Mathematische und statistische Methoden II

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1 Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-06) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de SS 010 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Zusammenfassung (unabh.) Fragestellung: Kann ein aus Stichprobendaten geschätzter Erwartungswert μ identisch sein mit einem gegebenen Erwartungswert c? (abh.) Die Prüfgröße ist: t-verteilt mit df = n - 1 t = x c ˆ σ σ x Berechnung des Standardfehlers des Mittelwertes ˆ σ X 1 n 1 1 = s = ˆ σ = s n n 1 n n 1 X X X

3 Zusammenfassung (unabh.) Fragestellung: Kann ein aus Stichprobendaten geschätzter Erwartungswert μ identisch sein mit einem gegebenen Erwartungswert c? (abh.) Die Prüfgröße ist: t-verteilt mit df = n - 1 t = x c ˆ σ σ x Berechnung des Standardfehlers des Mittelwertes ˆ σ X 1 n 1 1 = s = ˆ σ = s n n 1 n n 1 X X X

4 Voraussetzungen (unabh.) Normalverteilung des Merkmals in der Population für Stichprobengrößen von n 30. (abh.)

5 Für unabhängige Stichproben Zusammenfassung (unabh.) (abh.) Fragestellung: Stammen die aus zwei Stichproben geschätzten Erwartungswerte aus derselben Population? Die Prüfgröße ist: t-verteilt mit df = n X + n Y - t x y = ˆ σ Δ Berechnung des Standardfehlers der Differenz von Mittelwerten ˆ σ Δ n s + n s = + = + n n n n n n X X Y Y ˆ σδ X Y X Y X + Y

6 Für unabhängige Stichproben Zusammenfassung (unabh.) (abh.) Fragestellung: Stammen die aus zwei Stichproben geschätzten Erwartungswerte aus derselben Population? Die Prüfgröße ist: t-verteilt mit df = n X + n Y - t x y = ˆ σ Δ Berechnung des Standardfehlers der Differenz von Mittelwerten ˆ σ Δ n s + n s = + ˆ σδ = + n n n n n + n X X Y Y X Y X Y X Y

7 Für unabhängige Stichproben Voraussetzungen (unabh.) (abh.) Normalverteilung des Merkmals in der Population für Stichprobengrößen von n X + n Y 50. Unabhängigkeit der Stichproben bzw. der Merkmalsträger darin Homogenität der Populationsvarianzen (zu prüfen mit einem geeigneten Test)

8 Für abhängige Stichproben Zusammenfassung (unabh.) Fragestellung: Stammen die Mittelwerte zweier Stichproben mit denselben Merkmalsträgern aus derselben Population? (abh.) Die Prüfgröße ist: t-verteilt mit df = n - 1 t = x y ˆ σ Δ Berechnung des Standardfehlers des Mittelwertes von Differenzen 1 n 1 sx + sy s sδ σ Δ X Y ˆ σ = = ˆ = Δ n n 1 n n 1

9 Für abhängige Stichproben Zusammenfassung (unabh.) Fragestellung: Stammen die Mittelwerte zweier Stichproben mit denselben Merkmalsträgern aus derselben Population? (abh.) Die Prüfgröße ist: t-verteilt mit df = n - 1 t = x y ˆ σ Δ Berechnung des Standardfehlers des Mittelwertes von Differenzen 1 n 1 sx + sy s sδ σ Δ X Y ˆ σ = = ˆ = Δ n n 1 n n 1

10 Für abhängige Stichproben Voraussetzungen (unabh.) (abh.) Normalverteilung des Merkmals in der Population für Stichprobengrößen von n 30. Paarweise Zuordnung der Merkmalsträger in den Stichproben

11 (unabh.) (abh.) Multiples Testen Problemstellung Die Irrtumswahrscheinlichkeit α sagt nicht, dass die getroffene Entscheidung für eine der Hypothesen mit α 100%iger Wahrscheinlichkeit falsch ist (sie ist entweder zutreffend oder nicht) Die Irrtumswahrscheinlichkeit α charakterisiert die Wahrscheinlichkeit, dass man einen beobachteten (Kenn-)Wert (oder einen noch extremeren) erhält unter der Annahme, dass H 0 zutrifft Sie lässt sich ihalltagssprachlich hlihübersetzen in die Aussage Werden für multiple Stichprobenziehungen aus derselben Population k Signifikanztests durchgeführt, werden von diesen Tests α kk allein durch Zufallsfehler bei der Stichprobenziehung signifikant.

12 Multiples Testen α-fehler Kumulierung beim statistischen Testen (unabh.) (abh.) In der empirischen Praxis hat man häufig nicht nur zwei Stichproben bzw. Gruppen, sondern mehr als zwei Beispiele: Mittleres Einkommen verschiedener Wählergruppen (SPD, CDU, FDP, Grüne); multiple Befragungen von Patienten während des Therapieprozesses p Sollen alle Gruppen mithilfe des s miteinander verglichen werden, sind multiple s notwendig. Jeder von diesen besitzt eine Irrtumswahrscheinlichkeit von α α-fehler Kumulierung

13 Multiples Testen Bonferroni-Korrektur und Dunn-Sidak Korrektur (unabh.) Die Bonferroni-Korrektur nimmt an, dass bei k Tests das α-niveau um 1/k verringert werden muss, um die erhöhte Irrtumswahrscheinlichkeit auszugleichen α ' = (abh.) Die Dunn-Sidak Korrektur geht von unabhängigen Stichproben aus und berechnet das neue α-niveau über die komplementäre Wahrscheinlichkeit, dass bei k Stichproben nur α k signifikant werden. α k α ' = 1 (1 α ) k Die Bonferroni-Korrektur ist (marginal) konservativer als Dunn-Sidak 1

14 F-Test Bartlett Test Der F-Test Test von Varianzen auf Homogenität Ziel: Prüfung, ob zwei Varianzen unterschiedlich sind Man testet die Gleichheit mithilfe des Quotienten aus zwei Varianzen. F 1 1 = =, ˆ σ ( n n ) 1 n1 s ˆ σ n 1 n s n 1 Geprüft werden stets die Schätzungen der Populationsvarianzen aufgrund der Stichprobendaten, nicht die Stichprobenvarianzen selbst 1

15 F-Test Der F-Test Test von Varianzen auf Homogenität Bartlett Test F ( n n ) 1 n 1 s ˆ σ1 n1 1 = = ˆ σ n s n 1, 1 1 Wenn die Varianzen gleich sind, sollte der F-Bruch gleich 1 sein, bei Ungleichheit verschieden von 1 H : ˆ σ = ˆ σ Hypothesen: 0 1 H : ˆ σ ˆ σ 1 1 Frage: Wie groß muss F werden, damit die H 1 angenommen werden kann? Welche Verteilung hat F?

16 F-Test Der F-Test Die F-Verteilung Bartlett Test

17 F-Test Der F-Test Test von Varianzen auf Homogenität Bartlett Test F ( n n ) 1 n 1 s ˆ σ1 n1 1 = = ˆ σ n s n 1, 1 1 Der Quotient ist F-verteilt mit n 1-1 Zählerfreiheitsgraden und n -1 Nennerfreiheitsgraden Die größere der beiden Varianzen ist in den Zähler zu stellen. Der F-Test ist dann grundsätzlich einseitig. F-Verteilungen sind nicht symmetrisch und besitzen eine Schiefe, die von den Freiheitsgraden abhängt. Bei n 1 30 oder n 30 sollten die Zufallsvariablen in der Population normalverteilt sein

18 F-Test Bartlett Test Der F-Test Test von Varianzen auf Homogenität Der F-Test ist ein eher konservativer Test, der spät Signifikanzen anzeigt. Ist Varianzhomogenität ein kritischer Aspekt (i.e. Voraussetzung für ein Verfahren wie beim ), sollte ein progressives α-niveau (α=.5) oder ein sensitiverer Test gewählt werden. Dies können z.b. der Bartlet oder der Levene-Test sein Der Levene-Test ist mathematisch kompliziert, allerdings robuster gegen g Verletzungen der Voraussetzungen (z.b. NV der Population)

19 F-Test Bartlett Test Der Bartlet Test von Varianzen auf Homogenität Es können nicht nur, sondern beliebig viele Varianzen zusammen auf Gleichheit geprüft werden Der Bartlet verwendet folgende Prüfgröße:.303 χ = n log10 ( ˆ ) ( 1) log10 ( ˆ i σpooled ni σ i ) C i i mit: σˆ n s + n s 1 1 pooled = n 1 n 1 und: C = i ni 1 ( ni 1) i

20 F-Test Der Bartlet Test von Varianzen auf Homogenität Bartlett Test Die Prüfgröße folgt einer χ²-verteilung (Chi-Quadrat) mit 1 Freiheitsgrad (df=1) Es sollte α=0.5 gewählt werden, da man eher an der Ablehnung der H 0 interessiert ist Der Bartlett Test erfordert normalverteilte Populationen und reagiert sensibel auf Verletzungen dieser Voraussetzung Robuster ist der Levene-Test.

21 Methodenlehre e e Relevante Excel Funktionen Tests für Intervalldaten FVERT()

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