Punkte D auf l(a, B), E auf l(b, C) und F auf l(a, C). Wir zeichnen drei Kreise: den Kreis k a durch A, D, F, den Kreis k b durch B, D, E und den Kreis k c durch C, E, F. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Gerade g durch E und F. Sei G der Schnittpunkt von g mit l(a, B). Wir definieren die Kreise k a und k b um (Doppelklicken auf den Kreis): Wir ersetzen D durch G, das heißt k a geht jetzt durch A, G, F und k b durch B, G, E. Wir zeichnen den Umkreis des Dreiecks ABC (grün). Zeichnung 3: In Zeichnung 2 zeichnen wir die Mittelpunkte M a, M b und M c der Kreise k a, k b und k c und die Geraden l(m a, A), l(m b, B) und l(m c, C). 9. Neunpunktkreis (Feuerbach) Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC, die Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks und den Kreis durch diese Mittelpunkte (Feuerbachkreis oder Neunpunktkreis). Zeichnung 2: In Zeichnung 1 konstruieren wir den Inkreis und die drei Ankreise. Zeichnung 3: In Zeichnung 2 zeichnen wir die Schnittpunkte der Ankreise mit dem Feuerbachkreis und verbinden jeden dieser Schnittpunkte mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks ABC. Den Schnittpunkt des Inkreises mit dem Feuerbachkreis verbinden wir mit dem Inkreismittelpunkt. Zeichnung 4: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Höhen. Sei H a der Fußpunkt der Höhe durch den Eckpunkt A, sei H b der Fußpunkt der Höhe durch den Eckpunkt B und sei H c der Fußpunkt der Höhe durch den Eckpunkt C. (Wir zeichnen das Höhenfußpunktdreieck H a H b H c.) Weiters zeichnen wir den Höhenschnittpunkt H, den Mittelpunkt U der Strecke AH, den Mittelpunkt V der Strecke BH, und den Mittelpunkt W der Strecke CH. Zeichnung 5: Das Dreieck ABC in Zeichnung 4 sei spitzwinkelig. Wir bestimmen seine Innenwinkel α, β und γ und die Abstände p = AH b, q = AH c, r = BH a und s = CH a. Wir wählen einen beliebigen Punkt P (im Dreieck AH c H b ). Wir drehen den Punkt P um

6 den Punkt H c im Uhrzeigersinn um den Winkel γ und strecken den gedrehten Punkt zentrisch vom Punkt H c aus um den Streckungsfaktor r p. Das ergibt einen Punkt Q. (Diese Drehstreckung führt auch A in H a über und H b in B.) Weiters drehen wir den Punkt P um den Punkt H b im Gegenuhrzeigersinn um den Winkel β und strecken den gedrehten Punkt zentrisch vom Punkt H b aus um den Streckungsfaktor s q. Das ergibt einen Punkt R. (Diese Drehstreckung führt auch A in H a über und H c in C.) Wir zeichnen die Geraden l(p, U), l(q, V ) und l(r, W ). Was erkennt man? Zeichnung 6: In Zeichnung 4 wählen wir einen beliebigen Punkt P, zeichnen die Gerade g durch P und H und die Senkrechte h auf g durch H. Wir zeichnen die Lote vom Eckpunkt A auf die Geraden g und h und deren Fußpunkte A g und A h. Ebenso zeichnen wir die Lote vom Eckpunkt B auf die Geraden g und h und deren Fußpunkte B g und B h und die Lote vom Eckpunkt C auf die Geraden g und h und deren Fußpunkte C g und C h. Schließlich zeichnen wir die Geraden l(a g, A h ), l(b g, B h ) und l(c g, C h ). 10. Sechsecke mit Umkreis Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC. Sei H a der Fußpunkt der Höhe durch den Eckpunkt A, sei H b der Fußpunkt der Höhe durch den Eckpunkt B und sei H c der Fußpunkt der Höhe durch den Eckpunkt C. Seien Q und U die Projektionen des Punktes H c auf die Dreiecksseiten AC und BC. Seien R und T die Projektionen des Punktes H a auf die Dreiecksseiten AC und AB. Seien P und V die Projektionen des Punktes H b auf die Dreiecksseiten AB und BC. Wir zeichnen das Sechseck P T UV RQ. Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken P T und RV, die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken P T und RV einschließt. Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken T U und QR, die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken T U und QR einschließt. Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken P Q und UV, die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken P Q und UV einschließt. Wir zeichnen den Schnittpunkt M von zwei dieser Verbindungslinien und den Kreis mit Mittelpunkt M durch P. Zeichnung 2: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC. Sei D der Mittelpunkt der Seite AB, sei E der Mittelpunkt der Seite BC und sei F Mittelpunkt der Seite AC. Wir zeichnen die Schwerlinien und den Schwerpunkt S. Sei P der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ADS. Sei Q der Umkreismittelpunkt des Dreiecks AF S. Sei R der Umkreismittelpunkt des Dreiecks CF S. Sei T der Umkreismittelpunkt des Dreiecks BDS. Sei U der Umkreismittelpunkt des Dreiecks BES. Sei V der Umkreismittelpunkt des Dreiecks CES. Wir zeichnen das Sechseck P T UV RQ. Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken P T und RV, die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken P T und RV einschließt. Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken T U und QR, die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken T U und QR einschließt. Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken P Q und UV, die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken P Q und UV einschließt. Wir zeichnen den Schnittpunkt M von zwei dieser Verbindungslinien und den Kreis mit Mittelpunkt M durch P.

7 Zeichnung 3: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC, die Schwerlinien s A, s B und s C und den Schwerpunkt S. Wir zeichnen die Senkrechte g A auf s A durch S, die Senkrechte g B auf s B durch S und die Senkrechte g C auf s C durch S. Wir zeichnen die Symmetrale der Strecke AS und deren Schnittpunkte A 1 und A 2 mit g B und g C. Wir zeichnen die Symmetrale der Strecke BS und deren Schnittpunkte B 1 und B 2 mit g A und g C. Wir zeichnen die Symmetrale der Strecke CS und deren Schnittpunkte C 1 und C 2 mit g A und g B. Was kann man über die Punkte A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 und C 2 sagen? Zeichnung 4: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und die Trägergeraden g a, g b und g c der Dreiecksseiten. Wir konstruieren den Höhenschnittpunkt H, zeichnen die Mittelpunkte M a, M b und M c der Dreiecksseiten. Weiters seien k a, k b und k c die Kreise durch H, die M a, M b und M c als Mittelpunkte haben. Wir zeichnen die Schnittpunkte A 1 und A 2 von k a mit g a, die Schnittpunkte B 1 und B 2 von k b mit g b und die Schnittpunkte C 1 und C 2 von k c mit g c. Was kann man über die Punkte A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 und C 2 sagen? (Wir zeichnen noch den Umkreis.) Zeichnung 5: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und die Trägergeraden g a, g b und g c der Dreiecksseiten. Wir wählen einen Punkt P. Wir zeichnen l(a, P ) und wählen einen beliebigen Punkt A 1 auf dieser Gerade. Wir zeichnen l(b, P ) und wählen einen beliebigen Punkt B 1 auf dieser Gerade. Wir zeichnen l(c, P ) und wählen einen beliebigen Punkt C 1 auf dieser Gerade. Weiters sei k a der Kreis durch die Punkte P, B 1 und C 1, sei k b der Kreis durch die Punkte P, A 1 und C 1 und k c der Kreis durch die Punkte P, A 1 und B 1. Wir zeichnen die Schnittpunkte von k a mit g a, die Schnittpunkte von k b mit g b und die Schnittpunkte von k c mit g c. Was kann man über diese sechs Schnittpunkte sagen? Zeichnung 6: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und die Trägergeraden g a, g b und g c der Dreiecksseiten. Wir wählen einen Punkt P. Wir zeichnen l(a, P ) und die Senkrechte h a durch A auf l(a, P ). Wir zeichnen l(b, P ) und die Senkrechte h b durch B auf l(b, P ). Wir zeichnen l(c, P ) und die Senkrechte h c durch C auf l(c, P ). Sei A 1 der Schnittpunkt von h b und h c und k a der Kreis mit Mittelpunkt A 1 durch den Punkt P. Sei B 1 der Schnittpunkt von h a und h c und k b der Kreis mit Mittelpunkt B 1 durch den Punkt P. Sei C 1 der Schnittpunkt von h a und h b und k c der Kreis mit Mittelpunkt C 1 durch den Punkt P. Wir zeichnen die Schnittpunkte von k a mit g a, die Schnittpunkte von k b mit g b und die Schnittpunkte von k c mit g c. Was kann man über diese sechs Schnittpunkte sagen? 11. Fünfeck Zeichnung 1: Wir zeichnen ein Fünfeck ABCDE. Wir konstruieren den Schnittpunkt F der Geraden l(a, B) und l(c, D), den Schnittpunkt G der Geraden l(b, C) und l(d, E), den Schnittpunkt H der Geraden l(c, D) und l(e, A), den Schnittpunkt I der Geraden l(d, E) und l(a, B) und den Schnittpunkt J der Geraden l(e, A) und l(b, C). Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Umkreis k a von ABJ, den Umkreis k b von BCF, den Umkreis k c von CDG, den Umkreis k d von DEH und den Umkreis k e von EAI. Weiters zeichnen wir den Schnittpunkt R A der Kreise k e und k a, den Schnittpunkt S B der Kreise k a und k b, den Schnittpunkt T C der Kreise k b und k c, den Schnittpunkt U D der Kreise k c und k d und den Schnittpunkt V E der Kreise k d und k e. Was kann man über die fünf Punkte R, S, T, U und V sagen? Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Umkreis k a von AIJ, den Umkreis k b von BJF, den Umkreis k c von CF G, den Umkreis k d von DGH und den Umkreis k e von EHI. Weiters zeichnen wir den Schnittpunkt K J der Kreise k a und k b, den Schnittpunkt

8 L F der Kreise k b und k c, den Schnittpunkt M G der Kreise k c und k d, den Schnittpunkt N H der Kreise k d und k e und den Schnittpunkt O I der Kreise k e und k a. Wir zeichnen die Geraden l(k, J), l(l, F ), l(m, G), l(n, H) und l(o, I). 12. Pascal und Brianchon Zeichnung 1: Wir wählen fünf Punkte A, B, C, D und E und zeichnen den Kegelschnitt durch diese fünf Punkte. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 wählen wir einen sechsten Punkt F auf dem Kegelschnitt. Wir zeichnen die sechs Geraden l(a, B), l(b, C), l(c, D), l(d, E), l(e, F ) und l(f, A). Weiters zeichnen wir die Schnittpunkte der Geraden l(a, B) und l(d, E), der Geraden l(b, C) und l(e, F ), und der Geraden l(c, D) und l(f, A). Was kann man über diese drei Schnittpunkte sagen? Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir die vier Geraden l(a, B), l(b, C), l(c, D) und l(d, A). Wir zeichnen den Schnittpunkt der Geraden l(a, B) und l(c, D) und den der Geraden l(b, C) und l(d, A). Wir zeichnen die Tangenten an den Kegelschnitt in den Punkten A, B, C und D. Schließlich zeichnen wir den Schnittpunkt der Tangenten in A und in C und den der Tangenten in B und in D. Was kann man über diese vier Schnittpunkte sagen? Zeichnung 4: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Geraden l(a, B), l(b, C) und l(c, A) und die Tangenten an den Kegelschnitt in den Punkten A, B und C. Weiters zeichnen wir den Schnittpunkt der Gerade l(a, B) mit der Tangenten in C, den der Gerade l(b, C) mit der Tangenten in A und den der Gerade l(c, A) mit der Tangenten in B. Was kann man über die Schnittpunkte sagen? Zeichnung 5: In Zeichnung 1 wählen wir einen sechsten Punkt F auf dem Kegelschnitt. Wir zeichnen die Tangenten t A, t B, t C, t D, t E und t F in diesen sechs Punkten an den Kegelschnitt. Seien G, H, I, J, K und L der Reihe nach die Schnittpunkte von t A und t B, von t B und t C, von t C und t D, von t D und t E, von t E und t F und von t F und t A. Schließlich zeichnen wir noch die Geraden l(g, J), l(h, K) und l(i, L). Was kann man über diese drei Geraden sagen? Zeichnung 6: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Tangenten t A, t B, t C und t D in diesen vier Punkten an den Kegelschnitt. Seien G, H, I und J der Reihe nach die Schnittpunkte von t A und t B, von t B und t C, von t C und t D und von t D und t A. Wir zeichnen die Geraden l(a, C), l(b, D), l(g, I) und l(h, J). Zeichnung 7: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Tangenten t A, t B und t C in diesen drei Punkten an den Kegelschnitt. Seien G, H und I der Reihe nach die Schnittpunkte von t A und t B, von t B und t C und von t C und t A. Wir zeichnen die Geraden l(a, H), l(b, I) und l(c, G). 13. Eulergeraden Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC, den Höhenschnittpunkt H, den Umkreismittelpunkt U und den Inkreismittelpunkt I. Wir zeichnen die Eulergerade l(u, H). Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Schwerpunkt S a und den Umkreismittelpunkt U a des Dreiecks BCH. Wir zeichnen den Schwerpunkt S b und den Umkreismittelpunkt U b des Dreiecks ACH. Schließlich zeichnen wir den Schwerpunkt S c und den Umkreismittelpunkt U c des Dreiecks ABH. Wir zeichnen die Geraden l(s a, U a ), l(s b, U b ) und l(s c, U c ). Wir zeichnen den Mittelpunkt N der Strecke UH.

9 Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Schwerpunkt S a und den Umkreismittelpunkt U a des Dreiecks BCI. Wir zeichnen den Schwerpunkt S b und den Umkreismittelpunkt U b des Dreiecks ACI. Schließlich zeichnen wir den Schwerpunkt S c und den Umkreismittelpunkt U c des Dreiecks ABI. Wir zeichnen die Geraden l(s a, U a ), l(s b, U b ) und l(s c, U c ). Wir zeichnen den Umkreis des Dreiecks ABC. Zeichnung 4: In Zeichnung 1 schneiden wir die Eulergerade mit den Seiten des Dreiecks. Sei D ihr Schnittpunkt mit l(b, C), E ihr Schnittpunkt mit l(a, C) und F ihr Schnittpunkt mit l(a, B). Wir zeichnen den Schwerpunkt S a und den Umkreismittelpunkt U a des Dreiecks AEF. Wir zeichnen den Schwerpunkt S b und den Umkreismittelpunkt U b des Dreiecks BDF. Schließlich zeichnen wir den Schwerpunkt S c und den Umkreismittelpunkt U c des Dreiecks CDE. Wir zeichnen die Geraden l(s a, U a ), l(s b, U b ) und l(s c, U c ). Sei P der Schnittpunkt von l(s b, U b ) und l(s c, U c ). Sei Q der Schnittpunkt von l(s a, U a ) und l(s c, U c ). Sei R der Schnittpunkt von l(s a, U a ) und l(s b, U b ). (Wir zeichnen die Geraden l(a, P ), l(b, Q) und l(c, R).) Wir vergleichen die Dreiecke ABC und P QR. 14. Thebault Zeichnung 1: Wir zeichnen ein spitzwinkeliges Dreieck ABC und dessen Umkreis u. Wir zeichnen den Umkreismittelpunkt U und bestimmen den Umkreisradius r. Sei g die Gerade durch A und B. Wir zeichnen eine Parallele l zu g, die Abstand r von g hat und auf derselben Seite von g liegt wie C. Wir zeichnen die Parabel mit Brennpunkt U und Leitlinie l. Kreise, die die Gerade g und den Umkreis berühren, haben ihren Mittelpunkt auf dieser Parabel, oder auf der, die man erhält, wenn man die Gerade l auf der anderen Seite von g zeichnet. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Inkreis und bestimmen den Inkreisradius r 0. Wir zeichnen die Höhe h durch C und die beiden Winkelsymmetralen der Geraden g und h. Ihre Schnittpunkte mit der Parabel p, die auf derselben Seite von g liegen wie C, seien M 1 und M 2. Wir zeichnen die Kreise k 1 und k 2, die M 1 und M 2 als Mittelpunkte haben und g berühren. (Sie berühren auch h und u.) Wir bestimmen die Radien r 1 und r 2 der Kreise k 1 und k 2. Welche Gleichung besteht zwischen r 1, r 2 und r 0? Zeichnung 3: In Zeichnung 1 wählen wir einen Punkt P auf g zwischen A und B und zeichnen die Gerade h durch C und P. Wir zeichnen die beiden Winkelsymmetralen der Geraden g und h. Ihre Schnittpunkte mit der Parabel p, die auf derselben Seite von g liegen wie C, seien M 1 und M 2. Wir zeichnen die Kreise k 1 und k 2, die M 1 und M 2 als Mittelpunkte haben und g berühren. (Sie berühren auch h und u.) Die Berührpunkte der Kreise k 1 und k 2 mit g nennen wir G 1 und G 2. Wir zeichnen die Winkelsymmetralen des Dreiecks ABC und dessen Inkreismittelpunkt I. Was kann man über die Punkte M 1, M 2 und I sagen? Zeichnung 4: In Zeichnung 3 zeichnen wir die Berührpunkte H 1 und H 2 der Kreise k 1 und k 2 mit h und die Berührpunkte K 1 und K 2 der Kreise k 1 und k 2 mit dem Umkreis u. Wir zeichnen die Geraden l(g 1, H 1 ) und l(g 2, H 2 ). Weiters zeichnen wir die Geraden l(g 1, K 1 ) und l(g 2, K 2 ) und deren Schnittpunkt. Zeichnung 5: In Zeichnung 3 zeichnen wir den Inkreis des Dreiecks ABC und die Parallelen zu h durch G 1 und G Quadrate auf Dreieckseiten (Vecten) Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC. Auf die Seite AB setzen wir außen das Quadrat ABC b C a (C a über A und C b über B). Auf die Seite BC setzen wir außen das

10 Quadrat BCA c A b (A b über B und A c über C). Auf die Seite CA setzen wir außen das Quadrat CAB a B c (B c über C und B a über A). Sei U a der Schnittpunkt von l(a, B) und l(c, C a ) und V b der von l(a, B) und l(c, C b ). Sei U b der Schnittpunkt von l(b, C) und l(a, A b ) und V c der von l(b, C) und l(a, A c ). Sei U c der Schnittpunkt von l(c, A) und l(b, B c ) und V a der von l(c, A) und l(b, B a ). Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir l(u a, V a ), l(u c, V b ), l(u b, V b ), l(u a, V c ), l(u c, V c ) und l(u b, V a ). Was kann man über diese Geraden sagen? Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir U a U b U c und V a V b V c und vergleichen deren Flächen. Zeichnung 4: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Mittelpunkte M a, M b und M c der Dreieckseiten BC, AC und AB. Weiters zeichnen wir die Mittelpunkte N a, N b und N c der Strecken U a V a, U b V b und U c V c. Schließlich zeichnen wir die Geraden l(m a, N a ), l(m b, N b ) und l(m c, N c ). Zeichnung 5: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Mittelpunkte N a, N b und N c der Strecken U a V a, U b V b und U c V c. Weiters zeichnen wir die Mittelpunkte L a, L b und L c der Strecken U b V c, U c V a und U a V b. Schließlich zeichnen wir die Geraden l(n a, L a ), l(n b, L b ) und l(n c, L c ). 16. An und Inkegelschnitte Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und die Verlängerungen der Dreieckseiten. Wir wählen einen Punkt F. Wir spiegeln F an der Dreieckseite BC und erhalten F a, an der Dreieckseite AC und erhalten F b, und schließlich an der Dreieckseite AB und erhalten F c. Sei G der Mittelpunkt und r der Radius des Kreises durch F a, F b und F c. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Ellipse mit Brennpunkten F und G und mit Halbachsenlänge r/2. Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Fußpunkte der Lote von F und G auf die Verlängerungen der drei Dreieckseiten. Was kann man über die sechs Fußpunkte aussagen? Zeichnung 4: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Winkelsymmetralen w α, w β und w γ der Innenwinkel des Dreiecks ABC. Wir spiegeln l(f, A) an w α, l(f, B) an w β und l(f, C) an w γ. Zeichnung 5: In Zeichnung 2 zeichnen wir den Schnittpunkt P a der Gerade l(f a, G) mit der Verlängerung der Dreieckseite BC, den Schnittpunkt P b der Gerade l(f b, G) mit der Verlängerung der Dreieckseite AC, und den Schnittpunkt P c der Gerade l(f c, G) mit der Verlängerung der Dreieckseite AC. Weiters zeichnen wir l(p a, A), l(p b, B) und l(p c, C). Zeichnung 6: In Zeichnung 4 zeichnen wir die Seitensymmetralen des Dreiecks F a F b F c. 17. Isogonal konjugierte Punkte Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und die Symmetralen w a, w b und w c der Innenwinkel. Wir wählen Punkte U und V und zeichnen die Gerade g durch U und V. Wir wählen einen Punkt P auf g. Wir spiegeln die Gerade l(a, P ) an w a, die Gerade l(b, P ) an w b und die Gerade l(c, P ) an w c. Die drei so konstruierten Geraden schneiden einander in einem Punkt Q. Es ist der zu P isogonal konjugierte Punkt. Welche Kurve beschreibt der Punkt Q, wenn P die Gerade g durchläuft? Wir schalten die Spur von Q ein und ziehen P entlang der Geraden g.

11 Zeichnung 2: In Zeichnung 1 konstruieren wir die zu U und V isogonal konjugierten Punkte U und V genauso wie wir es mit P getan haben. Wir zeichnen den Kegelschnitt durch die fünf Punkte A, B, C, U und V. Zeichnung 3: In Zeichnung 2 zeichnen wir den Umkreis des Dreiecks ABC ein. Wir verschieben die Punkte U und V und damit die Gerade g. Was passiert, wenn g den Umkreis (nicht) schneidet? Was passiert, wenn g durch einen Eckpunkt des Dreiecks geht? Zeichnung 4: Isotomisch konjugierter Punkt zu P : Wir schneiden die Gerade l(a, P ) mit l(b, C), spiegeln den Schnittpunkt an der Mitte der Seite BC und verbinden diesen Spiegelpunkt mit A. Wir schneiden die Gerade l(b, P ) mit l(a, C), spiegeln den Schnittpunkt an der Mitte der Seite BC und verbinden diesen Spiegelpunkt mit B. Wir schneiden die Gerade l(c, P ) mit l(a, B), spiegeln den Schnittpunkt an der Mitte der Seite AB und verbinden diesen Spiegelpunkt mit C. Die drei so konstruierten Verbindungsgeraden schneiden einander in einem Punkt R. Es ist der zu P isotomisch konjugierte Punkt. Man kann obige Konstruktionen auch für isotomisch konjugierte Punkte durchführen. 18. Umkreis und Inkreis Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC, dessen Umkreis k und dessen Inkreis l. Wir wählen einen Punkt P auf dem Umkreis k und zeichnen die Tangenten durch P an den Inkreis l. Seien Q und R die Schnittpunkte P dieser Tangenten mit dem Umkreis k. Wir zeichnen die Gerade l(q, R) und das Dreieck P QR. Wir bewegen den Punkt P. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Berührpunkte U, V und W der Geraden l(q, R), l(r, P ) und l(p, Q) mit dem Inkreis l. Wir zeichnen das Dreieck UV W und konstruieren den Schwerpunkt S und den Höhenschnittpunkt H des Dreiecks UV W. Wir bewegen den Punkt P. Zeichnung 3: Wir zeichnen den Kreis k mit Mittelpunkt (0, 0) und Radius 1. Wir führen Parameter s und t ein (Schieberegler), die von 1 bis 1 laufen. Wir zeichnen die Geraden g : x = s und h : y = t. Seien P und Q die Schnittpunkte der Geraden h mit dem Kreis k und R und S die Schnittpunkte der Geraden g mit dem Kreis k. Wir zeichnen die Tangenten in den Punkten P, R, Q und S an den Kreis k. Diese Tangenten bilden ein Viereck, dessen Eckpunkte wir A, B, C und D nennen. Wir zeichnen den Kreis durch A, B und C und stellen fest, dass er auch durch den Punkt D geht. Das Viereck ABCD hat sowohl einen Inkreis als auch einen Umkreis. Es ist ein Sehnentangentenviereck. (Auf diese Weise erhält man jedes Sehnentangentenviereck.) Zeichnung 4: In Zeichnung 3 zeichnen wir die Mittelpunkte U des Umkreises und I = (0, 0) des Inkreises ein. Wir zeichnen die Diagonalen des Vierecks ABCD und die Gerade durch U und I. Zeichnung 5: In Zeichnung 3 wählen wir einen Punkt E auf dem Umkreis. Wir zeichnen die Tangenten durch E an den Inkreis. Seien F und H die Schnittpunkte E dieser Tangenten mit dem Umkreis. Wir zeichnen die Tangenten durch F an den Inkreis. Die Tangente, die nicht durch E geht, schneidet den Umkreis außer in F noch in einem weiteren Punkt, den wir G nennen. Wir zeichnen das Viereck EF GH. Wir bewegen den Punkt E. Zeichnung 6: In Zeichnung 5 können wir noch die Diagonalen des Vierecks EF GH einzeichnen.

12 19. Kollineare Punkte und konkurrente Geraden Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC, die drei Höhen, den Höhenschnittpunkt H und die Fußpunkte H a und H b der Höhen durch A und B. Wir zeichnen den Umkreis und seinen Mittelpunkt U, den Kreis durch H, C und H a und seinen Mittelpunkt K und den Schnittpunkt P C dieser beiden Kreise. Schließlich zeichnen wir den Mittelpunkt M der Seite AB und den Punkt D, den man durch Spiegelung von H an der Seite AB erhält. Wir zeichnen die Gerade durch A und B, die durch H a und H b und die durch C und P. Weiters zeichnen wir den Kreis durch D, M und C. Wir spiegeln H am Punkt M und erhalten den Punkt E. Wir zeichnen die Gerade durch E und C. Ihr Schnittpunkt mit der Gerade durch A und B sei R. Wir zeichnen die Gerade durch H a und H b. Ihr Schnittpunkt mit der Höhe durch C sei S. Schließlich zeichnen wir (grün) die Strecken EP, RS und UK. Zeichnung 2: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und wählen einen beliebigen Punkt P. Wir zeichnen die Gerade g a durch A und P und ihren Schnittpunkt D mit l(b, C). Wir zeichnen die Gerade g b durch B und P und ihren Schnittpunkt E mit l(a, C). Wir zeichnen die Gerade g c durch C und P und ihren Schnittpunkt F mit l(a, B). Wir zeichnen den Schnittpunkt U der Geraden l(b, C) und l(e, F ), den Schnittpunkt V der Geraden l(a, C) und l(d, F ) und den Schnittpunkt W der Geraden l(a, B) und l(d, E). Was kann man über diese drei Schnittpunkte sagen. Weiters zeichnen wir die Mittelpunkte M a, M b und M c der Strecken DU, EV und F W. Was kann man über diese drei Mittelpunkte sagen. Zeichnung 3: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und eine beliebige Gerade h. (Da das Dreieck beliebig ist, können wir für h die x-achse wählen.) Wir konstruieren die Fußpunkte D, E und F der Lote von den Eckpunkten A, B und C auf die Gerade h. Sei g a die Senkrechte durch D auf l(b, C), g b die Senkrechte durch E auf l(a, C) und g c die Senkrechte durch F auf l(a, B). Dann schneiden die Geraden g a, g b und g c einander in einem Punkt P. Dieser Punkt P heißt Orthopol der Geraden h und des Dreiecks ABC. Zeichnung 4: Sei ABC ein Dreieck und P ein Punkt. Wir zeichnen die Gerade l(p, A) und wählen auf dieser einen Punkt D. Wir zeichnen die Gerade l(p, B) und wählen auf dieser einen Punkt E. Wir zeichnen die Gerade l(p, C) und wählen auf dieser einen Punkt F. Sei U der Schnittpunkt der Geraden l(a, B) und l(d, E). Sei V der Schnittpunkt der Geraden l(b, C) und l(e, F ) und sei W der Schnittpunkt der Geraden l(c, A) und l(f, D). Was kann man über diese Schnittpunkte sagen? (Satz von Desargues) Zeichnung 5: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und dessen Umkreis. Wir zeichnen die Symmetrale des Innenwinkels bei A. Sie schneide die Seite BC im Punkt W a und den Umkreis außer in A auch im Punkt S a. Wir zeichnen die Symmetrale des Innenwinkels bei B. Sie schneide die Seite AC im Punkt W b und den Umkreis außer in B auch im Punkt S b. Wir zeichnen die Tangente t im Punkt C an den Umkreis, die Gerade g durch die Punkte S a und S b und die Gerade h durch die Punkte W a und W b. Zeichnung 6: Wir zeichnen ein Dreieck ABC und den Höhenschnittpunkt H. Wir wählen einen Punkt P, zeichnen die Gerade g durch H und P und die Gerade h durch H senkrecht auf g. Seien G a, G b und G c die Schnittpunkte der Geraden g mit l(b, C), l(a, C) und l(a, B). Seien H a, H b und H c die Schnittpunkte der Geraden h mit l(b, C), l(a, C) und l(a, B). Wir zeichnen die Mittelpunkte K a, K b und K c der Strecken G a H a, G b H b und G c H c. Was kann man über diese Mittelpunkte sagen? (Satz von Droz-Farny) Wir zeichnen die Mittelpunkte M g, M h und M der Strecken G b G c, H b H c und BC. Was kann man über diese Mittelpunkte sagen?

13 20. Lotfußpunkte und Spiegelpunkte Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC. Wir zeichnen die Symmetralen der Innen- und Außenwinkel bei den Eckpunkten A und bei B und die Fußpunkte der Lote vom Eckpunkt C auf diese vier Symmetralen. Was kann man über diese Fußpunkte sagen? Wir zeichnen die Mittelpunkte der Seiten AC und BC. Zeichnung 2: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC, die drei Höhen und den Fußpunkt H der Höhe durch C. Wir zeichnen die Fußpunkte P und Q der Lote von H auf die Seiten AC und BC. Weiters zeichnen wir die Fußpunkte U und V der Lote von H auf die Höhen durch A und durch B. Was kann man über die vier Punkte P, Q, U und V sagen? Zeichnung 3: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und die Mittelpunkte M a und M b der Seiten BC und AC. Wir zeichnen die Symmetrale w α des Innenwinkels bei A und den Fußpunkt P des Lots von C auf w α. Wir zeichnen die Symmetrale w β des Innenwinkels bei B und den Fußpunkt Q des Lots von C auf w β. Was tun die Punkte M a, M b, P und Q? Zeichnung 4: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC, die Symmetralen w α und w β der Innenwinkel bei den Eckpunkten A und B und deren Schnittpunkt, den Inkreismittelpunkt I. Wir zeichnen die Fußpunkte F und G der Lote von I auf die Seiten AC und BC (Berührpunkte des Inkreises). Wir zeichnen den Fußpunkt P des Lots von A auf w β und den Fußpunkt Q des Lots von B auf w α. Was kann man über die vier Punkte F, G, P und Q sagen? Zeichnung 5: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC, den Fußpunkt H der Höhe durch C und den Mittelpunkt M der Seite AB. Wir zeichnen die Symmetrale w γ des Innenwinkels bei C und und die Fußpunkte der Lote von den Eckpunkten A und von B auf w γ. Was kann man über die vier Punkte H, F, M und G sagen? Zeichnung 6: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC, die Symmetrale des Innenwinkels bei C und ihren Schnittpunkt W mit der Seite AB. Wir zeichnen die Fußpunkte P und Q der Lote von W auf l(b, C) und l(a, C). Weiters zeichnen wir den Fußpunkt H der Höhe durch C. Wir bestimmen die Winkel P HC und QHC. Zeichnung 7: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC. Wir wählen einen beliebigen Punkt Z und zeichnen die Gerade g a durch Z senkrecht zu l(b, C), die Gerade g b durch Z senkrecht zu l(a, C) und die Gerade g c durch Z senkrecht zu l(a, B). Wir wählen einen beliebigen Punkt P. Wir spiegeln P an g a und erhalten den Punkt P a. Wir spiegeln P an g b und erhalten den Punkt P b. Wir spiegeln P an g c und erhalten den Punkt P c. Wir zeichnen das Dreieck P a P b P c und bestimmem die Winkel der Dreiecke ABC und P a P b P c. Zeichnung 8: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC, den Umkreis des Dreiecks ABC und dessen Mittelpunkt U. Wir zeichnen die Gerade g a durch U senkrecht zu l(b, C), die Gerade g b durch U senkrecht zu l(a, C) und die Gerade g c durch U senkrecht zu l(a, B). Wir zeichnen den Kreis k a durch die Punkte A, P b und P c, den Kreis k b durch die Punkte B, P a und P c und den Kreis k c durch die Punkte C, P a und P b. Zeichnung 9: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und dessen Umkreis. Wir wählen einen belibigen Punkt Z. Wir zeichnen die Fußpunkte R, S und T der Lote von Z auf die Geraden l(b, C), l(a, C) und l(a, B). Wir zeichnen den Schnittpunkt D A der Gerade l(a, Z) mit dem Umkreis, den Schnittpunkt E B der Gerade l(b, Z) mit dem Umkreis und den Schnittpunkt F C der Gerade l(c, Z) mit dem Umkreis. Wir zeichnen die Dreiecke RST und DEF und bestimmen die Winkel dieser Dreiecke.

14 21. Geraden, Kreise, Kegelschnitte Zeichnung 1: Wir wählen drei Punkte A, B und C. Wir führen Schieberegler für zwei Parameter s und t ein, die von 0 bis π laufen. Durch A zeichnen wir die Gerade g a mit Richtungsvektor (cos t, sin t) und die Gerade h a mit Richtungsvektor (cos s, sin s). Durch B zeichnen wir die Gerade g b mit Richtungsvektor (cos t, sin t) und die Gerade h b mit Richtungsvektor (cos s, sin s). Durch C zeichnen wir die Gerade g c mit Richtungsvektor (cos t, sin t) und die Gerade h c mit Richtungsvektor (cos s, sin s). Wir zeichnen die Schnittpunkte D und E von g a mit h b und von g b mit h a. Wir zeichnen die Schnittpunkte F und G von g a mit h c und von g c mit h a. Wir zeichnen die Schnittpunkte H und I von g b mit h c und von g c mit h b. Schließlich zeichnen wir die Geraden l(d, E), l(f, G) und l(h, I). Zeichnung 2: Wir wählen Punkte P 1, P 2, Q 2 und Q 3. Wir zeichnen die Gerade g durch P 1 und P 2 und die Gerade h durch Q 2 und Q 3. Wir zeichnen l(p 1, Q 2 ) und die dazu Parallele durch P 2. Den Schnittpunkt dieser Parallelen mit h nennen wir Q 1. Wir zeichnen l(p 1, Q 3 ) und die dazu Parallele durch Q 1. Den Schnittpunkt dieser Parallelen mit g nennen wir P 3. Die Geraden l(p 2, Q 3 ) und l(p 3, Q 2 ) sind dann ebenfalls parallel. Wir zeichnen den Kreis durch P 1, P 2 und Q 3, den Kreis durch P 1, P 3 und Q 2 und den Kreis durch P 2, P 3 und Q 1. Zeichnung 3: Wir wählen zwei Punkte A und B, zeichnen die Gerade g durch A und B und wählen einen weiteren Punkt C auf g. Sei P ein Punkt, der nicht auf g liegt. Wir zeichnen den Kreis k a durch B, C und P. Wir zeichnen den Kreis k b durch A, C und P. Wir zeichnen den Kreis k c durch A, B und P. Wir zeichnen die Tangente t a im Punkt P an den Kreis k a, die Tangente t b im Punkt P an den Kreis k b und die Tangente t c im Punkt P an den Kreis k c. Wir zeichnen die Gerade h a durch P und A, die Gerade h b durch P und B und die Gerade h c durch P und C. Wir zeichnen die Winkelsymmetralen des Geradenpaars h a und t a, die des Geradenpaars h b und t b und die des Geradenpaars h c und t c. Zeichnung 4: Wir zeichnen fünf Punkte A, B, C, P und Q. Wir zeichnen den Schnittpunkt D der Geraden l(p, B) und l(q, C). Wir zeichnen den Schnittpunkt E der Geraden l(p, C) und l(q, A). Wir zeichnen den Schnittpunkt F der Geraden l(p, A) und l(q, B). Wir zeichnen die drei Geraden l(a, D), l(b, E) und l(c, F ). Zeichnung 5: Wir zeichnen einen Kreis k, zum Beispiel den mit Mittelpunkt (0, 0) und Radius 1. Wir wählen Punkte P und Q auf diesem Kreis k, zeichnen die Gerade g durch P und Q und den Mittelpunkt M der Strecke P Q. Wir wählen einen Punkt A auf dem Kreis k, zeichnen die Gerade l(a, M) und den Schnittpunkt B A dieser Gerade mit dem Kreis k. Wir wählen einen weiteren Punkt C auf dem Kreis k, zeichnen die Gerade l(c, M) und den Schnittpunkt D C dieser Gerade mit dem Kreis k. Wir zeichnen die Gerade l(a, D) und ihren Schnittpunkt E mit g. Wir zeichnen die Gerade l(b, C) und ihren Schnittpunkt F mit g. Schließlich zeichnen wir die Strecken ME und MF. (Schmetterlingssatz) Zeichnung 6: Wir zeichnen drei Punkte A, B und C und den Kreis k durch A, B und C. Wir wählen einen Punkt D auf k zwischen C und A. Wir zeichnen die Winkelsymmetralen des Geradenpaars l(a, B) und l(c, D) und die Winkelsymmetralen des Geradenpaars l(b, C) und l(a, D). Wir bestimmen den Winkel zwischen diesen Symmetralen. Zeichnung 7: Wir zeichnen eine Parabel, zum Beipiel mit Leitlinie g : x = 1 und Brennpunkt F = (1, 0). Wir wählen drei Punkte P, Q und R auf dieser Parabel und zeichnen die Tangenten in diesen Punkten. Wir zeichnen die Schnittpunkte A, B und C dieser drei Tangenten und den Umkreis des Dreiecks ABC. Zeichnung 8: Wir zeichnen eine gleichseitige Hyperbel, zum Beispiel mit den Brennpunkten F 1 = ( 2, 0) und F 2 = ( 2, 0) und mit halber Hauptachsenlänge 1, und deren Asymptoten

15 (bilden einen rechten Winkel). Wir wählen drei Punkte A, B und C auf dieser Hyperbel (entweder alle am selben Ast oder auf verschiedenen Ästen), zeichnen das Dreieck ABC und seinen Neunpunktkreis (Kreis durch die drei Seitenmitten). Zeichnung 9: Wir wählen fünf Punkte A, B, C, D und E und zeichnen den Kegelschnitt durch diese Punkte. Wir zeichnen die Geraden l(a, C) und l(b, D) und ihren Schnittpunkt P. Wir zeichnen die Geraden l(a, D) und l(c, E) und ihren Schnittpunkt Q. Wir zeichnen die Geraden l(e, B) und l(p, Q) und ihren Schnittpunkt R. Wir zeichnen die Gerade l(a, R). Was kann man über diese Gerade sagen? Zeichnung 10: Wir zeichnen eine Hyperbel und deren Asymoptoten. Wir wählen einen Punkt P auf der Hyperbel, zeichnen die Tangente in P und bestimmen die Fläche des Dreiecks, das von der Tangente und den Asymptoten gebildet wird, und den Mittelpunkt der auf der Tangente liegenden Dreiecksseite. Wir bewegen P. 22. Ringelspiel Zeichnung 1: Wir richten Schieberegler ein für einen Parameter d, der von 0 bis 3 läuft, und für einen Parameter r, der von 0 bis 1 läuft. Wir zeichnen die Punkte F = (0, 0) und G = (d, 0), den Kreis k 1 mit Mittelpunkt F und Radius s = 1 und den Kreis k 2 mit Mittelpunkt G und Radius r. Wir wählen d und r so, dass k 2 innerhalb von k 1 liegt (d + r < s). Wir zeichnen die Ellipse mit Brennpunkten F und G und Halbachsenlänge s+r 2 in roter Farbe. Wir wählen einen Punkt K auf dieser Ellipse und zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt K, der k 2 von außen berührt (er geht durch den Schnittpunkt von l(k, G) mit k 2, der näher bei K liegt). Wir bewegen K entlang der roten Ellipse. Wir zeichnen die Ellipse mit Brennpunkten F und G und Halbachsenlänge s r 2 in grüner Farbe. Wir wählen einen Punkt M auf dieser Ellipse und zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt M, der von k 2 von innen berührt wird (er geht durch den Schnittpunkt von l(m, G) mit k 2, der den größeren Abstand von M hat). Wir bewegen M entlang der grünen Ellipse. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 wählen wir d und r so, dass die Kreise k 1 und k 2 zwei Schnittpunkte haben (d r < s < d + r). Die grüne Ellipse verwandelt sich in eine Hyperbel. Wir ziehen den Punkt M auf den linken Ast dieser Hyperbel, wenn er nicht schon dort ist. Auf dem rechten Ast der Hyperbel wählen wir einen Punkt N und zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt N, der durch den Schnittpunkt von l(n, G) mit k 2 geht, der näher bei N liegt. Wir bewegen die Punkte K, M und N entlang der Kurven, auf denen sie liegen. Zeichnung 3: In Zeichnung 2 wählen wir d und r so, dass k 2 ganz außerhalb von k 1 liegt (s < d r). Jetzt verwandelt sich auch die rote Ellipse in eine Hyperbel. Wir ziehen den Punkt K auf den linken Ast dieser Hyperbel, wenn er nicht schon dort ist. Auf dem rechten Ast der roten Hyperbel wählen wir einen Punkt L und zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt L, der durch den Schnittpunkt von l(l, G) mit k 2 geht, der den größeren Abstand von L hat. Wir bewegen die Punkte K, L, M und N entlang der Kurven, auf denen sie liegen.