1. Hydraulisch relevante Eigenschaften der Fluide 1..0 Was ist eine Flüssigkeit?

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1 . Hydraulisch relevante Eigenschaften der Fluide..0 Was ist eine Flüssigkeit? Eine Flüssigkeit ist beliebig verformbar. Sie füllt einen vorgegebenen Raum aber nicht vollständig aus wie ein Gas, sondern bildet eine freie Oberfläche. Verformungseigenschaften eines Volumenelements einer Flüssigkeit ( NEWTONsches Fluid ) im Vergleich zu einem Festkörper nach Anbringen einer Scherspannung xy = F/A [Pa] (F= Scherkraft; A = Fläche an der Kraft angreift) Festkörper unverformt: (Bevor die Spannung xy angreift) Festkörper verformt: xy = G * (Hook sches Gesetz) mit G= Scher- oder Schubmodul = 8* 0 9 N/m 2 (Baustahl) = 500* 0 6 N/m 2 (Vollholz) Kraft is proportional der absoluten Scherung Flüssigkeit: Durch Schubspannung unendlich verformbar yx f d dt allgemein und für die meisten Flüssigkeiten yx µ d dt Kraft is proportional der absoluten Scherungsgeschwindigkeit. Der Proportionalitätsfaktor µ ist die dynamische Viskosität und wird später eingeführt. Ein Festkörper behindert die Scherverformung durch Schubspannungen, eine Flüssigkeit behindert die Geschwindigkeit der Verformungen. Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.

2 Stoffeigenschaften des Wassers, die in der technischen Hydraulik relevant sind : Dichte Zähigkeit Oberflächenspannung Wärmeausdehnung Kompressibilität, Elastizitätsmodul Dampfdruck spezifische Wärme Löslichkeit von Flüssigkeiten ( Sauerstoff, Luft, etc. ). Dichte Die Dichte einer Flüssigkeit ist wichtig für - die hydrostatischen Druckverhältnisse und Kräfte - die Trägheitskräfte Die Dichte eines homogenen Körpers ist definiert als Quotient aus Masse und Volumen M V kg m 3 Die Wichte ist definiert als Gewicht pro Volumeneinheit g N m 3 mit g = Erdbeschleunigung = 9,80665 m/s² ( Normwert ) 9,8 m/s² Wasser 9,8 0 3 [N/m 3 ] 9,8 [kn/m 3 ] Tab..: Dichten einiger Fluide und Gase Stoff Dichte [ kg/m³ ] Stoff Dichte [ kg/m³ ] reines Wasser 4 C 000 Quecksilber Hg C 995 ( bei 0 C ) als Eis 0 C 90 Heizöl 800 bis 900 Salzwasser 3,5% Salzgehalt 026 Benzin 700 ( Nordsee ) 0,94% Salzgehalt 007 Trichlorethen 300 ( Ostsee ) Flußwasser mit Luft bei 03 hpa,25 Schwebstoffen Und 0 C Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.2

3 Spezifisches Gewicht Stoff für H 2 O Wasser für organische Kohlenstoffe: TCE =,5 für Quecksilber: Hg = 3,6.2 Zähigkeit (Viskosität) Die Eigenschaft von Flüssigkeiten, der gegenseitigen Verschiebung der Flüssigkeitsteilchen bei Bewegung einen (geringen) Widerstand entgegenzusetzen, wird als Viskosität oder Zähigkeit bezeichnet. Die Viskosität wird auch als innere Reibung bezeichnet; im Gegensatz zur Reibung der Flüssigkeitsteilchen an den äußeren festen Wandbegrenzungen, der äußeren oder Wandreibung. Die Zähigkeit einer Flüssigkeit ist wichtig für : Strömungskräfte bei laminarer Strömung Fließwiderstände, insbesondere bei laminarer Strömung Grundwasserströmung Experiment zum Nachweis der Viskosität: (Zierep, 979) Fig..2: Zur Herleitung des Newtonschen Schubspannungsansatzes (Zierep, 979) (Beachten Sie Scherung der einzelnen Fluidschichten, was durch die unterschiedlichen Vektoren für Weg und Geschwindigkeit als Funktionen des vertikalen Abstandes dargestellt ist) Auf einer Flüssigkeitsschicht mit der Dicke h wird eine Platte mir Fläche A aufgesetzt und diese mit der Geschwindigkeit U durch eine horizontale Kraft F = xy *A bewegt. Es stellt sich das in der Abb. dargestellte lineare Geschwindigkeitsprofil ein. Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.3

4 . Experiment (Verdopplung der Zuggeschwindigkeit U): Man stellt fest, daß sich xy verdoppelt ==> xy - U 2. Experiment ( Platte im Fluid in halber Höhe h /2 ): Man stellt fest, daß sich xy verdoppelt ==> xy - / h () und (2) ==> xy ~ U/ h bzw. wenn man eine inkrementelle Schicht der Dicke dy und einer Geschwindigkeit dv betrachtet: NEWTONscher Schubspannungsansatz für die Schubspannung, die bei der Bewegung einer Flüssigkeit auftritt: µ dv dy N m 2 Der Proportionalitätsfaktor ist die dynamische Viskosität mit der Einheit Pascalsekunde [ Pa*s ] Die auf die Dichte bezogene dynamische Viskosität wird als kinematische Viskosität bezeichnet: µ m 2 s Sowohl die dynamische als auch die kinematische Viskosität sind abhängig von der Temperatur. Fluide: µ, wenn T ( µ fällt, wenn T steigt ) µ Wasser = 0-3 Pa*s bei T = 0 C Gase: µ, wenn T (µ steigt, wenn T steigt ) (Bedingt durch die größere innere Reibung wegen größerer kinetischer Geschwindigkeiten der Moleküle bei höherem T) Anmerkung: Gerade in der Temperaturabhängigkeit der Viskosität spiegelt sich der wesentliche Unterschied im molekulartheoretischen Aggregatzustand zwischen einem Fluid und einem Gas wieder. Während bei einem Gas die einzelnen Molekülen (Durchmesser von d ~0-0 m) eine chaotische Brownsche Bewegung unabhängig voneinder ausführen, mit einer mittleren Geschwindigkeit ~T /2 (~500m/s bei 20 0 C), die sich nach einer mittlereren Weglänge von l = 0-7 m aneinander stoßen. Bei einem Fluid sind die Moleküle näher beinander und beinflußen sich gegenseitig über die sogenannten Van der Waals Kräfte, die elektrostatischer Natur sind und nur über eine Entfernung von ~0-9 m wirksam sind. Diese Van der Waals Bindung nimmt mit steigender Temperatur ab und es kommt daher zu einer Verringerung der Viskosität. Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.4

5 Fig..3: Abhängigkeit der kinematischen Viskovon der Temperatur (Bohl, 986) Neben den reinen Newtonschen Fluiden für die die Schubspannung der Deformationsgeschwindigkeit d /dt (=d /dt in Fig..4 ) proportional ist, gibt es noch eine Reihe von Nicht-Newtonschen Fluiden bei denen dies nicht gilt. Beispiele sind Suspensionen, Polymere, Joghurt (s. Fig..5). Eine Besonderheit ist das Bingham-Fluid, das sich für unterhalb eines kritischen f elastisch wie ein Festkörper und oberhalb wie ein normales Fluid verhält. Andere Nicht-Newtonsche Fluide haben ein plastisches oder viskoelastisches Verhalten, d.h. sie sind für kurzzeitige Deformationen elastisch. aber zerfließen über längere Zeiträume (Beispiel: hüpfender Kitt ). Die Wissenschaft solcher Fluide, die insbesonderer in der Werkstoffkunde und der Chemischen Technik von Bedeutung sind, nennt man Rheologie (s. Fig..5). Fig..4: Fließverhalten von Newtonschen und Nicht-Newtonschen Fluiden (Zierep, 978) Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.5

6 Fig..5: Rheologie einiger Nicht-Newtonschen Fluiden (Bohl, 986) (Beachten Sie, dass die Spannung hier unüblicherweise auf der x-achse aufgetragen ist!) Beispiel.2. : Berechnung der Endgeschwindigkeit eines gleitenden Körpers Gegeben: Öl: SAE 30 (µ =0 - Pas, aus Tabelle, bzw. Plot), A = 0,2 m², = 20, Dicke des Gleitfilms: 0, mm Gesucht: Berechnung der Endgeschwindigkeit v? Lösung: Bei Endgeschwindigkeit v gilt : Gleichgewicht von Reibungskraft F R und Vortriebskraft G S F R = G S F R = * A; G S = G * sin * A = G * sin Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.6

7 µ z NEWTONscher Schubspannungsansatz µ v d A G sin v G sin A d µ mit : G m g v 0 kg 9,8 m/s² sin ,2 m² 0 Pa s v 0,678 m/s Beispiel.2.2: Messung der dynamischen Viskosität Zur Messung der dynamischen Viskosität eines Öles benutzt man die Anordnung rechts. Ein Hohlzylinder mit Innenradius r ist mit dem Öl gefüllt. Ein zweiter metallischer Vollzylinder mit Radius r 2, Länge l und Gewicht G sinkt in dem Öl mit einer Geschwindigkeit v. Gesucht: Viskosität µ des Öles Gegeben: r = 50,25mm; r 2 =50mm; l = 200mm; G= 20N, v= 0,23 m/sec Lösung: Newtonscher Schubspannungsansatz F A mit µ dv dz µ F dz dv A mit ====> F = G = 20N A = 2 r l = Mantelfläche des inneren Vollzylinders dz = 0,25mm = Spaltbreite dv = 0,23 m/sec µ = 0,346 Pa sec Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.7

8 .3 Oberflächenspannung Die Oberflächenspannung ist in der technischen Hydraulik wichtig für : den Kapillarsaum im Grundwasser ( kapillare Steighöhe ) Maßstabseffekte im wasserbaulichen Modell Meßwehre bei kleinen Überfallhöhen Mehrphasenströmungen Physikalisch rührt die Oberflächenspannung von einer Unsymmetrie der innermolekularen Anziehungskräfte eines Fluides an einer Fluid-Gas Grenze her, die dazu führt, daß Fluidteilchen an der Gas (Luft) Grenzfläche kräfteresultierend in Richtung des Fluids hingezogen werden. Um diese Kraft zu überwinden ist daher Arbeit (Energie) aufzuwenden. Die Oberflächenspannung ist definiert als die erforderliche Arbeit W die zum Vergrößern auf die Oberfläche A benötigt wird. Arbeit Fläche W A N m m² N m Für das Bügel- Experiment rechts gilt dann : W A F h 2 l h F 2 l N m (Der Faktor 2 kommt vom Beitrag von Vorder-und Rückseite der Oberfläche) Es folgt, daß werden kann. auch als Zugkraft / Länge definiert Tabelle.3: Werte für die Oberflächenspannung in [ N/m ]: Wasser: 7,4 * 0-2 Öl: 2,5 * 0-2 Quecksilber: 46 * 0-2 Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.8

9 Beispiel.3. : Steighöhe in Röhrchen Berechnung der kapillaren Steighöhe von Wasser in einem Rohr mit Kreisquerschnitt r: Gesucht: Gegeben: kapillare Steighöhe h kap im Röhrchen r = 0,5 mm Lösung: Es gilt: Gewicht der Wassersäule G = F H Haftkraft bedingt durch Oberflächenspannung mit G = M * g = * V * g = * g * * r² * h kap und F H = * l = * 2 r * cos ===> * g * * r² * h kap = * 2 r * cos (Für Wasser auf Feststoff gilt für den Haftwinkel ~ 0 0 ) ====> h kap 2 g r [m] h kap 2 7, ,5 0 3 N/m N/m³ m 0,03 m 3,0 cm und für den Unterdruck in der Kapillare: p kap 2 r N m² Unterdruck p kap 2 7, ,5 0 3 [ N/m m ] 296 Pa Beispiel.3.2: Überdruck in einem Nebeltropfen Gesucht: Gegeben: Lösung: Überdruck in einem Nebeltropfen r = 0-3 mm Es gilt p kap = 2 / r = 2 * 7,4 * 0-2 /0-6 [N/m 2 ] =,42 * 0 5 Pa =,42 bar Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.9

10 .4 Wärmeausdehnung Die Wärmeausdehnung ist bedeutsam im Zusammenhang mit Dichteschichtungen Behälterauslegung ( Druckanstieg bei Erwärmung ) Frostschadensverhütung Es gilt für beim Erwärmen eines Körpers (fest, flüssig, gasförmig) von Temperatur t auf t 2 V ( t = t ) = V 0 ( t = t 0 ) + V Einführung des thermischen Ausdehnungskoeffizienten : V 0 V T thermischer Ausdehnungskoeffizient V V 0 T mit: V 0 V (t t 0 ) und T T T 0 V V 0 ( T ) Häufig wird der lineare thermische Ausdehnungskoeffizient L angegeben der sich auf die Längenausdehnung eines in die anderen beiden Raumrichtungen eingespannten Körpers bezieht. L L 0 L T linearer thermischer Ausdehnungskoeffizient Anmerkung: Eine Wassermasse beansprucht bei einer Temperatur von 4 C das geringste Volumen (Anomalie des Wassers), welches mit V 0 bezeichnet werden soll. Nicht nur eine Erwärmung über 4 C, sondern auch eine Abkühlung unter diesen Wert ist mit einer Volumenvergrößerung verbunden. Beim Gefrieren nimmt das Volumen um ca. 0 % zu. Entsprechendes gilt für die Dichte des Wassers (s. Tab. 0.) Tab..4.: Thermische Ausdehnungskoeffiz. (für Fluide) bzw L (für feste Körper) in [ / o C]: Wasser: 8 * 0-5 (Für 8 0 C) Quecksilber: 8 * 0-5 (Für 8 0 C) Äthyläther 62* 0-5 (Für 8 0 C) Eisen: 23* 0-7 Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.0

11 Beispiel.4. : Wärmeausdehung eines Körpers Zur Temperaturmessung wird eine thermometerähnliche Konstruktion verwendet, die mit Wasser gefüllt ist. Es ist das erforderliche Volumen des Behälters (Durchmesser d=4mm) zu ermitteln, wobei einer Temperaturerhöhung von T =20 C auf T 2 =80 C eine Steighöhe von h=0,3m entsprechen soll. Die relative Raumausdehnung des Wassers bezogen auf 4 C beträgt für 20 C 20= * (T 20 -T 4 )= 0,00768 und für 80 C 80 = * (T 80 -T 20 )= 0,029. Lösung: Durch die Temperaturerhöhung wird sich das Wasser um das Volumen V im Steigröhrchen ausdehnen. Laut Definition des Raumausdehnungskoeffizienten werden die Volumina bei 20 C bzw. 80 C bestimmt durch: V 20 = V 4 * ( + 20 ) V 80 = V 4 * ( + 80 ) ( Der Index bezeichnet die Temperatur in C ). Das Behältervolumen ergibt sich nun folgendermaßen: V 4 V V 4 V V V V mit : V V 80 V 20 4 d 2 h 4 (0,004)2 0,3 3, V 20 V ( 20 ) , ( 0,00768) 0,029 0,00768 V 20, m 3 39 cm 3.5 Kompressibilität und Elastizitätsmodul Wird der auf ein Fluid- (oder Festkörper) Volumen V wirkende Druck p um p gesteigert, so verringert sich das Volumen V um den geringen Betrag V. V 0 V V V 0 V Das Minuszeichen muß geschrieben werden, weil mit zunehmendem Druck p das Volumen V kleiner wird). Die spezifische Volumenänderung pro Druckänderung definiert den Kompressionsmodul k E! V 0 V p m 2 N mit: E Elastizitätsmodul Für Wasser gilt bei 0 C: K W = 0,5 * 0-9 m 2 / N, bzw E W = 2, * 0³ MPa. Damit ist der E-Modul von Wasser ca. 00-mal kleiner als der von Stahl. E w ist leicht temperatur- und etwas mehr druckabhängig. Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.

12 ' Umformen der obigen Definition von E ergibt folgt : p "!# E $ V V 0 HOOKE sches Gesetz Die Volumenänderung ist der Druckänderung proportional. Beispiel.5. : Kompression durch überliegende Wassersäule Um wieviel würde das Volumen von m³ Wasser zusammengedrückt, wenn es von der Oberfläche eines Stausees in 00 m Tiefe gebracht würde? Lösung: Der Druck gegenüber der Oberfläche ist um p = Mpa ( = Wasserdruckhöhe = 00 m ) größer; das Volumen V = m³ = 0 6 cm³ wird verringert um V %!& 0 6 cm 3 ' MPa 2, ' 0 3 MPa % & 480 cm 3 Dies entspricht einer prozentuale Volumenverringerung von -0,048% Beispiel.5.2 : Kompression infolge Druckstoßes Eine Druckrohrleitung von l = 5 km Länge und konstanter Querschnittsfläche A ist mit Wasser gefüllt und erfährt einen kurzzeitigen Druckzuwachs (Druckstoß) von MPa. Um wieviel verkürzt sich der in der Leitung befindliche Wasserkörper (Rohrwände als unelastisch betrachtet)? Lösung: Es gilt: l %(& V A p %!& l ' p E W E W %!& 5 ' 0 3 m ' MPa 2, ' % & 2,4 m 0 3 MPa Die Wassersäule verkürzt sich um 2,4 m. Das Minuszeichen zeigt in beiden Beispielen die Verringerung gegenüber dem Ursprungswert an. Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.2

13 .6 Dampfdruck Der Dampfdruck ist von Bedeutung für die Strömung bei absoluten Drücken, die den Atmosphärendruck deutlich unterschreiten. Dies betrifft: ) Heber und Siphons ) Die Ansaughöhe von Pumpen ) Kavitationsvorgänge (Dampfblasenbildung) Der Dampfdruck hängt wie rechts gezeigt von der Temperatur ab Rechnerisch angenähert: 7,5 * T / ( 238+T ) p s = 6,07 * 0 ( T in C und p s in mbar) Auf Meereshöhe gilt: p abs = 0320 Pa = 03,2 hpa = 0,3 kpa = 0,3 kn / m² Grundsätzlich siedet eine Flüssigkeit dann wenn ihr Dampfdruck gleich dem äußeren Atmosphärendruck ist. Bei Unterdruck tritt Sieden bei geringeren Temperaturen auf. ===> Verringerung der Siedetemperatur auf einem Berg ===> Erhöhung der Siedetemperatur in Dampfdrucktopf Bei normalem Umgebungsdruck und 20 C reißt eine Wassersäule bei 0 m Höhe ab. Bei technischen Anwendungen (z.b. Saughöhe von Pumpen) ist die zulässige Unterdruckhöhe geringer (ca. 6 bis 8 m WS). Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.3

14 .7 Löslichkeit von Gasen, Luftgehalt des Wassers Die Löslichkeit von Gasen ist wichtig für ) künstliche Belüftung (Kläranlagen, Seenbelüftung, Belüftung an Wehren) ) Leitungen mit Unterdruck ) Wasseraufbereitungsverfahren Außer mechanischen beigemengten Luftblasen (z.b. Vermischung von Wasser und Luft infolge Absturz und hoher Fließgeschwindigkeit des Wassers) ist im Wasser aufgrund seines Absorptionsvermögens ein Teil an gelöster Luft enthalten. Der Gehalt an im Wasser gelöster Luft ist außer vom Druck auch von der Temperatur abhängig. So enthält Liter Wasser bei 00 %iger Sättigung unter Atmosphärendruck folgende Mengen Luft und Sauerstoff: Temperatur C Luft ml / l O 2 ml / l ,6 25,2 22,4 20, 8,3 5,4,4 6,0 0,2 8,9 7,9 7,0 6,4 5,2 3,8 2,0 Beachte: Die Löslichkeit nimmt mit der Temperatur ab! (Raoultsche s Gesetz) Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.4

15 0.8 Allgemeine Gasgesetze.) Gesetz von Guy - Lussac (Thermische Ausdehnung ) (isobarer Prozeß: p=const). V = V 0 * ( + * T ) (p=const) mit : V 0 = V bei 0 C T [ C ] = / 273 (Ausdehnungskoeffizient) für meiste Gase ===> V * V 0 +, T [ 0 C] * V 0 + T [ 0 K] 273 Man beachte die Ähnlichkeit mit dem gleichen Gesetz für Fluide in Kap..4. Der angegebene Wert = / 273 hat zur Folge: Am absoluten Nullpunt der Temperatur (= C = 0 o K) hat ein ideales Gas kein Volumen mehr Beispiel.8. : Wie groß ist die Volumenveränderung V eines Gases bei einer Temperaturerhöhung von 20 C auf 50 C? Lösung: Beachte, daß das Volumen nach Guy-Lussac immer auf erst auf 0 o C bezogen wrd V * V T [ K] - V 20 * V (273, 20) V 50 * V (273, 50) - V * V 20. V 50 *. V ( ) 2.) Gesetz von Boyle - Mariott ( isotherme Kompressibilität eines Gases (T=const.)) V / P V ' p % const. (T % const.) d.h. V * p = V 2 * p 2 Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.5

16 3.) Änderung des Druckes bei konstantem Volumen (isochorer Prozeß) p / T Druck proportional zur Temperatur Die isotherme und der isobare Zustandsänderung lassen sich in einem p-v Diagramm wie folgt darstellen: Fig..8.: p-v Diagram zur Herleitung des allgemeinen Gasgesetze (Zierep, 978) Durch die Vereinigung von.) + 2.) + 3.): p * V = Konstante * T und speziell mit: n = Molzahl R = allgemeine Gaskonstante p * V = n * R * T (Allgemeines Gasgesetz) Anmerkung: Mol eines Stoffes : Gewicht eines Stoffes in Molekulargewicht Molekulargewicht : H = H : g / mol kg /kmol He = 4 He : 4 g / mol 4 kg /kmol C = 2 C : 2 g / mol 2 kg /kmol N = 4 N : 4 g / mol 4 kg /kmol O = 6 O : 6 g / mol 6 kg /kmol 2 für mol eines Gases gilt bei Standardtemperatur und -druck Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.6

17 ( T = O C = 273 K; p = 0 5 Pa) : V 0 = 22,4 Liter ( gleiches Volumen für ein mol eines beliebigen Gases) Anwendung auf das Gasgesetz : p 0 3 V 0 4 R 3 T 0 5 R 4 p 0 3 V 0 T 0 4 N/m 2 3 m 3 K N 3 m K Joule K 3 mol R , ,3 J K 3 mol p 3 V 4 n 3 R 3 T mit n 4 M m 4 Masse Molmasse z.b. n 4 52 g 4 g/mol p 3 V 4 M m 3 R 3 T p 3 m 4 M V 3 R 3 T p 3 m 4 3 R 3 T p 3 R 3 m T, wenn p 7 ; 8, wenn p8 p R m 3 T 5 p R i 3 T 4 mit R individuell 4 R m z.b. R i für N : R i,n 4 8,3 [J/ K 3 mol] 0,04 [kg/mol] J kg 3 K Beispiel.8.2 : Gesucht die Dichte von Luft bei 70 C und bar Druck ( = 0 5 Pa ) Anmerkung : Zusammensetzung von Luft N 2 78 % m N2 = 28 O 2 2 % m O2 = 32 He, Ar... 0,9 % CO 2 0,003 % ==> m Luft. 0,029 kg / mol Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.7

18 R i,luft 4 R J kg 3 K Luft 4 p R i,luft 3 T Pa J/(kg 3 K) 3 K 4,06 kg m 3 Beispiel.8.3: Dichte von Stickstoff Gegeben: Gesucht: Lösung: Stickstoff, Temperatur = 50 0 C, Druck = 2* 0 5 Pa Dichte? Molekulargewicht des Stickstoffes m N = 28 g/mol Analoge Rechnung zu vorherigem Beispiel ergibt: = 2,08 kg/m 3 Beispiel.8.4: Molvolumen eines Gases bei Standarddruck und Temperatur Berechen Sie das Volumen V 0, das Mol Luft bei einem Standarddruck von 0 5 Pa und einer Standardtemperatur von 0 0 C ausfüllt Lösung: Anwendung des Allgemeinen Gasgesetzes für ein Mol ergibt V 0 = 22,4 Liter Prof. Dr. rer. nat. M. Koch.8