Thermische Elektronenemission

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1 Versuch 504 Thermische Elektronenemission Thorben Linneweber Marcel C. Strzys Technische Universität Dortmund Zusammenfassung Protokoll zum Versuch der Untersuchung des Elektonenaustritts aus einem Metall durch thermische Energie. Inhaltsverzeichnis 1 Theoretische Grundlagen Das Sättigungsstromgebiet Hochvakuumdiode Das Raumladungsgebiet Das Anlaufstromgebiet Die Kennlinie einer Hochvakuumdiode Messsaufgaben und Durchführung 5 3 Auswertung Bestimmung des Sättigungsstroms Bestimmung des Exponenten im LANGMUIR-SCHOTTKY- Raumladungsgesetz Ermittlung der Kathodentemperatur über das Anlaufstromgebiet Ermittlung der Kathodentemperatur über die Leistungsbilanz Bestimmung der Austrittsarbeit für Wolfram Literatur 14 thorben.linneweber@tu-dortmund.de marcel.strzys@web.de 1

2 1 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 1 1 Theoretische Grundlagen In diesem Versuch sollen mittels thermischer Energie freie Elektroenen aus einem Metall erzeugt werden. Entscheidend ist hierbei der Begriff der Austrittsarbeit. Der Aufbau von Metallen als kristalline Festkörper ist Grundlage dieses Versuches. Metalle bestehen aus einem Gitter von ionisierten Atomen, die von einem Elektronengas umhüllt werden. Die Elektronen, aus denen dieses Elektronengas besteht, lassen sich keinem speziellen Atom mehr zuordnen, sondern werden von dem Kraftfeld des gesamten Metalls gebunden. Innerhalb dieses Feldes sind die Elektronen nahezu kräftefrei. Für diese Elektronen kann die Potentialdifferenz φ, welche sie gegenüber dem Außenmedium besitzen (hier Vakuum), als konstant betrachtet werden (Potentialtopfmodell Abbildung 1). Um aus dem Metall austreten zu können, muss das Elektron also dieses Potential überwinden. Die dabei geleistete Arbeit e 0 φ wird als Austrittsarbeit bezeichnet. φ Vakuum Metall Vakuum Abbildung 1: Darstellung des Potentialtopfs eines Metalls [1] Mit Hilfe der Quantenmechanik kann nun ermittelt werden, in wie fern Elektronen durch ihre innere Energie diese Arbeit verrichten können. Dem gemäß haben die Elektronen selbst am absoluten Nullpunkt eine maximale Energie von ζ, die als Fermische Grenzenergie bezeichnet wird. Die Fermi-Dirac sche Verteilungsfunktion gibt dabei die Wahrscheinlichkeit für den möglichen Energiezustand E (welcher aus dem Pauli-Verbot resultiert) eines Elektrons an; sie lautet (mit der Boltzmannkonstanten k): f(e) = 1 e E ζ kt + 1 (1) Trägt man den Verlauf dieser Verteilung auf, so ergibt sich der Verlauf in Abbildung 2. Es ist dabei erkennbar, dass ein Elektron die Energie ζ + e 0 φ besitzen muss, um aus dem Metall austreten zu können. Bei großen Temparaturen E >> kt ist die Exponentialfunktion sehr viel größer als 1 und man kann die Formel nähern durch:

3 94 9 Bζ E 9 E (2) f ( E) exp 29 3C 29 3F 9 C 9 F 1 THEORETISCHE GRUNDLAGEN k T 2 gerechnet werden. f(e) 9 D A 0 1 T = T >> 0 ζ e 0φ E Abb.2: Der Verlauf der Fermi-Diracschen Verteilungsfunktion am absoluten Nullpunkt (durchgezogene Abbildung 2: Verlauf der Fermi-Dirac schen Verteilungfunktion für T=0 Linie) und bei T >> 0 (durchgezogene Linie) und T >> 0 (gestrichelte Linie) [1] 3. Berechnung der Sättigungsstromdichte bei der thermischen Elektronenemission Auf Grundlage der Gleichung (2) soll f(e) nun die Sättigungsstromdichte e ζ E kt j S (T), das heißt, (2) die Zahl der Elektronen, die pro Zeit- und Flächeneinheit aus einer Metalloberfläche austreten, 1.1 in Das Abhängigkeit Sättigungsstromgebiet von der Temperatur errechnet werden. Zu diesem Zwecke wird ein kartesisches Koordinatensystem eingeführt, dessen Z-Achse senkrecht zur (ebenen) MitMetalloberfläche dieser Gleichung steht. kanndie diezahl sogenannte dα der Elektronen Sättigungsstromdichte aus dem Volumenelement j S errech- x y dp werden, z des Impulsraumes, also wie viele die Elektronen pro Zeit- pro und Fläche Flächeneinheit und Zeit(von dasinnen) Metallauf beidie Oberfläche einer bestimmten treffen, beträgt Temparatur dpnet emittiert: (3) dα = v z n (E) dp x dp y dp z. Hierin bedeuten v z die Geschwindigkeit j S (T ) = 4π e der 0m Elektronen 0 k 2 in Richtung der Oberflächennormalen und n(e) die Zahl der Elektronen hpro 3 T 2 e e0φ kt (3) Volumeneinheit ihres Phasenraumes, welcher Diesedurch Gleichung ihre Impuls- wird als und Richardson-Gleichung Ortskoordinaten aufgespannt bezeichnet. wird. Wegen h ist hierbei das Planck sche Wirkungsquantum, 1 2 2e 2 m E = ( 0 die Elementarladung p ) 0 eines Elektrons und x + p y + p z = ( v x + v y + v z ) m 0 seine Ruhemasse. 2m Hochvakuumdiode lässt sich (3) umformen in E (m 0 = Elektronenmasse) (4) Möchte man diesen d α = Sättungsstrom n ( E) dpxmessen, dpy dpz so= ist n ( Edies ) dein dpanwesenheit x dpy. von pz Gasmolekülen, mit denen die emittierten Elektronen wechselwirken würden, nicht möglich. Man benutzt folglich eine Hochvakuumdiode wie z.b. in Abbildung 5, ergibt 3. sich für n(e) der Ausdruck nimmt Diese besteht aus einem Glühdraht in einem evakuierten Glaskörper. Zudem z.b. 5 siehe wird Weizel, gegenüber Lehrbuch der der Theoretischen Glühkathode Physik, eine Bd. II Anode (Struktur positioniert, der Materie) sodass die Elektronen mittels einer Saugspannung durch das entstehende E-Feld von dieser abgesaugt werden. Man kann durch die Messung des Stromes an der Anode somit die Sättungsstromdichte bestimmen. Da jeder Quantenzustand im (sechsdimensionalen) Phasenraum das Volumen h 3 ein-

4 96 man als Hochvakuum-Diode. Sie besteht aus einem evakuierten Glaskörper, in den ein Draht eingeschmolzen ist (siehe Abb.3). Durch einen Strom kann dieser auf eine Temperatur von 1000 bis 3000 K erhitzt werden (Glühkathode). Die aus der Drahtoberfläche austretenden Elektronen werden durch ein elektrisches Feld, das man zwischen der Kathode und 1 einer THEORETISCHE ihr gegenüberstehenden GRUNDLAGEN zweiten Elektrode, der Anode, 3 durch Anlegen einer äußeren Spannung erzeugt, abgesaugt. = Heizspg. Kathode Anode Saugspg. = - + Abb. 3: Grundsätzliche Beschaltung einer Hochvakuum-Diode Abbildung 3: Beschaltung einer Hochvakuumdiode mit einer Heiz- und einer Saugspannung [1] Man benutzt die Hochvakuum-Diode in der Technik zur Gleichrichtung von Wechselströmen; denn es kann nur dann ein Strom durch die Diode fließen, wenn die Anode 1.3 Das Raumladungsgebiet positiv gegenüber der Kathode vorgespannt ist, da die emittierten Elektronen nicht in Misst man diesen Strom, so stellt man fest, dass die Anodenspannung einen der Lage sind, Einfluss gegen aufein den hohes Stom hat. Gegenfeld Erst wenn die anzulaufen. Anodenspannung Weiterhin über einem ist die be-emissiostimmten ihrer niedrigen Wert liegt, Temperatur erhält man einen um von viele der Größenordnungen Spannung unabhängigen geringer als die der Anode wegen Stom, d.h. es erreichen alle emittierten Elektronen auch wirklich die Anode. der Kathode. 5. Die Langmuir-Schottkysche Raumladungsgleichung Das Ohmsche Gesetz ist in diesem Bereich nicht gültig, weil die emittierten Elektronen das E-Feld zur Kathode hin zunehmend abschirmen und dadurch die Beschleunigung der Elektonen vom Abstand zur Anode abhängig ist. Man spricht von dem Raumladungsgebiet, in welchem sich die Strom- Bei der Messung dichte des j ausanodenstromes der Langmuir-Schottky mit Raumladungsgleichung einer Versuchsanordnung berechnet nach (mit Abb.3 stellt man fest, dass der er Elektrischen bei gegebener Feldkonstanten Kathodentemperatur ɛ 0 und dem Abstand noch Kathode-Anode von der Anodenspannung a): abhängt. Bei zu niedriger Spannung erreichen offenbar nicht alle emittierten Elektronen die Anode. Erst bei hinreichend hoher Anodenspannung erhält man einen von der j = 4 3 Spannung unabhängigen Strom. Aber auch 9 ɛ 2e0 V 2 0 vor m 0 Erreichen a 2 (4) des Sättigungswertes ist das Ohmsche Gesetz (d.h. die Proportionalität von Strom und Spannung) bei einer Diode nicht gültig. Das 1.4 liegt Dasdaran, Anlaufstromgebiet dass die Geschwindigkeit v der Elektronen nicht konstant ist; denn sie Nach führen dereine Langmuir-Schottky beschleunigte Raumladungsgleichung Bewegung in Richtung müsste auf bei einer die Anode Anodenspannung U = 0 auch der Anodenstrom gleich 0 sein. Experimentelle aus. Das hat zur Konsequenz, dass die Raumladungsdichte ρ der Elektronen eine Funktion des Messungen ergeben jedoch auch in diesem Bereich einen Anodenstrom, der Ortes ist, und sich zwar mit der nimmt Eigengeschwindigkeit sie zur Anode der hin Elektronen ab. Das erklären folgt aus lässt. der Diese Tatsache, resultiert aus der Tatsache, dass die einige Stromdichte Elektronenj bei an jeder Emission Stelle eine konstant größere ist; j ist aber dass aufgrund der Kontinuitätsbedingung Energie als die Austrittsarbeit besitzen. Durch diesen Energieüberschuss gegeben durch sind die Elektronen in der Lage sogar gegen ein Gegenfeld geringer Stärke anzulaufen, weshalb man von einem Anlaufstrom spricht. Sie müssen dabei die Potentieldifferenz V, sowie die Austrittsarbeit an der Anode φ A überwinden. (8) j = - ρ v. Die Raumladungsdichte ρ beeinflusst offenbar den Verlauf der Feldstärke zwischen Anode und Kathode, und zwar schirmt sie das Feld von der Kathode ab; das bedeutet anschaulich gesprochen: die von der Anode ausgehenden Feldlinien reichen nicht mehr alle bis zur Kathode, sondern sie enden schon an den Raumladungselektronen vor der Kathode. Die emittierten Elektronen werden dann nicht mehr alle vom Anodenfeld erfasst. Der gemessene Diodenstrom ist daher kleiner als der nach (7) zu erwartende

5 aus dem Potential berechnen lässt, verläuft proportional zu x. An der Anode (x = a) 4 V( a) erreicht E den Wert. ρ gehorcht schließlich einem x -Gesetz, wie man aus (9) 3 a und (11) ableiten kann. Diese Gesetzmäßigkeiten sind in Abb.4 dargestellt. Der raumladungsfreie Fall ist gestrichelt eingezeichnet. Aus (11) entnimmt man den Zusammenhang zwischen Stromdichte j und Anodenspannung V. Es gilt (12) 3 j = 4 V 2 ε0 2 e0 m0 9 2 a. Anstelle des ohmschen Gesetzes (j ~ V) wächst hier j mit V 3 2. Die Gleichung (12) be- 1 THEORETISCHE zeichnet man auch als GRUNDLAGEN das Langmuir-Schottkysche 7 Raumladungsgesetz. Seinen 4 Gültigkeitsbereich im j-v-diagramm einer Hochvakuum-Diode nennt man das Raumladungsgebiet. Potential V(x) 4/3 ~ x Feldstärke E(x) 6. Das Anlaufstromgebiet einer Hochvakuumdiode Kathode Anode V (a) a V (a) a Raumladungsdichte ρ(x) Aus (12) folgt, dass für V = 0 auch j = 0 ist. Tatsächlich beobachtet man aber bei V=0 1/3-2/3 ~ x ~ x noch einen geringen Anodenstrom. Dieser entsteht durch die Eigengeschwindigkeit der Elektronen, die sie beim Verlassen der Kathode besitzen. Gemäß (1) gibt es bei T > 0 a x a x a endlich viele Elektronen, deren Energie größer als die Austrittsarbeit ist. x Den Energieüberschuss E = E - (ζ + e 0 φ) Abb.4: Ortsabhängigkeit des Potentials V, der Feldstärke E und der Raumladungsdichte ρ im Abbildung 4: Ortsabhängigkeit Raumladungsgebiet des einer Potentials Hochvakuumdiodenkennlinie V, der Feldstärke E und der findet man Raumladungsdichte als kinetische Energie r im Raumladungsgebiet der emittierten Elektronen einer Hochvakuumdiodenkennlinie [1] gegen ein geringes Gegenfeld anzulaufen. Daher bezeichnet man wieder. Diese sind in der Lage, sogar diesen 7 benannt nach dem amerikanischen Chemiker und Physiker Irving Langmuir ( ) und dem Strom auch als deutschen Anlaufstrom. Physiker Walter Schottky Die (1886 Energieverhältnisse 1976) im Anlaufstromgebiet (V 0) sind in Dafür Abb.5 benötigen wiedergegeben. die Elektronen Es ist zu eine berücksichtigen, Energie größer dass e 0 φ A auch + e 0 das V. Die Anodenmaterial Energieverhältnisse größere) sind Austrittsarbeit in Abbildung besitzt. 5 wiedergegeben. Sie werde im Somit folgenden ergibt mit sichφ für die A bezeichnet. eine (zumeist Stromdichte in diesem sogenannten Anlaufstromgebiet mit Formel 2: Durch die elektrisch leitende Verbindung zwischen Anode und Kathode außerhalb der Diode werden die Fermi-Oberflächen (d.h. die Stelle E = ζ auf der Energieachse) der j(v ) = j 0 e e 0 φ 0 +e 0 V kt = const e e 0 Metalle auf die gleiche Höhe gebracht. Schaltet man noch V kt ein äußeres Potential (5) V dazwischen, so verschieben sie sich um e 0 V gegeneinander. e φ 0 A ζ A ζ k e φ e V 0 k 0 Kathode Anode Abb. Abbildung 5: Potentialverhältnisse 5: Potentialverhältnisse in einer Hochvakuumdiode in einer Hochvakuumdiode im Bereich ihres Anlaufstromgebietes im Bereich ihres Anlaufstromgebietes [1] Man erkennt an Abb.5, dass Elektronen, die die Anode erreichen können, eine Energie, die größer als e 0 φ A + e 0 V ist, besitzen müssen. Da die Zahl der Leitungselektronen, deren Energie 1.5 Die zwischen Kennlinie E und einer E+dE Hochvakuumdiode liegt, gemäß (2) angenähert exponentiell von E abhängt, Aus besteht der Stromdichte auch eine kann entsprechende nun die Anodenstromstärke Abhängigkeit der IAnlaufstromstärke vom A ermittelt werden. Potential Trägt man V: diese gegen die angelegte Anodenpannung U auf, so ergibt äußeren sich bei konstanter Temperatur der Kathode die Kennlinie der Diode. Eine solche ist in 9 B e φ + e V 9 E 9 B e V 9 E j ( V) = j 29 3C 0 A 0 = const 29 3C 0 0Abbildung exp 6 exemplarisch dargestellt. exp Diese Kennlinie. lässt 9 C 9 9 F F 9 C 9 9 F F k T D 2 A k T D 2 A 3 sich nun in drei Bereiche unterteilen: Das Anlaufstromgebiet, das Raumladungsgebiet und das Sättigungstromgebiet, in denen die Kennlinie den oben 0 7. Die Kennlinie beschriebenen der Hochvakuumdiode Gleichungen folgt. Den Zusammenhang zwischen der Stromdichte j bzw. Anodenstrom I A und dem von außen angelegten Potential bezeichnet man als Kennlinie einer Hochvakuumdiode. Nach den in den Kapiteln 3, 5 und 6 gemachten Ausführungen lässt sie sich in 3 Abschnitte gliedern: Anlaufstrom-, Raumladungs- und Sättigungsstromgebiet. Das erstere ist durch einen exponentiellen Zusammenhang zwischen I und V gekennzeichnet. Es

6 V -Abhängigkeit zu beobachten ist. Da die Zahl der pro Zeiteinheit emittierten Elektronen gemäß der Richardson-Gleichung (7) nur von der Temperatur und nicht von der Anodenspannung abhängt, kann die Raumladungsgleichung (12) nicht für beliebig hohe Anodenspannungen gültig sein. Vielmehr muss der Anodenstrom mit wachsendem V asymptotisch einem Sättigungswert zustreben, welcher durch (7) gegeben ist. Somit wird das Raumladungsgebiet allmählich durch das Sättigungsstromgebiet abgelöst. Eine typische 2 MESSSAUFGABEN Kennlinie für eine UND gegebene DURCHFÜHRUNG Temperatur (das heißt für eine 5bestimmte Heizleistung der Kathode) ist in Abb.6 wiedergegeben. I I S Anlaufstromgebiet Raumladungsgebiet Sättigungsstromgebiet Abb.6: Kennlinie einer Hochvakuumdiode Abbildung 6: Kennlinie einer Hochvakuumdoide [1] Teile der Kennlinie können dazu benutzt werden, um die Kathodentemperatur und die Austrittsarbeit 2 Messsaufgaben der Kathode zu bestimmen. und Durchführung Das ist unter anderem Aufgabe der im Folgenden beschriebenen Experimente. Bei 5 unterschiedlichen Kathodenströmen (2,2A;2,4A;2,6A;2,8A;3,0A) 8. Aufgaben sollen die Kennlinie einer Hochvakuumdiode erstellt und der Sättigungsstrom I S ermittelt werden. Der Aufbau entspricht dabei Abbildung 7. Es a) Man erstelle wird durch für Variation die einzelnen der Heizströme Heizleistung dereine Anodenstrom Kennlinienschar Abhängigkeit einer Hochvakuumdiode aus vonmindestens der Anodenspannung 5 Kennlinien notiert. und Dabei lese wurde daraus im (soweit Breich U möglich) < 60V dieden jeweiligen Sättigungsstrom I S ab. Anodenspannung in 10V Schritten erhöht. Ab U > 60V wurden eine Schrittweite von 20V gewählt. Die maximale Anodenspannung beträgt b) Für die maximal bei dermögliche verwendeten Heizleistung Apparatur 240V. versuche man ungefähr den Gültigkeitsbereich des Langmuir-Schottkyschen Raumladungsgesetzes zu finden. Dort bestimme man aus den gemessenen Wertepaaren den Exponenten der Strom-Span- If nungs-beziehung. c) Für die maximal mögliche = Heizleistung Vf untersuche man das Anlaufstromgebiet der Diode und bestimme aus den erhaltenen Wertepaaren regelbares Konstantspannungsgerät die Kathodentemperatur T. d) Aus einer Leistungsbilanz + des Heizstromkreises schätze man die Kathodentemperatur bei den unter Konstant- 8a verwendeten Heizleistungen ab. regelbares V spannungsgerät e) Aus den verschiedenen T- und zugehörigen I S -Werten errechne I A + man die Austrittsarbeit für das verwendete Kathodenmaterial (hier: = Wolfram) V 0-2 ma Abbildung 7: Schaltung zur Aufnahme der Kennlinienscharr einer Hochvakuumdiode [1] U

7 2 MESSSAUFGABEN UND DURCHFÜHRUNG Mit dem Aufbau der ersten Messung wird nun bei maximalem Heizstrom (3,1A) das Raumladungsgebiet untersucht und der Exponent des stark beeinflusst. Wegen der hier vorliegenden exponentiellen Spannungsabhängigkeit können dadurch beträchtliche Schwankungen von I Strom-Spannungsverhältnisses bestimmt. A entstehen. Vor Beginn der Messungen ist daher der Übergangswiderstand durch mehrmaliges Drehen des Bananen- Es werden die Werte analog zur ersten Messung aufgenommen, wobei die Schrittweite hier über steckers in seiner Buchse zu minimieren. 3. Die vorliegende Diode besitzt eine sogenannte direkte Heizung 8. Das heißt, das emittierende Kathodenmaterial wird vom den gesamten Messbereich 10V beträgt. Heizstrom Ebenfalls durchflossen, für denwelcher maximalen längs Heiztrom des Heizdrahtes wird das eine Anlaufstrommgebiet Spannungsabfall von mehreren untersucht, Volt erzeugt. wobei Dieser dereffekt Aufbau kann nach die Anlaufstromkurve Abbildung 8 erfolgt. total verfälschen, Mit Hilfewenn dieser Daten soll die Kathodentemparatur gemessen werden. Die Gegen- die Schaltung ungeschickt aufgebaut wird. Bei der in Abb.8 angegebenen Polung funktioniert die Messung angenähert. 4. Das hier verwendete Nanoamperemeter hat einen spannung wird bei dieser Messung von 0 auf ca. 1V gesteigert und Innenwiderstand von R der jeweilige Anodenstrom i = 1MΩ. Der hindurchfließende Anlaufstrom erzeugt dort einen gemessen. Die Schrittweite der Messungen Spannungsabfall. Dadurch liegt zwischen Anode und Kathode eine andere Spannung beträgt 0,1V. als diejenige, die vom Voltmeter im Konstantspannungsgerät angezeigt wird. I f = Konstantspannungsgerät + regelbares Konstantspannungsgerät, 0-1V + I A LO na-meter HI Abb.8: Schaltung zur Aufnahme einer Anlaufstromkurve Abbildung 8: Schaltung zur Untersuchung des Anlaufstromgebietes [1] 10. Hinweise zur Auswertung Mit den Werten der ersten Messung lassen sich die entsprechenden Kathodentemperaturen ermitteln. Mit diesen ist auch eine Bestimmung zu 8b: Es wird dringend eine geeignete graphische Darstellung der Ergebnisse empfohlen. der Austrittsarbeit möglich. zu 8c: Durch den Spannungsabfall, den der Anlaufstrom am Innenwiderstand R i = 1MΩ des Nanoamperemeters hervorruft, wird die zwischen Anode und Kathode liegende Spannung verändert. Vor Beginn der Ausgleichsrechnung zur Bestimmung von T muss die vom Voltmeter im Konstantspannungsgerät angezeigte Spannung unbedingt korrigiert werden. Man überlege sich, warum man bei der in Abb.8 angegebenen Polung den Einfluss des Spannungsabfalls längs des Heizfadens weitgehend ausschalten kann. zu 8d: Die Kathodentemperatur T lässt sich aus einer Leistungsbilanz des Heizstromfadens errechnen: Die zugeführte Leistung beträgt N zu = V f I f. 8 im Gegensatz zur indirekten Heizung, wo Heizfaden und emittierende Kathode galvanisch getrennt sind

8 3 AUSWERTUNG 7 3 Auswertung 3.1 Bestimmung des Sättigungsstroms Es werden fünf Kennlinien der Diode mit unterschiedlichem Heizstrom aufgenommen. Die Anodenspannungen V A und Ströme I Ai der iten Kennlinie finden sich in Tabelle 1. Die zugehörigen gemessenen Heizspannungen V f und Heizströme I f in Tabelle 2. Der dazugehörige Graph ist in Abbildung 9 dargestellt. V A [V ] I A1 [ma] I A2 [ma] I A3 [ma] I A4 [ma] I A4 [ma] 0 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,017 0,035 0,052 0,062 0, ,023 0,072 0,121 0,143 0, ,026 0,095 0,202 0,243 0, ,027 0,106 0,282 0,356 0, ,028 0,112 0,355 0,480 0, ,029 0,115 0,401 0,621 0, ,030 0,119 0,446 0,851 1, ,030 0,121 0,470 1,078 1, ,031 0,123 0,482 1,242 1, ,031 0,125 0,490 1,345 2, ,031 0,127 0,496 1,402 2, ,032 0,128 0,500 1,435 2, ,032 0,125 0,504 1, ,032 0,125 0,508 1, ,032 0,125 0,511 1,502 - Tabelle 1: Fünf Kennlinien der Diode bei unterschiedlicher Heizspannung. Kennlinie V f [V ] I f [A] 1 3,600 2,2 2 4,050 2,4 3 4,600 2,6 4 5,150 2,8 5 5,750 3,0 Tabelle 2: Heizspannungen und Ströme der Kennlinien. Aus Tabelle 1 kann der jeweilige Sättigungsstrom der ersten vier Kennlinien abgeschätzt werden. Für den höchsten Heizstrom I f = 3, 0A, der sein Maximum nicht im Messbereich erreicht, muss das Maximum der Sättigungskurve geschätzt werden. Die für den Sättigungsstrom I s abgelesenen Werte sind in Tabelle 3 dargestellt.

9 3 AUSWERTUNG 8 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 K e n n lin ie 1 K e n n lin ie 2 K e n n lin ie 3 K e n n lin ie 4 K e n n lin ie A n o d e n s p a n n u n g [V ] A n o d e n s tro m [m A ] Abbildung 9: Graphische Darstellung der Kennlinien

10 3 AUSWERTUNG 9 Kennlinie I s [ma] 1 0, , , , ,00 (geschätzt) Tabelle 3: Abschätzung der Werte für den Sättigungsstrom I s 3.2 Bestimmung des Exponenten im LANGMUIR-SCHOTTKY- Raumladungsgesetz Zur Bestimmung des Exponenten wird zunächst die Kennlinie der Diode wie 3.1 bestimmt. Hier allerdings bei einem maximalem Heizstrom von I f = 3, 1A. Die Werte für diese Messung finden sich in Tabelle 4. Um den Exponenten bestimmen zu können werden Strom und Spannung logarithmiert. Der Logarithmus aus dem Anodenstrom wird gegen den Logarithmus der Anodenspannung aufgetragen und anschließend eine lineare Ausgleichsrechnung durchgeführt, um die Steigung der bestimmten Gerade zu finden. Dieser ist dann der Exponent im LANGMUIR-SCHOTTKY- Raumladungsgesetz. V A [V ] I A [ma] ln(v A /[V ]) ln(i A /[ma]) 0 0, ,065 2,30-2, ,157 3,00-1, ,278 3,40-1, ,440 3,69-0, ,585 3,91-0, ,725 4,09-0, ,907 4,25-0, ,092 4,38 0, ,281 4,50 0, ,490 4,61 0, ,705 4,70 0, ,915 4,79 0, ,130 4,87 0, ,350 4,94 0, ,570 5,01 0, ,800 5,08 1,030 Tabelle 4: Kennlinie zur Bestimmung des Exponenten im LANGMUIR- SCHOTTKY-Raumladungsgesetz.

11 3 AUSWERTUNG 10 Es wird nun versucht anhand der graphischen Darstellung (Abbildung 10) den Gültigkeitsbereich des LANGMUIR-SCHOTTKY-Raumladungsgesetzes zu bestimmen. Dies bedeuted, dass die lineare Ausgleichsrechnung nur für solche Werte durchgeführt wird, die auf einer Geraden liegen. Welche Werte hier für die Ausgleichsrechnung benutzt werden, ist ebenfalls Abbildung 10 zu entnehmen. Mit Hilfe des Programms Origin8 Pro wird nun der linearer Fit mit der Funktion y = ax + b (a entspricht der Steigung, b dem Y-Achsenabschnitt des Graphens) durchgeführt. 1,5 1,0 K e n n lin ie L in e a re A n p a s s u n g v o n ln (A n o d e n s tro m /[V ]) 0,5 ln (A n o d e n s tro m /[V ]) 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0-2,5-3,0 4 5 ln (A n n o d e n s p a n n u n g /[V ]) Abbildung 10: Graphische Darstellung der Kennlinie mit linearem Fit Die von Origin8 berechneten Werte finden sich in Tabelle 5. Wert Standardfehler a 1,393 0,019 b -6,007 0,073 Tabelle 5: Von Origin8 berechnete Werte für linearen Fit. Dabei entspricht a dem Exponenten im LANGMUIR-SCHOTTKY-Raumladungsgesetz. Es ergibt sich also für den Exponenten: a = 1, 39 ± 0, 02

12 3 AUSWERTUNG 11 Die Abweichung vom theoretisch zu erwartenden Wert von 3 2 beträgt 7, 3%. Der statistische Fehler liegt nicht in diesem Bereich. Daraus kann gefolgert werden, dass ein systematische Fehler vorliegt. Dieser könnte durch das Abschätzen der Maximalwerte der Sättigungskurve oder durch eine andere uns unbekannte Ursache entstanden sein. 3.3 Ermittlung der Kathodentemperatur über das Anlaufstromgebiet Die Bestimmung der Kathodentemperatur geschieht hier über die Bestimmung des Anlaufstromgebietes. Der Spannungsabfall durch den Innenwiderstand R i = 1MΩ muss in der Rechnung berücksichtigt werden. Es gilt also U Korrektur = U + I MΩ Es ergibt sich nun Tabelle 6 für das Anlaufstromgebiet. U [V ] I [na] U Korrektur [V ] ln(i/[na]) 0,00 290,0 0,290 5,670 0,10 240,0 0,340 5,481 0,20 190,0 0,390 5,247 0,30 150,0 0,450 5,011 0,40 117,5 0,518 4,766 0,50 90,0 0,590 4,500 0,60 58,0 0,658 4,060 0,70 40,0 0,740 3,689 0,80 28,0 0,828 3,332 0,90 17,0 0,917 2,833 0,97 11,0 0,981 2,398 Tabelle 6: Messwerte für den Anlaufstrom. Es wird der Logarithmus aus der Anodenspannung gegen die Gegenspannung aufgetragen. Die Steigung der Geraden aus der Ausgleichsrechnung entspricht dann dem gesuchten Exponenten. Der Graph mit den logarithmierten Werten und dem Fit nach der Gleichung y = ax + b (a entspricht der Steigung, b dem Y-Achsenabschnitt) findet sich in Abbildung 11. Die Ergebnisse von Origin8 sind in Tabelle 7 dargestellt. Wert Standardfehler a -4,64 0,1124 b 7,100 0,073 Tabelle 7: Von Origin8 berechnete Werte für linearen Fit.

13 3 AUSWERTUNG 12 6,0 5,5 ln (A n o d e n s tro m /[n A ]) L in e a re A n p a s s u n g v o n ln (A n o d e n s tro m /[n A ]) ln (A n o d e n s tro m /[n A ]) 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 G e g e n s p a n n u n g [V ] Abbildung 11: Linearer Fit der halb-logarithmierten Kennlinie des Anlaufstrombereichs. Nach Gleichung 5 kann die Temperatur nun nach T = e 0 k B a bestimmt werden. Mit Hilfe Gaußscher Fehlerrechnung (6) T σ T = σ b b = σ e 0 b k B a 2 (7) erhalten wir für die Temperatur T den Wert: T = (2501 ± 61)K 3.4 Ermittlung der Kathodentemperatur über die Leistungsbilanz Die Kathodentemperatur soll nun auch über die Leistungsbilanz des Heizstromfadens berechnet werden. Hierfür verwenden wir folgende Formel: T 4 = I f U f N W L fησ

14 3 AUSWERTUNG 13 N W L ist hier die Wärmeleitung (die mit 0, 95W abgeschätzt werden soll), f die emittierende Kathodenoberfläche (angegeben mit 0.35cm 2 ), η der Emissionsgrad der Oberfläche (angegeben mit 0,28) und σ die Stefan-Boltzmannsche Strahlungskonstante (σ = 5, W/cm 2 K 4 ). I f und U f der Heizstrom bzw. die Heizspannung. Die errechneten Werte aus den sechs Messungen finden sich in Tabelle 8. I f [A] U f [V ] T [K] 2,, ,46 2,4 4, ,56 2,6 4, ,03 2,8 5, ,98 3,0 5, ,19 3,1 6, ,89 Tabelle 8: Aus Leistungsbilanz ermittelte Temperaturen Vergleicht man nun die bestimmte Kathodentemperatur für einen Heizstrom von 3, 1A aus der Leistungsbilanz mit der Kathodentemperatur, die über das Anlaufstromgebiet berechnet wurden, so fällt eine doch recht hohe Abweichung der Werte auf. (2501K 2371K = 130K, Abweichung von 5, 5%.) Die Diskrepanz kann durch Messungenauigkeiten oder durch falsche Abschätzung der obigen Parameter für die Diode erklärt werden. 3.5 Bestimmung der Austrittsarbeit für Wolfram Über die Richardson-Gleichung kann die Austrittsabreit der Elektronen bestimmt werden: ( e 0 Φ = ln h 3 I s 4πe 0 m 0 k 2 B T 2 f ) k B T Die berechneten Werte der Austrittsarbeit hierfür sind in Tabelle 9 aufgeführt. I s [ma] T [K] e 0 φ [ev ] 0, ,46 4,72 0, ,56 4,79 0, ,03 4,83 1, ,98 4,90 Tabelle 9: Berechnete Austrittsarbeit von Wolfram Die Austrittsarbeiten, die in der Tabelle 9 aufgeführt sind weisen eine Tendenz auf: Um so höher der anliegende Strom ist, umso höher erscheint hier

15 4 LITERATUR 14 die Austrittsarbeit. Die Austrittsarbeit ist allerdings eine Materialkonstante - eine Mittlung der Werte ist somit nicht sinnvoll. Der Literaturwert für die Austrittsarbeit von Wolfram liegt bei 4, 5eV [2]. Die Kennlinien eher geringer Anodenströme ergeben Austrittsarbeiten, die näher am Literaturwert liegen. Daraus folgt unsere Annahme, dass beim Ablesen des Sättigungsstroms dieser noch nicht ganz erreicht war und somit ein (nicht errechenbarer) systematische Fehler vorliegt. Für die Austrittsarbeit nehmen wir folglich den niedrigsten Wert mit unbekanntem Fehler: 4 Literatur e 0 φ = 4, 72eV ± e 0 φ 1 Skript zum Versuch 504 des physikalischen Anfängerpraktikums an der TU Dortmund zu finden unter: (Stand ) 2 suter/vorlesung/medizinphysik 06/6 Folien.pdf