9 Der bipolare Transistor

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "9 Der bipolare Transistor"

Transkript

1 9 Der bipolare Trasistor Der bipolare Trasistor ist ei Halbleiter-auelemet, bei dem mit eiem kleie Steuerstrom ei großer Hauptstrom gesteuert wird. 9.1 Aufbau ud Herstellugsverfahre Der bipolare Trasistor ist ei auelemet, i dem ierhalb eies ikristalls drei abwechseld p- ud -dotierte Halbleiterzoe mit zwei p-übergäge aufeiader folge. tspreched der Zoefolge liegt etweder ei p- oder ei pp-trasistor vor. Abbildug 9-1 Schichtefolge des Trasistors p-trasistor pp-trasistor p p p Jede der drei Zoe ist mit eiem äußere Aschluss versehe. Diese Aschlüsse trage die ezeichuge: - = mitter (äußere Zoe) - = asis (mittlere Zoe) - = Kollektor (äußere Zoe) Zur Herstellug vo Trasistore wurde/werde uterschiedliche Verfahre eigesetzt: - Spitze-Legierugstechik (historisch) Spitzetrasistor [auf eie Halbleiterkristall (asis) wurde zwei Metallspitze (mitter ud Kollektor) auflegiert] - Legierugstechik (historisch) Legierugstrasistor [i eie düe Halbleiterscheibe (asis) wurde vo beide Seite Dotierugsmaterial eigeschmolze (mitter ud Kollektor)] - Diffusiostechik Diffusiostrasistor, s, FT [bei hoher Temperatur diffudiere Atome der Dotierugselemete aus eier Dampfatmosphäre i eie Halbleiterscheibe ei] - oeimplatatio s, FT [Doator- bzw. Akzeptorioe werde im elektrische Feld beschleuigt ud i de Halbleiterkristall hieigeschosse] - pitaxie pitaxialtrasistor, s [auf eie Halbleiterscheibe wächst bei hoher Temperatur eie dotierte Halbleiterschicht aus der Dampfphase auf] 105

2 Der prizipielle Aufbau soll am eispiel eies modere p-trasistors, der als Teil eies itegrierte Schaltkreises i plaarer pitaxialtechik hergestellt ist, gezeigt werde. Abbildug 9-2 Aufbau eies Plaar-pitaxial-p-Trasistors Abbildug 9-1 gezeicheter Ausschitt (c) (d) p pitaxie ++ (f) p (e) p burried layer ++ (b) p-substrat (a) Auf eie p-dotierte Halbleiterscheibe (a) (Substrat; Dicke z.. 0,2 mm) lässt ma eie düe -dotierte pitaxiezoe aufwachse (c) (Dicke z.. 10µm). Für die Herstellug vo itegrierte Schaltuge aus mehrere Fuktioselemete ka die pitaxiezoe durch idiffudiere vo bis i das Substrat reichede p-dotierte Wäde (d) i eizele Teilbereiche (Wae) uterteilt werde. Zur Herstellug eies Trasistors wird i eie solche Wae eie p-dotierte Zoe (e) eidiffudiert. Diese p-zoe stellt später die asis, die verbleibede pitaxiezoe ierhalb der Wae de Kollektor des Trasistors dar. die p- dotierte asiszoe wird eie hochdotierte -Zoe (f) eidiffudiert, die de mitter des Trasistors bildet. Der Kristall wird ach auße mit eier isolierede Oxidschicht versehe. Durch Aussparuge i dieser Oxidschicht werde die Kollektor-, asis- ud mitterzoe mit äußere Aschlüsse versehe. Vor dem Aufbrige der pitaxiezoe wird i das Substrat uter die später etstehede pitaxiewae eie hochdotierte -Zoe (b) (burried layer) eidiffudiert, die für eie gerige ahwiderstad der Kollektorzoe (Widerstad bis zum Kollektoraschluss) sorgt. Die eizele Wae ierhalb der pitaxiezoe (d.h. die eizele Fuktioselemete eies itegrierte auelemetes) werde gegeeiader ud gegeüber dem Substrat durch Sperrpolug des dazwischeliegede p-übergags isoliert. Alle Fuktioselemete (z.. der Trasistor) befide sich daher i der düe pitaxiezoe; das Substrat (mit Ausahme der zum Kollektor gehörede burried layer) diet lediglich als mechaischer Träger. Für eie hohe Stromverstärkug des Trasistors (Verhältis des gesteuerte zum steuerde Strom) müsse folgede techologische ud kostruktive Merkmale vorliege: - hohe Majoritätsträgerkozetratio i der mitter- ud gerige Majoritätsträgerkozetratio i der asiszoe (durch etsprechede Dotieruge) - sehr gerige Dicke der asiszoe. 106

3 9.2 Fuktiosweise Zum Verstädis der Fuktiosweise des Trasistors ist die Ketis der i de Abschitte 1 ud 2 behadelte Halbleiterphysik erforderlich. s empfiehlt sich daher, diese Abschitte ochmals zu studiere Der Trasistoreffekt m etrieb als Verstärker wird der Trasistor grudsätzlich mit Sperrpolug des Kollektor- asis-p-übergags ud mit Flusspolug des asis-mitter-p-übergages betriebe. Die Fuktio des Trasistors wird im Folgede schrittweise am eispiel des p-trasistors erläutert. Die Schritte 1 ud 2 zeige de isolierte etrieb vo jeweils ur eiem der beide p-übergäge. Schritt 3 wird die Fuktio des gesamte Trasistors dargelegt. * Schritt 1: - Sperrspaug am Kollektor-asis-p-Übergag - mitter-aschluss offe (icht ageschlosse) Die itere Diffusiosspaug UD ud die vo auße agelegte Sperrspaug U verursache eie ausgedehte Raumladugszoe am Kollektor-asis-p-Übergag, sie stelle eie Potetialbarriere gege die Diffusio vo Majoritätsträger dar. s ist kei Majoritätsträgerstrom über de p-übergag möglich. Die Sperrspaug bildet jedoch keie arriere für Mioritätsträger. Alle Mioritätsträger, die i de iflussbereich der Kollektor-asis-Raumladugszoe (RZ) gerate, werde vielmehr vo der Sperrspaug durch diese Übergag hidurch gezoge. Die Mioritätsträgerdichte a de Greze der Raumladugszoe geht daher gege Null. s tritt ei Sperrstrom auf, der vo der Azahl der i der Raumladugszoe durch Paarbildug etstehede ud der Azahl der vo auße zum p-übergag diffudierede Mioritätsträger bestimmt wird ud weitgehed uabhägig vo der Größe der aliegede Sperrspaug ist. - + Abbildug 9-3 Mioritätsträgerstrom über de Kollektor-asis-Übergag Der Kollektor-asis-Sperrstrom bei offeem mitter wird mit 0 bezeichet. Wege der gerige Kozetratio vo Mioritätsträger ist dieser Sperrsättigugsstrom sehr klei. Da er vo Mioritätsträger aus Paarbildug verursacht wird, ist er stark temperaturabhägig. Wege des offee mitteraschlusses ist der emitterseitige p-übergag bei Schritt 1 icht a der Fuktio beteiligt. RZ p Paarbildug RZ U 107

4 * Schritt 2: - Flussspaug am asis-mitter-p-übergag - Kollektor-Aschluss offe (icht ageschlosse) Die auße agelegte Flussspaug U wirkt der itere Diffusiosspaug UD etgege ud baut die Potetialbarriere über dem asis-mitter-p-übergag ab. Dem Kozetratiosgefälle folged diffudiere daher Majoritätsträger über de p- Übergag: - lektroe diffudiere vo der mitterzoe i die asiszoe (Strom ). - Löcher diffudiere vo der asiszoe i die mitterzoe (Strom p). Da die Dotierug der mitterzoe sehr viel größer ist als die Dotierug der asiszoe, ist der lektroestrom vo der mitter- zur asiszoe sehr viel größer als der Löcherstrom p vo der asis- i die mitterzoe. Die Löcher aus dem Strom p rekombiiere ierhalb der mitterzoe alsbald mit de dortige Majoritätsträger, mit de lektroe. Die lektroe aus dem Strom rekombiiere i der asiszoe mit de dortige Majoritätsträger, mit de Löcher. Wege des größere Stromes ud wege der im Vergleich zum mitter gerigere Majoritätsträgerdichte i der asiszoe ist die mittlere Diffusiosläge der lektroe i der asis bis zur Rekombiatio vergleichsweise groß. Die absolute Größe der Ströme ud p lässt sich durch die Größe der agelegte Flussspaug U steuer (p-übergag i Flusspolug). Das gegeseitige Größeverhältis der Majoritätsträgerströme ud p wird dabei durch die Dotierug vo mitter- ud asiszoe bestimmt. - + U Abbildug 9-4 Majoritätsträgerströme über de asis-mitter-übergag p Rekombiatio Wege des offee Kollektoraschlusses ist der kollektorseitige p-übergag bei Schritt 2 icht a der Fuktio beteiligt. * Schritt 3: - Sperrspaug am Kollektor-asis-Übergag - Flussspaug am asis-mitter-übergag s fließe folgede Ströme: - Sperrstrom 0 am Kollektor-asis-p-Übergag (etspreched Schritt 1), - Löcherstrom p (sog. Nebestrom) vo der asiszoe i die mitterzoe (rekombiiert i der mitterzoe mit lektroe), - lektroestrom vo der mitterzoe i die asiszoe. Die i die asiszoe eidiffudierte lektroe breite sich i der asiszoe gleichmäßig i alle Richtuge aus. RZ p RZ 108

5 Da der Weg zum kollektorseitige p-übergag sehr kurz ist, erreiche die meiste lektroe diese p-übergag. Da die lektroe i der asiszoe vo der Art her Mioritätsträger sid, werde sie vo der am Kollektor-asis-Übergag aliegede Sperrspaug zur Kollektorseite abgesaugt (Hauptstrom). Nur ei kleier Teil der lektroe aus dem Strom rekombiiert i der asiszoe (Rekombiatiosstrom) ud erreicht de kollektorseitige p-übergag icht U U Abbildug 9-5 Ströme im Trasistor im Verstärkerbetrieb Nebestrom Rekombiatios- Strom -Sperrstrom Hauptstrom p RZ RZ Die Ströme a de äußere Aschlüsse setze sich folgedermaße zusamme: mitterstrom asisstrom Kollektorstrom Hauptstrom Nebestrom Hauptstrom + Nebestrom + Rekombiatiosstrom + Sperrstrom 0 + Rekombiatiosstrom - Sperrstrom 0 Trasistor-ffekt: Durch eie Durchlassspaug a der asis-mitterdiode wird ei großer lektroestrom vo der mitter- i die asiszoe ausgelöst. Der größte Teil dieser lektroe wird vo der Sperrspaug am Kollektor-asis-Übergag zum Kollektor abgesaugt (Hauptstrom), ur ei kleier Teil rekombiiert mit Löcher i der asiszoe (Rekombiatiosstrom). Am asisaschluss fließt ur der vo der Flussspaug verursachte, sehr viel kleiere Löcherstrom p (Nebestrom) sowie der Rekombiatiosstrom. Mit eiem kleie Steuerstrom vo der asis zum mitter (asisstrom) wird daher ei großer Strom vom mitter zum Kollektor (Kollektorstrom) gesteuert. Damit der Hauptstrom vo der mitter- zur asis- ud da zur Kollektorzoe sehr viel größer ist als der Nebestrom, muss die mitterdotierug sehr viel größer sei als die asisdotierug. Damit der Hauptstrom zum Kollektor sehr viel größer ist als der Rekombiatiosstrom, muss die asisdotierug iedrig ud die asisdicke gerig sei. Wege der hohe mitterdotierug ist die Durchbruchspaug der asis-mitter-strecke relativ gerig. Damit die Durchbruchspaug der Kollektor-asis-Strecke höher ist, wird die Kollektordotierug deutlich iedriger als die des mitters gewählt. 109

6 9.2.2 Strömugsmechaisme im Trasistor Abbildug 9-6 terer Potetialverlauf im Trasistor Potetialverlauf ohe äußere Spaug U D Potetialverlauf mit äußere Spauge U U D U Abbildug 9-6 zeigt, dass ierhalb der mitter-, asis- ud Kollektorzoe des Trasistors kei Potetialgefälle auftritt. i Potetialgefälle liegt ur vor ierhalb der Raumladugszoe zwische mitter ud asis sowie zwische asis ud Kollektor. Am Kollektorstrom sid hauptsächlich lektroe aus der mitterzoe beteiligt. Die lektroebewegug durch die Raumladugszoe (RZ1) zwische mitter- ud asiszoe erfolgt aufgrud des Kozetratiosspruges zwische de beide Zoe als reier Diffusiosstrom. Der Strom durch diese Raumladugszoe ka fließe, da die vo der Diffusiosspaug UD gebildete Potetialbarriere durch die auße agelegte Flussspaug U reduziert ist. Die Sperrspaug a der kollektorseitige Raumladugszoe (RZ2) saugt alle durch die asiszoe kommede lektroe zur Kollektorzoe ab. erhalb dieser Raumladugszoe liegt ei Feldstrom vor. erhalb der asiszoe () sid die lektroe Mioritätsträger. Außer de aus dem mitter eidiffudierte lektroe sid kaum weitere vorhade. Weil ierhalb der asiszoe kei Potetialgefälle vorliegt, ka ur ei Diffusiosstrom aufgrud eies Kozetratiosgefälles d /dx fließe. Die Kozetratio p (x) der lektroe am emitterseitige de der asiszoe (x = 0) wird vo der Spaug U bestimmt: p (0) = p 0 U exp U T Die Kozetratio der lektroe am kollektorseitige de der asiszoe (x = W) wird vo der Spaug U bestimmt: (W U ) = p exp 0 (mit U < 0) U p 0 Liegt am Trasistor eie Kollektor-asis-Sperrspaug a, so saugt diese -uabhägig vo ihrer Größe- alle Mioritätsträger am kollektorseitige de der asiszoe ab. Die Mioritätsträgerkozetratio am kollektorseitige de der asiszoe ist da immer etwa Null. ei verachlässigbarer Rekombiatio i der asiszoe ist das Kozetratiosgefälle der lektroe etlag des Weges kostat ( d /dx kostat). mit U T = ud p 0 T RZ 1 RZ 2 k T 26 mv (für T = 300 K) e = Mioritätsträgerkozetratio i der asis im stromlose Zustad 110

7 erhalb der asiszoe stellt sich daher ei dreieckförmiger Kozetratiosverlauf der lektroe (Mioritätsträger) ei, wie er i Abbildug 9-7 dargestellt ist. p Abbildug 9-7 Diffusiosdreieck (liearer Maßstab) RZ RZ x Die lektroe diffudiere ihrem Kozetratiosgefälle folged durch die asiszoe. Der Strom durch die asiszoe ist proportioal zum Kozetratiosgefälle ud etspricht weitgehed dem Kollektorstrom, der sich damit agebe lässt: (mit = D D p (0) e A = U W T µ e A W p0 e U UT = U T µ = Diffusioskostate; A = asisquerschittsfläche) Auch ierhalb der mitterzoe () ud ierhalb der Kollektorzoe () erfolgt die lektroebewegug als Diffusiosstrom. Das hierzu erforderliche Kozetratiosgefälle fällt jedoch agesichts der dort vorliegede sehr hohe lektroekozetratio (Majoritätsträgerkozetratio) icht is Auge ifluss der Kollektor-asis-Spaug auf de Kollektorstrom ei kostater asisweite ist das Kozetratiosgefälle der Mioritätsträger ierhalb der asiszoe ud damit die Größe des Kollektorstromes i erster Näherug ur abhägig vo der asis-mitter-spaug ud weitgehed uabhägig vo der Kollektor-asis-Spaug. ie gewisse Abhägigkeit des Kollektorstromes vo der Kollektor-asis-Spaug tritt jedoch auf, weil diese ifluss auf die Sperrschichtweite WS des kollektorseitige p-übergags im Trasistor ud damit auf die asisweite W hat. ei gleicher Mioritätsträgerkozetratio am emitterseitige de der asiszoe führt eie Verkürzug der asisweite zu eier Vergrößerug des Kozetratiosgefälles der Mioritätsträger i der asis ud damit zu eier rhöhug des Kollektorstromes (Ma spricht vo asisbreitemodulatio bzw. vom sog. arlyeffekt ). Abbildug 9-8 ifluss der Kollektor-asis-Spaug auf das Diffusiosdreieck (arly-ffekt) (U2 >> U1) p 0 W ( d / dx) 1 1 ( d / dx) W2 W1 WS2 = f(u2) WS1 = f(u1) Liegt a der Kollektor-asis-Strecke eie Flussspaug a, so köe die Mioritätsträger aus der asis icht zum Kollektor abgesaugt werde ud der Kollektorstrom sikt stark ab. x 111

8 9.3 Schaltzeiche - Richtugspfeile für Ströme ud Spauge Stromlaufpläe werde folgede Schaltzeiche für de bipolare Trasistor verwedet: Abbildug 9-9 Schaltzeiche des bipolare Trasistors p-trasistor pp-trasistor Vereibarugsgemäß zeige die Richtugspfeile aller drei Klemmeströme zum Trasistor. Die Richtugspfeile der drei Klemmespauge köe frei gewählt werde ud etspreche der Reihefolge der dices. Abbildug 9-10 Richtug vo Ströme ud Spauge am Trasistor U U U Für die Ströme ud Spauge am Trasistor gelte demach folgede Gleichuge: * Kotegleichug: + + = 0 * Maschegleichug: U = U + U 9.4 Trasistor-Grudschaltuge Der Trasistor verbidet immer eie steuerde mit eiem gesteuerte Stromkreis. Da sowohl für die Verbidug mit dem steuerde, wie auch für die Verbidug mit dem gesteuerte Stromkreis jeweils zwei Klemme erforderlich sid, der Trasistor jedoch ur drei Aschlüsse besitzt, muss eier der Trasistoraschlüsse sowohl dem steuerde igags- als auch dem gesteuerte Ausgagskreis zugeordet werde. Hierfür sid drei Variate möglich: Die asisschaltug, die mitterschaltug ud die Kollektorschaltug asisschaltug Prizipschaltug R R Abbildug 9-11 Trasistor i asisschaltug US1 U U US2 ei der asisschaltug wird der Trasistor am mitter gesteuert (igagsstrom ), das Ausgagssigal wird am Kollektor abgegriffe (Ausgagsstrom ). 112

9 igagskeliie Die igagskeliie = f(u) ist die Keliie der mitter-asis-diode i Flusspolug. Abbildug 9-12 igagskeliie i asisschaltug Ausgagskeliie ei der asisschaltug ist der Kollektorstrom eie Fuktio des (eigeprägte) mitterstromes. Hierbei tritt der arlyeffekt (siehe Abschitt 9.2.3) icht i rscheiug. ie Auswirkug der Kollektor-asis-Sperrspaug auf de Kollektorstrom tritt praktisch icht auf. Aus diesem Grude sid die Ausgagskeliie = f(u) mit als Parameter im 1. Quadrate aäherd horizotale Liie (aäherd parallel zur U-Achse). 0 1V -U Abbildug 9-13 Ausgagskeliie i asisschaltug - Wird die Kollektor-asis-Spaug 0 oder gar egativ (Flusspolug statt Sperrpolug des -Übergags) da köe die Mioritätsträger aus der asis icht mehr vollstädig abgesaugt werde ud der Kollektorstrom sikt steil ab (2. Quadrat i Abbildug 9-13) Übertragugskeliie 0 ie Übertragugskeliie zeigt grafisch die Abhägigkeit eier Ausgagsgröße vo eier igagsgröße. Da sich ud ur um de kleie Strom uterscheide, ist die Übertragugskeliie = f() (Stromsteuerkeliie) eie uter ca. 45 vom Ursprug ausgehede Gerade. U Abbildug 9-14 Stromsteuerkeliie i asisschaltug Der Kollektorstrom lässt sich auch als Fuktio der mitter-asis-spaug darstelle ( = f(u); Spaugssteuerkeliie). Da ud aäherd gleich sid, ähelt diese Übertragugskeliie der igagskeliie i asisschaltug

10 Stromverstärkug der asisschaltug ist der mitterstrom der igagsstrom des Trasistors, der Kollektorstrom der Ausgagsstrom. Abbildug 9-15 Stromaufteilugsschema für die asisschaltug (1 - A) A 0 - Der mitterstrom teilt sich auf - i eie größere Ateil A i Richtug Kollektor (Hauptstrom) ud - eie kleiere Ateil (1-A) i Richtug asis (Nebe- ud Rekombiatiosstrom) Zusätzlich zu diese Ströme fließt och der Kollektor-asis-Sperrstrom 0. Das Verhältis des steuerbare Ateils des Ausgagsstromes zum steuerbare Ateil des igagsstromes stellt die Stromverstärkug des Trasistors dar. Die Stromverstärkug A (=Alpha) des Trasistors i asisschaltug beträgt somit: Stromverst ärkug A = A = steuerbarerateil vo - steuerbarer Ateil vo + 0 Mit 0 << ergibt sich äherugsweise A 1 Reale Werte der Stromverstärkug A liege im ereich 0,95 A 0,999 Die Stromverstärkug A ist weitgehed uabhägig vo der Größe vo mitter- ud Kollektorstrom, d.h. die Stromverstärkug A eies Trasistors ist kostat. Für kleie Äderuge vo mitter- ud Kollektorstrom verwedet ma die di Wechselstromverstärkug α =. Für die meiste Aweduge gilt α A. di mitterschaltug Prizipschaltug R R Abbildug 9-16 Trasistor i mitterschaltug US1 U U US2 ei der mitterschaltug wird der Trasistor a der asis gesteuert (igagsstrom ), das Ausgagssigal wird am Kollektor abgegriffe (Ausgagsstrom ). 114

11 igagskeliie Die igagskeliie = f(u) ist die Keliie der asis-mitter-diode. Abbildug 9-17 igagskeliie i mitterschaltug Ausgagskeliie Die Ausgagskeliie stellt die Abhägigkeit des Kollektorstromes vo der Kollektor- mitter-spaug U z.. bei kostatem asisstrom dar Normalbetrieb (U U) Der Kollektorstrom ist i erster Näherug ur eie Fuktio des asisstromes (bzw. der asis-mitter-spaug). Aus diesem Grude sid die Ausgagskeliie = f(u) aäherd horizotale Liie (aäherd parallel zur U-Achse) mit bzw. (selte) U als Parameter. U = 0 0 1V U Abbildug 9-18 Ausgagskeliie i mitterschaltug ei geauer etrachtug ist festzustelle, dass die Ausgagskeliie i mitterschaltug icht geau parallel zur Spaugsachse verlaufe. Sie steige vielmehr wege des arlyeffekts (siehe Abschitt 9.2.3) mit zuehmeder Kollektor-mitter -Spaug leicht a. Die Steigug ist so, als gige alle Ausgagskeliie vo eiem gemeisame Pukt auf der Spaugsachse aus. Der Spaugswert dieses gemeisame Schittpuktes ist die arlyspaug UA. Die arlyspaug liegt bei p-trasistore zwische 80 V ud 200 V, bei pp-trasistore zwische 40 V ud 150 V. Abbildug 9-19 arlyspaug U -UA st die arlyspaug eies Trasistors bekat, so lässt sich die Steigug der eizele Ausgagskeliie abschätze; umgekehrt lässt sich die arlyspaug aus der Steigug der eizele Ausgagskeliie ermittel. U 115

12 Sättigugsbetrieb (U < U) Die Kollektor-mitter-Spaug ist die Summe aus Kollektor-asis- ud asis-mitter- Spaug. Sikt die Kollektor-mitter-Spaug uter die asis-mitter-spaug, so wird der Kollektor-asis-Übergag i Flusspolug statt i Sperrpolug betriebe (U < 0). Da köe die Mioritätsträger aus der asis icht mehr vollstädig abgesaugt werde ud der Kollektorstrom sikt steil ab. Der Trasistor arbeitet i der Sättigug. der Abbildug 9-18 ist die Greze U = 0 zwische Sättigugsbereich ud ormal aktivem ereich (U > 0) eigezeichet Übertragugskeliie Die Übertragugskeliie = f() (Stromsteuerkeliie) ist äherugsweise eie vom Ursprug ausgehede Gerade Abbildug 9-20 Übertragugskeliie i mitterschaltug U = 10V U = 6V Der Kollektorstrom lässt sich auch als Fuktio der asis-mitter-spaug darstelle ( = f(u); Spaugssteuerkeliie). Da ud - aäherd gleich sid, etspricht der Verlauf dieser Übertragugskeliie ugefähr dem der igagskeliie i asisschaltug. Wege der bestehede Abhägigkeit sollte bei de Übertragugskeliie jeweils agegebe werde, für welche Kollektor-mitter-Spaug sie gelte Stromverstärkug Abbildug 9-21 Stromaufteilugsschema für die mitterschaltug Das Verhältis der steuerbare Ateile vo Kollektorstrom ud asisstrom wird als Stromverstärkug (= eta) des Trasistors i mitterschaltug bezeichet. steuerbarerateilvo Stromverst ärkug = steuerbarerateilvo =

13 Meist sid ud sehr viel größer als 0. Da gilt für die Stromverstärkug i mitterschaltug äherugsweise: Werte der Stromverstärkug liege im ereich (20) (1000) Die Stromverstärkug besitzt eie gewisse Abhägigkeit vo der Größe des Kollektorstromes. Sie steigt zuächst mit, bleibt da über ei bis zwei Größeorduge vo aäherd kostat ud sikt bei och höhere Stromwerte wieder ab (siehe z.. Keliie = f() i Aufgabe 12-1). Die Stromverstärkug hat eie positive Temperaturkoeffiziete vo ca. 0,66 %/K. Für kleie Äderuge vo asis- ud Kollektorstrom verwedet ma die di Wechselstromverstärkug β =. Für die meiste Aweduge gilt β. di m eglischsprachige Raum wird die Gleichstromverstärkug icht mit soder meist mit HF ud die Wechselstromverstärkug icht mit β soder mit hfe bezeichet. Leider werde die Regel für Groß- ud Kleischreibug hier sehr uterschiedlich gehadhabt (z.. Hfe oder hf). (Zu de sog. h-parameter siehe Ahag, Abschitte.2.1 ud.2.3) Kollektorschaltug Prizipschaltug U R Abbildug 9-22 Trasistor i Kollektorschaltug (a) US1 U U US2 (b) äquivalete Schaltug US1 * U U - R UQ US2 Wie bei der mitterschaltug wird a der asis gesteuert (igagsstrom ). Das Ausgagssigal wird jedoch icht am Kollektor soder am mitter abgegriffe (Ausgagsstrom ). 117

14 Keliie Für die Kollektorschaltug werde die Keliie des Trasistors i mitterschaltug verwedet Strom- ud Spaugsverstärkug Für die Kollektorschaltug des Trasistors ist keie eigee Stromverstärkug defiiert. Mit - = + + = (+1) ergibt sich eie Stromverstärkug vo (+1). Die Ausgagsspaug des Trasistors i Kollektorschaltug (siehe Abbildug 9-22a) beträgt: U = U + U Da i- ud Ausgagssigale meist auf Masse ud icht auf das Versorgugspotetial bezoge werde (siehe Abbildug 9-22b), gilt: U = US2 -UQ U = US2 - U Daraus ergibt sich: UQ = U - U Da sich die asis-mitterspaug des leitede Trasistors (Durchlassspaug der - Diode) icht oder ur i ege Greze ädert, folgt die Ausgagsspaug der igagsspaug etwa im Verhältis 1:1. Die Spaugsverstärkug der Kollektorschaltug beträgt daher AU Umrechug der Stromverstärkuge Mit ud A = + ergebe sich zwische de Stromverstärkuge i asis- ud mitterschaltug folgede Umrechugsgleichuge: A ud 1+ A 1 A 9.5 Darligto- oder Super-eta-Schaltug Die Stromverstärkug eies Trasistors i mitter- oder Kollektorschaltug lässt sich weiter vergrößer mit der sog. Darligto-Schaltug (auch Super-eta-Schaltug geat). ei der Darligto-Schaltug werde zwei Trasistore so hitereiader geschaltet, dass sich ihre Stromverstärkuge multipliziere. Die Darligto-Schaltug lässt sich mit gleichartige oder mit komplemetäre Trasistore aufbaue. 118

15 Abbildug 9-23: Darligto-Schaltug mit gleichartige Trasistore ges mit komplemetäre Trasistore ges 1 T1 T2 T2 ges 1 T1 ges ges = = 1 + Mit 2 1 = 2 2 erechug der Gesamt-Stromverstärkug: = ( 1 + 1) wird ges = ges Mit 1 = 2 1 = = 1 = Wird ges = beide Fälle gilt also äherugsweise ges 1 2 ud aalog für Wechselsigale β β β 9.6 Date vo Trasistore Tabelle 9-1 p-typ Grezwerte ges 1 2 Ausgewählte Date verschiedeer Trasistore 107 A// 140 6/10/ = N6621 2N Darligto Kollektor-asis-Sperrspaug U 0 50 V 80 V 25 V 100V 40 V mitter-asis-sperrspaug U 0 5 V 7 V 2,5 V 7 V 10 V Kollektorstrom 100 ma 1 A 25 ma 15 A 400 ma Verlustleistug P tot 300 mw 3,7 W (1) 200 mw 115 W (2) 625 mw Sperrschichttemperatur ϑ j Typische Kewerte Stromverstärkug 170 / 290 / / 100 / 160 > > Trasitfrequez (3) f T 150 MHz 50 MHz 1,9 GHz 1 MHz 220 MHz Reststrom (25 ) S < 15 A < 100 A < 50 A <100 A Wärmewiderstad (Sperrschicht-Umgebug) R th 500 K/W 200 K/W 400 K/W 1,5 K/W (4) 200 K/W (1) Mit Kühlkörper (2) Mit Kühlug auf Gehäusetemperatur ϑ G 25 (3) Frequez bei der die Stromverstärkug β = 1 wird. (4) erer Wärmewiderstad R th/j-g 119

16 9.7 Übugsaufgabe zu Aufbau ud Fuktiosweise des bipolare Trasistors Aufgabe 9-1: Trasistorphysik (a) Warum muss die Dotierug des mitters sehr viel höher sei als die Dotierug der asis? (b) Warum soll die Dicke der asisschicht möglichst gerig sei? (c) Warum wählt ma die Dotierug des Kollektors deutlich geriger als die des mitters? (d) Was versteht ma uter dem Trasistoreffekt? (e) Was versteht ma uter dem Diffusiosdreieck? (f) Wie groß ist die Mioritätsträgerdichte am emitterseitige ud am kollektorseitige de der asiszoe? (Silizium-p-Trasistor; asisdotierug: ND = cm -3 + NA = cm -3 (asis i Kollektorzoe eidiffudiert) i = cm -3 ; UT = 26 mv; U = 0,52 V; U = 10 V) (g) Wodurch etsteht der Kollektor-asis-Reststrom 0? Aufgabe 9-2: Trasistoreigeschafte (a) rkläre de arlyeffekt. Wie wirkt er sich i de Trasistorkeliie aus? (b) Wie uterscheide sich die Trasistor-Ausgagskeliie für mitter- ud asisschaltug? (c) i Trasistor hat folgede Dotieruge: - Kollektor: ND = cm -3 - asis: ND = cm -3 + NA = cm -3 (asis i Kollektorzoe eidiffudiert) - mitter: NA = cm -3 + ND = cm -3 (mitter i asiszoe eidiffudiert) mitterschaltug hat hat er die Date: = 100; Umax = 300 V. Schätze Sie die Date * ud Umax * für iverse etrieb (Kollektor ud mitter vertauscht). egrüdug agebe. (d) Warum sikt die Stromverstärkug des Trasistors bei Sättigug? (e) Wie groß ist bei mitterschaltug für = 0 (0 icht verachlässige)? (f) Was versteht ma uter der (i de Dateblätter agegebee) Trasitfrequez? 120

2 Der pn-übergang. 2.1 Der pn-übergang ohne äußere Spannung. Der pn-übergang

2 Der pn-übergang. 2.1 Der pn-übergang ohne äußere Spannung. Der pn-übergang 2 Der -Übergag -Übergag = Grezfläche (Grezschicht) zwische eier -dotierte ud eier -dotierte Zoe ierhalb eies mookristallie Halbleiters. Der -Übergag ist das Grudelemet zahlreicher Halbleiter-Bauelemete:

Mehr

Transformator. n Windungen

Transformator. n Windungen echische iversität Dresde stitut für Ker- ud eilchephysik R. Schwierz V/5/29 Grudpraktikum Physik Versuch R rasformator rasformatore werde i viele ereiche der Elektrotechik ud Elektroik eigesetzt. Für

Mehr

Transistorstrecken bezüglich Stromfluss untersuchen.

Transistorstrecken bezüglich Stromfluss untersuchen. R. rikma htt://brikma-du.de Seite 26..23 Der Trasistor Der hysikalische ufbau eies Trasistors. Der Trasistor: Die mittlere Schicht heißt asis (), die adere beide heiße mitter () ud Kollektor (). Schichtaufbau

Mehr

Ziel: Erhöhung der Grenzfrequenz, erreicht mit PIN-, Lawinen-, Metall-Halbleiter- und Heterodioden

Ziel: Erhöhung der Grenzfrequenz, erreicht mit PIN-, Lawinen-, Metall-Halbleiter- und Heterodioden PIN-Photodiode Ziel: Erhöhug der Grezfrequez, erreicht mit PIN-, Lawie-, Metall-Halbleiter- ud Heterodiode PIN-Photodiode: breite eigeleitede Mittelschicht (I) zwische - ud -Teil, Hautsaugsabfall über

Mehr

2. Einführung in die Geometrische Optik

2. Einführung in die Geometrische Optik 2. Eiührug i die Geometrische Optik 2. Allgemeie Prizipie 2.. Licht ud Materie Optische Ssteme werde ür de Spektralbereich zwische dem extreme Ultraviolette ( m) ud dem thermische Irarote (Q-Bad bei 2

Mehr

Halbleiter II. x 1 2 e ax dx = Γ ( ) verwendet werden. Außerdem gilt. 1. intrinsische Halbleiter. 4π 2 ( 2m. k b T ) a

Halbleiter II. x 1 2 e ax dx = Γ ( ) verwendet werden. Außerdem gilt. 1. intrinsische Halbleiter. 4π 2 ( 2m. k b T ) a Übuge zu Materialwisseschafte I Prof. Alexader Holleiter Übugsleiter: Jes Repp / ric Parziger Kotakt: jes.repp@wsi.tum.de / eric.parziger@wsi.tum.de Blatt 4, Besprechug:28.-3..23 Halbleiter II. itrisische

Mehr

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S Statistik mit Excel 2013 Peter Wies Theme-Special 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S 3 Statistik mit Excel 2013 - Theme-Special 3 Statistische Maßzahle I diesem Kapitel erfahre Sie wie Sie Date klassifiziere

Mehr

Physikalische Grundlagen: Strahlengang durch optische Systeme

Physikalische Grundlagen: Strahlengang durch optische Systeme ieser Text ist ür iteressierte Leser gedacht, die sich über die klausur-relevate, physiologische Grudlage hiaus mit der Optik des Auges beschätige wolle! Physikalische Grudlage: Strahlegag durch optische

Mehr

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten schreier@math.tu-freiberg.de 03731) 39 2261 3. Tilgugsrechug Die Tilgugsrechug beschäftigt sich mit der Rückzahlug vo Kredite, Darlehe ud Hypotheke. Dabei erwartet der Gläubiger, daß der Schulder seie

Mehr

Löslichkeitsdiagramm. Grundlagen

Löslichkeitsdiagramm. Grundlagen Grudlage Löslichkeitsdiagramm Grudlage Zur etrachtug des Mischugsverhaltes icht vollstädig mischbarer Flüssigkeite, das heißt Flüssigkeite, die sich icht bei jeder Temperatur i alle Megeverhältisse miteiader

Mehr

Gruppe 108: Janina Bär Christian Hörr Robert Rex

Gruppe 108: Janina Bär Christian Hörr Robert Rex TEHNIHE UNIVEITÄT HEMNITZ FAULTÄT FÜ INFOMATI Hardwarepraktikum im W /3 Versuch 3 equetielle ysteme I Gruppe 8: aia Bär hristia Hörr obert ex hemitz, 7. November Hardwarepraktikum equetielle ysteme I Aufgabe

Mehr

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:

Mehr

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist.

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist. Erfüllbarkeit, Uerfüllbarkeit, Allgemeigültigkeit Defiitio Eie Belegug β ist passed zu eiem Boolesche Term t, falls β für alle atomare Terme i t defiiert ist. (Wird ab jetzt ageomme.) Ist β(t) = true,

Mehr

Methodische Grundlagen der Kostenkalkulation

Methodische Grundlagen der Kostenkalkulation Methodische Grudlage der Kostekalkulatio Plaugsebee Gebrauchsgüter Die i der ladwirtschaftliche Produktio eigesetzte Produktiosmittel werde i Gebrauchsgüter ud Verbrauchsgüter uterteilt. Zu de Gebrauchsgüter

Mehr

Linsengesetze und optische Instrumente

Linsengesetze und optische Instrumente Lisegesetze ud optische Istrumete Gruppe X Xxxx Xxxxxxxxx Xxxxxxx Xxxxxx Mat.-Nr.: XXXXX Mat.-Nr.: XXXXX XX.XX.XX Theorie Im olgede werde wir eie kurze Überblick über die Fuktio, de Aubau ud die Arte vo

Mehr

Zur Definition. der wirksamen. Wärmespeicherkapazität

Zur Definition. der wirksamen. Wärmespeicherkapazität Ao. Uiv. Prof. Dipl.-Ig. Dr. tech. Klaus Kreč, Büro für Bauphysik, Schöberg a Kap, Österreich Zur Defiitio der wirksae Wärespeicherkapazität vo Ao. Uiv. Prof. Dipl.-Ig. Dr. tech. Klaus Kreč Büro für Bauphysik

Mehr

2 Vollständige Induktion

2 Vollständige Induktion 8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0 UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. Tobias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 01 Musterlösug zu Blatt 0 Aufgabe 1. Käpt Schwarzbart,

Mehr

Musterlösung zu Übungsblatt 2

Musterlösung zu Übungsblatt 2 Prof. R. Padharipade J. Schmitt C. Schießl Fuktioetheorie 25. September 15 HS 2015 Musterlösug zu Übugsblatt 2 Aufgabe 1. Reelle Fuktioe g : R R stelle wir us üblicherweise als Graphe {(x, g(x)} R R vor.

Mehr

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39 Statistik Eiführug Kofidezitervalle für eie Parameter Kapitel 7 Statistik WU Wie Gerhard Derfliger Michael Hauser Jörg Leeis Josef Leydold Güter Tirler Rosmarie Wakolbiger Statistik Eiführug // Kofidezitervalle

Mehr

Wissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft

Wissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft Wisseschaftliches Arbeite Studiegag Eergiewirtschaft - Auswerte vo Date - Prof. Dr. Ulrich Hah WS 01/013 icht umerische Date Tet-Date: Datebak: Name, Eigeschafte, Matri-Tabelleform Spalte: übliche Aordug:

Mehr

Versuch D3: Energiebilanz einer Verbrennung

Versuch D3: Energiebilanz einer Verbrennung Versuch D: Eergiebilaz eier Verbreug 1. Eiführug ud Grudlage 1.1 Eergiebilaz eier Verbreug Die Eergiebilaz eier Verbreug wird am eispiel eier kleie rekammer utersucht, i welcher die bei der Verbreug vo

Mehr

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Ierbetriebliche Leistugsverrechug I der Kostestellerechug bzw. im Betriebsabrechugsboge (BAB ist ach der Erfassug der primäre Kostestellekoste das Ziel, die sekudäre Kostestellekoste, also die Koste der

Mehr

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac Die Gasgesetze Die Beziehug zwische olume ud Temeratur (Gesetz vo J.-L. Gay-Lussac ud J. Charles): cost. T oder /T cost. cost.. hägt h vo ud Gasmege ab. Die extraolierte Liie scheidet die Temeratur- skala

Mehr

Versuch EP4 Der Transistor

Versuch EP4 Der Transistor BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FACHBEREICH C - PHYSIK ELEKTRONIKPRAKTIKUM Versuch EP4 Der Trasistor Versio 2.14, TEX: 3. Februar 2014 I. Zielsetzug des Versuches Trasistore sid die zetrale Verstärkerelemete

Mehr

Kunde. Kontobewegung

Kunde. Kontobewegung Techische Uiversität Müche WS 2003/04, Fakultät für Iformatik Datebaksysteme I Prof. R. Bayer, Ph.D. Lösugsblatt 4 Dipl.-Iform. Michael Bauer Dr. Gabi Höflig 17.11. 2003 Abbildug E/R ach relatioal - Beispiel:

Mehr

Klasse: Platzziffer: Punkte: / Graph zu f

Klasse: Platzziffer: Punkte: / Graph zu f Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P.0 Gegebe ist die Fuktio f mit der Gleichug (siehe Zeichug). y x8 y,25 4 mit GI IRIR Graph zu f O x P. x 8 Die Pukte C (x,25

Mehr

NEL Suchspulen - für jeden Detektor! TOP Leistung von unabhängigen Experten bestätigt. Such Spulen. nel-coils.de Shop ww.nuggets24.

NEL Suchspulen - für jeden Detektor! TOP Leistung von unabhängigen Experten bestätigt. Such Spulen. nel-coils.de Shop ww.nuggets24. NEL Suchspule - für jede Detektor! TOP Leistug vo uabhägige Experte bestätigt Such Spule el-coils.de Shop ww.uggets24.com el-coils.de Metalldetektor OlieShop www.uggets.at www.uggets24.com NEL BIG Die

Mehr

Lerneinheit 2: Grundlagen der Investition und Finanzierung

Lerneinheit 2: Grundlagen der Investition und Finanzierung Lereiheit 2: Grudlage der Ivestitio ud Fiazierug 1 Abgrezug zu de statische Verfahre Durchschittsbetrachtug wird aufgegebe Zeitpukt der Zahlugsmittelbewegug explizit berücksichtigt exakte Erfassug der

Mehr

Feldeffekttransistoren in Speicherbauelementen

Feldeffekttransistoren in Speicherbauelementen Feldeffekttrasistore i Speicherbauelemete DRAM Auch we die Versorgugsspaug aliegt, ist ei regelmäßiges (typischerweise eiige ms) Refresh des Speicherihaltes erforderlich (Kodesator verliert mit der Zeit

Mehr

AT AB., so bezeichnet man dies als innere Teilung von

AT AB., so bezeichnet man dies als innere Teilung von Teilverhältisse Aus der Geometrie der Dreiecke ket ma die Aussage, dass der Schwerpukt T eies Dreiecks die Seitehalbierede im Verhältis : teilt. Für die Strecke AT ud TM gilt gemäß der Abbildug AT : TM

Mehr

Stichproben im Rechnungswesen, Stichprobeninventur

Stichproben im Rechnungswesen, Stichprobeninventur Stichprobe im Rechugswese, Stichprobeivetur Prof Dr Iree Rößler ud Prof Dr Albrecht Ugerer Duale Hochschule Bade-Württemberg Maheim Im eifachste Fall des Dollar-Uit oder Moetary-Uit Samplig (DUS oder MUS-

Mehr

Finanzmathematische Formeln und Tabellen

Finanzmathematische Formeln und Tabellen Jui 2008 Dipl.-Betriebswirt Riccardo Fischer Fiazmathematische Formel ud Tabelle Arbeitshilfe für Ausbildug, Studium ud Prüfug im Fach Fiaz- ud Ivestitiosrechug Dieses Werk, eischließlich aller seier Teile,

Mehr

Kapitel 6: Quadratisches Wachstum

Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Dr. Dakwart Vogel Ui Esse WS 009/10 1 Drei Beispiele Beispiel 1 Bremsweg eies PKW Bremsweg Auto.xls Ui Esse WS 009/10 Für user Modell des Bremsweges gilt a = a + d a =

Mehr

Grundlagen der Elektrotechnik

Grundlagen der Elektrotechnik Grudlage der Elektrotechik: Kapitel Grudlage der Elektrotechik Kapitel : Gleichstromtechik Gleichstromtechik.1 Elektrischer Grudstromkreis.1.1 eiheschaltug vo Widerstäde 5.1. Spaugsteiler 5.1.3 eiheschaltug

Mehr

2 Amplitudenmodulation

2 Amplitudenmodulation R - ING Übertraggstechik MOD - 16 Aplitdeodlatio Der isträger bietet drei igalparaeter, die wir beeiflsse köe. Etspreched terscheide wir Aplitdeodlatio für die beeiflsste Aplitde, Freqezodlatio d Phaseodlatio

Mehr

2. Diophantische Gleichungen

2. Diophantische Gleichungen 2. Diophatische Gleichuge [Teschl05, S. 91f] 2.1. Was ist eie diophatische Gleichug ud wozu braucht ma sie? Def D2-1: Eie diophatische Gleichug ist eie Polyomfuktio i x,y,z,, bei der als Lösuge ur gaze

Mehr

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man:

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man: Gleichmäßige Kovergez Wir betrachte im Folgede Abbilduge f : M N, wobei M eie Mege ud N ei metrischer Raum ist. Isbesodere iteressiere ud Folge f vo solche Abbilduge. Eie solche Folge bestimmt für jedes

Mehr

Formelsammlung für Elektrische Messtechnik

Formelsammlung für Elektrische Messtechnik Formelsammlg ür lektrische Messtechik Ihaltsverzeichis: Thema Bereiche Seite SI-iheitesystem - Fehler Absolter Fehler -3 elativer Fehler -3 Geaigkeitsklasse Uterteilg Fei- d Betriebsmessger. -3 mpidlichkeit

Mehr

A/D UND D/A WANDLER. 1. Einleitung

A/D UND D/A WANDLER. 1. Einleitung A/D UND D/A WANDLER. Eileitug Zur Umwadlug physikalischer Größe, beispielsweise i eie Spaug, werde Wadlerbausteie - auch allgemei Sigalumsetzer geat- beötigt. Ei Sesor liefert ei aaloges Sigal, das i geeigeter

Mehr

4. Reihen Definitionen

4. Reihen Definitionen 4. Reihe 4.1. Defiitioe Addiere wir die Glieder eier reelle Zahlefolge (a k ), so heißt diese Summe S (uedliche) (Zahle-) Reihe S (Folge: Fuktio über N; Reihe: 1 Zahl): S := a 1 + a 2 + a 3 +... := Σ a

Mehr

AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2. Datenfluß und Programmablauf 2. Vorbedingung 3. Nachbedingung 3. Schleifeninvariante 3

AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2. Datenfluß und Programmablauf 2. Vorbedingung 3. Nachbedingung 3. Schleifeninvariante 3 INHALTSVERZEICHNIS AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2 Datefluß ud Programmablauf 2 Vorbedigug 3 Nachbedigug 3 Schleifeivariate 3 KONSTRUKTION 4 ALTERNATIVE ENTWURFSMÖGLICHKEITEN 5 EFFEKTIVE

Mehr

Lichtquellen Körper die selbst Licht erzeugen, nennt man Lichtquellen. Die meisten Lichtquellen sind glühende Körper mit hoher Temperatur.

Lichtquellen Körper die selbst Licht erzeugen, nennt man Lichtquellen. Die meisten Lichtquellen sind glühende Körper mit hoher Temperatur. PS - OPTIK P. Redulić 2007 LICHT STRAHLENOPTIK LICHT. Lichtquelle ud beleuchtete Körper Sichtbare Körper sede teilweise Licht aus, teilweise reflektiere sie aber auch das auf sie fallede Licht. Lichtquelle

Mehr

FormelnfürdieAnzahlmöglicherQuadrateaufn*nSpielfeldern

FormelnfürdieAnzahlmöglicherQuadrateaufn*nSpielfeldern Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 1 FormelfürdieAzahlmöglicherQuadrateauf*Spielfelder Mit Erläuteruge zur Ableitug der Formel vo Dr. Volker Bagert Berli, 11.03.010 Ihaltsverzeichis

Mehr

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Uiversität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übuge Aufgabe zu Kapitel 1 (aus: K. Hefft Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergäzuge) Aufgabe 1.1: SI-Eiheite: a)

Mehr

3. Schaltnetze und ihre technische Realisierung

3. Schaltnetze und ihre technische Realisierung 3. Schaltetze ud ihre techische Realisierug Source Gate Drai p Substrat Gatter Schaltetze Halbleitertechik Diode Trasistore Herstellugsprozeß Trasistorschaltuge 96 Elemetare Gatter Für die boolesche Operatioe,

Mehr

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung 6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez

Mehr

Motordaten und Betriebsbereiche. von DC Motoren. DC-Motor als Energiewandler

Motordaten und Betriebsbereiche. von DC Motoren. DC-Motor als Energiewandler 2, maxo otordate ud Betriebsbereiche otordate ud Betriebsbereiche vo DC otore otorverhalte: Keliie, Strom otordate ud Betriebsbereiche 2010 maxo motor ag, Sachsel, Schweiz DC-otor als Eergiewadler Elektrische

Mehr

Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie

Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie Aalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Mootoie Datei Nr. 40051 Friedrich Buckel Juli 005 Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt 1 Eiführugsbeispiele 1 Mootoie bei arithmetische Folge Defiitioe 3 3 Welche Beweistechik

Mehr

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik Studiegag Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistug Studieleistug Klausur-Kz. BW-WMT-S1 040508 Datum 08.05.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich: Verwede

Mehr

BINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008

BINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008 Stochasti ud ihre Didati Refereti: Iris Wiler 10.11.2008 Aufgabe: Führe Sie i der Seudarstufe II die Biomialoeffiziete als ombiatorisches Azahlproblem ei. Erarbeite Sie mit de Schülerie ud Schüler mithilfe

Mehr

Beschreibende Statistik Kenngrößen in der Übersicht (Ac)

Beschreibende Statistik Kenngrößen in der Übersicht (Ac) Beschreibede Statistik Kegröße i der Übersicht (Ac) Im folgede wird die Berechugsweise des TI 83 (sowie vo SPSS, s. ute) verwedet. Diese geht auf eie Festlegug vo Moore ud McCabe (00) zurück. I der Literatur

Mehr

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen:

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen: 61 6.2 Grudlage der mathematische Statistik 6.2.1 Eiführug i die mathematische Statistik I der mathematische Statistik behadel wir Masseerscheiuge. Wir habe es deshalb im Regelfall mit eier große Zahl

Mehr

Michael Buhlmann Mathematik > Analysis > Newtonverfahren

Michael Buhlmann Mathematik > Analysis > Newtonverfahren Michael Buhlma Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre Eie Abbildug {a }: N -> R, die jeder atürliche Zahl eie reelle Zahl a zuordet, heißt (uedliche (Zahle- Folge: -> a oder {a } εn, a das -te Folgeglied.

Mehr

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Versuch 3/ NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Die Oberfläche vo Lise hat im allgemeie Kugelgestalt. Zur Messug des Krümmugsradius diet das Sphärometer. Bei sehr flacher Krümmug

Mehr

Umrechnung einer tatsächlichen Häufigkeitsverteilung in eine prozentuale Häufigkeitsverteilung

Umrechnung einer tatsächlichen Häufigkeitsverteilung in eine prozentuale Häufigkeitsverteilung .3. Prozetuale Häufigkeitsverteilug (HV) Die prozetuale Häufigkeitsverteilug erlaubt de Vergleich vo Auswertuge, dee uterschiedliche Stichprobegröße zugrude liege. Es köe auch uterschiedliche Stichprobegröße

Mehr

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK Physikalische Prozesse, die eier statistische Gesetzmäßigkeit uterworfe sid, lasse sich mit eier Verteilugsfuktio beschreibe. Die Gauß-Verteilug

Mehr

Factoring. Alternative zur Bankfinanzierung?

Factoring. Alternative zur Bankfinanzierung? Factorig Alterative zur Bakfiazierug? Beschreibug Factorig Im Factorigverfahre schließ e Uterehme ud Factor eie Vertrag, auf desse Grudlage alle kü ftige Forderuge des Uterehmes laufed gekauft werde. Zuvor

Mehr

425 Polarisationszustand des Lichtes

425 Polarisationszustand des Lichtes 45 Polarisatioszustad des Lichtes. Aufgabe. Bestimme Sie de Polarisatiosgrad vo Licht ach Durchgag durch eie Glasplattesatz, ud stelle Sie de Zusammehag zwische Polarisatiosgrad ud Azahl der Glasplatte

Mehr

15.4 Diskrete Zufallsvariablen

15.4 Diskrete Zufallsvariablen .4 Diskrete Zufallsvariable Vo besoderem Iteresse sid Zufallsexperimete, bei dee die Ergebismege aus reelle Zahle besteht bzw. jedem Elemetarereigis eie reelle Zahl zugeordet werde ka. Solche Zufallsexperimet

Mehr

b) Der eintretende und der austretende Lichtstrahl sind parallel. Es tritt keine Verzerrung auf.

b) Der eintretende und der austretende Lichtstrahl sind parallel. Es tritt keine Verzerrung auf. Physik awede ud verstehe: Lösuge 5. Brechug ud Totalreflexio 004 Orell Füssli Verlag AG 5. Brechug ud Totalreflexio Beim Übergag i ei Medium gilt obige Aussage icht mehr. Würde das Licht die kürzeste Strecke

Mehr

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren 6a Das Bode Diagramm. Frequezkeliieverfahre Ahag zum Kapitel Das Bode Diagramm. Frequezkeliieverfahre. Darstellug i Reihe geschalteter Glieder im Bode-Diagramm..a Kostruktio des Amplitudegages mittels

Mehr

EU setzt auf grüne Ventilatoren

EU setzt auf grüne Ventilatoren ErP-Richtliie fordert hohe Wirkugsgrade: EU setzt auf grüe Vetilatore gettyimages/steve Che 9 ErP-Richtliie fordert hohe Wirkugsgrade: EU setzt auf grüe Vetilatore Vetilatore i GreeTech EC-Techologie übertreffe

Mehr

6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $

6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $ Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum

Mehr

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung)

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung) 3 Die Außefiazierug durch Fremdkapital (Kreditfiazierug) 3.1 Die Charakteristika ud Forme der Kreditfiazierug Aufgabe 3.1: Idealtypische Eigeschafte vo Eige- ud Fremdkapital Stelle Sie die idealtypische

Mehr

Mikroelektronik. Mikroelektronik

Mikroelektronik. Mikroelektronik Mikroelektroik Dr.Ig. habil. Raier Kraus Istitut für Elektroik Fakultät für Elektrotechik ud Iformatiostechik Uiversität der Budeswehr Müche Mikroelektroik Raier Kraus Ihalt 1. Grudlage 2. MOSFET Halbleiter

Mehr

und wird als n-dimensionaler (reeller) Vektorraum bezeichnet. heißt der von v 1,..., v k aufgespannte Unterraum des R n.

und wird als n-dimensionaler (reeller) Vektorraum bezeichnet. heißt der von v 1,..., v k aufgespannte Unterraum des R n. Reeller Vektorraum Kapitel Vektorräume Die Mege aller Vektore x mit Kompoete bezeiche wir mit x R =. : x i R, i x ud wird als -dimesioaler (reeller) Vektorraum bezeichet. Defiitio Ei Vektorraum V ist eie

Mehr

Mathematik Funktionen Grundwissen und Übungen

Mathematik Funktionen Grundwissen und Übungen Mathematik Fuktioe Grudwisse ud Übuge Potezfuktio Hyperbel Epoetialfuktio Umkehrfuktio Stefa Gärter 004 Gr Mathematik Fuktioe Seite Grudwisse Potezfuktio Defiitio Durch die Zuordugsvorschrift f: Æ mit

Mehr

2 MOS-Transistortheorie

2 MOS-Transistortheorie 2.1 Halbleitereigeschafte Seite 1 2 MOS-Trasistortheorie I eier itegrierte Schaltug sid wizige Schaltugselemete i eiem Chi aus Si-Halbleitermaterial utergebracht ud verbude. Zum Verstädis der IC-Techologie,

Mehr

Wörterbuchmethoden und Lempel-Ziv-Codierung

Wörterbuchmethoden und Lempel-Ziv-Codierung Kapitel 3 Wörterbuchmethode ud Lempel-Ziv-Codierug I diesem Abschitt lere wir allgemei Wörterbuchmethode zur Kompressio ud isbesodere die Lempel-Ziv (LZ))-Codierug kee. Wörterbuchmethode sid ei eifaches

Mehr

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a)

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a) Quatisierug eies skalare Feldes Das Ziel ist eigetlich das elektromagetische Feld zu quatisiere, aber wie ma scho a de MAXWELLsche Gleichuge sehe ka, ist es zu kompliziert, um damit zu begie. Außerdem

Mehr

Strukturbildung und Simulation technischer Systeme

Strukturbildung und Simulation technischer Systeme Leseprobe aus Kapitel 1 Vo der Realität zur Simulatio des Buchs Strukturbildug ud Simulatio techischer Systeme Weitere Iformatioe zum Buch fide Sie uter strukturbildug-simulatio.de Zu Kapitel 1 Eiführug

Mehr

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit

Mehr

Das FSB Geldkonto. Einfache Abwicklung und attraktive Verzinsung. +++ Verzinsung aktuell bis zu 3,7% p.a. +++

Das FSB Geldkonto. Einfache Abwicklung und attraktive Verzinsung. +++ Verzinsung aktuell bis zu 3,7% p.a. +++ Das FSB Geldkoto Eifache Abwicklug ud attraktive Verzisug +++ Verzisug aktuell bis zu 3,7% p.a. +++ zuverlässig servicestark bequem Kompeteter Parter für Ihr Wertpapiergeschäft Die FodsServiceBak zählt

Mehr

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik Dr Christoph Luchsiger Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Repetitio WT Herausgabe des Übugsblattes: Woche 9, Abgabe der Lösuge: Woche 1 (bis Freitag, 1615 Uhr), Rückgabe ud Besprechug: Woche

Mehr

Versicherungstechnik

Versicherungstechnik Operatios Research ud Wirtschaftsiformati Prof. Dr. P. Recht // Dipl.-Math. Rolf Wedt DOOR Versicherugstechi Übugsblatt 3 Abgabe bis zum Diestag, dem 03..205 um 0 Uhr im Kaste 9 Lösugsvorschlag: Vorbereituge

Mehr

Kryptologie: Kryptographie und Kryptoanalyse Kryptologie ist die Wissenschaft, die sich mit dem Ver- und Entschlüsseln von Informationen befasst.

Kryptologie: Kryptographie und Kryptoanalyse Kryptologie ist die Wissenschaft, die sich mit dem Ver- und Entschlüsseln von Informationen befasst. Krytologie: Krytograhie ud Krytoaalyse Krytologie ist die Wisseschaft, die sich mit dem Ver- ud Etschlüssel vo Iformatioe befasst. Beisiel Iteretkommuikatio: Versiegel (Itegrität der Nachricht) Sigiere

Mehr

Mathematik der Lebensversicherung. Dr. Karsten Kroll GeneralCologne Re

Mathematik der Lebensversicherung. Dr. Karsten Kroll GeneralCologne Re atheatik der Lebesersicherug r. Karste Kroll GeeralCologe Re atheatik der Lebesersicherug atheatische Grudasätze iskotiuierliche ethode: Sätliche Leistuge erfolge zu bestite Zeitpukte ie Zeititeralle dazwische

Mehr

Eigenschaften von Texten

Eigenschaften von Texten Worthäufigkeite Eigeschafte vo Texte Eiige Wörter sid sehr gebräuchlich. 2 der häufigste Wörter (z.b. the, of ) köe ca. 0 % der Wortvorkomme ausmache. Die meiste Wörter sid sehr selte. Die Hälfte der Wörter

Mehr

Analysis II für M, LaG und Ph, WS07/08 Übung 2, Lösungsskizze

Analysis II für M, LaG und Ph, WS07/08 Übung 2, Lösungsskizze Gruppeübug Aalysis II für M, LaG ud Ph, WS7/8 Übug, Lösugsskizze G 4 (Zum warm werde). Begrüde die vo Physiker beliebte Näheruge si(x) x, cos(x) ud ta(x) x für kleie x R. Dies folgt direkt aus der Tayloretwicklug

Mehr

= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel:

= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel: E Tilgugsrechug.. Jährliche Raeilgug Ausgagspuk: Bei Raeilgug wird die chuldsumme (Newer des Kredis [Aleihe, Hypohek, Darleh]) i gleiche Teilberäge T geilg. Die Tilgugsrae läss sich ermiel als: T =.. Jährliche

Mehr

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen Vorkurs Mathematik ür Iormatiker -- 8 Folge -- 11.10.2015 1 Folge: Deiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reiheolge wichtig,

Mehr

Gliederung. Value-at-Risk

Gliederung. Value-at-Risk Value-at-Risk Dr. Richard Herra Nürberg, 4. Noveber 26 IVS-Foru Gliederug Modell Beispiel aus der betriebliche Altersversorgug Verteilug des Gesatschades Value-at-Risk ud Tail Value-at-Risk Risikobeurteilug

Mehr

Protokoll zum Anfängerpraktikum

Protokoll zum Anfängerpraktikum Protokoll zum Afägerpraktikum Polarisatio vo Licht Gruppe, Team 5 Sebastia Korff Frerich Max 0.07.06 Ihaltsverzeichis. Eileitug -3-. Polarisatio -3-. Dichroismus -4-.3 BREWSTER Wikel -5-.4 Der FARADAY

Mehr

Normierte Vektorräume

Normierte Vektorräume Normierte Vektorräume Wir betrachte im Folgede ur Vektorräume über R 1. Sei also V ei Vektorraum. Wir möchte Metrike auf V betrachte, die im folgede Sie mit der Vektorraumstruktur verträglich sid:, y,

Mehr

Integrationsseminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2002/2003

Integrationsseminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2002/2003 Credit Risk+ Itegratiossemiar zur BBL ud BWL Witersemester 2002/2003 Oksaa Obukhova lia Sirsikova Credit Risk+ 1 Ihalt. Eiführug i die Thematik B. Ökoomische Grudlage I. Ziele II. wedugsmöglichkeite 1.

Mehr

Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik. 1 Lineare Abbildungen und Matrizen. 1.1 Um was geht es?

Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik. 1 Lineare Abbildungen und Matrizen. 1.1 Um was geht es? Uiversität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof Dr C Hesse PD Dr P H Lesky Dipl Math D Zimmerma Msc J Köller FAQ 4 Höhere Mathematik 724 el, kyb, mecha, phys Lieare Abbilduge ud Matrize Um was geht es?

Mehr

Übungen mit dem Applet Taylor-Entwickung von Funktionen

Übungen mit dem Applet Taylor-Entwickung von Funktionen Taylor-Etwickug vo Fuktioe Übuge mit dem Applet Taylor-Etwickug vo Fuktioe Ziele des Applets... Mathematischer Hitergrud... 3 Vorschläge für Übuge... 3 3. Siusfuktio si(...3 3. Cosiusfuktio cos(...4 3.3

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004) Aufgabe 7. Ubeschräktes

Mehr

5.3 Wachstum von Folgen

5.3 Wachstum von Folgen 53 Wachstum vo Folge I diesem Abschitt betrachte wir (rekursiv oder aders defiierte) Folge {a } = ud wolle vergleiche, wie schell sie awachse, we wächst Wir orietiere us dabei a W Hochstättler: Algorithmische

Mehr

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle Kapitel 6: Statistische Qualitätskotrolle 6. Allgemeies Für die Qualitätskotrolle i eiem Uterehme (produzieredes Gewerbe, Diestleistugsuterehme, ) gibt es verschiedee Möglichkeite. Statistische Prozesskotrolle

Mehr

Elektronikpraktikum: Digitaltechnik 2

Elektronikpraktikum: Digitaltechnik 2 Elektroikpraktikum: Digitaltechik 2 Datum, Ort: 16.05.2003, PHY/D-213 Betreuer: Schwierz Praktikate: Teshi C. Hara, Joas Posselt (beide 02/2/PHY/02) Gruppe: 8 Ziele Aufbau eier 3-Bit-Dekodierschaltug;

Mehr

elektr. und magnet. Feld A 7 (1)

elektr. und magnet. Feld A 7 (1) FachHochschule Lausitz Physikalisches Praktikum α- ud β-strahlug im elektr. ud maget. Feld A 7 Name: Matrikel: Datum: Ziel des Versuches Das Verhalte vo α- ud β-strahlug im elektrische ud magetische Feld

Mehr

Übungen mit dem Applet Fourier-Reihen

Übungen mit dem Applet Fourier-Reihen Fourier-Reihe 1 Übuge mit dem Applet Fourier-Reihe 1 Mathematischer Hitergrud... Übuge mit dem Applet... 3.1 Eifluss der Azahl ud der Sprugstelle...3. Eifluss vo y-verschiebug ud Amplitude...4.3 Eifluss

Mehr

Der natürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtungen zum uniaxialen Zugversuch am Beispiel von Furnier

Der natürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtungen zum uniaxialen Zugversuch am Beispiel von Furnier Der atürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtuge zum uiaxiale Zugversuch am Beispiel vo Furier B. Bellair, A. Dietzel, M. Zimmerma, Prof. Dr.-Ig. H. Raßbach Zusammefassug FH Schmalkalde, 98574 Schmalkalde,

Mehr

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $ Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,

Mehr

10 Aussagen mit Quantoren und

10 Aussagen mit Quantoren und 0 Aussage mit Quatore ud 0.6. Eisatz vo (bereits bekater) Eistezaussage Bisher hatte wir Eistezbeweise geführt, idem wir ei passedes Objekt agegebe habe ( Setze... ). Stattdesse ka ma auch auf bereits

Mehr

Ein Alternativsatz über die Disjunktheit punktierter konvexer Kegel

Ein Alternativsatz über die Disjunktheit punktierter konvexer Kegel Ei Alterativsatz über die Disjuktheit puktierter kovexer Kegel Rudolf Pleier ui 2015 Mittels des Treugssatzes vo Eidelheit (beat ach dem polische Mathematiker Meier Eidelheit, 1910 1943), ach dem ei ichtleerer

Mehr

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v Tao De / Pa JiaWei Ihrig/Pflaumer Fiazmathematik Oldeburg Verlag 1999 1..Ei Darlehe vo. DM soll moatlich mit 1% verzist ud i Jahre durch kostate Auitäte getilgt werde. Wie hoch sid a) die Moatsrate? b)

Mehr

$Id: komplex.tex,v /04/13 15:09:53 hk Exp $

$Id: komplex.tex,v /04/13 15:09:53 hk Exp $ Mathematik für Igeieure IV, SS 206 Mittwoch 3.4 $Id: komplex.tex,v.2 206/04/3 5:09:53 hk Exp $ Komplexe Zahle I diesem Kapitel wolle wir erst eimal zusammestelle was aus de vorige Semester über die komplexe

Mehr