Computer und Software 1

Transkript

1 omputer und oftware 1. Köhler 6. aple Differentialgleichungen Folien: alint Aradi

2 Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen: f t, x t, x 1 t, x 2 t,..., x n t =0 x i t = d i x t dt i Ordnung der Differentialgleichung: Höchste vorkommende Ableitung von x Grad der Differentialgleichung: Exponent der höchsten vorkommenden Ableitung Wenn alle Exponenten der Ableitungen von x gleich 1 sind: lineare Differentialgleichung d 2 x t dt 2 t 2 x t 3 =0 lineare DGL, Ordnung 2, Grad 1 d 2 x t dt 2 x t 3 =0 nichtlineare DGL, Ordnung 2, Grad 1 d 2 x t dt 2 3 x t =0 nichtlineare DGL, Ordnung 2, Grad 3 Wenn die Funktion von mehreren Variablen abhängt: Partielle Differentialgleichung i ħ d dt x,t = ħ2 2m d 2 x, t V x x, t 2 dx remen enter for omputational aterials cience omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/2)

3 Harmonischer Oszillator Newtonsche echanik liefert die linearisierte Differentialgleichung für eine chwingung: F =m a= k x m d 2 x t = k x t dt 2 Gewöhnliche lineare DG zweiten Grades Gesucht wird die Funktion x(t), die die Differentialgleichung erfüllt: x t = 1 sin k m t 2cos k m t Differentialgleichung zweiten Grades Zwei unbestimmte Konstanten Konstanten werden über Anfangsbedingungen bestimmt: x 0 =5 v 0 = dx dt 0 =0 1 =0 2 =5 x t =5cos k m t remen enter for omputational aterials cience omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/3)

4 Eingabe in aple Funktionale Abhängigkeit von der unabhägigen Variablen t wird durch runde Klammern angezeigt, Ableitung dann mit der diff() Funktion oder mit dem D-Operator zweite Ableitung von x(t) x als Funktion von t Die Differentialgleichung wird mit dsolve() gelöst: Integrationskonstanten remen enter for omputational aterials cience omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/4)

5 Anfangsbedingungen Anfangsbedingungen werden als zusätzliche Gleichungen an dsolve() übergeben. Anfangsbedingung für Funktionswert Anfangsbedingung für erste Ableitung Differentialgleichung und Anfangsbedingungen als enge remen enter for omputational aterials cience omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/5)

6 Ergebnis ist eine Gleichung, kann also direkt nicht geplottet werden: Ergebnis darstellen Rechte eite des Ergebnisses: Darstellbarer Ausdruck remen enter for omputational aterials cience omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/6)

7 Ergebnis darstellen Ähnlich wie bei solve(), kann das Ergebnis via assign() zugewiesen werden: Die funktionale Abhängigkeit von t muss immer angegeben werden, damit auf den Inhalt zugegriffen werden kann: Die Variable wird durch Zuweisung des eigenen Namens (ohne Klammern) wieder freigegeben: remen enter for omputational aterials cience omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/7)

8 Differentialgleichungssysteme Differentialgleichungssystem: iteinander gekoppelte Differentialgleichungen dv x t = v dt x t v x t 2 v y t 2 dv y t dt = v y t v x t 2 v y t 2 Gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung können in ein ystem von Differentialgleichungen niedrigerer Ordnung konvertiert werden. m d 2 x t dt 2 = k x t dx t =v t dt m dv t dt = k x t Unbekannte Funktion x(t) Unbekannte Funktionen x(t) und v(t) remen enter for omputational aterials cience omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/8)

9 Eingabe wie bei normalen Differentialgleichungen: Differentialgleichungssysteme in aple Das Gleichungssystem kann via dsolve() gelöst werden: Zu berechnende Funktionen als enge Einzelne Differentialgleichungen und Anfangsbedingungen als enge Lösung als enge remen enter for omputational aterials cience omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/9)

10 Überprüfen von Ergebnissen Ergebnisse können via odetest() auf Korrektheit überprüft werden. Gibt odetest() Null zurück, erfüllt das Ergebnis die Gleichungen (und evtl. auch die Anfangsbedingungen): Die Lösung erfüllt das Differentialgleichungssystem Die Lösung erfüllt das Differentialgleichungssystem und die Anfangsbedingungen remen enter for omputational aterials cience omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/10)

11 Numerisches Lösen von DGLen ei komplizierteren Differentialgleichungen existiert oft keine (bzw. findet aple keine) Lösung in geschlossener Form: athematisches (nicht linearisiertes) Pendel: d 2 x = sin x 2 dt remen enter for omputational aterials cience omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/11)

12 Numerisches Lösen von DGLen Differentialgleichungen können mit der Option type=numeric ausgewertet werden Die numerische Integration ergibt eine Prozedur, die an beliebiger telle ausgewertet werden kann: Achtung: Numerische Lösung (rkf45) kann ebenfalls fehlerbehaftet sein! remen enter for omputational aterials cience omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/12)

13 Graphische Auswertung Die Funktion odeplot() (im Packet plots) ermöglicht die graphische Darstellung der Lösung einer DGL: Zeichnet die Lösung in Abhängigkeit der Variable t Explizite Achsenspezifikation [ x-achse, y-achse ] remen enter for omputational aterials cience omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/13)

14 Graphische Auswertung Wenn die Lösung mehrere Funktionen (oder mehrere Ableitungen einer Funktion) enthält, können diese mit odeplot() angezeigt werden: Ort und Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Auslenkung remen enter for omputational aterials cience omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/14)

15 Genauigkeit von numerischen Lösungen Numerische Lösung ist immer mit Fehler behaftet, eventuell sogar unbrauchbar. Die Genauigkeit der Integration läßt sich (u.a.) mit der Option abserr= verändern Geschlossene Lösung: exp(x) remen enter for omputational aterials cience omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/15)

16 Fallstudie: athematisches Pendel (#1) Die Auslenkug des mathematischen Pendels soll berechnet werden: d 2 x = sin x 2 dt Die rücktreibende Kraft (rechte eite) soll explizit bzw. mit Taylorreihen bis zur 1 und 3. Ordnung berücksichtigt werden. Linke eite Taylorreihe bis 1. Ordnung Taylorreihe bis 3. Ordnung Anfangsbedindungen als equenz d 2 x = sin x 2 dt remen enter for omputational aterials cience omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/16)

17 Fallstudie: athematischer Pendel (#2) d 2 x dt 2 = x d 2 x dt 2 = x 1 6 x3 Auswertung: Einzelne Lösungen (Auslenkung in Abhängigkeit der Zeit) als Plots gespeichert, und gemeinsam angezeigt. remen enter for omputational aterials cience omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/17)

18 Ergänzende emerkungen (#1) Numerische Lösung einer Differentialgleichung liefert eine Prozedur als Ergebnis. Auswertung dieser Prozedur in bestimmtem Punkt liefert Liste von Ergebnissen: Einzelne Komponenten (x(t) bzw. dx(t)) lassen sich via odeplot() darstellen. Aber: Wie kann man x(t) oder dx(t) manipulieren (z.. aus dx(t) = 0, t numerisch ermitteln)? remen enter for omputational aterials cience omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/18)

19 Ergänzende emerkungen (#2) it output=listprocedure kann für jede Lösungsfunktion eine getrennte Prozedur erzeugt werden: Ergebnis: Liste von Prozeduren Einzelne Komponenten können via eval() aus der Liste treffsicher extrahiert werden: Extrahiere dx/dt aus der Prozedurliste dx_t kann als eine normale Prozedur ausgewertet werden. Zugriff als sol_list[3] ist nicht zu empfehlen, da Reihenfolge der Prozeduren in der Liste nicht festgelegt ist! remen enter for omputational aterials cience uche numerisch den Zeitpunkt, in dem dx_t verschwindet omputer und oftware 1, W2013/2014 (6/19)