Wurzelbäume. Definition 1

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1 Wurzeläume Definition 1 Ein Wurzelum (oer uh gerihteter Bum) ist ein gerihteter zyklisher Grph, in em genu ein Knoten w Eingngsgr 0 esitzt un lle neren Knoten Eingngsgr 1 esitzen. Knoten w heißt ie Wurzel es Grphen. e f Wurzelum mit Wurzel Grphen - Teil 4 J. Blömer 1/16

2 Wurzeläume Alterntive Definition Ein Wurzelum (oer uh gerihteter Bum) ist ein Pr (T, w), woei T = (V, E) ein ungerihteter Bum ist un w V ein Knoten ist. Knoten w heißt ie Wurzel es Grphen. Von ungerihtet zu gerihtet In T git es für jeen Knoten v V einen eineutigen Pf von w zu v. Orientieren Knten so, ss für jeen Knoten v V ein gerihteter Pf von w zu v führt. Grphen - Teil 4 J. Blömer 2/16

3 Wurzeläume Von ungerihtet zu gerihtet In T git es für jeen Knoten v V einen eineutigen Pf von w zu v. Orientieren Knten so, ss für jeen Knoten v V ein gerihteter Pf von w zu v führt. e f e f e f Grphen - Teil 4 J. Blömer 3/16

4 Grunlegene Begriffe Sei (T, w), T = (V, E), ein Wurzelum un v V. Die Knoten uf em Pf P von w zu v heißen Vorgänger von v. Der zu v enhrte Knoten uf P heißt unmittelrer Vorgänger, uh Vter oer Elter, von v. Knoten u, so ss v uf em Pf von w zu u liegt, heißen Nhfolger von v. Ein mit v urh eine Knte verunener Nhfolger heißt unmittelrer Nhfolger, uh Sohn oer Kin von v. u Wurzel v y z v ist Vorgänger von z. v ist unmittelrer Vorgänger von y. u ist Nhfolger er Wurzel. y ist unmittelrer Nhfolger von v. Grphen - Teil 4 J. Blömer 4/16

5 Höhe von Bäumen Definition 2 Sei T = (V, E) ein Wurzelum un v V ein Knoten. Die Höhe von v ist ie mximle Länge eines (gerihteten) Pfes in T mit Anfngsknoten v. Die Höhe von T ist ie Höhe er Wurzel von T. u Wurzel v v ht Höhe 2. u ht Höhe 0. Der Bum ht Höhe 3. y z Grphen - Teil 4 J. Blömer 5/16

6 Höhe von Bäumen Definition 2 Sei T = (V, E) ein Wurzelum un v V ein Knoten. Die Höhe von v ist ie mximle Länge eines (gerihteten) Pfes in T mit Anfngsknoten v. Die Höhe von T ist ie Höhe er Wurzel von T. v u v ht Höhe 2. u ht Höhe 3. Der Bum ht Höhe 4. Grphen - Teil 4 J. Blömer 5/16

7 Binäräume Definition 3 Ein Binärum ist ein Wurzelum, in em jeer Knoten höhstens zwei unmittelre Nhfolger ht. Ein vollstäniger Binärum ist ein Binärum, in em 1 jeer Knoten, er kein Bltt ist, genu zwei unmittelre Nhfolger ht 2 lle Pfe von er Wurzel zu Blättern ie gleihe Länge hen. Einen Binärum, er niht vollstänig ist, nennen wir unvollstänig. unvollstäniger Binärum vollstäniger Binärum er Höhe 2 Grphen - Teil 4 J. Blömer 6/16

8 Binäräume Stz 4 Ein vollstäniger Binärum er Höhe h ht 2 h Blätter un 2 h+1 1 Knoten. Beweis Inuktion üer h Inuktionsnfng h = 0 Bum er Höhe 0 esitzt 1 = Knoten 1 = 2 0 Blätter Grphen - Teil 4 J. Blömer 7/16

9 Binäräume Stz 4 Ein vollstäniger Binärum er Höhe h ht 2 h Blätter un 2 h+1 1 Knoten. Beweis Inuktionsvorussetzung Stz korrekt für Bäume er Höhe h. Inuktionsshritt h h + 1 T vollstäniger inärer Bum er Höhe h + 1 un mit Wurzel w w Wurzel mit irekten Nhfolgern w 1 un w 2 w i un seine Nhfolger sin vollstäniger Bum T i er Höhe h, i = 1, 2 T i esitzt 2 h Blätter un 2 h+1 1 Knoten, i = 1, 2 Anzhl er Blätter von T ist Summe er Anzhl er Blätter von T 1 un T 2 Anzhl er Blätter ist 2 h + 2 h = 2 2 h = 2 h+1 Grphen - Teil 4 J. Blömer 7/16

10 Binäräume Stz 4 Ein vollstäniger Binärum er Höhe h ht 2 h Blätter un 2 h+1 1 Knoten. Beweis Inuktionsshritt h h + 1 T i esitzt 2 h Blätter un 2 h+1 1 Knoten, i = 1, 2 Anzhl er Knoten von T ist Summe er Anzhl er Knoten von T 1 un T 2 plus 1 (für w), Anzhl er Knoten ist 2 h h = 2 2 h+1 1 = 2 h+2 1 Grphen - Teil 4 J. Blömer 7/16

11 Beshreiung von Strukturen - Dteisysteme / in home usr vr et li lol Grphen - Teil 4 J. Blömer 8/16

12 Beshreiung von Strukturen - Progrmmkonstrukte WhileSttement Sttement Assignment Expression Sttement Assignment Vrile Expression WhileSttement Expression Sttement Assignment Vrile Expression Grphen - Teil 4 J. Blömer 9/16

13 Entsheiungsäume - s Prolem es Hnlungsreisenen Ein Hnlungsreisener möhte uf einer Runreise n Stäte esuhen. Die Stäte sin mit Strßen einer gewissen Länge verunen. Mnhe Stäte können von neren Stäten eventuell niht irekt erreiht weren. Gesuht ist eine Tour minimler Länge, ie jee Stt genu einml esuht. Moellierung urh Grphen: Grph G = (V, E) mit Kntenmrkierung m : E N. Die Knoten sin ie Stäte, ie Knten sin irekte Verinungen zwishen Stäten, ie Kntenmrkierungen sin ie Längen er irekten Verinungen. Gesuht ist ein Hmiltonkreis mit möglihst geringem Gewiht. Gewiht eines Hmiltonkreises ist ie Summe er Mrkierungen uf en Knten es Kreises. Grphen - Teil 4 J. Blömer 10/16

14 Entsheiungsäume - s Prolem es Hnlungsreisenen Moellierung urh Grphen: Grph G = (V, E) mit Kntenmrkierung m : E N. Die Knoten sin ie Stäte, ie Knten sin irekte Verinungen zwishen Stäten, ie Kntenmrkierunen sin ie Längen er irekten Verinungen. Gesuht ist ein Hmiltonkreis mit möglihst geringem Gewiht. Gewiht eines Hmiltonkreises ist ie Summe er Mrkierungen uf en Knten es Kreises Kreis er 48 Länge Grphen - Teil 4 J. Blömer 11/16

15 Entsheiungsäume Ein Entsheiungsum spnnt lle potentielle Lösungen einer Aufge uf. Die Lösungen weren urh ie Blätter hrkterisiert. Der Pf zu einem Bltt eshreit ie Entsheiungen, ie zu iesem Bltt (Lösung) führen. Grphen - Teil 4 J. Blömer 12/16

16 Termäume - Kntorowitsh-Bäume ienen zur Beshreiung er Struktur von rithmetishen Termen un Ausrüken Knoten repräsentieren Vrilen, Konstnten un Opertoren Knten verinen iese mit ihren Opernen ( + ) ( + ) ( + ) Grphen - Teil 4 J. Blömer 13/16

17 Termäume - Kntorowitsh-Bäume Tuht ein Teilusruk zweiml uf, können ie entsprehenen Knoten ientifiziert weren Der Bum wir urh zu einem gerihteten, kreisfreien Grphen. Eingesetzt z.b. von Compilern, um Coe zu erzeugen, er gleihe Teilusrüke nur einml uswertet. Grphen - Teil 4 J. Blömer 14/16

18 Suhäume Binäre Bäume T = (V, E) mit V N untersheien zwishen rehten un linken Nhfolgern für lle Knoten v gilt 1 lle rehten Nhfolger von v sin größer ls v 2 lle linken Nhfolger von v sin kleiner ls v gut geeignet, um Anfrge x V? zu entworten sollten möglihst lniert sein 20 Grphen - Teil 4 J. Blömer 15/16

19 Zusmmenfssung Grphen Prolemklssen Wegeproleme Verinungsproleme Zuornungsproleme Ahängigkeitsproleme hierrhishe Strukturen verzweigte Aläufe Anornung in Folgen Knoten- un Knteneeutung verunen, enhrt,... Entsheiung, Alterntive, Verzweigung Voreingung, Ahängigkeit (Un-)Verträglihkeit esteht us, enthält, ist-ein verzweigte Aläufe Reltion Knoten- un Kntenmrkierungen Entfernung, Kosten, Gewinn Färung =. isjunkte Knotenmengen Symole einer Sprhe Grphen - Teil 4 J. Blömer 16/16