49 Differenzierbarkeit, Richtungsableitung und partielle Differenzierbarkeit

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1 49 Differenzierbarkeit, Richtungsableitung und partielle Differenzierbarkeit 49.1 Differenzierbarkeit 49.2 Eindeutigkeit des Differentials; Unabhängigkeit der Differenzierbarkeit von den gewählten Normen 49.4 Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit 49.9 Kettenregel für differenzierbare Funktionen Geometrische Deutung des Differentials Differenzierbarkeit und partielle Differenzierbarkeit Die Funktionalmatrix oder Jacobi-Matrix einer differenzierbaren Abbildung In diesem Paragraphen seien V, W {0} zwei endlich-dimensionale R-Vektorräume. Es seien (v 1,..., v n ) eine beliebige Basis von V und (w 1,..., w m ) eine beliebige Basis von W. Ferner sei := V eine beliebige Norm für V und := W eine beliebige Norm für W. Wir betrachten in diesem Paragraphen Funktionen f : D W mit D V. Sei p ein innerer Punkt von D. Wir wollen untersuchen, wie sich die Funktion f bei einer Änderung des Arguments p verhält. Man betrachte zunächst das Beispiel { 1 für q p = (p 1, p 2 ) := (0, 0), f(q 1, q 2 ) := 1 = 0 oder q 2 = 0, beliebig sonst. Dann gilt x (0, 0) = 0 = y (0, 0). Dennoch können wir keine Aussage darüber machen, wie sich f verhält, wenn (q 1, q 2 ) nicht auf einer der Koordinatenachsen liegt. Bei einer Funktion wird man aber nicht nur daran interessiert sein, ihr Verhalten auf den Koordinatenachsen zu durchschauen, sondern man wird wissen wollen, wie sich f(p 1, p 2 ) ändert, wenn man p 1 und p 2 gleichzeitig ändert. In unserem Beispiel wird man wissen wollen, wie stark sich f(q 1, q 2 ) von f(0, 0) unterscheidet, wenn q 1 und q 2 nahe bei Null liegen, jedoch 0 sind. Allein die Existenz der partiellen Ableitungen im Punkte p reicht jedoch wie obiges Beispiel zeigt zur Beantwortung dieser Frage nicht aus. Eine Antwort wird aber für differenzierbare Funktionen möglich sein. C 1 [49] 1

2 Kapitel XI Differenzierbarkeit in endlich-dimensionalen R-Vektorräumen Der Grundgedanke der Differenzierbarkeit ist, den Zuwachs f(q) f(p) der Funktion f für q in der Nähe von p mittels einer linearen Abbildung A : V W vermöge A(q p) zu approximieren. Der Zuwachs soll also lokal mit Hilfe der linearen Algebra berechenbar sein. Hierbei soll der Fehler der Approximation, also f(q) f(p) A(q p), schneller gegen Null gehen als der Abstand q p des Punktes q vom Punkt p, d.h. es soll gelten f(q) f(p) A(q p) q p 0. q p Wir hatten in 18.9 gesehen, daß sich auch die Differenzierbarkeit von f : D R mit D R in dieser Weise formulieren ließ Differenzierbarkeit Seien D V und f : D W. (i) f heißt in p differenzierbar, wenn gilt: (1) p ist ein innerer Punkt von D. (2) Es gibt ein A Hom R (V, W ) mit f(q) f(p) A(q p) q p 0. q p (ii) Ist D offen, so heißt f differenzierbar, wenn f in jedem p D differenzierbar ist. Die Definition der Differenzierbarkeit ist unabhängig von den in V und W gewählten Basen. Wir wollen nun zeigen, daß 1) die Differenzierbarkeit wegen der endlichen Dimension von V und W auch nicht von den für V und W gewählten Normen abhängt; 2) die lineare Abbildung A aus 49.1 für eine im Punkt p differenzierbare Funktion f eindeutig bestimmt ist Eindeutigkeit des Differentials; Unabhängigkeit der Differenzierbarkeit von den gewählten Normen Seien D V und f : D W. (i) (ii) Die Differenzierbarkeit von f in p hängt nicht von den für V und W gewählten Normen ab. Ist f in p differenzierbar, so ist ein A Hom R (V, W ), welches 49.1(2) erfüllt, eindeutig bestimmt. Es heißt das Differential (oder die Ableitung) von f an der Stelle p und wird mit D p f bezeichnet. Beweis. (i) Da V und W endlich-dimensional sind, liefern je zwei Normen für V bzw. W die gleiche Topologie für V bzw. W (siehe 34.6). Also hängt 49.1(1) nicht von den gewählten Normen ab und 49.1(2) nicht von der gewählten Norm in W. Sei nun W irgendeine Norm für W, dann hängt 49.1(2) auch nicht von der gewählten Norm in V ab: [49] 2 C 1

3 Differenzierbarkeit, Richtungsableitung und partielle Differenzierbarkeit Seien hierzu 1 und 2 zwei Normen für V. Dann gibt es c 1, c 2 R + mit v 1 c 1 v 2, v 2 c 2 v 1 für v V \ {0} (siehe 34.4). Also gilt für q D \ {p} f(q) f(p) A(q p) q p 1 W c 1 f(q) f(p) A(q p) W und daher f(q) f(p) A(q p) q p 1 (ii) Seien A 1, A 2 Hom R (V, W ) mit q p 2 c 1 c 2 f(q) f(p) A(q p) q p 1 W, 0 f(q) f(p) A(q p) q p q p 2 0. q p f(q) f(p) A i (q p) q p gegeben. Dann gilt (benutze 36.65(ii)): (1) (A 1 A 2 )(q p) q p q p 0 für i = 1, 2 q p 0. Sei nun v V \ {0} beliebig, aber fest gewählt. Wegen q n := p + 1 n v p und q n D \ {p} für genügend großes n (benutze 49.1(1)) gilt dann nach (1): (2) Wegen (A 1 A 2 )(v) v = (A 1 A 2 )(n 1 v) n 1 v Also ist A 1 = A 2. (A 1 A 2 )( 1 n v) 1 n v n 0. folgt A 1 (v) = A 2 (v) mit (2). Der folgende Satz liefert äquivalente Bedingungen zur Differenzierbarkeit, die manchmal zum Nachweis der Differenzierbarkeit besser geeignet sind, als die ursprüngliche Definition Kriterien für die Differenzierbarkeit Seien D V und f : D W. Für einen inneren Punkt p D sind äquivalent: (i) (ii) (iii) f ist in p differenzierbar. Es gibt ein A Hom R (V, W ) mit lim h 0 f(p+h) f(p) A(h) h = 0. Es gibt ein A Hom R (V, W ) und eine im Nullpunkt stetige Funktion ε : {h V : p + h D} W mit ε(0) = 0 und f(p + h) = f(p) + A(h) + h ε(h). Gilt eine dieser drei äquivalenten Bedingungen, so ist das A aus (ii) bzw. (iii) gleich D p f. Beweis. (i) (ii) Wegen {p + h D : 0 < h < δ} = {q D : 0 < q p < δ} für δ R + folgt aus 49.1(2) und 49.2 f(q) f(p) D 0 = lim pf(q p) q p q p mit A = D p f Hom R (V, W ). = lim h 0 f(p+h) f(p) D pf(h) h C 1 [49] 3

4 Kapitel XI Differenzierbarkeit in endlich-dimensionalen R-Vektorräumen (ii) (i) Umgekehrt folgt aus (ii) offensichtlich wieder 49.1(2) und somit nach 49.2 auch zusätzlich A = D p f. (ii) (iii) Setze ε(0) := 0 und (1) ε(h) := f(p+h) f(p) A(h) h für h {h V : p + h D} \ {0}. Nach (ii) gilt dann lim h 0, h 0 ε(h) = 0, also ist ε im Nullpunkt stetig, und aus (1) folgt f(p + h) = f(p) + A(h) + h ε(h) zunächst für h 0 und dann auch für h = 0. Also gilt (iii). (iii) (ii) Aus (iii) folgt umgekehrt offensichtlich 0 = lim h 0, h 0 ε(h) = lim h 0 f(p+h) f(p) A(h) h, also gilt (ii) und A = D p f (siehe (ii) (i)). Damit ist die Äquivalenz von (i) bis (iii) sowie der Zusatz über A bewiesen Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit Seien D V und f : D W in p differenzierbar. Dann ist f in p stetig. Beweis. Da D p f eine lineare Abbildung eines endlich-dimensionalen Raumes V in W ist, ist D p f : V W stetig. Also folgt D p f(h) 0 für h 0. Da f in p differenzierbar ist, gilt nach 49.3(iii): f(p + h) = f(p) + D p f(h) + h ε(h) mit ε(h) 0 für h 0. Also folgt f(p + h) f(p) für h 0 (benutze 36.65), d.h. f ist in p stetig. Die Differenzierbarkeit impliziert also die Stetigkeit, im Gegensatz zur partiellen Differenzierbarkeit, die nicht notwendig die Stetigkeit der Funktion nach sich zieht (siehe hierzu Aufgabe 56 oder das einleitende Beispiel dieses Paragraphen) Differenzierbare Funktionen sind in jeder Richtung ableitbar Seien D V und f : D W. (i) Ist f in p differenzierbar, so gilt für jedes v V : D p f(v) = lim t 0 f(p+tv) f(p) t. Sind v V mit v = 1 und p D und existiert v (p) := lim t 0 f(p+tv) f(p) t, so heißt v (p) die Richtungsableitung von f im Punkte p in Richtung v. Dabei heißt jedes v V mit v = 1 eine Richtung. [49] 4 C 1

5 Differenzierbarkeit, Richtungsableitung und partielle Differenzierbarkeit (ii) Ist f in p differenzierbar, so besitzt f in p eine Richtungsableitung in Richtung v und man erhält diese, indem man die Ableitung D p f auf die Richtung v anwendet, genauer: v (p) = D pf(v). Beweis. (ii) ist eine Spezialisierung von (i). (i) Für v = 0 ist die Aussage wegen D p f(0) = 0 trivial. Sei also v V \ {0} und seien t n R\{0} mit t n 0 und p+t n v D gewählt. Dann ist zu zeigen: Wegen t n v 0 folgt dies aus f(p+tnv) f(p) t n f(p+t nv) f(p) t n D p f(v). D p f(v) = f(p+tnv) f(p) Dpf(tnv) t n = v f(p+tnv) f(p) Dpf(tnv) t nv (ii) Der folgende Satz zeigt, daß der Differenzierbarkeitsbegriff für Abbildungen von endlich-dimensionalen Vektorräumen in endlich-dimensionale Vektorräume als Spezialfall den Differenzierbarkeitsbegriff für Wege enthält Für Wege c ist D t0 c(1) = c (t 0 ) Seien D R und c : D V. Dann ist c genau dann in t 0 differenzierbar im Sinne von 49.1, wenn c im Sinne von 37.1 differenzierbar ist. Im Differenzierbarkeitsfall gilt: D t0 c(1) = c (t 0 ). Beweis. Sei c im Sinne von 49.1 in t 0 differenzierbar. Dann ist t 0 ein innerer Punkt von D und nach 49.5, angewandt auf f := c, V := R, W := V, p := t 0, v := 1 gilt: c(t lim 0 +h) c(t 0 ) h 0 h = D t0 c(1), d.h. c ist in t 0 differenzierbar mit c (t 0 ) = D t0 c(1). Sei c im Sinne von 37.1 differenzierbar. Dann ist A Hom R(R, V ) für A(h) := hc (t 0 ), und es gilt 0 = lim h 0 c(t 0+h) c(t 0 ) 37.1 h c (t 0 ) = lim h 0 c(t 0+h) c(t 0 ) hc (t 0 ) h = lim h 0 c(t 0+h) c(t 0 ) A(h). Somit ist c in t 0 differenzierbar. Der Zusatz ist schon in mitbewiesen. h C 1 [49] 5

6 Kapitel XI Differenzierbarkeit in endlich-dimensionalen R-Vektorräumen 49.7 Elementare Rechenregeln für differenzierbare Funktionen Seien D, E V. Sind dann f : D W und g : E W in p differenzierbare Funktionen, so ist (i) f + g in p differenzierbar mit D p (f + g) = D p f + D p g; (ii) f g in p differenzierbar mit D p (f g) = D p f D p g; (iii) für α R auch α f in p differenzierbar mit D p (αf) = αd p f. Ferner gilt: (iv) Ist f : D W konstant, so ist für jedes p D f in p differenzierbar mit D p f = 0. (v) Ist f Hom R (V, W ), so ist f differenzierbar mit D p f = f für jedes p V. Beweis. (i) Zunächst ist p innerer Punkt des Definitionsbereiches D E von f + g. Seien ε 1, ε 2 die nach 49.3(iii) im Nullpunkt stetigen Funktionen mit ε 1 (0) = ε 2 (0) = 0 und (1) f(p + h) = f(p) + D p f(h) + h ε 1 (h), (2) g(p + h) = g(p) + D p g(h) + h ε 2 (h). Nun ist ε := ε 1 +ε 2 eine im Nullpunkt stetige Funktion mit ε(0) = 0, und durch Addition von (1) und (2) erhalten wir (für p + h D E): (f + g)(p + h) = (f + g)(p) + (D p f + D p g)(h) + h ε(h). Da D p f + D p g Hom R (V, W ) ist, ist f + g in p differenzierbar und es gilt (benutze 49.3): D p (f + g) = D p f + D p g. (ii) folgt aus (i) und (iii). (iii) Da f in p differenzierbar ist, ist p innerer Punkt des Definitionsbereiches von f und somit auch des Definitionsbereiches von αf. Es gibt nun nach 49.3 eine in 0 stetige Funktion ε mit ε(0) = 0 und f(p + h) = f(p) + D p f(h) + h ε(h); also gilt auch mit der in 0 stetigen Funktion α ε, daß (αf)(p + h) = (αf)(p) + (αd p f)(h) + h αε(h). Da αd p f Hom R (V, W ) ist, folgt aus der letzten Darstellung die Differenzierbarkeit von αf in p mit D p (αf) = αd p f (benutze 49.3). (iv) Die Behauptung folgt aus f(q) f(p) 0(q p) q p = 0 für q p, mit der Nullabbildung 0 von V nach W. (v) Da f linear ist, folgt f(q) f(p) = f(q p) und somit f(q) f(p) f(q p) q p = 0 für q p. Also ist f in p differenzierbar mit D p f = f. [49] 6 C 1

7 Differenzierbarkeit, Richtungsableitung und partielle Differenzierbarkeit 49.8 Das Differential von f Seien D V und f : D W. Setze Dann heißt definiert durch D (1) := {p D : f ist in p differenzierbar}. Df : D (1) Hom R (V, W ), D (1) p D p f Hom R (V, W ), das Differential von f oder auch die Ableitung von f. In dieser Sprechweise besagt 49.7(v), daß das Differential einer linearen Abbildung f : V W die konstante Abbildung Df : V Hom R (V, W ) ist, die für jeden Punkt p V denselben Wert f hat. Ist also insbesondere V := W := R und f : V W die lineare Abbildung f = αx, so ist nach Analysis I zunächst f (p) = α. Nach 49.7(v) ist D p f : R Hom R (R, R) die konstante Abbildung, die jedem p R dieselbe durch α bestimmte lineare Abbildung R h αh zuordnet. Ferner ist, wie es 49.6 entspricht, D p f(1) = α 1 = f (p). Wegen 49.6 ist für D p f auch die Schreibweise f (p) üblich. Andere Schreibweisen für D p f sind: d p f, df(p), Df(p), df(p, v), Df(p, v). Die letzten beiden Bezeichnungen sollen die Abhängigkeit des Differentials von p und von v V zum Ausdruck bringen. Wir werden jedoch (bis auf eventuell ganz wenige Ausnahmen) für das Differential einer in p differenzierbaren Funktion f nur die Schreibweise D p f verwenden. Eine der wichtigsten Regeln der Differentialrechnung in Vektorräumen ist die Kettenregel Kettenregel für differenzierbare Funktionen Seien {0} V 1, V 2, V 3 drei endlich-dimensionale R-Vektorräume sowie D 1 V 1, D 2 V 2. Seien f : D 1 V 2 in p und g : D 2 V 3 in f(p) differenzierbar. Dann ist g f in p differenzierbar, und es gilt: D p (g f) = (D f(p) g) (D p f). Beweis. Es ist D p f Hom R (V 1, V 2 ) und D f(p) g Hom R (V 2, V 3 ). Also ist (D f(p) g) (D p f) Hom R (V 1, V 3 ), und es besagt daß D p (g f) = (D f(p) g) (D p f), (0) D p (g f)(v 1 ) = (D f(p) g)(d p f(v 1 )) für alle v 1 V 1. Es seien nun beliebige Normen auf V 1, V 2, V 3 gewählt, die ohne Verwechslungen befürchten zu müssen alle mit bezeichnet werden. C 1 [49] 7

8 Kapitel XI Differenzierbarkeit in endlich-dimensionalen R-Vektorräumen Es ist g f : f 1 (D 2 ) V 3. Wir zeigen zunächst (vgl. mit dem Beweis in 18.6): (1) p ist innerer Punkt des Definitionsbereiches f 1 (D 2 ) von g f. Wegen der Differenzierbarkeit von f in p ist p innerer Punkt von D 1 und f(p) innerer Punkt von D 2. Sei jetzt U 2 D 2 eine Umgebung von f(p) in V 2. Dann gibt es, da f als in p differenzierbare Funktion in p stetig ist, eine Umgebung U 1 von p mit (2) f(u 1 D 1 ) U 2 D 2. Da p innerer Punkt von D 1 ist, gibt es eine Umgebung U 1 von p mit U 1 D 1. Also ist U 1 U 1 eine Umgebung von p mit U 1 U 1 U 1 D 1 und (3) f(u 1 U 1 ) (2) D 2. Nach (3) ist g f zumindestens auf der Umgebung U 1 U 1 definiert, d.h. es gilt (1). Da f in p und g in f(p) differenzierbar ist, gilt nach 49.3 für zwei in 0 stetige Funktionen ε 1, ε 2 mit ε 1 (0) = 0, ε 2 (0) = 0: (4) f(p + h) = f(p) + D p f(h) + h ε 1 (h), (5) g(f(p) + k) = g(f(p)) + D f(p) g(k) + k ε 2 (k). Nun liegt f(p + h) D 2 nach (3) für alle h mit p + h U 1 U 1. Also gilt für alle h aus einer Umgebung von 0, wenn man k := f(p + h) f(p) setzt: (g f)(p + h) = g(f(p + h)) = (5) g(f(p)) + D f(p)g(f(p + h) f(p)) + f(p + h) f(p) ε 2 (f(p + h) f(p)) = (4) (g f)(p) + (D f(p)g)(d p f(h)) + h D f(p) g(ε 1 (h)) Zu zeigen bleibt: + f(p + h) f(p) ε 2 (f(p + h) f(p)). (6) D f(p) g(ε 1 (h)) + 1 h f(p + h) f(p) ε 2(f(p + h) f(p)) h 0 0. (6) folgt nun aus D f(p) g(ε 1 (h)) D f(p) g ε 1 (h) h 0 0, 1 h f(p + h) f(p) (4) D p f + ε 1 (h), ε 2 (f(p + h) f(p)) h 0 0 wegen f(p + h) f(p) für h 0. Die Kettenregel bei Parametertransformationen eines Weges (siehe 37.11) erhält man für offene Intervalle I und J durch Spezialisierung aus 49.9: (c ϕ) (t) = 49.6 D t (c ϕ)(1) = 49.9 (D ϕ(t) c)(d t ϕ(1)) = (D ϕ(t)c)(ϕ (t)) = ϕ (t) D ϕ(t) c(1) = ϕ (t) c (ϕ(t)) [49] 8 C 1

9 Differenzierbarkeit, Richtungsableitung und partielle Differenzierbarkeit Geometrische Deutung des Differentials Seien D V und f : D W in p differenzierbar. Sei c : I V ein Weg mit c(t 0 ) = p sowie c (t 0 ) = v für ein t 0 I. Dann ist (f c) (t 0 ) = D p f(v). Besitzt also c zum Zeitpunkt t 0 den Tangentialvektor (c (t 0 ) =) v, so besitzt f c zum Zeitpunkt t 0 den Tangentialvektor D p f(v). Beweis. Nach der Kettenregel 49.9 ist f c in t 0 differenzierbar und es gilt: (f c) (t 0 ) = D t0 (f c)(1) = D c(t )f(d t0 c(1)) D p f(c (t 0 )) = D p f(v). = 49.6 Veranschaulichung von 49.10: p = c(t 0 ) v = c (t 0 ) (f c) (t 0 ) = D p f(v) f(p) c f c c : [0, 3 2 ] R2 : t (t, 3t 2 2t 3 ), f(x, y) := (x 2y 2, x + y), t 0 := 1, p := (1, 1), v = (1, 0), D p f(v) = (1, 1). v = c (t 0 ) (f c) (t 0 ) = D p f(v) f(p) p = c(t 0 ) c f c c : [0, 2π] R 2 : t (cos(t), sin(t)), f(x, y) := (x 2y 2, x + y), t 0 := π/4, p := ( 1 2, 1 2 ), v = ( 1 2, 1 2 ), D p f(v) = ( 2 1 2, 0). C 1 [49] 9

10 Kapitel XI Differenzierbarkeit in endlich-dimensionalen R-Vektorräumen Differenzierbarkeit von Funktionen mit Werten in einem endlich-dimensionalen Vektorraum ist Differenzierbarkeit der Koordinatenfunktionen Seien D V und f : D W. Dann ist f = m i=1 f iw i mit eindeutig bestimmten Funktionen f i : D R, und es sind äquivalent: (i) f ist in p differenzierbar. (ii) l f ist in p differenzierbar für jede R-lineare Abbildung l : W R. (iii) f 1,..., f m sind in p differenzierbar. Gilt eine dieser drei äquivalenten Aussagen, so ist D p f = m i=1 (D pf i )w i, und D p (l f) = l D p f für l Hom R (W, R). Insbesondere ist für W := R m und f := (f 1,..., f m ) D p f = (D p f 1,..., D p f m ). Beweis. (i) (ii) Nach 49.7(v) ist l differenzierbar mit D f(p) l = l. Also folgt nach Kettenregel 49.9 die Differenzierbarkeit von l f, und es gilt (1) D p (l f) = (D f(p) l) D p f = l D p f. (ii) (iii) wegen f j = l j f mit l j Hom R (W, R) gemäß (iii) (i) Wegen 49.7(i) reicht es zu zeigen, daß f i w i differenzierbar ist. Dies folgt aus f i(p+h)w i f i (p)w i [D pf i (h)] w i h = f i(p+h) f i (p) D pf i (h) h w i 0. h 0 Ferner erhalten wir D p (f i w i ) = (D p f i ) w i und somit (2) D p f = m i=1 D p(f i w i ) = m i=1 (D pf i ) w i. 49.7(i) Somit sind die Äquivalenz von (i) (iii) und nach (1) und (2) auch die beiden ersten Zusätze gezeigt. Für W := R m wähle die Basis (e 1,..., e m ). Dann ist f = m i=1 f ie i und aus (2) folgt D p f = m i=1 (D pf i ) e i = (D p f 1,..., D p f m ). Wir betrachten im Rest dieses Paragraphen den Spezialfall V := R n, um den Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und partieller Differenzierbarkeit aufzudecken. In werden wir sehen, daß Differenzierbarkeit partielle Differenzierbarkeit nach sich zieht und daß unter einer Zusatzvoraussetzung auch die Umkehrung gilt Richtungsableitung und partielle Ableitung Seien D R n und f : D W. Dann besitzt f in p genau dann eine Richtungsableitung in Richtung e i, wenn f in p partiell nach x i differenzierbar ist, und es gilt dann e i (p) = (p). Beweis. Vergleiche die Definition der Richtungsableitung von f im Punkte p in Richtung e i mit [49] 10 C 1

11 Differenzierbarkeit, Richtungsableitung und partielle Differenzierbarkeit Differenzierbarkeit und partielle Differenzierbarkeit Seien D R n und f : D W. (i) Ist f in p differenzierbar, dann ist f in p partiell differenzierbar, und es gilt (p) = D p f(e i ) für i = 1,..., n. (ii) Ist f für alle Punkte einer Umgebung U von p partiell differenzierbar und sind für i = 1,..., n stetig in p, so ist f differenzierbar in p. Beweis. (i) Nach 49.5 besitzt f in p die Richtungsableitungen e i (p) = D p f(e i ) für i = 1,..., n. Die Behauptung folgt daher aus (ii) Sei zunächst W := R. Man betrachte den R n mit der Norm. Dann gibt es ein ε R + mit U ε (p) = {q R n : q p < ε} = ]p 1 ε, p 1 + ε[... ]p n ε, p n + ε[ U. Wir zeigen später: Zu jedem q U ε (p) existieren ξ (1),..., ξ (n) U ε (p) mit (1) f(q) f(p) = n i=1 (ξ (i) )(q i p i ), ξ (i) p q p. Bezeichnet wieder x i : R n R die Abbildung x i (q 1,..., q n ) := q i, so ist x i Hom R (R n, R) und somit (2) l := n i=1 (p)x i Hom R (R n, R). Aus (1) und (2) folgt wegen x i (q p) = q i p i : f(q) = f(p) + n i=1 x (1) i (p)(q i p i ) + n i=1 ( (ξ (i) ) (p))(q i p i ) = f(p) + l(q p) + n i=1 ( x (2) i (ξ (i) ) (p))(q i p i ). Die Differenzierbarkeit von f in p ergibt sich daher aus der letzten Gleichung wegen 1 q p n i=1 ( (ξ (i) ) (p))(q i p i ) n i=1 (ξ (i) ) (p) q i p i q p n i=1 (ξ (i) ) (p) (1), in p stetig 0 für q p. Zu (1): Sei q = (q 1,..., q n ) U ε (p). Dann gilt: f(q) f(p) = f(q 1,..., q n ) f(p 1, q 2,..., q n ) + f(p 1, q 2,..., q n ) f(p 1, p 2, q 3,..., q n )... + f(p 1,..., p n 1, q n ) f(p 1,..., p n ) = n i=1 (f(p 1,..., p i 1, q i, q i+1,..., q n ) f(p 1,..., p i 1, p i, q i+1,..., q n )) = n i=1 (g i(q i ) g i (p i )), wobei g i : ]p i ε, p i + ε[ R definiert ist durch g i (t) := f(p 1,..., p i 1, t, q i+1,..., q n ). C 1 [49] 11

12 Kapitel XI Differenzierbarkeit in endlich-dimensionalen R-Vektorräumen Nun ist g i differenzierbar, da f partiell nach x i differenzierbar für alle Punkte von U( U ε (p)) ist. Also ist nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (3) g i (q i ) g i (p i ) = g i (r i)(q i p i ) mit r i p i q i p i. Ferner ist mit ξ (i) := (p 1,..., p i 1, r i, q i+1,..., q n ): (4) g i (r i) = (p 1,..., p i 1, r i, q i+1,..., q n ) = (ξ (i) ). Also erhalten wir aus der Summendarstellung von f(q) f(p): f(q) f(p) = n i=1 (g i(q i ) g i (p i )) = n i=1 g i (r i)(q i p i ) (3) = (4) n i=1 (ξ (i) )(q i p i ). Damit ist der erste Teil von (1) bewiesen. ξ (i) p q p folgt aus: 0 für j < i ξ (i) j p j = r j p j für j = i q j p j. q j p j für j > i (3) Wir betrachten nun den allgemeinen Fall, in dem W ein m-dimensionaler R-Vektorraum mit Basis (w 1,..., w m ) ist. Dann ist f = m j=1 f jw j mit f j : D R. Nach reicht es zu zeigen, daß f 1,..., f m in p differenzierbar sind. Da alle j für i = 1,..., n in U existieren, und da gilt (benutze 37.2): (q) = m j j=1 (q)w j für q U, sind auch j in p stetig (benutze 34.14). Also folgt nach dem ersten Teil, daß f j in p differenzierbar ist Die Funktionalmatrix oder Jacobi-Matrix einer differenzierbaren Abbildung Seien D R n und f : D R m in p differenzierbar. Dann ist die Matrix von D p f bzgl. der kanonischen Basen des R n und R m gegeben durch 1 x 1 (p)... 1 x n (p) m x 1 (p)... m x n (p) Diese Matrix heißt die Fundamentalmatrix (oder Jacobi-Matrix) von f in p und wird mit J p f bezeichnet. Insbesondere ist also für v = (v 1,..., v n ) R n v 1 (D p f(v)) T = J p f. und D p f(v) = v(j p f) T. v n [49] 12 C 1

13 Differenzierbarkeit, Richtungsableitung und partielle Differenzierbarkeit Beweis. Die D p f zugeordnete Matrix (α ij ) erfüllt nach Definition (1) D p f(e j ) = m i=1 α ije i. Nun ist (2) D p f(e j ) = m i=1 D pf i (e j )e i = m i=1 i x j (p)e i. Aus (1) und (2) folgt α ij = i x j (p), also die Behauptung. Als Anwendung von erhalten wir insbesondere: Richtungsableitung und Gradient Seien D R n und f : D R in p differenzierbar. (i) Dann gilt für v R n mit v = 1: (ii) Ist grad p f 0, so gibt v (p) = grad pf, v. grad pf grad pf die eindeutig bestimmte Richtung des größten und gradpf grad pf die eindeutig bestimmte Richtung des kleinsten Anstiegs v (p) von f in Richtung v an. grad p f gibt den größten und grad p f den kleinsten Anstieg der Funktion f im Punkte p in einer Richtung an. Beweis. (i) Es gilt für v = (v 1,..., v n ) R n mit v = 1: v (p) = D pf(v) = J p f(v) = n i=1 (p)v i = grad p f, v. (ii) Wir zeigen, daß für v R n mit v = 1 gilt: (1) grad p f v (p) grad pf, (2) (3) v (p) = grad pf v = gradpf grad pf, v (p) = grad pf v = gradpf grad pf. Nun ist (4) v (p) = grad pf, v = grad p f cos( (grad p f, v)) mit (grad p f, v) [0, π]. Es folgt nun (1) unmittelbar aus (4). Ferner gilt nach (4): v (p) = grad pf (4) (grad p f, v) = 0 v = λ grad p f mit λ R + v = v =1 gradpf grad pf, v (p) = grad pf (4) (grad p f, v) = π v = λ grad p f mit λ R + v = gradpf v =1 grad pf. C 1 [49] 13

14 Kapitel XI Differenzierbarkeit in endlich-dimensionalen R-Vektorräumen Die Kettenregel in Matrizenform Seien D 1 R n und D 2 R m. Sind f : D 1 R m in p und g : D 2 R q in f(p) differenzierbar, dann ist g f in p differenzierbar, und es gilt: J p (g f) = (J f(p) g) (J p f). Beweis. Nach 49.9 ist g f in p differenzierbar, und es gilt (1) D p (g f) = D f(p) g D p f. Wir betrachten im R n, R m, R q die kanonischen Basen A := (e 1,..., e n ), B = (e 1,..., e m ) und C := (e 1,..., e q ). Nach Definition der Jacobi-Matrizen gilt dann mit den Bezeichnungen der Linearen Algebra (2) J p (g f) = M A C (D p(g f)), J f(p) g = M B C (D f(p)g), J p f = M A B (D pf). Nach Linearer Algebra (siehe 15.6(1)) ist nun (3) M A C (D f(p)g D p f) = M B C (D f(p)g) M A B (D pf). Aus (1), (2) und (3) erhalten wir nun die Behauptung: J p (g f) = (2) M A C (D p(g f)) = (1) M A C (D f(p)g D p f) = (3) M B C (D f(p)g) M A B (D pf) = (2) (J f(p) g) (J p f). Als Anwendung von erhalten wir für die partielle Differenzierbarkeit: Kettenregel für partielle Differenzierbarkeit Seien D 1 R n und D 2 R m. Sind f : D 1 R m in p und g : D 2 R, definiert durch y g(y), in f(p) differenzierbar, so gilt für die partiellen Ableitungen von g f: (g f) (p) = m j=1 g y j (f 1 (p),..., f m (p)) j (p) = grad f(p) g, für i = 1,..., n. Beweis. Wende mit q := 1 an. Dann gilt: ( (g f) x 1 (p),..., (g f) x n (p)) = ( g y 1 (f 1 (p),..., f m (p)),..., g y m (f 1 (p),..., f m (p))) 1 x 1 (p) (p) 1 x n (p). m x 1 (p)... m x n (p) Hieraus folgt nach Definition der Matrizenmultiplikation die Behauptung.. [49] 14 C 1