Beispiel: Rollender Reifen mit

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1 Beispiel: Rollender Reifen mit Kinetische Energie: Trägheitsmoment Potenzielle Energie: Zwangsbedingung: konstant nicht-gleitendes Rollen, holonome ZB Erweiterte Lagrange-Fkt.: t-abhängig: Interpretation: Reibungskraft (5)-(7) sind zu lösen. Eliminiere zunächst zwischen (28.6) und (28.7): Eingesetzt in (28.6): (2) in (28.5) liefert: rollt langsamer, als er ohne Reibung rutschen würde! Lösung v. (4): (4) in (2): Stärke d. Reibungskraft (4) in (1): Lösung v. (7):

2 (Nachträgliche) Bemerkungen zum Hamilton-Prinzip (HP) HP in Worten: "Die Wirkung ist auf der tatsächlich durchlaufenen Bahn stationär gegen kleine Änderungen der Bahn, die mit den Randbedingungen verträglich sind." a) HP wird auch als "Prinzip der kleinsten Wirkung" bezeichnet. Tatsächlich ist Wirkung jedoch nur stationär (d.h. nicht unbedingt minimal) b) HP ist analog zum Fermatschen Prinzip: Licht sucht den extremalen Weg zwischen Quelle und Beobachtungsort. c) HP liefert elegant, kompakte Formulierung der dynamischen Evolution in einer einzigen Gleichung. (Lagrange-Funktion ist of sehr einfach zu bestimmen.) [Allgemein: Alle fundamentalen Theorien scheinen sich über Extremalprinzipien formulieren zu lassen!] d) HP hilft jedoch nicht für praktischen Lösungen: Euler-Lagrange-Gl. muss sowieso gelöst werden. Aber dennoch sehr elegant für allgemeine, formale Aussagen. Z.B.: i) Satz: HP impliziert Kovarianz der Lagrange-Gl. 2. Art unter Koord.-Transf. Beweis: Wirkung S ist unabhängig von Parametrisierung für gegebene physikalische Bahnkurve; folglich haben Euler-Lagrange-Gl. die gleiche Form für jede Parametrisierung! Parametrisierung 1: (z.b.: ) HP: Parametrisierung 2: [Definition von ] (z.b.: ) HP: Kovarianz der Bewegungsgleichung: (2) und (5) haben dieselbe Form!

3 (ii) Satz: Bewegungsgleichungen sind invariant unter "Eichtransformationen" (ET): Beweis: totale Ableitung einer beliebigen Funktion von Betrachte: [unabhängig v.!] Unter Variation mit festen Randbedingungen, gilt, laut (2): Bewegungsgleichungen sind invariant unter Eichtransformat. ist nicht eindeutig festgelegt: ist "genauso gut"! Zwischenbemerkung: Nachtrag zu Vorlesung 10 (Herleitung d. Lagrange-Gleichungen) Verallgemeinerung für geschwindigkeitsabhängige Potenziale Betrachte Kraft d. Form:, mit Def: Verallg. Kraft: (6) gilt auch für Kraft d. Form (1)!

4 Beispiel: Frage: Geladenes Teilchen in äußerem elektromagnetischem Feld Welches L beschreibt Lorentz-Kraft? Antwort: (Beweis folgt auf S. 36) wobei das "Skalarpotenzial" und "Vektorpotenzial" Hilfsgrößen zur kompakten Beschreibung des elektrischen Felds und Magnetfelds sind: (siehe E2, T3) Zwischenbemerkung: Die "elektromagnetischen Potenziale" sind keine messbaren Größen, aber sehr nützlich für die kompakte Darstellung vieler Ergebnisse. Z.B. Vereinfachen sich 2 der Maxwell-Gl.: wird identisch erfüllt (Vektoridentität) Lorenz-Kraft: Zwischenrechnung: Gradient von Skalarfeld Zeitableitung von Vektorfeld definiere: "minimale Kopplung" dann gilt: F hat Form von (33.1)! also gelten LG2, (33.6)

5 Lagrange-Funktion für geladenes Teilchen im Elektromagnetischen Feld: Check Bewegungsgleichung: Fazit: (34.1) Lorentz-Kraft läßt sich mittels Potential (35.7) und Lagrange-Funktion (36.1) beschreiben! Eichinvarianz der -und -Felder Satz: sei eine beliebige skalare Funktion. Unter der "Eichtransformation" sind und -Felder invariant (= unverändert). Beweis: Fazit: und sind nicht eindeutig definiert: "Eichfreiheit"! Die Freiheit, nach Bedarf zu wählen, kann zur Vereinfachung von konkreten Rechnungen genutzt werden.

6 Eichtransformation für L: Fazit: unter Eichtransformation (37.1, 2) ändert sich L nur um totale Zeitableitung. Folglich sind, laut (32.1), Lagrange-Gleichungen invariant (unverändert) unter (37.1, 2). In der Tat: LG2 ist invariant, denn sind invariant (siehe 37.3,4). Bemerkung: Forderung der Lokalität, Homogenität und Isotropie der Raumzeit, sowie der Eichinvarianz, genügt, um die Form von L eindeutig zu bestimmen! (d.h. um Form der Lorentz-Kraft zu bestimmen!) 1. Forderung: Kopplung des Teilchens an soll lokal sein in Raum und Zeit (Ableitungen von oder sollen nicht vorkommen): 2. Forderung: Homogenität und Isotropie der Raumzeit (keine explizite Abhängigkeit in Winkeln...) aber nicht: 3. Forderung: Bewegungsgl. des Teilchens soll eichinvariant sein: Zusatzterm erlaubt wegen (32.1)

7 Bestimmung von L mittels Forderungen 1-3 Allgemeinst-denkbare Form von Λ wäre: kommen alle links in (85a.3) vor! Aber: nur funktioniert: sonst erzeugt Terme wie usw., die links in (39.3) nicht vorkommen! Sei nun infinitesimal, und entwickle (39.3) in Potenzen von : Ordnung : Ordnung : Koeffizientenvergleich: Hieraus folgt: Aber, für freies Teilchen gilt: Die Form von L ist nun komplett bestimmt! Mit Identifikation Ladung des Teilchens ist das Endergebnis: Bemerkung: Konstruktion von "neuen" Lagrange-Funktionen anhand von Symmetrieforderungen ist sehr fruchtbare Vorgehensweise in der theor. Physik

8 Zusammenfassung: Eichtransformation, Lorentz-Kraft Hamilton-Prinzip impliziert Kovarianz der Lagrange-Gl. 2. Art unter Koord.-Transf. Bewegungsgleichungen sind invariant unter "Eichtransformationen": Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld erfährt Lorentz-Kraft: Skalares Potential, Vektorpotential: Entsprechende Lagrange-Funktion ist: Unter Eichtransformation sind E,B invariant: und L ändert sich nur um totale Zeitableitung: