Stahlbau Grundlagen. Der Grenzzustand der Stabilität: Einzelstab- und Systemknicken. Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka
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- Innozenz Keller
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1 Stahlbau Grundlagen Der Grenzzustand der Stabilität: Einzelstab- und Systemknicken Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka
2 Einführung Eine Dachscheibe wird zum statischen System mit Lasten Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 2
3 Einführung Ein möglicher Grenzzustand ist Einzelstabknicken Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 3
4 Einführung Beobachtung im Versuch Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 4
5 Elastisches Einzelstabknicken Einführungsbeispiel: starrer Stab mit Drehfeder Stabilität ist Gleichgewicht im Nachbarzustand!! Annahmen der elastischen Stabilitätstheorie in der Baustatik: Geometrie: Werkstoff: Gleichgewicht: Formulierung am System im Nachbarzustand: v ist sehr klein und unbestimmt Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 5
6 Elastisches Einzelstabknicken Einführungsbeispiel: Starrer Stab mit Drehfeder Geometrie: Werkstoff: Gleichgewicht im Nachbarzustand: Lösung für beliebige j: Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 6
7 Elastisches Einzelstabknicken Knicklast der Kragstütze (Eulerfall 1) Gleichgewicht im Nachbarzustand: Elastizitätstheorie: Homogene DGL II. Ordnung. Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 7
8 Elastisches Einzelstabknicken Lösung der homogenen DGL: Eigenwert: Lösungsansatz: Einarbeitung der Randbedingungen: Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 8
9 Elastisches Einzelstabknicken 1. Lösung (Triviallösung): 2. Lösung für Knickbedingung: Knicklast: Knicklänge: Knicklängenbeiwert: hier: b = 2,0 Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 9
10 Elastisches Einzelstabknicken - Knickformen Variable Knickform 1.Knickform 2.Knickform 3.Knickform maßgebend, da kleinste Knicklast! Hinweis: Knickformen sind Schwingungsformen sehr ähnlich, da diese ebenfalls Eigenformen einer DGL 2. Ordnung sind. Schwingungen kann man sich meist gut vorstellen, deshalb auch Knickformen! Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 10
11 Die Eulerfälle des Knickens Der Knicklängenbeiwert b gestattet es, ein konkret vorliegendes Knickproblem auf das Knickproblem eines Ersatzstabes zurückzuführen. Als Ersatzstab wird der Eulerfall 2 herangezogen, bei dem b = 1,0 ist, also l cr = L N cr 2 EI 2 cr l 1 l 2 cr l cr cot Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 11 Roik [1]
12 Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme Beispiel: Hallenrahmen Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 12
13 Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme Antimetrisch Symmetrisch Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 13
14 Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme 1. Knickform - antimetrisch Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 14
15 Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme 1. Knickform - antimetrisch 2. Knickform - symmetrisch Normalkraftverformungen bei Biegegliedern werden hier vernachlässigt, da sie viel kleiner als die Biegeverformungen sind. Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 15
16 Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme Beispiel: Hallenrahmen Normalkraftfreie Stäbe, oder Stäbe mit geringer Normalkraft lassen sich in vielen Fällen durch Rotations- oder Translationsfedern ersetzen. Vereinfachtes System zur Berechnung der 1. Knickform Federermittlung für vorliegendes Beispiel z.b. mit Arbeitsgleichung: Roik [1] Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 16
17 Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme Beispiel: Hallenrahmen Normalkraftfreie Stäbe, oder Stäbe mit geringer Normalkraft lassen sich in vielen Fällen durch Rotations- oder Translationsfedern ersetzen. Vereinfachtes System zur Berechnung der 2. Knickform Federermittlung für vorliegendes Beispiel z.b. mit Arbeitsgleichung: j M M dx j M 1 M dx EI EI L L 1 2 b j b 1 1 EI cj R EI EI j b R R Roik [1] Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 17
18 Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme Typische Knickformen und Rückführung auf Einzelstäbe mit Endfedern bei Rahmen: Die meisten üblichen Stabtragwerke lassen sich auf den Einzelstab mit Endfedern zurückführen, der somit als Grundsystem für das Systemknicken angesehen werden kann. Für seine Grundfälle gibt es analytische Lösungen. Roik [1] Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 18
19 Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme Lösung für den Grundfall mit 1 Drehfeder unten, 1 Wegfeder oben: Gleichgewicht am unteren Teilsystem: Elastizitätstheorie: Inhomogene DGL II. Ordnung: Allgemeiner Lösungsansatz: mit: homogener Lösungsanteil partikuläre Lösung als Taylorreihenentwicklung Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 19
20 Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme 4 Unbekannte erfordern 4 Randbedingungen: Homogene Lösung: Knickbedingung: Knicklängenbeiwert: für Eulerfall 2 Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 20
![Petersen [4] Damit wird das Grundsystem für das Systemknicken durch den Eulerfall 2](/docs-images/72/68075639/images/21-2.jpg "ersetzt und der Eulerfall 2 zum generellen Ersatzstab. Prof. Dr.-Ing.")
21 Elastisches Systemknicken richtungstreue Systeme Die wichtigsten Grundfälle findet man grafisch aufbereitet in Diagrammen zur Ermittlung von b, zum Beispiel: Petersen [4] Damit wird das Grundsystem für das Systemknicken durch den Eulerfall 2 ersetzt und der Eulerfall 2 zum generellen Ersatzstab. Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 21
22 Elastisches Systemknicken - Poltreue Systeme Bei bestimmten Systemen treten im Nachbarzustand systembedingte zusätzliche Abtriebskräfte auf, welche die Knicklast beeinflussen. verkleinert Abtrieb steigert Knicklast steigert Abtrieb verringert Knicklast Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 22
23 Elastisches Systemknicken - Poltreue Systeme Beispiel: Längswandverband der Halle Ermittlung der Abtriebskraft H stab,i Bei mehreren zu stabilisierenden Stützen Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 23
24 Elastisches Systemknicken - Poltreue Systeme Beispiel: Längswandverband der Halle Pol Länge a der Pendelstütze: Grundfall 1 Beispiel: Aussteifung der Längswand durch biegesteifen Rahmen Grundfall 2 Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 24
25 Der poltreue Ersatzstab Ableitung der Knickbedingung Pol Biegemomente im Nachbarzustand: Elastizitätstheorie: Lösungsansatz: Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 25
26 Der poltreue Ersatzstab Ableitung der Knickbedingung Pol Randbedingungen: Knickbedingung mit: L b tan 1 a 1 12 L R cr Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 26
27 Der poltreue Ersatzstab Die Knickbedingung lässt sich in Abhängigkeit der Längenverhältnisse graphisch darstellen: Erhöhung von N cr Gefährlicher Bereich! Abminderung von N cr Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 27
28 Elastastisches Systemknicken - Poltreue Systeme Beispiel für gefährlichen Bereich poltreu: Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 28
29 Elastastisches Systemknicken - Poltreue Systeme Beispiel für gefährlichen Bereich poltreu: Abschätzung der richtungstreuen Knicklänge mit Grundfall 2 (poltreue Knicklänge des Rahmens): Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 29
30 Inelastisches Knicken mechanischer Hintergrund schlanke Stütze Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 30
31 Inelastisches Knicken mechanischer Hintergrund schlanke Stütze Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 31
32 Inelastisches Knicken mechanischer Hintergrund mittelschlanke Stütze Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 32
33 Inelastisches Knicken mechanischer Hintergrund mittelschlanke Stütze Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 33
34 Inelastisches Knicken mechanischer Hintergrund gedrungene Stütze Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 34
35 Inelastisches Knicken mechanischer Hintergrund gedrungene Stütze Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 35
36 Inelastisches Knicken mechanischer Hintergrund gedrungene Stütze mittelschlanke Stütze schlanke Stütze Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 36
37 Ersatzstabverfahren Normierte Knickspannungskurven nach DIN EN (6.3.1) Normierte Größen: Abminderungsfaktor bez. Schlankheitsgrad DIN EN (Bild 6.4) Trägheitsradius Bezugsschlankheitsgrad Zuordnung der Querschnittformen zu den Knickspannungskurven nach DIN EN ( ) Ablesung oder aus DIN formelmäßig Tab. 6.2 Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 37
38 Ersatzstabverfahren Reine Normalkraft Ablauf des Verfahrens 1. Ermittlung der Knicklänge L cr = b L 2. Festlegung der maßgeblichen Knickspannungskurve und Ermittlung des Abminderungsfaktors c: c 3. Nachweis: für Querschnittsklasse 1-3 Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 38
39 Referenzen [1] Roik Vorlesungen über Stahlbau Verlag Ernst und Sohn, 2., überarbeitete Auflage, 1983 [2] DIN EN : Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten Beuth Verlag, 2005 [3] Petersen Stahlbau Vieweg, 3. Auflage, 2001 [4] Petersen Statik und Stabilität der Baukonstruktionen Vieweg, 2., durchgesehene Auflage, 1982 [5] Lindner und Gietzelt - Zweiachsige Biegung und Längskraft ein ergänzter Bemessungsvorschlag Stahlbau 9/1985 [6] Roik und Kindmann - Das Ersatzstabverfahren Eine Nachweisform für den einfeldrigen Stab bei planmäßig einachsiger Biegung mit Druckkraft Stahlbau 12/1981 [7] Roik und Kindmann - Das Ersatzstabverfahren Tragsicherheitsnachweise für Stabwerke bei einachsiger Biegung und Normalkraft Stahlbau 5/1982 Prof. Dr.-Ing. Dorka Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 39
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