Mathematik für Chemiker

Transkript

1 Mathematik für Chemiker

2 Götz Brunner (*1938) war Studiendirektor im Hochschuldienst am Fachbereich Mathematik der Universität Dortmund. Sein Hauptarbeitsgebiet ist die Algebraische Topologie. Seit 1976 hat er die Vorlesung Mathematik für Chemiker gelesen. Rainer Brück (*1955) ist apl. Professor für Mathematik an der Technischen Universität Dortmund (bis 2007 Universität Dortmund). Sein Hauptarbeitsgebiet ist die Funktionentheorie. Er führte die zweisemestrige Vorlesung Mathematik für Chemiker von Herrn Brunner fort.

3 Götz Brunner Rainer Brück Mathematik für Chemiker 3., überarbeitete und korrigierte Auflage

4 Götz Brunner Dortmund, Deutschland Rainer Brück Fakultät für Mathematik Technische Universität Dortmund Dortmund, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996, 2008, 2013 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Planung und Lektorat: Merlet Behncke-Braunbeck, Sabine Bartels Einbandentwurf: deblik, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.

5 Vorwort Während die 1. Auflage des Buches Mathematik für Chemiker in zwei Bänden erschienen ist, war unser Ziel bei dieser Neuauflage, die Stoffauswahl in einem einzigen Band auf die mathematischen Inhalte zu beschränken, die üblicherweise auch in einer entsprechenden zweisemestrigen Vorlesung Mathematik für Chemiker behandelt werden und das für das Grundstudium der Chemie benötigte mathematische Wissen abdecken. Dazu gehören auch wichtige Gebiete, wie Matrizenrechnung, Taylor- und Potenzreihen, gewöhnliche Differentialgeichungen und lineare Differentialgleichungssysteme, die erst im zweiten Band der 1. Auflage behandelt wurden. Für die Stoffauswahl und die Reihenfolge der Kapitel bestimmend war unter anderem auch die Tatsache, dass die Studierenden im ersten Semester gleichzeitig die Physik-Vorlesung besuchen, in der schon früh komplexe Zahlen, Vektoren und Kenntnisse in Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer und mehrerer Variablen benötigt werden. Vom Leser werden keine speziellen Vorkenntnisse erwartet es genügen die Kenntnisse und Fertigkeiten, die gewöhnlich im Mathematik-Unterricht der Mittelstufe erworben werden (algebraisches Rechnen, Ungleichungen, elementare Geometrie, Trigonometrie), und eine gewisse Vertrautheit mit Mathematik, wie sie sich in der Oberstufe auch in jedem Grundkurs ausbildet. Um auf den unterschiedlichen Wissensstand bei den Studienanfängern Rücksicht zu nehmen, wurde deshalb insbesondere auch nicht auf Vorkenntnisse in der Vektoralgebra und in der Differentialrechnung zurückgegriffen. Wir haben uns bemüht, die in einer Darstellung der Mathematik unvermeidliche Strenge ein wenig aufzulockern. Allerdings legen wir Wert auf die mathematisch saubere Formulierung von Begriffen und Ergebnissen. Um die Darstellung gut verständlich zu machen, ist sie bewusst breit und ausführlich gehalten, sind oft erläuternde Bemerkungen eingefügt, wie man sie in einer Vorlesung gibt, werden Ergebnisse und neue Begriffe meist durch Beispiele oder andere Motivationen vorbereitet und werden Funktionen, mathematische Sachverhalte und Überlegungen an Hand von Abbildungen veranschaulicht. Insbesondere sollen längere Einleitungen einiger Kapitel und Abschnitte den Leser vorweg vertraut machen mit den Gedanken, die der anschließend folgenden Mathematik zugrunde liegen. Es ist ein Hauptanliegen des Buches, das für den Umgang mit mathematischem Stoff erforderliche Verständnis zu wecken und die mathematischen Fertigkeiten zu vermitteln, die im Studium der Chemie benötigt werden. Dazu ist es nicht immer unbedingt erforderlich, Sätze, Folgerungen und andere Aussagen zu beweisen; Beweise werden in der Regel nur dann geführt, wenn sie helfen können, Aussagen verständlich zu machen, oder dazu beitragen, mit den verwendeten Begriffen und Ergebnissen sachgerecht um-

6 vi zugehen. Oft ist ein Beispiel zur Erhellung einer Aussage nützlicher als ein Beweis. Grundsätzlich werden zu allen neu gewonnenen Erkenntnissen, Rechenregeln und Rechenverfahren konkrete Beispiele ausführlich durchgerechnet und werden immer wieder Hinweise gegeben und Vorgehensweisen als Rezepte formuliert. Beispiele aus der Chemie oder Physik ziehen wir heran, wenn sie die Einführung neuer Begriffe motivieren und so für das Verständnis hilfreich sein können, aber auch, wenn es sich in anwendungsorientierten Gebieten wie den gewöhnlichen Differentialgleichungen und linearen Differentialgleichungssystemen anbietet. Um Rechenverfahren und -regeln zu üben, eignen sich solche Beispiele weniger gut, weil sie die Konzentration auf das Erlernen von mathematischen Techniken eher behindern. Statt dessen legen wir Wert darauf, in den Einleitungen zu Kapiteln und Abschnitten sowie in vielen Erläuterungen die Beziehungen zu den Naturwissenschaften aufzuzeigen. Das Buch kann als Grundlage für Vorlesungen dienen sowie als Begleitlektüre für Studierende der Chemie und auch anderer Naturwissenschaften. Es eignet sich zum Selbststudium und zu Prüfungsvorbereitungen nicht zuletzt wegen der vielen durchgerechneten Beispiele und der Aufgaben am Ende der einzelnen Abschnitte, die Gelegenheit bieten, den erlernten Stoff selbstständig zu üben. Zur Unterstützung haben wir recht ausführlich die Lösungen der Aufgaben angefertigt, aber aus Platzgründen nicht in das Buch aufgenommen, sondern zum Download im Internet auf als pdf- und ps-datei zugänglich gemacht. Unseren Ehefrauen danken wir für ihre Geduld und manchen Verzicht während der Zeit, in der das Buch entstand. Unser Dank gilt auch dem Spektrum Akademischer Verlag für die Veröffentlichung des Buches, insbesondere Frau Merlet Behncke-Braunbeck, die als verantwortliche Lektorin am Zustandekommen dieser Neuauflage großen Anteil hat, und Frau Jutta Liebau, die als Lektorin die Entstehung des Buches begleitet und unterstützt hat. Dortmund, Juli 2007 Götz Brunner Rainer Brück Vorwort zur 3. Auflage Gezielter als in dem ursprünglich zweibändigen Buch Mathematik für Chemiker wollten wir in der 2. Auflage den Studierenden der Chemie vorrangig die mathematischen Fähigkeiten und Kenntnisse vermitteln, die sie schon im Grundstudium unbedingt benötigen. Das bestimmte maßgeblich die Auswahl des mathematischen Stoffes und die Reihenfolge seiner Darstellung. Die 2. Auflage wurde von Lehrenden und Studierenden der Chemie recht positiv aufgenommen, aber ebenso von Dozenten, die das Buch in der Mathematikausbildung der Studierenden anderer Naturwissenschaften und der Ingenieurwissenschaften benutzen

7 vii und empfehlen. Die Mehrzahl der Kollegen, die das Buch rezensiert haben, bewertete Themenauswahl, Textaufbau und Verständlichkeit der Darstellung gut. Das alles bestärkte uns darin, bei der 3. Auflage nicht erneut wesentliche Änderungen vorzunehmen. Wir beschränken uns darauf, Fehler zu beseitigen und einige Textstellen stilistisch zu überarbeiten. Die ausführlichen Lösungen zu sämtlichen im Buch gestellten Aufgaben sind zum Download im Internet kostenlos zugänglich unter dem Hyperlink Wir danken allen, die uns auf Fehler oder Ungereimtheiten hingewiesen oder uns Vorschläge gemacht haben, das eine oder andere weitere Thema in unser Buch aufzunehmen auch wenn wir diese Anregungen in der vorliegenden Auflage noch nicht aufgegriffen haben. Weiter gilt unser Dank dem Springer-Verlag für die Neuauflage unseres Buches und insbesondere Frau Merlet Behncke-Braunbeck, die sich als Programmleiterin des Springer-Verlages für die Neuauflage eingesetzt hat, sowie Frau Sabine Bartels, die uns als Projektmanagerin betreut hat. Dortmund, März 2013 Götz Brunner Rainer Brück

8 viii Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Grundlegendes: Mengen und Aussagen Grundlegendes über Mengen Grundlegendes über Aussagen Komplexe Zahlen Einführung der komplexen Zahlen Die komplexe (Gaußsche) Zahlenebene Die Polardarstellung komplexer Zahlen Multiplikation und Division komplexer Zahlen in Polardarstellung Einheitswurzeln Vektoralgebra, Lineare Algebra Der Vektorraum R Skalar-, Vektor- und Spatprodukt im Raum R Ortsvektoren und vektorielle Darstellung von Punktmengen im Raum Der Begriff des Vektorraums Linearkombinationen, Basis eines Vektorraums Das Skalarprodukt in abstrakten Vektorräumen Matrizen und Determinanten Rang von Matrizen, Lineare Gleichungssysteme Grundlegendes über Abbildungen und Funktionen Der Abbildungsbegriff Reellwertige Funktionen einer Variablen Vektorwertige Funktionen, Funktionen von mehreren Variablen Zahlenfolgen, Grenzwerte von Funktionen Konvergenz von Zahlenfolgen Grenzwerte von Funktionen Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten Differenzierbarkeit und Ableitung von Funktionen Differenzierbarkeit und Ableitung reeller Funktionen Ableitung von Grundfunktionen, Ableitungsregeln Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung

9 Inhaltsverzeichnis ix 6.4 Die Regeln von de l Hospital Die Ableitung vektorwertiger Funktionen einer Variablen Partielle Ableitungen, differenzierbare Funktionen mehrerer Variablen Die Funktionalmatrix eines Vektorfeldes Ableitung zusammengesetzter Funktionen, Kettenregeln Anwendungen der Differentialrechung Implizit definierte Funktionen und implizites Differenzieren Die Richtungsableitung einer Funktion Die Tangentialebene an eine Fläche Integralrechnung Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral einer Funktion Integrationsregeln Das bestimmte Integral Natürliche Logarithmus- und Exponentialfunktion Allgemeine Exponential-, Logarithmus- und Potenzfunktionen Uneigentliche Integrale Integration rationaler Funktionen Bereichsintegrale, Parameterintegrale und mehrfache Integrale Koordinatentransformation bei Bereichsintegralen Kurvenintegrale, konservative Vektorfelder und Potentiale Taylorreihe von Funktionen und Potenzreihen Taylorformel und Taylorreihe Lokale Extrema Potenzreihen Gewöhnliche Differentialgleichungen Grundlegende Begriffe Differentialgleichungen mit getrennten Variablen Exakte Differentialgleichungen und integrierender Faktor Lineare Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung Lineare Differentialgleichungssysteme Grundbegriffe Eigenwerte und Eigenräume von Matrizen Lösungsverfahren für homogene lineare Differentialgleichungssysteme. 363 Sachverzeichnis 368