Kapitel 7 Lineare Abbildungen und Matrizen II

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1 Kapitel 7 Lineare Abbildungen und Matrizen II 7.1 Weitere Rechenregeln für Matrizen Aus den bisher gelernten Regeln entnehmen wir den als Übung zu beweisenden Satz 7.1. Es gelten die folgenden Regeln. 1. Bei fest gewählten Basen V und W der Vektorräume V (der Dimension n) bzw. W (der Dimension m) gibt es zu jeder m n-matrix genau eine lineare Abbildung L: V W mit A = M W V L). 2. Die m n-matrizen mit Koeffizienten aus dem Körper K bilden einen K-Vektorraum der Dimension m n. 3. Für die Multiplikation zweier Matrizen (geeigneter Dimensionen) gelten (i) das Assoziativitätsgesetz A B C) = A B) C; (ii) das Distributivitätsgesetz A B + C) = A B + A C. 7.2 Die Algebra der quadratischen Matrizen Ebenso mache man sich folgende Aussagen klar. Satz 7.2. Es gelten die folgenden Regeln. 1. Die n n-matrizen mit Koeffizienten aus K bilden einen K-Vektorraum der Dimension n Die Matrixmultiplikation ist assoziativ und distributiv. 3. Die Einheitsmatrix E n ist das neutrale Element der Matrixmultiplikation. 4. Die Matrixmultiplikation ist für n 2 i.a. nicht kommutativ. Die Matrixmultiplikation ist nicht nullteilerfrei, d.h. i.a. folgt aus A B nicht A = 0 oder B = 0. 51

2 52 7 Lineare Abbildungen und Matrizen II Beweis. Wir wollen nur ein Gegenbeispiel für die letzten zwei Aussagen geben. Betrachte dazu die Matrizen 0 1 A = und B =. 1 0 Dann berechnen wir A B = 1 0 B A = 0 1 d.h. es gilt A B = B A. Weiter haben wir A 2 = A A = obwohl A = 0. Man sagt, die Menge M n K) der n n-matrizen bildet eine nichtkommutative Algebra mit Einselement. 7.3 Invertierbare lineare Abbildungen In diesem Abschnitt betrachten wir invertierbare lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen. Wir erinnern dazu an folgenden Begriff: Die lineare Abbildung heißt bijektiv, falls sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Ist L: V W bijektiv, so kann ihre Inverse oder Umkehrabbildung L 1 : W V erklärt werden. Für jedes w W existiert dann genau ein v V mit L v) = w in Zeichen L 1 w) = v. Satz 7.3. Ist die lineare Abbildung L: V W bijektiv, so ist ihre Umkehrung L 1 : W V wieder linear. Beweis. Seien w 1 w 2 W und α 1 α 2 K. Wegen der Bijektivität von L gibt es eindeutig bestimmte v 1 v 2 V mit w 1 = L v 1 ) w 2 = L v 2 ) bzw. v 1 = L 1 w 1 ) v 2 = L 1 w 2 ). Wegen der Linearität von L gilt L α 1 v 1 + α 2 v 2 ) = α 1 w 1 + α 2 w 2 und daher ist L 1 α 1 w 1 + α 2 w 2 ) = α 1 v 1 + α 2 v 2 = α 1 L w 1 ) + α 2 L w 2 ) was zu zeigen war.

3 7.4 Vektorraumisomorphismen 53 Dazu folgendes Beispiel: Die Abbildung L: R 2 R 2 vermöge L x y) = x + 2y x y) ist eine bijektive lineare Abbildung mit der Umkehrabbildung 1 L 1 : R 2 R 2 vermöge L 1 r s) = 3 r + 2s) 1 r s). 3 Als Übung möge man dies verifizieren. 7.4 Vektorraumisomorphismen Was sind Isomorphismen? Wir wollen die algebraischen Strukturen bijektiver, linearer Abbildungen genauer studieren. Definition 7.1. Eine bijektive lineare Abbildung L: V W heißt Vektorraumisomorphismus oder kurz Isomorphismus. Satz 7.4. Ist L: V W ein Isomorphismus, so auch die Umkehrung L 1 : W V. Beweis. Man mache sich klar, dass mit L auch L 1 bijektiv ist. Nach vorigem Satz ist zudem auch L 1 linear. Das zeigt die Aussage. Folgerungen Satz 7.5. Sei L: V W ein Isomorphismus. Dann gelten (i) Sind v 1... v V linear unabhängig, so auch L v 1 )... L v ). (ii) Wird V von {v 1... v m } erzeugt, so wird W von {L v 1 )... L v m )} erzeugt. (iii)ist {v 1... v n } Basis von V so ist {L v 1 )... L v n )} Basis von W. (iv) Es gilt dimv = dimw. Beweis. Die Aussage (i) belassen wir als Übungsaufgabe. (ii) Sei w W gegeben. Zu v = L 1 w) gibt es α 1... α n K mit v = m i=1 α i v i also auch w = L v) = m i=1 α i L v i ). (ii) Folgt aus (i) und (ii) (iv) Folgt aus (i) und der entsprechenden Aussage für L 1.

4 54 7 Lineare Abbildungen und Matrizen II Isomorphe Vektorräume Vektorräume, zwischen denen ein Isomorphismus existiert, sind also sehr eng miteinander verwandt. Definition 7.2. Zwei Vektorräume V und W heißen isomorph, in Zeichen V W falls ein Isomorphismus L: V W existiert. Wir kommen nun zu einem bemerkenswerten Resultat der Linearen Algebra, was die tieferen Bedeutung isomorpher Räume ausdrückt. Satz 7.6. Sei V ein Vektorraum mit Basis {v 1... v n }. Dann gilt V R n. Zum Beweis benötigen wir folgenden Hilfssatz 7.1. Die Abbildung L: V W ist genau dann bijektiv, wenn ein T : W V existiert mit T L = id V und L T = id W. Für ein solches T gilt also L 1 = T. Beweis des Hilfssatzes. Übungsaufgabe Beweis des Satzes. Wir versehen R n mit der kanonischen Basis {e 1... e n }. Nach dem Satz aus Abschnitt 6.1 existieren eindeutig bestimmte lineare Abbildungen S : R n V und S : V R n mit S e i ) = v i und S v i ) = e i für i = 1... n. Aus S S) e i ) = e i und S S) v i ) = v i folgen S S = id R n sowie S S = id V denn die linearen Abbildungen S S und S S sind durch die Werte auf einer Basis ja eindeutig festgelegt. Die Aussage folgt aus vorigem Hilfssatz. 7.5 Charakterisierung invertierbarer linearer Abbildungen Rang linearer Abbildungen und Matrizen Für die Invertierbarkeit linearer Abbildungen ist also der Begriff der Bijektivität zentral. Zunächst halten wir fest, dass wegen der Dimenionsformel (Kern-Bild-Satz) bijektive lineare Abbildungen nur zwischen Vektorräumen derselben Dimension existieren, d.h. es muss notwendig (nicht unbedingung hinreichend!) sein dimv = dimw. Bevor wir zu einer umfassenden Charakterisierung invertierbarer linearer Abbildungen kommen, wollen wir einige weitere Begriffe einführen.

5 7.5 Charakterisierung invertierbarer linearer Abbildungen 55 Definition 7.3. Als den Rang der linearen Abbildung L: V W verstehen wir die Dimension ihres Bildraums, in Zeichen RangL := dimbildl. Der Corang oder Defekt der linearen Abbildung L: V W ist definiert als CorangL := dimkernl. Es sei nun A die zur linearen Abbildung L: V W gehörige m n)-dimensionale Abbildungsmatrix. Definition 7.4. Der Spaltenrang der Matrix A ist definiert als der Rang der zugehörigen linearen Abbildung L. Der Zeilenrang von A ist schließlich der Spaltenrang der transponierten Matrix A T. Zusammengefasst SpaltenrangA = RangL ZeilenrangA = SpaltenrangA T. Charakterisierungssatz Da bijektive lineare Abbildungen nur zwischen Vektorräumen derselben Dimension existieren, können wir o.b.d.a. einfach Abbildungen L: R n R n betrachten. Das ist der Inhalt des obigen Isomorphiesatzes. Satz 7.7. Es sei L: R n R n eine lineare Abbildung mit zugehöriger Abbildungsmatrix A R n n. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (a) (b) L ist invertierbar. A ist nichtsingulär bzw. regulär, d.h. es gibt eine n n)-matrix B mit A B = B A = E n. (c) Es gibt eine n n)-matrix B mit B A = E n. (d) Es gibt eine n n)-matrix B mit A B = E n. (e) Es gilt RangA = n (siehe später: Zeilenrang gleich Spaltenrang) (f) Alle Spalten von A sind lineare unabhängig. (g) Alle Zeilen von A sind linear unabhängig. (h) L ist injektiv. (i) L ist surjektiv. Beweis. Übungsaufgabe.

6 56 7 Lineare Abbildungen und Matrizen II Inverse Matrizen Und hier noch ein Begriff, der sich unmittelbar an den vorigen Satz anschließt. Definition 7.5. Die quadratische Matrix B aus Teil (b) dieses Satzes heißt die zur quadratischen Matrix A gehörige inverse Matrix und wird mit A 1 bezeichnet. Präzisierung des Charakterisierungssatzes Wir wollen die Aussage (b) präzisieren: Satz 7.8. Die invertierbare lineare Abbildung L: V V mit zugehöriger Abbildungsmatrix A = M V L) bez. einer Basis V von V sei gegeben. Dann gilt A 1 = M V L 1 ). Beweis. Es bezeichne L 1 : V V die Inverse zu L: V V so dass L 1 L = L L 1 = id V. Für die zugehörigen Abbildungsmatrizen A = M V L) und B = M V L 1 ) schließen wir daraus A B = B A = E n d.h. es gilt A 1 = B. Die Inverse eines Produktes Satz 7.9. Sind A und B invertierbare Matrizen, so ist auch A B invertierbar mit A B) 1 = B 1 A 1. Beweis. Übungsaufgabe.