Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 2, SS

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1 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Komplexe Zahle Der küreste Weg wsche we Wahrhete m Reelle führt über das Komplexe. [Jacues Hadamard, fra. Mathematker, ] Am Afag stad we so oft be wsseschaftlche Etdeckuge de Nchtlösbarket ees Problems. De Nchtlösbarket bestmmter algebrascher Glechug hatte scho vorher oft ur schrttwese Erweterug useres Zahlbegrffs geführt: x + 0 cht lösbar N, führt auf Z. x 5x 0 cht lösbar Z, führt auf Q. x /5 x 0 cht lösbar Q, führt auf R. x ± x + 0 cht lösbar R. x??? De komplexe Zahle erlaube es, solche Glechuge ud we wr sehe werde auch alle algebrasche Glechuge u löse... Defto ud Darstellug komplexer Zahle Ausgehed vo der Glechug x + 0 bw. x führe wr formal de Lösuge x, ± ± e. Def D -: magäre Ehet De magäre Ehet wrd durch defert. De Rechegesete um Wurelehe dürfe NICHT allgeme auf egatve Zahle übertrage werde: Bespel ur Warug: FALSCH:??? ( (???? RICHTIG: Mt als Symbol reche, für das glt, NICHT durch ersete. Amerkug: I der Elektrotechk wählt ma auch oft j als Beecher für de magäre Ehet, damt ma cht mt dem Symbol für de Strom (I, Koflkt kommt. Def D - Das Produkt b magäre ud komplexe Zahle b b eer reelle Zahl b mt der magäre Ehet, heßt magäre Zahl. De Summe eer reelle Zahl a ud eer magäre Zahl b st ee komplexe Zahl: a + b a heßt Realtel, b Imagärtel vo : Re( a, Im( b. De komplexe Zahl * a b heßt de u kojugert-komplexe Zahl. De Mege C { a + b; a, b R } heßt Mege der komplexe Zahle. W. Koe ZDgesamt-ext.docx Sete 8

2 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Am.: De magäre Zahl b löst de Glechug b, de (b(b b b. Bespele komplexer Zahle: 7, 5, π, jede reelle Zahl (s.u.. Def D - Reche mt komplexe Zahle Für komplexe Zahle a+b ud a+b gelte de folgede Recheoperatoe: Glechhet: ( a a b b Addto: + ( a + a + ( b + b Multplkato: ( a a b b + ( a b + a b Begrüdug Vorlesug! Für de komplexe Addto ud Multplkato gelte we für de reelle Zahle das Kommutatvgeset, das Assoatvgeset ud das Dstrbutvgeset (Bewes durch Nachreche! Mt komplexe Zahle, dere Imagärtel 0 st, wrd we mt reelle Zahle gerechet: (a (a (a + 0 (a + 0 (a + 0 (a a + a Se lasse sch daher mt de reelle Zahle detfere; ma läßt + 0 weg ud schrebt kur a statt a + 0. I desem Se st R ee Telmege vo C. Sat S - Betrag Das Produkt eer komplexe Zahl mt hrer kojugerte-komplexe Zahl * st re reell: ( a + b( a b a b + ( ab ab a + b De Wurel aus desem Produkt et ma de Betrag der komplexe Zahl: a + b W. Koe ZDgesamt-ext.docx Sete 8

3 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Sat S - Subtrakto ud Dvso komplexer Zahle Für komplexe Zahle a+b ud a+b glt: Zwe komplexe Zahle werde subtrahert, dem ma hre Real- ud Imagärtele subtrahert: b ( a a + ( b Um durch komplexe Zahl 0 u dvdere, muss ma de Bruch mt hrer kojugert-komplexe Zahl erweter, damt der Neer reell wrd (ke mehr ethält: * * Bespel + wrd Vorlesug vorgerechet. bug: Bereche Se (? 4 + 4??.. Gaußsche Zahleebee Da ee komplexe Zahl durch de Agabe weer reeller Zahle edeutg festgelegt wrd, lasse sch de komplexe Zahle de Pukte der Ebee, d.h. des Vektorraumes R uorde: x + y P( ( x, y De etsprechede graphsche Darstellug heßt Gaußsche Zahleebee oder komplexe Ebee: Im( y r ϕ x + y x Re( I Aaloge u de Polarkoordate ka de komplexe Zahl x + y auch durch de Läge des Pfels ud ee Wkel dargestellt werde. Mt Hlfe der Trasformatosglechuge: x r cosϕ, y r sϕ W. Koe ZDgesamt-ext.docx Sete 84

4 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS ergbt sch: ( cosϕ sϕ x + y r + Mt Hlfe der Eulersche Formel lässt sch dese Darstellug och beträchtlch verefache: Sat S - Eulersche Formel Für jede reelle Zahl ϕ glt: ϕ e cosϕ + sϕ. Bewes Vorlesug. bug: Fülle Se de Tabelle aus: Re( Im( e 0 e 0 e π e π e π e π e π/ e π/ Mt deser Formel folgt de sogeate Expoetalform: r e mt r x + y ud taϕ y x Def D -4: Darstellugsforme komplexer Zahle. Algebrasche oder kartessche Form x + y, x Re(, y Im(. Trgoometrsche Form r( cosϕ sϕ mt r ( Re( + ( Im( +, taϕ Im( Re(. Expoetalform re r heßt Betrag, ϕ heßt Phase (oder Argumet oder Wkel vo. Bede Forme. ud. et ma auch Polarform. W. Koe ZDgesamt-ext.docx Sete 85

5 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Amerkuge:. Mt dem Wkel ϕ st auch ϕ + kπ für jedes gaahlge k ee Phase vo, d.h. de Phase st perodsch mt der Perode π. Isbesodere glt e π 0 e. Der sog. Hauptwert der Phase legt vor, we ϕ ] π, π ].. Jede komplexe Zahl e hat ϕ R de Betrag (de Läge. 4. De Umrechug Polarform kartessche Form st efach: Eulersche Formel beute, Real- ud Imagärtel ausreche. 5. Be der Umrechug kartessche Form Polarform muss ma be der Ermttlug der Phase aufpasse. Ma erhält Abhäggket vom Quadrate: y. oder 4. Quadrat (y>0: ϕ arcta(. oder. Quadrat (y<0: ϕ arcta ( + π I Vorlesug wrd de Formel für de. Quadrate (y>0, x<0 hergeletet [Papula, Bd., S. 00] x y x I vele Programmbblotheke (C, C++, Java, MATLAB st dese umfassedere Defto des Arcus Tages über ata(y,x ]-π,π] verfügbar, de glech de obge Falluterschedug macht. Bespele: + x Re(, y Im( Da der Realtel egatv ud der Imagärtel postv st, legt de Zahl m. Quadrate. Für Betrag ud Phase folgt: π o r 4 + 4, ϕ arcta π π π 4 ( ( ( cos π + s π 4e 4 e π 0 o 5 π / 6 e x Re( cos(5 π / 6.5, y Im( s(5 π / bug: Reche Se vo x + y weder urück auf r ud ϕ. Sat S -4 Für de Multplkato ud Dvso weer komplexer Zahle Expoetalform glt: e ( ( ϕ +ϕ r r e r, e r der W. Koe ZDgesamt-ext.docx Sete 86

6 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Zwe komplexe Zahle werde multplert, dem ma de Beträge multplert ud de Phase addert. r e r ( ϕ ϕ Zwe komplexe Zahle werde dvdert, dem ma de Beträge dvdert ud de Phase subtrahert. Bewes durch Nachreche mt trgoometrscher Form >> Hausaufgabe. Amerkug:. Efach Merkregel: "Wede auf e de üblche Potegesete a!".. I der trgoometrsche Form ergebe sch de aaloge Regel durch Awedug der Eulersche Formel.. Aus der Expoetalform der Multplkato etmmt ma, daß de Multplkato mt eer komplexe Zahl geometrsch eer Streckug um de Betrag der Zahl ud eer Drehug um de Phasewkel etsprcht, des et ma auch Drehstreckug. Java-Applet ur Drehstreckug: GUIComplexPlae.htm... Schwguge als komplexe Zahl [be Iteresse m Selbststudum durcharbete cht klausurrelevat] Dreht ma de Zeger eer komplexe Zahl A Ae um de Ursprug, so lässt sch t ( ωt +ϕ das durch (t A e ω Ae beschrebe. Vo der Sete betrachtet sehe wr de Imagärtel y(t, der ee susförmge Schwgug beschrebt. (Es glt (tx(t+y(t. Mt (t lässt sch velfach besser reche als mt y(t. Z.B. ka ma (t gefahrlos de Neer schrebe, de es wrd e Null (!, m Gegesat u y(t. E oft beutter Trck: Reelle Fuktoe durch ee komplexe Erweterug ersete, damt reche, um Schluss vom Ergebs ur de Realtel ehme. Ist be vele Probleme der Elektrotechk ud der Quatemechak efacher als re reelle Rechug. (Wr erer a Hadamard: Der küreste Weg wsche we Wahrhete m Reelle führt über das Komplexe. Zwe Zeger lasse sch komplex addere, ud helfe so, komplertere Schwgugsphäomee darustelle: W. Koe ZDgesamt-ext.docx Sete 87

7 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS (t A e (t A e ω t ω 4Ae t Ae ωt 8ωt (t (t + (t.. Potee komplexer Zahle bedeutet " mal mal ". I der Expoetaldarstellug Aufgabe ur Motvato: bedeutet "mal", dass ma de Phase addere muss, de Beträge multplere. Betrachte Se e also ee komplexe Zahl vom Betrag. De Potee vo habe also auch de Betrag (klar? berlege Se graphsch m Zegerdagramm: Für welche Phase ϕ glt, wa also addere sch gleche Phase u Gesamtphase 0 (oder kπ? Zeche Se de Zeger der Gaußsche Zahleebee e! We seht's aus für 4, für?... Potee mt reelle Expoete Bekatermaße köe Poteere ud Wurelehe bede auf hoch c -Operatoe urückgeführt werde. Damt das efach u reche st, wechselt ma mmer de Expoetaldarstellug. We c kee gae Zahl st, soder ee ratoale Zahl (Bruch, da muss ma sämtlche ( ϕ+ kπ Phase vo aufschrebe, d.h. re. De Potee bereche sch we folgt: c ( ( ϕ + kπ c c ( cϕ + kcπ re r e De Berückschtgug der Perode st otwedg, da ma alle Fälle dee c kee gae Zahl st, mehr als ee Lösug erhält. Geometrsch habe alle Potee de gleche Betrag. De Spte der ugehörge Pfele lege alle auf eem Kres vom Radus c r. W. Koe ZDgesamt-ext.docx Sete 88

8 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS p Se c ee ratoale Zahl. Wr köe aehme, dass c mt telerfremde gae Zahle p ud st. I desem Fall st es weckmäßg, ach dem p-poteere ee Faktor kπ u ergäe ud k vo 0 bs laufe u lasse. Es ergebe sch verschedee Lösuge: c ( re p p p ( r e ( pϕ+ kπ r p e p k k ( ϕ+ π ( cϕ+ π r c e mt Weso köe wr be k - aufhöre? Be k erhält ma de gleche Phase we be k0. k 0,,..,( π π ud damt weder Bespel: 0 ( 5 5 ( ( 5 π π+ kπ ( e e ( 5 π+ k π 6 ( e mt ( 5 π 6 e ( 9 π 6 e ( π 6 e k 0,, + bug: Bereche ud eche Se ( 4. Spealfälle [Selbststudum, V weglasse, we Zet kapp]. c st ee gae Zahl. Da st kcπ kπ weder e gaahlges Velfaches vo π ud alle Wkel falle usamme. I desem Fall gbt es ur ee Lösug: ϕ r e W. Koe ZDgesamt-ext.docx Sete 89

9 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Der achfolgede Sat lefert ee kompakte Zusammefassug veler trgoometrscher Addtostheoreme: Sat S -5 (Sat vo Movre ( cos ϕ + sϕ cos( ϕ + s( ϕ Bew: folgt drekt aus de Poterecheregel ud der Eulersche Formel (Sat S -. bug: Beute Se de Sat vo Movre, um de Addtostheoreme für cos(ϕ ud s(ϕ herulete. bug: Lete Se de "ormale" Addtostheoreme cos( α + β cosα cos β sα s β s( α + β sα cos β + cosα s β aus der Eulersche Formel (Sat S - her. Lösug de buge.. c st ee rratoale Zahl. I desem Fall st ke gaahlges Velfaches vo c ee gae Zahl, daher st für ke gaahlges k de Größe kcπ e Velfaches vo π. Es gbt daher uedlch vele Lösuge, de alle auf dem Kres mt dem Radus r c lege.... Fudametalsat der Algebra [be Iteresse m Selbststudum durcharbete cht klausurrelevat] We wr. gesehe habe, bestt jede Glechug w w also geau komplexe Lösuge für. Es glt sogar wesetlch mehr: Sat S -6 Fudametalsat der Algebra Ee algebrasche Glechug -te Grades ( N P ( a + a a + a0 0 mt komplexe Koeffete a j bestt der Mege C der komplexe Zahle geau "Lösuge",,..., d.h. das Polyom P lässt sch we folgt Learfaktore erlege: W. Koe ZDgesamt-ext.docx Sete 90

10 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS ( ( ( P ( a... Amerkuge:. De,,... müsse cht alle verschede se, deshalb "Lösuge" Aführugsstrche.. Deser Sat egt, dass mache Dge m Komplexe efacher sd! Für e reelles Polyom ka es kee, ee, we,..., vele Lösuge gebe (d.h. vele lästge Falluterscheduge sd u beachte. Im Komplexe gbt es mmer Learfaktore.. Folgerug: Jedes Polyom P( mt hat mdestes e C als Lösug. 4. Der Sat st efach aufuschrebe, aber extrem schwer u bewese. Bespel: Das Polyom P ( ( 4 ( erfällt de reelle Zahle + offeschtlch cht Learfaktore, da de Glechug kee reelle Lösuge hat. I de komplexe Zahle läßt sch P we folgt erlege: ( ( + 4 ( ( ( + P ( bug: Welche, C löse de Glechug ( ( 4 + Bestmme Se de Lösug mt der Methode der uadratsche Ergäug. Braucht ma ach N Z Q R C och größere Zahlkörper als C? Ne, de de komplexe Zahle C blde ee "algebrasch abgeschlossee" Körper. De der Fudametalsat der Algebra besagt: "Jedes Polyom mt komplexe Koeffete ud Grad größer 0 hat ee Nullstelle C." Mt adere Worte: Währed es be de adere Zahlkörper mmer och Polyomglechuge über dem Zahlkörper gab, de cht lösbar ware, gbt es jett ee solche Glechug cht mehr: x + 0 cht lösbar N, führt auf Z. x 5x 0 cht lösbar Z, führt auf Q. x / 5 x 0 cht lösbar Q, führt auf R. x ± x + 0 cht lösbar R, führt auf C. x ± ax + a-x a0 0 lösbar C für alle a C (!!.4. Weso komplexe Zahle "schö" sd: Awedugsfall Fraktale [be Iteresse m Selbststudum durcharbete cht klausurrelevat] De Natur st komplex, d.h. velgestaltg. Der Mesch versucht se durch möglchst efache Gesete u beschrebe. Mt dem vo Beot Madelbrot egeführte Begrff der Fraktale W. Koe ZDgesamt-ext.docx Sete 9

11 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS habe de Mathematker etwas etwckelt, was aus efache Gesete erstaulch komplexe Muster hervorbrgt. Ee wchtge Rolle spele dabe de komplexe Zahle. Betrachte Se de efache Rekurso + + c mt, c C 0 0 Jett stelle wr ur de efache Frage: Für welche c blebt de Folge beschräkt? 6 Ma mag erwarte, dass rgede glattes Gebet der komplexe Ebee de Atwort st. De Atwort st aber wesetlch komplexer ud führt auf de Madelbrot-Mege, de auch uter dem Name "Apfelmäche" bekat st. Das Gebet st am Rad erfrast, mmer weder tauche kovergete Isel m dvergete Meer auf ud vor allem: Das Muster st selbstählch, d.h. es ethält a vele Stelle ählche verkleerte Kope seer selbst. (Java-Applet vo oomfähg. Rot: für dese c blebt Folge beschräkt; adere Farbe: für dese c spregt de Folge mehr oder weger schell jede Schrake Selbstählche Strukture fde sch auch a vele Stelle der Natur: Fare, Berge, Küste, Bäume, Scheeflocke, DNA-Faltuge,... Nebe der ästhetsche Schöhet der fraktale Strukture hat hre mathematsche Modellerug also vor allem ee Zweck: u verstehe, we ma komplexe Systeme aus efache Gesete beschrebe ka. (Das muss cht mmer mt komplexe Zahle geschehe, aber se verefache oft das Lebe ugeme. Iformatk-Awedugsfall Bldkompresso: Blder lasse sch extrem komprmere, we ma se aus efache "fraktale Bldugsgesete" kostruere ka >> Itererte Fuktoesysteme (IFS 6 Das bedeutet de meste Fälle: Wo kovergert de Folge? W. Koe ZDgesamt-ext.docx Sete 9

12 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Fat: Komplexe Zahle Wou sd komplexe Zahle gut?. Mt he lasse sch vorher ulösbare Glechuge we - löse. Währed ma vorher ( de reelle Zahle be algebrasche Glechuge umstädlche Falluterscheduge "hat kee/ee/mehrere Lösuge" mache musste, glt jett (m Körper der komplexe Zahle ehetlch der Fudametalsat der Algebra (Sat S -6: Ee Glechug. Grades läßt sch geau Learfaktore erlege (hat geau Lösuge.. De Gaußsche Zahleebee gbt ee aschaulche Vorstellug vo komplexe Zahle als Vektore. De alteratve Polar- oder Expoetaldarstellug eer komplexe Zahl erlaubt efaches Multplere ud Poteere.. De Eulersche Formel ϕ e cosϕ + sϕ re st ee der wchtgste Formel der mathematsche Physk. Mt hr lasse sch Schwgugsphäomee (s- ud cos-fukto kompakt schrebe über e. Mt e lässt sch vel efacher reche (Multplkato oder Poteere durch Addto bw. Multplkato m Expoete vel efacher als trgoometrsche Addtostheoreme!. Ma darf durch e mmer dvdere, was be cos ϕ a de Nullstelle cht erlaubt wäre. a. Awedugsfall: Wechselstrombeehuge der Elektrotechk geauso aber auch be adere Schwgugsphäomee. 4. Weteres Awedugsgebete: a. Fourerrehe ud Fourertrasformato; auch her werde de Berechuge durch e wesetlch lechter. De Fourertrasformato spelt der für de techsche Iformatk wchtge Sgalverarbetug ud der Bldverarbetug ee große Rolle. b. Löse vo Dfferetalglechuge (DGL: Mt dem Asat e λt, λ C, lasse sch ga verschedee Type vo DGLs gemesam löse..5.. Where to go from here Vertefugsmöglchkete: We Se mehr über komplexe Zahle lere wolle ud wsse wolle, was ma och mt komplexe Zahle mache ka: o o Löse komplerter Itegrale m Reelle durch de "Umweg" über de Gaußsche Zahleebee Löse vo leare Dfferetalglechuge über Asat ( ω t +ϕ x ( t r( t e. o Wechselstrombeehuge der Elektrotechk [Stgl, S. 56-6] o Fraktale: schöe Eführug [Schroeder94] ud schöe Blder [PetgeR86] o IFS (Itererte Fuktoesysteme ur Bldkompresso: [Barsley88] o Apfelmäche Java programmere: W. Koe ZDgesamt-ext.docx Sete 9