Umdruck zur Vorlesung. Hydromechanik I. Hydrostatik. Hydrodynamik. Rohrströmung. Impulssatz. Version 1.0

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1 Umdruck zur Vorlesung Hydromechanik I Hydrostatik Hydrodynamik Rohrströmung Impulssatz Version 1.0

2 Inhaltsverzeichnis Seite I Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis III VI 1 Einleitung Überblick Ziel der Vorlesung und Vorgehen Weiterführende Literatur/Vorlesungen zur Hydromechanik Maßsysteme Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten Grundkonzept Dichte und Kompressibilität Definition der Dichte Einfluß von Fremdstoffen auf die Dichte von Wasser Einfluß der Temperatur auf die Dichte von Wasser Kompressibilität von Wasser Viskosität Begriff der Viskosität NEWTONsche Flüssigkeiten Nicht-NEWTONsche Flüssigkeiten Oberflächenspannung und Kapillarität Oberflächenspannung Adhäsion Kapillardruck und kapillare Steighöhe Siedetemperatur und Kavitation Ideale und reale Flüssigkeiten Beschreibung der Bewegung von Flüssigkeiten Wahl der Betrachtungsweise zur Beobachtung und Beschreibung einer Strömung Aufstellung der Grundgleichungen Massenerhaltung Impulserhaltung Grundgleichung Beschleunigung und Impuls Gewichtskraft Druckkräfte Reibungskräfte NAVIER-STOKES Gleichungen

3 Inhaltsverzeichnis Seite II 4 Hydrostatik Hydrostatische Grundgleichung Ableitung der hydrostatischen Grundgleichung Hydrostatisches Paradoxon Kommunizierende Gefäße und Druckmessung Isotropie des Druckes Hydrostatische Kraftwirkung Druckkräfte auf ebene Körperoberflächen Druckkräfte auf gekrümmte Oberflächen Innendruckkräfte Überlagernde Druckkräfte Hydrostatischer Auftrieb Hydrodynamik, Verhalten bewegten Wassers Stromfadentheorie Turbulenz Kontinuität BERNOULLIsche Energiegleichung für Rohrströmung Impulsgleichung Impulsmomentengleichung Radiale Druckgleichung Rohrströmung Einführung Kontinuierliche Verluste Laminare Rohrströmung Turbulente Rohrströmung Lokale Verluste Einlaufverluste Umlenkverluste Verzweigungsverluste Verluste durch Querschnittsänderung Austrittsverluste Verluste in Armaturen Rechenverluste Ausfluß aus Behältern Ausfluß aus einer Bodenöffnung Freier Ausfluß aus einer Bodenöffnung Überstauter Ausfluß aus einer Bodenöffnung Ausfluß aus einer seitlichen Öffnung Freier Ausfluß aus einer seitlichen Öffnung Überstauter Ausfluß aus einer seitlichen Öffnung Teilweise überstauter Ausfluß aus einer seitlichen Öffnung Ausfluß aus einer Öffnung mit Rohrstutzen Literaturverzeichnis 7.10

4 Abbildungsverzeichnis Seite III Abbildungsverzeichnis 1.1 Einordnung der Hydromechanik in die Mechanik Teildisziplinen der Hydromechanik Temperaturabhängigkeit des Volumens von Wasser Beispiel zum Druckstoß links Schubspannung an einem festen Körper und einer Flüssigkeit; rechts Scherungsgeschwindigkeit an einem Flüssigkeitsvolumgen Schubspannungsansätze Gleichgewicht der Grenzflächen Formen der Flüssigkeitsoberfläche an festen Wände Kapillardruck und Oberflächenspannung Depression und Kapillare Steighöhe Siedetemperatur von Wasser in Abhängigkeit vom Druck LAGRANGEsche und EULERsche Betrachtungsweise Differentiell kleines Volumenelement im Strömungsraum Ein- und austretende Massenströme am Volumenelement dv Lokale und konvektive Beschleunigung Druckkräfte auf die Oberfläche des Kontrollvolumens Reibungskräfte am Vomumenelement dv Momentengleichgewicht der Schubspannungen um die z-achse Reibungsspannungen und Verformungszustand Volumenelement zur Herleitung der hydrostatischen Grundgleichung Hydrostatischer Druck in Abhängigkeit von der Wassertiefe Hydrostatisches Paradoxon Unterschiede in der Bestimmung der Bodenkraft bei Flüssigkeiten und Festkörpern Kommunizierende Gefäße Druckmessung Isotropie des Druckes Druckverlauf auf einer senkrechten und einer geneigten ebenen Fläche Bestimmung der Horizontal- und Vertikalkräfte an einem geneigten geraden Körper Darstellung der geneigten Fläche entspricht damit der Druckkraft auf die projizierte, senkrechte Fläche Anschauliche Darstellung der vertikalen Druckkraft einer geneigten Fläche Druckverlauf auf einer gekrümmten Oberfläche Horizontale und vertikale Druckkraft auf einer gekrümmten Oberfläche Richtung der Wirkungslinie der Druckkraft bei Kreisquerschnitten Behälter unter Innendruck Horizontalkomponente der Innendruckkraft Vertikalkomponente der Innendruckkraft Druckkräfte von Ober- und Unterwasser auf eine Stautafel Horizontaldruckkraft Vertikaldruckkraft Horizontale Druckkräfte an einem eingetauchten Körper

5 Abbildungsverzeichnis Seite IV 4.22 Komponenten des hydrostatischen Auftriebs Hydrostatischer Auftrieb schwimmender bzw. schwebender Körper Auftrieb eines Bauwerkes durch Grundwasser Bahn- und Stromlinien an einem Schiffsbug Stromfaden und Stromröhre Turbulenz im Zigarettenrauch Zeitlicher Verlauf der turbulenten Aufstiegsgeschwindigkeit Stromröhre und Kontinuität Kontinuität in einem komplexen System Kontinuität und Rohrverengung Stromfaden und angreifende Kräfte Venturi Rohr Druck- und Geschwindigkeitsmessung Druck- und potentielle Energie Heberleitung Energiehöhen an einer Heberleitung Stromröhre und Impulssatz Impulssatz für ein komplexes System Aufprall eines Wasserstrahls Schwenkbarar Ausguß Kräftagleichgewicht normal zur Stromlinie Umrühren einer Kaffeetasse Druckverlust in einer Rohrleitung Kontinuierliche und lokale Druckverluste in einer Rohrleitung Kräftegleichgewicht bei laminarer Rohrströmung Schubspannungs- und Geschwindigkeitsverteilung bei laminarer Rohrströmung Vergleich von laminarem und turbulentem Geschwindigkeitsprofil Grenzschicht Arten des hydraulischen Verhaltens der Rohrströmung MOODY-Diagramm Durchflußermittlung in einer Rohrleitung Einlaufgeometrien und Verlustbeiwerte Bauformen von Strömungsumlenkungen Sekundärströmung und Ablösungen im Rohrkrümmer Umlenkverlustbeiwerte ζ u zu für Kreisrohrkrümmer Umlenkverlustbeiwert ζ u für Kniestück Verlustbeiwerte ζ 1 3 und ζ 2 3 nach Rohrvereinigung, bezogen auf ν Verlustbeiwerte ζ 1 2 und ζ 1 3 bei Rohrabzweig, bezogen auf ν Verlustbeiwert ζ 1 2 bei Y-Abzweig, bezogen auf ν 1, mit Q 2 = 0, 5 Q Plötzliche Querschnittserweiterung Allmähliche Querschnittserweiterung Plötzliche Querschnittsverängung Allmähliche Querschnittsverengung Rohreinbauten mit Verlustbeiwerrten ζ Austrittsverlust Enddiffusor (Saugschlauch) Verlustbeiwerte von Absperrorganen Verlustbeiwerte eines Ringkolbenschiebers

6 Abbildungsverzeichnis Seite V 6.27 Verlustbeiwerte von Rechen Rohrleitung mit lokalen Verlusten Ausfluß aus einer Bodenöffnung Ausflusbeiwert µ fur verschiedene Öffnungsformen Ausfluß aus einerseitlichen Öffnung Freier Ausfluß aus einer seitlichen Öffnung Überstauter Ausfluß aus einer seitlichen Öffnung Teilweise überstauter Ausfluß aus einer seitlichen Öffnung Ausfluß aus einer Öffnung mit Rohrstutzen

7 Tabellenverzeichnis Seite VI Tabellenverzeichnis 1.1 Grundeinheiten Druck Arbeit/Energie Leistung Stoffeigenschaften von Wasser und Luft Oberflächenspannungen für nichtmischbare Fluide ( p = 1 hpa, T Ausflusbeiwerte µ A fur rechteckige, scharfkantige Seitenöffnungen

8 Hydromechanik I, 1: Einleitung Seite Einleitung 1.1 Überblick Die Hydromechanik ist ein Teilgebiet der Mechanik und gehört zu den Grundlagendisziplinen im Bauwesen. Gegenüber der Mechanik der Festkörper, die bereits im Vordiplom behandelt worden ist, beschäftigt sich die Mechanik der Fluide mit dem Bewegungsverhalten von Flüssigkeiten und Gasen. Da sich Gase und Flüssigkeiten teilweise deutlich in ihrem Verhalten voneinander unterscheiden, sind zwei unterschiedliche Teildisziplinen entstanden, nämlich die Hydromechanik und die Aeromechanik (Siehe Abb. 1.1 ) Abb. 1.1 Einordnung der Hydromechanik in die Mechanik Die Aerodynamik spielt vor allem im Maschinenbau, der Verfahrenstechnik und in der Luft- und Raumfahrttechnik eine bedeutende Rolle. Im Bauingenieurwesen ist ihre Kenntnis für die Bestimmung von Windeinwirkungen auf Gebäude erforderlich. Für die Dimensionierung von Bauwerken, die im Kontakt mit Flüssigkeiten (in der Regel Wasser) stehen, werden die Gesetzmäÿigkeiten der Hydromechanik benötigt. Diese Bauwerke sind z.b. Talsperren, Wehre, Kanäle, Schleusen, Wasserwerke, Kläranlagen, Häfen. Die Grundgleichungen der Hydromechanik (Navier-Stokes Gleichungen) bilden die mathematische Grundlage für alle hydromechanischen Problemstellungen. Sie sind bereits vor über 100 Jahren entwickelt worden. Aufgrund ihrer Komplexität sind sie jedoch nur für ruhendes Wasser (Hydrostatik) und nach Vereinfachungen für bewegtes Wasser analytisch lösbar. Um dennoch das komplexe Strömungsverhalten erfassen zu können, wurden in der Vergangenheit eine Vielzahl von Messungen durchgeführt, die schlieÿlich zu empirischen Gleichungen führten, die auch heute noch angewendet werden. Die Einteilung in die einzelnen Teilgebiete der Hydromechanik ist in der Abbildung 1.2 dargestellt. Erst in jüngerer Zeit ist es möglich, die Navier-Stokes Gleichungen bzw. daraus resultierende Gleichungen auf numerischen Weg lösen zu können. Diese Methode wird in der Vorlesung Strömungs- und Stosimulation vorgestellt.

9 Hydromechanik I, 1: Einleitung Seite 1.2 Abb. 1.2 Teildisziplinen der Hydromechanik 1.2 Ziel der Vorlesung und Vorgehen Das Ziel der Vorlesungen Hydromechanik I und II ist es, ein grundlegendes Wissen und Verständnis zur Beurteilung und Beantwortung strömungstechnischer Fragen im Bereich des Wasserbaus zu erlangen. Dabei soll ein Gefühl für die Strömungen entwickelt werden, was durch manche Paradoxen erschwert werden kann. Ein Beispiel: An einer Autobahnbaustelle werden die Fahrzeuge wegen einer Fahrbahnverengung langsamer und es kommt zum Stau. Bei einer Flüssigkeitsströmung hingegen haben die Wasserteilchen an der engsten Stelle in einem Rohr eine höhere Geschwindigkeit als in den weiten Rohrteilen davor und dahinter. Dadurch wird der Durchuÿ durch die Engstelle nicht behindert. Entsprechend der Einteilung in die Teildisziplinen nach Abbildung 1.2 werden zunächst die Grundlagen der Hydromechanik wie Stoeigenschaften und Herleitung der Navier- Stokes Gleichungen erläutert. Daran anschlieÿend werden die vereinfachende Betrachtungsweisen vorgestellt und anhand von Beispielen erläutert. Im Rahmen der Vorlesung Hydromechanik I sind dies die die Hydrostatik, die Rohrhydraulik und der Impulssatz bei eindimensionaler Betrachtung. In der Vorlesung Hydromechanik II werden die Themen

10 Hydromechanik I, 1: Einleitung Seite 1.3 der oenen Gerinneströmung und der Grundwasserströmung behandelt. Die Vorlesungen Hydromechanik I und II werden durch Übungen ergänzt, in denen Aufgaben zu den verschiedenen Themengebieten beispielhaft vorgerechnet werden. Der Sto beider Vorlesungen ist Bestandteil der schriftlichen Diplomprüfung Wasserbau. 1.3 Weiterführende Literatur/Vorlesungen zur Hydromechanik Aufbauend auf die Vorlesungen Hydromechanik I und II werden die Vorlesungen Hydromechanik III und IV, welche Bestandteil der Vertiefungsrichtung Wasserbau sind, angeboten. Dort werden z.t. die Themengebiete der Hydromechanik I und II aufgegriffen und vertiefend gelehrt. Ergänzende Literatur zu den Vorlesungen sind nachfolged aufgelistet: E. Naudascher : Hydraulik der Gerinne und Gerinnebauwerke. Springer-Verlag. Berlin 1987 G. Bollrich u. G. Preissler : Technische Hydraulik. Verlag für Bauwesen. Berlin 1992 Press u. Schröder : Hydromechanik im Wasserbau. Verlag Wilhelm Ernst & Sohn E. Truckenbrodt : Fluidmechanik. Springer-Verlag. Berlin 1980 L. Prantl : Strömungslehre. Verlag Vieweg & Sohn. Braunschweig Maßsysteme Grundeinheit Bezeichnung Dimension Länge l m Masse m kg Zeit t s; min; h; a Temperatur T C; K Tab. 1.1 Grundeinheiten

11 Hydromechanik I, 1: Einleitung Seite 1.4 Einheit Bezeichnung Umrechnung Druck Pascal(P a) 1 Pa=1 N/m 2 = 1 kg/(m 2 ) = 0, 102 kp/m 2 1 bar=10 N/cm 2 = 10 5 N/m 2 = 10 5 P a 1 kp=9, 81 bar = 1 mmw S = 10 4 at =10 mw S = 735, 56 T orr 1 atm=1, 033 at = 1, 013 bar = 10, 33 mw S =760 T orr 1Torr=1 mm QS = 133, 2 N/m 2 (at = technische Atmosphäre) (atm = physikalische Atmosphäre) Tab. 1.2 Druck Einheit Bezeichnung Umrechnung Arbeit Joule(J) 1 J=1Nm = 1W s = 102 kpm Energie 1 erg=10 7 J 1 kw=3, J 1 kcal=4187 J = 429, 9 kmp 1 kwh=859, 8 kcal Tab. 1.3 Arbeit/Energie Einheit Bezeichnung Umrechnung Leistung Watt (W) 1 W=1 Nm/s = 1 J/s 1 kw=10 3 W = 102 kpm/s (1P S=736 W = 75 kpm/s) Tab. 1.4 Leistung

12 Hydromechanik I, 2: Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten Seite Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten 2.1 Grundkonzept Im Gegensatz zu Feststoen können sich die Moleküle in Flüssigkeiten oder Gasen sehr leicht gegeneinander verschieben. Beide Stoarten werden in der Strömungslehre als Fluide bezeichnet. Fluide haben die Eigenschaft, daÿ auf sie nur Druckkräfte, aber keine Zugkräfte aufgebracht werden können. Ein wesentlicher Unterschied zwischen Flüssigkeiten und Gasen besteht in der folgenden Tatsache: Gase sind immer bestrebt, ein Volumen ganz auszufüllen. Die Anziehungskräfte der Flüssigkeitsmoleküle untereinander sind im Gegensatz dazu so groÿ, daÿ die Flüssigkeit nur ein bestimmtes Volumen einnimmt, auch wenn ein gröÿeres zur Verfügung steht. Bei der Beschreibung der Strömung von Fluiden betrachtet man im allgemeinen nicht die Bewegung einzelner Atome oder Moleküle, man erfaÿt das strömende Medium als Kontinuum, d.h. vernachlässigt ihr mikroskopisches Verhalten, wie z.b. Stöÿe untereinander. Das strömende Medium wird somit als Kontinuum erfaÿt. Als Teilchen eines Kontinuums betrachtet man sehr kleine Volumenelemente, deren Abmessungen jedoch wesentlich gröÿer als die intermolekularen Abstände sind. Jedem dieser Teilchen werden dann die Gröÿen wie Druck oder Dichte zugeordnet, die damit einem über das Volumen gemittelten Wert entsprechen. Diese als Kontinuumskonzept bezeichnete Betrachtungsweise eines Flüssigkeitsteilchens mit dem Volumen dv ist die Grundlage für die mathematische Beschreibung aller Strömungen. Lediglich bei der Strömung hochverdünnter Gase sind die intermolekularen Vorgänge nicht mehr zu vernachlässigen. In den folgenden Kapiteln werden die wichtigsten Stoeigenschaften und deren Idealisierungen für den in der Hydromechanik interessierenden Bereich der Flüssigkeiten erläutert. 2.2 Dichte und Kompressibilität Definition der Dichte Die Dichte ρ eines Fluids oder Festkörpers ist deniert als Masse m pro Volumen V : ρ = m [ ] kg V m 3. (2.1) Wird ein Flüssigkeitskörper unter Druckspannungen gesetzt, so wird sein Volumen zusammengedrückt (Kompressibilität). Diese Volumenverringerung bei Flüssigkeiten ist jedoch so gering, daÿ sie in der Regel vernachlässigt werden kann. Daher gilt in der Hydromechanik im allgemeinen die Annahme der Inkompressibilität. ρ F l = const. (2.2) Gase sind gegenüber Flüssigkeiten leichter komprimierbar, sie können nur in Ausnahmefällen als inkompressibel angesehen werden, so etwa bei Luftströmungen mit geringen Geschwindigkeiten. Die Dichte von Wasser wird in der natürlichen Umwelt vor allem durch die Temperatur, durch den Gehalt an Fremdstoen und durch hohe Drücke beeinuÿt. Wie in den nächsten Unterkapiteln gezeigt wird, sind diese Einüsse in den meisten bautechnischen Fragen sehr gering. Deshalb kann für die überwiegende Zahl der hydromechanischen Problemstellungen die Dichte von Wasser als konstant mit einem Wert von ρw = 1000, 0kg/m 3

13 Hydromechanik I, 2: Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten Seite 2.2 angenommen werden. In den folgenden Unterkapiteln soll noch kurz auf die drei genannten, wesentlichen Einuÿfaktoren eingegangen werden Einfluß von Fremdstoffen auf die Dichte von Wasser Durch die Zugabe von Fremdstoen wie Salz oder Schwebstoen wird die Masse eines Kubikmeters Wasser und damit seine Dichte erhöht: Nordseewasser (3, 5% Salzgehalt): 1026 kg/m 3 Ostseewasser (0, 94% Salzgehalt): 1007 kg/m 3 Schwebstohaltiges Fluÿwasser: bis 1100 kg/m Einfluß der Temperatur auf die Dichte von Wasser Mit einer Temperaturerhöhung geht bei allen Stoen eine Erhöhung der Braunschen Molekularbewegung einher. Dadurch steigt mit zunehmender Temperatur das benötigte Volumen für eine endliche Masse und ihre Dichte nimmt ab. Im Vergleich dazu weist Wasser eine Besonderheit auf: Wie aus Abbildung 2.1 ersichtlich ist, nimmt Wasser nicht am Gefrierpunkt bei 0 C das geringste Volumen ein, sondern schon bei 4 C. Dieses Phänomen wird als Anomalie des Wassers bezeichnet. Volumen p = 1013 hpa fest flüssig gasförmig [ C] Abb. 2.1 Temperaturabhängigkeit des Volumens von Wasser Beim Übergang vom üssigen in den festen Aggregatzustand steigt das Volumen um 9% an, was zu den bekannten Frostproblemen z.b. in Behältern, in Rohrleitungen oder im Straÿenbau führt. Dieser Vorgang wird als Dichtesprung bezeichnet. Die Volumenänderung von Flüssigkeiten wird allgemein mathematisch durch den relativen Raumausdehnungskoezienten β beschrieben: β = V V 0 V bzw. β = ρ 0 ρ ρ 0 [ ]. (2.3) Dabei ist V 0 das Volumen von 1 kg Wasser bei 4 C und ρ 0 die zugehörige Dichte. Der Raumausdehnungskoezient ist in Abhängigkeit von der Temperatur in der Tabelle 2.1

14 Hydromechanik I, 2: Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten Seite 2.3 dargestellt. Wird demnach 1 m 3 Wasser von 4 C auf 20 C erwärmt, so steigt sein Volumen um 0,18%, also um 1,8 l an. Flüssigkeit Tem- Dichte ρ Relative Dynamische Kinematische Dampfperatur Raumaus- Viskosität η Viskosität ν druck p D T dehnung β C kg m 3 % 10 3 P a s 10 6 m 2 s 1 hpa Reines, Eis 916,70 9,0800 luftfreises 0 999,84 0,0132 1,79 1,79 6,1 Wasser bei 2 999,94 0,0033 1,67 1,67 7, hpa 4 999,97 0,0000 1,57 1,57 8, ,94 0,0032 1,47 1,47 9, ,85 0,0124 1,39 1,39 10, ,70 0,0272 1,31 1,31 12, ,50 0,0475 1,24 1,24 18, ,24 0,0729 1,17 1,17 16, ,94 0,1030 1,12 1,12 18, ,60 0,1378 1,06 1,06 20, ,21 0,1768 1,01 1,00 23, ,65 0,4340 0,80 0,80 42, ,20 0,7830 0,66 0,65 73, ,20 1,7100 0,48 0,47 199, ,80 2,9000 0,37 0,36 473, ,40 4,3400 0,29 0,2 1013,25 Luft 0 1,29 0, ,28 bei 10 1,25 0, , hpa 20 1,20 0, ,10 Tab. 2.1 Stoffeigenschaften von Wasser und Luft Kompressibilität von Wasser Eine Ausnahme von der Inkompressibilität von Wasser stellen Druckstoÿprobleme in Rohrleitungen dar, wie sie beispielsweise beim plötzlichen Schlieÿen des Turbinenzulaufes einer Wasserkraftanlage in Notfällen auftreten können. Dabei wird die abgebremste Wassermasse komprimiert und der Umfang der Rohrleitung gedehnt. Für die Berechnung der Kompressibilität von Wasser läÿt sich analog zum Hookeschen Gesetz ein E-Modul Ew denieren:

15 Hydromechanik I, 2: Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten Seite 2.4 p = E w V V (2.4) mit p: Druckdierenz, V : V : Bezugsvolumen und Volumenänderung von p. Das Minuszeichen muÿ aufgrund der Tatsache gesetzt werden, daÿ für den Druck, obwohl er einer Druckspannung entspricht, positive Werte eingesetzt werden (siehe auch Kapitel 2.4.1). Eine Zunahme des Druckes bedeutet damit eine Verringerung des Wasservolumens. Bei den im Bauwesen vorkommenden Drücken kann der E-Modul von Wasser etwa zu E w = 2, MP a. abgeschätzt werden. Zum Vergleich: Stahl besitzt einen E-Modul von 2, MP a. In der Vorlesung Hydromechanik III wird das Druckstoÿproblem näher erläutert. Beispiel: Druckstoÿ Gegeben sei eine Druckrohrleitung der Länge l und dem Querschnitt A. Durch das plötzliche Schlieÿen des Schiebers ( t = 0) am unteren Ende der Leitung entsteht ein Druckstoÿ (siehe auch Abb 2.2). Um wieviel verkürzt sich der in Rohrleitung bendliche Wasserkörper unter der Voraussetzung, daÿ die Rohrwand unelastisch, d.h. starr ist? Abb. 2.2 Beispiel zum Druckstoß geg. : l = 5 km, p = 1 MP a Zur Lösung dieses Probelms: Dies eingesetzt in Gleichung (2.4) ergibt: V = l A und V = l A

16 Hydromechanik I, 2: Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten Seite 2.5 l A p = E w l A l = p l E w l = 1 MP a 2, MP a m = 2, 4 m. Die Längenänderung entspricht damit einem Wert von 0,048 %. Die Geschwindigkeit, mit der sich eine Druckwelle in Wasser fortbewegt (Schallgeschwindigkeit), errechnet sich nach : a w = E w ρ [m]. (2.5) s Für Wasser ergibt sich damit eine Schallgeschwindigkeit von a Schall = 1435 m/s. Bendet sich die Flüssigkeit in einem elastischen Gefäÿ, wie beispielsweise in einem Stahlrohr, so vermindert sich der Wert entsprechend. In einer Druckrohrleitung liegt die Schallgeschwindigkeit daher zwischen 900 und 1100 m/s. Im Vergleich zu Wasser hat Luft mit 331 m/s bei 0 C eine wesentlich geringere Schallgeschwindigkeit. 2.3 Viskosität Begriff der Viskosität Flüssigkeiten setzen beim Flieÿvorgang der Bewegung einen Widerstand entgegen. Dieses als Viskosität bezeichnete Phänomen ist eine Stoeigenschaft und somit vom Fluid abhängig (vergleiche z.b. Öl, Honig und Wasser). Je nach Art, wie sich dieser Widerstand äuÿert, unterscheidet man in Newtonsche Flüssigkeiten und nicht-newtonsche Flüssigkeiten NEWTONsche Flüssigkeiten Bei einem Festkörper ist die Schubspannung an der Oberäche abhängig von dem Verformungswinkel γ (siehe Abb. 2.3 a). Bei einer Flüssigkeit ist dagegen die Schubspannug an der Oberäche proportional zur Scherungsgeschwindigkeit γ (Abb. 2.3 b). Dieser Zusammenhang wird als Newtonsche Schubspannungsansatz bezeichnet. Dem Schubmodul G eines Festkörpers entspricht bei einer Flüssigkeit die Zähigkeit η [P a s]. Hookesches Gesetz : τ = G γ (2.6) Newtonscher Ansatz : τ = η γ (2.7) Die Scherungsgeschwindigkeit für den eindimensionalen Fall läÿt sich aus der Dierenz der Flieÿgeschwindigkeiten an den Oberächen eines dierentiell kleinen Volumenelementes dv mit der Höhe dy herleiten. Dabei sei die Flieÿgeschwindigkeit u an der Oberseite um den Betrag du gröÿer als an der Unterseite (Abb.2.3 rechts). Für den Scherwinkel γ ergibt sich:

17 Hydromechanik I, 2: Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten Seite 2.6 Abb. 2.3 links Schubspannung an einem festen Körper und einer Flüssigkeit; rechts Scherungsgeschwindigkeit an einem Flüssigkeitsvolumgen γ = dx dy. (2.8) Leitet man den Scherwinkel nach der Zeit ab, so erhält man mit dx = du dt die Scherungsgeschwindigkeit: γ = d ( ) dx = d ( ) dx = du dt dy dy dt dy. (2.9) Setzt man die gefundene Beziehung in die Gleichung (2.7) für die Schubspannung ein, so erhält man diese Spannung in Abhängigkeit von dem Geschwindigkeitsgradienten in Querrichtung: τ = η du dy (2.10) Gleichung (2.10) zeigt, daÿ Schubspannungen nur dann auftreten, wenn in der Strömung Geschwindigkeitsgradienten vorliegen. Die Viskosität von Flüssigkeiten führt dazu, daÿ in der Strömung aufgrund der Reibung mechanische Energie in Wärmeenergie umgewandelt wird und damit der Strömung verloren geht. Dieser Vorgang wird als innere Reibung bezeichnet. Die oben bereits erwähnte Zähigkeit η wird als dynamische Viskosität bezeichnet. Ihr Wert nimmt bei Flüssigkeiten stark mit der Temperatur ab (siehe Tab ). In der Hydromechanik wird anstatt der dynamischen Viskosität die kinematische Viskosität ν verwendet. ν = η [ ] m 2 (2.11) ρ s In Tabelle sind die Werte der dynamischen und der kinematischen Viskosität in Abhängigkeit von der Temperatur aufgelistet.

18 Hydromechanik I, 2: Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten Seite Nicht-NEWTONsche Flüssigkeiten Nahezu alle reinen Flüssigkeiten verhalten sich nach dem Newtonschen Ansatz gemäÿ Gleichung (2.7). Bei Feststo-Flüssigkeitsgemischen wie Sand-Wasser Gemischen nimmt die Schubspannung dagegen mit steigendem Geschwindigkeitsgradienten immer weniger zu (Abb. 2.4 links). Dieses Verhalten der Suspensionen wird als quasiviskos bezeichnet. Bei einer plastischen, formbaren Masse wie Tonteig muÿ erst eine bestimmte Grenzspannung τ gr erreicht werden, bevor sie sich deformiert. Nimmt nach dem Überschreiten dieser Grenzschubspannung die Schubspannung linear mit dem Geschwindigkeitsgradienten zu, so spricht man von einer plastischen bzw. Binghamschen Flüssigkeit. Ein quasiplastisches Verhalten (z. B. Betonit, Klärschlamm) liegt dann vor, wenn die Schubspannung oberhalb der Flieÿgrenze nicht linear ansteigen (Abb. 2.4 rechts). t viskos t=h du dy t quasiplastisch t=t k gr+ du dy a t=k quasiviskos a du dy tgr t=t gr +h du dy plastisch du dy du dy Abb. 2.4 Schubspannungsansätze 2.4 Oberflächenspannung und Kapillarität Oberflächenspannung Zwischen den Molekülen einer Flüssigkeit gibt es Anziehungskräfte, die als Kohäsionskräfte bezeichnet werden. Im Inneren der Flüssigkeit heben sich diese Anziehungskräfte auf. Dagegen werden die Moleküle der Flüssigkeitsoberäche von den darunterliegenden Flüssigkeitsmolekülen stärker angezogen als von den darüberliegenden Gasmolekülen. Daraus entsteht eine zum Flüssigkeitsinnern hin gerichtete, resultierende Kraft. Will ein Flüssigkeitsteilchen aus dem Innern an die Oberäche gelangen und damit die Oberäche vergröÿern, so muÿ es entlang des zurückgelegten Weges Arbeit leisten, um diese Kraft zu überwinden. Der Quotient aus der dafür zu leistenden Arbeit W und des Flächenzuwachses A der Oberäche ist deniert als Oberächenspannung κ, die auch als Kapillarkonstante bezeichnet wird:

19 Hydromechanik I, 2: Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten Seite 2.8 κ = W A [ ] N. m Die Oberächenspannung ist somit eine an der Oberäche der Flüssigkeit tangential angreifende Kraft, die in allen Punkten der Oberäche dieselbe Gröÿe hat und richtungsunabhängig ist. Sie ist bestrebt, die Oberäche zusammenzuziehen. Von Gas umgebene Flüssigkeiten versuchen daher, eine minimale Oberäche anzunehmen. Dadurch entsteht die Tropfenbildung von Flüssigkeiten in Gasen. In Tabelle sind für verschiedenen Fluidkombinationen die Werte der Kapillarkonstanten angegeben. Mit zunehmender Temperatur wird die Oberächenspannung geringer, bei Siedetemperatur verschwindet sie völlig. Fluid-Kombinationen Oberächenspannung in N/m Wasser Luft 0,073 Wasserdampf 0,059 Quecksilber Luft 0,475 Wasser 0,427 Alkohol Luft 0,023 Wasser 0,004 Öl Luft 0,025-0,035 Wasser 0,023-0,048 Tab. 2.2 Oberflächenspannungen für nichtmischbare Fluide ( p = 1 hpa, T Adhäsion Grenzt eine Flüssigkeitsoberäche an eine feste Wand, so werden die grenznahen Moleküle nicht nur von der Flüssigkeit, sondern auch von der Wandung angezogen (Adhäsion). Der Winkel, den die Flüssigkeit gegenüber der festen Wand einnimmt, läÿt sich aus dem Gleichgewicht der jeweiligen Grenzächenspannungen in der Wandebene ermitteln: κ 13 κ 23 = κ 12 cosα. Ist der Winkel α kleiner als 90, wird die Wand von der Flüssigkeit benetzt (z.b. Wasser gegen Glas, Abb. 2.6 a)). Bei einem Winkel über 90 benetzt die Flüssigkeit die Wand nicht und es ergibt sich eine Oberäche gemäÿ Abbildung 2.6 b) (z.b. Quecksilber gegen Glas) Kapillardruck und kapillare Steighöhe Im Falle einer ebenen Grenzäche ist die Oberächenspannung im Gleichgewicht. Ist die Oberäche dagegen gekrümmt, tritt eine in Richtung des Krümmungsradius r wirkende

20 Hydromechanik I, 2: Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten Seite 2.9 Abb. 2.5 Gleichgewicht der Grenzflächen Abb. 2.6 Formen der Flüssigkeitsoberfläche an festen Wände Abb. 2.7 Kapillardruck und Oberflächenspannung

21 Hydromechanik I, 2: Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten Seite 2.10 Kraft auf. In der Abbildung 2.7 ist der Zusammenhang für eine in beide Richtungen gleichmäÿig gekrümmte Oberäche skizziert. Die auf die Fläche bezogene resultierende Kraft wird als Kapillardruck p kap bezeichnet und läÿt sich für eine in beide Richtungen gleichmäÿig gekrümmte Oberäche folgendermaÿen ermitteln: P Kap = 2κ r. (2.12) Nimmt man näherungsweise bei einem kreisrunden Röhrchen (Kapillare) mit dem Durchmesser d eine halbkugelförmige Gestalt der Oberäche an, so ergibt sich der Kapillardruck zu: P Kap = 4κ d. (2.13) Der Eekt des Kapillardrucks läÿt sich am besten beobachten beim Eintauchen eines dünnen Glasröhrchens, einer sogenannten Kapillare, in ein Wasserbecken. Beim Eintauchen der Kapillare in das Wasser stellt sich im Röhrchen ein anderer Wasserspiegel als im Becken ein (siehe Abb. 2.8). Dieser auf die Kapillarwirkung zurückzuführende Eekt läÿt sich aus dem Kräftegleichgewicht am unteren Ende der Kapillare herleiten. Hier muÿ der Druck von auÿen und von innen gleich groÿ sein (hydrostatischer Druckansatz, Kapitel 4): Die kapillare Steighöhe h Kap ergibt sich damit zu: ρ g (h h Kap ) = ρ g h P Kap. (2.14) h Kap = P Kap ρ g = 4k ρ g d. (2.15) Abb. 2.8 Depression und Kapillare Steighöhe

22 Hydromechanik I, 2: Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten Seite 2.11 Die Oberächenspannung bzw. Kapillarität spielt aufgrund ihrer sehr geringen Wirkung bei der Berechnung von Freispiegelströmungen keine Rolle. Lediglich im Wasserbaulichen Versuchswesen, bei dem die natürlichen Bedingungen in verkleinerten Modellen abgebildet werden, kann ihr Einuÿ von Bedeutung werden. Dies ist bei Wassertiefen unter etwa 2 cm der Fall. Bei der Beurteilung der Strömung in porösen Medien ist die kapillare Steighöhe besonders zu beachten, denn sie kann die Ursache für das Aufsteigen von Wasser entgegen der Erdschwere in feinen Porensystemen sein. 2.5 Siedetemperatur und Kavitation Die Siedetemperatur einer Flüssigkeit ist deutlich vom herrschenden Druck abhängig. Je niedriger dieser Druck ist, desto geringer ist auch die Temperatur, bei der die Flüssigkeit verdampft. Abbildung 2.9 zeigt diesen Zusammenhang für Wasser. Bei mittlerem Atmosphärendruck (p = 1, 013 hp a) siedet Wasser bei 100 C. Herrscht in einer Strömung nur noch ein Druck von p = 0, 023 hp a, so würde das Wasser schon bei 20 C zu sieden beginnen. Siedetemperatur [oc] Druck [10³*hPa] Abb. 2.9 Siedetemperatur von Wasser in Abhängigkeit vom Druck Wie in den folgenden Kapiteln noch gezeigt wird, können solche niedrigen Drücke an Stellen hoher Flieÿgeschwindigkeiten auftreten. Dort bilden sich dann Wasserdampfblasen, die mit der Strömung transportiert werden. Gelangen diese Blasen in Bereiche mit höheren Drücken, so kommt es zur Kondensation. Da das Volumen der Dampfblase gröÿer ist als das des kondensierten Wassers, kommt es zu einem schlagartigen Zusammenfallen der Blase (Implosion) und es wird eine kräftige, nach innen gerichtete Druckspitze freigesetzt. Dieser Vorgang wird Kavitation genannt und äuÿert sich in einem knatternden Geräusch. Länger andauernde Kavitation in Wandnähe kann, je nach Materialeigenschaften, zu einem Herausreiÿen und damit zu einer Zerstörung des Wandmaterials durch die Druckspitzen führen. Gefährdet sind Bauteile wie Wehrrücken, Schuÿrinnen

23 Hydromechanik I, 2: Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten Seite 2.12 und Turbinen- bzw. Pumpenlaufräder (siehe Vorlesung Wasserbau). 2.6 Ideale und reale Flüssigkeiten In den vorangegangenen Kapiteln sind die für die Bearbeitung der meisten hydromechanischen Problemstellungen notwendigen Eigenschaften von Flüssigkeiten erläutert worden. Die wichtigsten Eigenschaften der Flüssigkeiten für die Beschreibung ihrer Bewegung sind die Inkompressibilität und das Reibungsverhalten. Die Berechnung reibungsbehafteter Strömungen ist ungleich schwieriger ist als die der reibungsfreien, wie in den nächsten Kapiteln gezeigt wird. Die Modellvorstellung einer reibungsfreien Flüssigkeit wird als ideale Flüssigkeit bezeichnet. Sind die Reibungskräfte klein, gegenüber den anderen in einer Strömung auftretenden Kräften, wie Impuls und Druckkraft (siehe Kapitel 3), so ist diese Annahme durchaus gerechtfertigt. In der wandnahen Strömung dagegen darf der Reibungseinuÿ nicht mehr vernachlässigt werden. Ein Beispiel dafür, daÿ der Ansatz einer idealen Flüssigkeit nicht ausreicht, ist die Rohrströmung (Kapitel 5). Im Gegensatz zu reibungsfreien Strömungen wird eine reibungsbehaftete Flüssigkeit als reale Flüssigkeit bezeichnet. Die Bedeutung des Begris der idealen Flüssigkeit darf nicht auf die eines idealen Gases übertragen werden. Bei einem Gas wird mit dieser Bezeichnung keine Aussage über das Reibungsverhalten gemacht, sondern der idealisierte Zusammenhang zwischen den thermodynamischen Gröÿen Druck, Dichte und Temperatur beschrieben.

24 Hydromechanik I, 3: Beschreibung der Bewegung von Flüssigkeiten Seite Mathematische Beschreibung der Bewegung von Flüssigkeiten 3.1 Wahl der Betrachtungsweise zur Beobachtung und Beschreibung einer Strömung Bei der Aufstellung der Massen- und Impulserhaltungsgleichungen können zwei verschiedene Positionen eingenommen werden, und zwar: eine mit einem Teilchen mitbewegte (Lagrangesche Sichtweise) dargestellt in Abbildung 3.1 links oder eine ortsfeste Position (Eulersche Sichtweise) gezeigt in Abbildung 3.1 rechts. Abb. 3.1 LAGRANGEsche und EULERsche Betrachtungsweise Bei der Lagrangeschen Betrachtungsweise sitzt man auf einem Fluidteilchen und notiert sich, zu welcher Zeit man an welchem Ort vorbeikommt. Führt man dies für alle Teilchen durch, so erhält man die Ortskoordinaten jedes einzelnen Partikels in Abhängigkeit von der Zeit und des Startpunktes: x = f 1 (t, x 0, y 0, z 0 ), (3.1) y = f 2 (t, x 0, y 0, z 0 ), (3.2) z = f 3 (t, x 0, y 0, z 0 ). (3.3) Im Gegensatz dazu stellt man sich bei der Eulerschen Betrachtung an einen festen Punkt und beobachtet die Geschwindigkeit. Durch ein gleiches Vorgehen für alle Punkte im Raum, erhält man das Geschwindigkeitsfeld bzw. Druckfeld in Abhängigkeit von der Zeit und vom Ort: u = g 1 (t, x, y, z), (3.4) v = g 2 (t, x, y, z), (3.5) w = g 3 (t, x, y, z), (3.6)

25 Hydromechanik I, 3: Beschreibung der Bewegung von Flüssigkeiten Seite 3.2 p = g 4 (t, x, y, z). (3.7) Zur Lösung technischer Probleme interessieren in der Regel nur die auftretenden Geschwindigkeiten und Drücke, beispielsweise die Druckverteilung an einer Staumauer. Die Bewegung einzelner Teilchen ist dagegen nur von sehr untergeordneter Bedeutung. Daher wird in der Hydromechanik im allgemeinen die ortsfeste Eulersche Betrachtungsweise verwendet. Im Gegensatz dazu wird in der Mechanik der Punktmassen gerne die Lagrangesche Sichtweise eingenommen, so z.b. für die Beschreibung der Bewegung von Billiardkugeln. 3.2 Aufstellung der Grundgleichungen Um die in der Ingenieurpraxis vorkommenden hydromechanischen Problemstellungen auf rechnerischem Wege lösen zu können, benötigt man problemspezische Gleichungen. Alle diese Gleichungen basieren auf physikalischen Grundgesetzen. Diese Grundgesetze sind: die Massenerhaltung und die Impulserhaltung (je eine Gleichung pro Raumrichtung). Das als 5. Gleichung verwendbare Gesetz der Energieerhaltung wird im Rahmen dieser Vorlesung nicht benötigt, da hier zusätzlich thermodynamische Eekte eine Rolle spielen. In diesem Kapitel werden diese Grundgesetze in allgemeiner Form für Flüssigkeitsströmungen formuliert. Dabei wird sich am Ende zeigen, daÿ die Gleichungen für den allgemeinen Fall analytisch nicht mehr lösbar sind. Erst durch problemabhängige Vereinfachungen werden sie so reduziert, daÿ sie in der Praxis eingesetzt werden können. Bei der Formulierung der Erhaltungssätze müssen zusätzlich Aussagen über die Stoeigenschaften der betrachteten Flüssigkeit gemacht werden. Für Wasser und die meisten anderen Flüssigkeiten sind dies: die Inkompressibilität (Kap ) und der Reibungsansatz nach Newton (Kap. 2.3). Entsprechend der Eulerschen Sichtweise schneidet man aus dem durchströmten Raum ein ortsfestes und dierentiell kleines Volumenelement dv heraus (Abb. 3.2) und formuliert dafür die Massen- und Impulserhaltung. Man erhält dabei partielle Dierentialgleichungen, die Strömungsgröÿen Geschwindigkeit und Druck als unbekannte Variablen enthalten. Eine Integration der Gleichungen über den gesamten durchströmten Raum und die Zeit liefert dann die Variablen als Feldgröÿen gemäÿ den Gleichungen (3.4) - (3.7). 3.3 Massenerhaltung Das Prinzip der Massenerhaltung geht davon aus, daÿ in einem System keine Masse erzeugt bzw. vernichtet werden kann. Ändert sich in einem Volumen dv die Masse, so kann das nur auf eintretende oder austretende Massenströme zurückzuführen sein. Eintretende Massenströme führen zu einem Anstieg der Masse dm im Volumen dv und werden daher positiv gezählt, austretende Massenströme führen zu einer Verringerung der Masse und gehen daher negativ in die Gleichung ein.

26 Hydromechanik I, 3: Beschreibung der Bewegung von Flüssigkeiten Seite 3.3 Abb. 3.2 Differentiell kleines Volumenelement im Strömungsraum m t }{{} Speicherterm = ṁ x ṁ (x+dx) } {{ } Massenströme in x Richtung + ṁ y ṁ (y+dy) } {{ } Massenströme in y Richtung + ṁ z ṁ (z+dz) } {{ } Massenströme in z Richtung (3.8) In der Abbildung 3.3 sind die ein- bzw. austretenden Massenströme für das Volumen dv skizziert: Abb. 3.3 Ein- und austretende Massenströme am Volumenelement dv Der Speicherterm kann wegen des konstanten Volumens dv folgendermaÿen geschrieben werden: m t = dv ρ t = dx dy dz ρ t

27 Hydromechanik I, 3: Beschreibung der Bewegung von Flüssigkeiten Seite 3.4 Da aber bei einer inkompressiblen Strömung die Dichte ρ konstant ist, wird die zeitliche Ableitung der Dichte zu 0: ρ t = 0. Bei einer inkompressiblen Strömung kann also keine Masse in das Volumen dv eingespeichert werden. Anders wäre es, wenn die Strömung eine freie Oberäche besäÿe (siehe Hydromechanik II ) oder bei kompressiblen Luftströmungen. Somit muÿ die Dierenz zwischen einströmener und ausströmender Menge gleich 0 sein: ṁ x ṁ (x+dx) + ṁ y ṁ (y+dy) + ṁ z ṁ (z+dz)! = 0. (3.9) Die jeweils auf der gegenüberliegenden Seite ausströmende Masse ṁ (x+dx) wird mittels einer Taylorreihenentwicklung ausgehend von ṁ x angenähert. Dabei wird nach dem Glied erster Ordnung abgebrochen: ṁ (x+dx) = ṁ x + ṁ x x dx ṁ x x 2 dx2 + } {{ } Glieder höherer Ordnung 0. Geht man so für alle drei Raumrichtungen vor, so erhält man aus Gleichung Massenbilanz: (3.9) für die ṁ x x dx + ṁ y y dy + ṁ z z dz = 0. (3.10) Die einzelnen Massenströme setzen sich aus der durchströmten Querschnittsäche, der jeweiligen Flieÿgeschwindigkeitskomponente und der Dichte zusammen. ṁ x = dy dz u ρ ṁ y = dx dz v ρ ṁ x = dx dy w ρ Damit ergibt sich für die Massenbilanz mit dx dy dz = dv = const.: und schlieÿlich: ρ u x dx dy dz = ρ v y dx dy dz + ρ w dx dy dz = 0 (3.11) z u x + v y + w z = 0. (3.12) Die erhaltene Gleichung wird Kontinuitätsgleichung genannt. Sie ist eine partielle Dierentialgleichnung, die drei Geschwindigkeitskomponenten u, v und w des Geschwindigkeitsvektors als Unbekannte enthält. Sie kann auch als folgender, aus der Mathematik bekannter Ausdruck beschrieben werden:

28 Hydromechanik I, 3: Beschreibung der Bewegung von Flüssigkeiten Seite 3.5 x y Z u v = div v = 0. x Diese Strömung wird auch als divergenzfreien Strömung bezeichnet. 3.4 Impulserhaltung Grundgleichung Ausgehend vom zweiten Newtonschen Axiom der Mechanik: Die Summe der angreifenden Kräfte ist gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung erhält man für ein Volumenelement dv mit der Masse dm die folgende Gleichung: m a = F. (3.13) Die Summe der angreifenden Kräfte setzt sich aus Volumenkräften und Oberächenkräften zusammen. Die in dieser Vorlesung behandelte Volumenkraft ist die Gewichtskraft ausgelöst durch die Erdschwere, die auf die Masse der Flüssigkeitsteilchen in dem Kontrollvolumen wirkt. Weitere Volumenkräfte können die Corioliskraft oder die Anziehungskraft von Himmelskörpern (Gezeiten) sein. Die Oberächenkräfte ergeben sich durch das Herausschneiden des Elementes aus der Strömung. Sie sind die Kräfte, die umliegenden Wasserteilchen auf die Oberächen des Kontrollvolumens ausüben. Sie setzen sich aus der Druck- und der Reibungskraft zusammen. Für Gleichung (3.13) ergibt sich: m a = F Gewicht + F Druck + F Reibung. (3.14) Die Vektorgleichung (3.14) besteht entsprechend der Zahl der Raumrichtungen aus drei Komponentengleichungen. m a x = F x, Gewicht + F x, Druck + F x, Reibung (3.15) m a y = F y, Gewicht + F y, Druck + F y, Reibung (3.16) m a z = F z, Gewicht + F y, Druck + F z, Reibung (3.17) In den folgenden Unterkapiteln werden die einzelnen Terme für die Beschleunigung und die angreifenden Kräfte näher untersucht Beschleunigung und Impuls Die Beschleunigung a der Flüssigkeitsteilchen im Volumen dv ergibt sich aus der Ableitung der Flieÿgeschwindigkeit v nach der Zeit t:

29 Hydromechanik I, 3: Beschreibung der Bewegung von Flüssigkeiten Seite 3.6 a = d v dt. (3.18) Nach den Regeln der Dierentialrechnung läÿt sich die Änderung d v der Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit und vom Ort schreiben (totales Dierential): d v = v t v v dt + dx + x y eingesetzt in die Gleichung 3.18 ergibt sich dy + v z dz (3.19) d v dt = v dt t }{{} dt =1 + v dx x }{{} dt =u + v dy y }{{} dt =v + v dz z }{{} dt =w und mit dx dt = u etc. schlieÿlich d v dt }{{} substantielle Beschleunigung = v t }{{} lokale Beschleunigung + u v x + v v y + w v. (3.20) z } {{ } konvektive Beschleunigung Der Ausdruck d v dt wird als substantielle oder auch totale Ableitung, die rein zeitliche Ableitung als lokale und die Ortsableitungen als konvektive Beschleunigungen bezeichnet. Die Bezeichnungen ergeben sich aus einer physikalischen Betrachtungsweise (Abb. 3.4). Abb. 3.4 Lokale und konvektive Beschleunigung Stellt man sich als Beobachter an eine Stelle (ortsfest) eines Flusses und miÿt über einen gewissen Zeitraum die Flieÿgeschwindigkeit, so ergibt sich aus der Änderung der Geschwindigkeit die lokale Beschleunigung (Abb. 3.4 links). Eine Strömung wird als stationär bezeichnet, wenn ihre lokale Beschleunigung gleich 0 ist. Miÿt man nun bei einer stationären Strömung zeitgleich an zwei verschiedenen Stellen des Flusses die Flieÿgeschwindigkeiten, so wird diese Dierenz als konvektive

30 Hydromechanik I, 3: Beschreibung der Bewegung von Flüssigkeiten Seite 3.7 Beschleunigung bezeichnet. Ein Beobachter, der sich mit einem Strömungsteilchen bewegt, würde trotz einer stationären Strömung eine zeitliche Beschleunigung erfahren, da er in dem Strömungsfeld auf verschiedene Strömungsgeschwindigkeiten trit (Abb. 3.4 rechts). Daher wird dieser Beschleunigungsanteil als konvektive (lat. mitgenommene) Beschleunigung bezeichnet. Die totale bzw. materielle Beschleunigung schlieÿlich ist die Überlagerung aus lokaler und konvektiver Beschleunigung. Sie ist wegen des konvektiven Anteils bei einer stationäre Strömung von Null verschieden! In den drei Komponenten geschrieben, ergibt sich für die Vektorgleichung (3.20): du dt dv dt = u t + u u x + v u y + w u z, (3.21) = v t + u v x + v v y + w v z, (3.22) dw dt = w t + u w x + v w y + w w z (3.23) und mit ρ dv werden die Terme Masse mal Beschleunigung in den Gleichungen (3.15) bis (3.17) zu: m a x = ρ dv u ( t + ρ dv u u x + v u y + w u ), z (3.24) m a y = ρ dv v ( t + ρ dv u v x + v v y + w v ), z (3.25) m a z = ρ dv w ( + ρ dv u w t x + v w y + w w ). z (3.26) Wie bereits im Kapitel 3.1 hergeleitet wurde, kann sich die Masse im Kontrollvolumen dv nicht ändern (3.12). Man kann daher die Masse m in der Gleichung (3.14) in das Dierential einbeziehen. m a = m d v dt = d(m v) dt Der Ausdruck Masse mal Beschleunigung kann also auch als zeitliche Änderung des Impulses m v interpretiert werden. Daher wird die Gleichung (3.13) als Impulserhaltung bezeichnet. Sie besagt, daÿ im Kontrollvolumen kein Impuls erzeugt oder vernichtet werden kann, sondern in Wechselwirkung mit den angreifenden Kräften steht.

31 Hydromechanik I, 3: Beschreibung der Bewegung von Flüssigkeiten Seite Gewichtskraft Bendet sich die Strömung im Einuÿ der Erdschwere, so wirkt auf die Teilchen im Kontrollvolumen dv die Gewichtskraft F Gewicht. F Gewicht = ρ dx dy dz g (3.27) Sinnvollerweise wird das Koordinatensystem so gewählt, daÿ die z-richtung entgegengesetzt zur Erdbeschleunigung steht. Der Vektor für die Erdbeschleunigung ist: g = g und die Komponenten der Gewichtskraft sind damit: F x,gewicht = 0, (3.28) F y,gewicht = 0, (3.29) F z,gewicht = ρ dv g. (3.30) Druckkräfte Die Druckkräfte wirken wie in der Abbildung Kontrollvolumens dv. Die drei Komponenten der Druckkraft ergeben sich zu: ( F x,druck = p dy dz p + p ) x dx dy dz, F y,druck F z,druck = p dx dz = p dx dy 3.5 skizziert auf die Oberächen des ( p + p ) y dy ( p + p ) z dz dx dz, dx dy, F x,druck F y,druck F z,druck = p dv, (3.31) x = p dv, (3.32) y = p dv. (3.33) z

32 Hydromechanik I, 3: Beschreibung der Bewegung von Flüssigkeiten Seite 3.9 Abb. 3.5 Druckkräfte auf die Oberfläche des Kontrollvolumens Reibungskräfte In einer inkompressiblen Strömung führen die Reibungskräfte zu einer Verformung des Flüssigkeitselementes dv. Sie sind für die Energieverluste in der Strömung verantwortlich. Die Art der Kräfte und die auftretenden Verformungen sind genau dieselben, die bereits in der Mechanik der Festkörper behandelt wurden. Die Herleitung der Reibungskräfte am Flüssigkeitselement geschieht daher in Anlehnung an die Vorlesung Mechanik II. Die Reibungskräfte, die an der Oberäche des Volumenelementes dv angreifen, sind Normalund Tangentialspannungen. In der Abbildung 3.6 sind die in die x-richtung wirkenden Spannungen am Kontrollvolumen eingetragen. F x,reibung = ( ( σ x + σ x + + σ )) x x dx dy dz + ( ( τzx + τ zx ( ( τ yx + τ yx + τ )) yx z dz dx dy + τ )) yx y dy dx dy Geht man analog für die anderen beiden Koordinatenrichtungen vor, so erhält man schlieÿlich: F x,reibung = ( σx x + τ yx + τ ) zx dv, y z (3.34) F y,reibung = ( τxy x + σ y y + τ ) zy dv, z (3.35) F z,reibung = ( τxz x + τ yz + σ ) z dv. y z (3.36) Aus dem Momentengleichgewicht (Abb. 3.7) um den Schwerpunkt des Volumenelements dv erhalten wir den aus der Mechanik II bekannten Zusammenhang für die Schubspannungen.

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