Elemente der Mathematik - Sommer 2016

Transkript

1 Elemente der Mathematik - Sommer 06 Prof. Dr. Matthias Lesch, Regula Krapf Übungsblatt 8 Aufgabe 7 (8 Punkte). Ein Parallelogramm ist ein Rechteck ABCD mit Seiten a, b, c, d wie unten dargestellt, mit der Eigenschaft, dass a und c sowie b und d parallel sind. Beweisen Sie folgende Aussagen. (a) Ein Viereck ABCD ist genau dann ein Parallelogramm, wenn a c und b d. (b) In einem Parallelogramm drittelt die Verbindungsgerade einer Ecke mit der Mitte einer gegenüberliegenden Seite eine Diagonale. (c) Eine Parallelogramm hat genau dann gleich lange Seiten, wenn seine Diagonalen orthogonal sind. Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass sich die Diagonalen gegenseitig halbieren. (d) Ein Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn beide Diagonalen gleich lang sind. Lösung. D c M c C f E S d S e b A M a a B (a) Sei ABCD ein Parallelogramm. Dann sind BAC und ACD sowie BCA und DAC Wechselwinkel und somit gleich. Aus dem Kongruenzsatz WSW folgt dann, dass a c und b d. Umgekehrt seien a c und b d. Aus dem Kongruenzsatz SSS folgt dann, dass die Winkel BAC und ACD gleich sind. Wären a und c nicht parallel, so hätten die Geraden AB und DC einen Schnittpunkt S. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass S links von A liegt. Aber dann gilt ASD 80 ( SAC + ACD) 80 ( SAC + BAC) 0, ein Widerspruch.

2 (b) Die Dreiecke ADM a und BCM c sind kongruent aufgrund des Kongruenzsatzes SWS und somit gilt M a D M c B. Aus (a) folgt dann, dass M a BM c D ein Parallelogramm ist, d.h. M c B und DM a sind parallel. Der Strahlensatz impliziert dann sowie M cc c S C S C M aa AS. a AS Ausserdem folgt aus dem Kongruenzsatz WSW, dass die Dreiecke AM a S und CS M c kongruent sind und daher S C AS. Also gilt AS S C und die Behauptung ist bewiesen. (c) Wir zeigen zuerst, dass sich die Diagonalen gegenseitig halbieren, d.h. AE CE e und BE DE f. Ersteres folgt aus dem Kongruenzsatz WSW, da die Winkel ABD und BDC Wechselwinkel sind. Die zweite Aussage folgt analog. Wir nehmen zuerst an, dass das Parallelogramm ABCD gleich lange Seiten hat, d.h. a b c d. Dann ist das Dreieck ABD gleichschenklig und somit ABD BDA. Der Kongruenzsatz SWS impliziert dann, dass die Dreiecke ABE und AED kongruent sind. Insbesondere gilt dann AEB AED 90. Umgekehrt seien die Diagonalen e und f orthogonal, d.h. AEB AED 90. Dann folgt aus dem Satz von Pythagoras ( e ) ( f ) a + b und somit a b. (d) Wir nehmen zuerst an, dass das Parallelogramm ABCD ein Rechteck ist. Aus dem Satz von Pythagoras folgt, dass Somit gilt e f. e a + b c + d f. Für die Rückrichtung nehmen wir an, dass e f gilt. Dann folgt aus dem Kongruenzsatz SSS, dass die Dreiecke ABC und BCD kongruent sind. Somit gilt β γ. Andrerseits gilt aber auch und somit sind alle Winkel 90. β β + γ α + β + γ + δ 360

3 3 Aufgabe 8 ( Punkte). Betrachten Sie folgenden Beweis. Satz. Jedes Dreieck ist gleichschenklig. Beweis. Im Dreieck ABC halbiere CD den Innenwinkel γ und MD sei die Mittelsenkrechte zu AB. Dann sind nach dem Kongruenzsatz WSW die Dreiecke CED und CF D kongruent. Nach dem Kongruenzsatz SWS sind die Dreiecke AMD und BMD ebenfalls kongruent. Wegen ED F D, AD BD und AED BF D 90, sind auch AED und BF D kongruent. Also it AE BF und AC BC, d.h. das Dreieck ABC ist gleichschenklig. Wo steckt der Fehler? Lösung. Der Schnittpunkt D der Mittelsenkrechten zu AB und der Winkelhalbierenden von γ liegt ausserhalb des Dreiecks. Aufgabe 9 (6 Punkte). (a) Beweisen Sie, dass die Fläche eines Dreiecks ABC durch folgende Formel berechnet werden kann. F ( ABC) (a h a) (b h b) (c h c). Spiegeln Sie dazu das Dreieck am Mittelpunkt M der Seite a um 80 wie unten dargestellt. (b) Folgern Sie, dass der Flächeninhalt berechnet werden kann durch F bc sin α ac sin β ab sin γ. Hinweis: Finden Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit der gleichen Fläche und verwenden Sie (a). Quelle der Bilder:

4 Lösung. (a) Wenn wir das Dreieck ABC um M um 80 drehen, dann gilt für das Bilddreieck A B C, dass B C und C B. Da die Dreiecke ABC und A B C kongruent sind, ist dann nach Aufgabe 7 (a) das Viereck ABA C ein Parallelogramm. Sei D der Schnittpunkt der zu c rechtwinkligen Gerade durch A mit der Gerade CA, und E der Schnittpunkt der cu c rechtwinkligen Gerade durch B mit CA. Dann sind nach dem Kongruenzsatz WSW die Dreiecke ACD und BA E kongruent und somit flächengleich. Dann gilt für die Flächen F ( ABC) F (ABA C) F ( BA E) + F (ABEC) F (ABED) c BE ch c. (b) Wir verwandeln das Dreieck ABC in ein flächengleiches rechtwinkliges Dreieck ABD, indem wir D als den Schnittpunkt der Senkrechten zu AB durch A mit der Parallelen zu AB durch C wählen. Dann gilt ACD α und somit AD b sin α. Dies ergibt F ( ABC) F (ABD) c AD bc sin α. Die anderen Gleichheiten zeigt man analog. Aufgabe 30 (3 Punkte). Verwenden Sie den Kosinussatz sowie Aufgabe 9 (b) um die Heron sche Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks herzuleiten, wobei p (a + b + c). Lösung. Aus dem Kosinussatz folgt F p(p a)(p b)(p c) cos α b + c a bc

5 5 und somit sin α cos α b c (b + b c + c a b a c + a ) b c a b c + a b + a c + b c. bc Nun folgt aus Aufgabe 9 (b) Andrerseits gilt F bc sin α a bc b c + a b + a c + b c bc a b c + a b + a c + b c p(p a)(p b)(p c) (a + b + c) ( a + b + c) (a b + c) (a + b c) ((b + c) a )(a (b c) ) (b + c) a a (b + c) (b c) + a (b c) a b + a bc + a c a b + b c c + a b a bc + a c a b + a c + b c a b c F wie gewünscht.