Formelsammlung TGM 1 / 42. Formelsammlung Technisches Gymnasium Profil Mechatronik

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1 Formelsammlung TGM / 4 Formelsammlung Technisches Gymnasium Profil Mechatronik Version9.3.5 nhaltsverzeichnis Energietechnik...3 Grundlagen Elektrotechnik...4 adung Q, Strom, Spannung, Arbeit W, eistung P, Widerstand...4 Widerstand...5 eihenschaltung...5 nnenwiderstand i einer Spannungsquelle...6 Parallelschaltung...6 Knoten- und Maschenregel...6 Spannungsteiler...7 Brückenschaltung...7 Dioden und EDs...8 Kondensator...9 Durchflutung... nduktion... Spule... Motor: Ersatzschaltbild und Kennlinien... Motor eistungsbilanz... Transistor und Transistorschaltungen...3 PWM-Signal, Tastgrad...3 Transistor-Brückenschaltung...4 Tiefsetzsteller...4 Hochsetzsteller...4 Operationsverstärker...5 Wechselstrom...8 Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis (Wirkwiderstand )...8 Kapazität im Wechselstromkreis...9 nduktivität im Wechselstromkreis...9 eihenschaltung (Wirkwiderstand) und X (induktiver Blindwiderstand)... Parallelschaltung und X... Parallelschaltung und X... eihenschaltung (Wirkwiderstand) und X (kapazitiver Blindwiderstand)...3 Blindleistungs-Kompensation...4 Siebschaltungen (passive Filter) und -Tiefpässe und -Hochpässe...6 Dreiphasiger Wechselstrom, Drehstrom...7 Betriebswerte von Drehstromasynchronmotoren (DASM)...8 Drehstrom-Asynchronmotor DASM...9 Symbole der Elektrotechnik...3 Symbole der -Fließtechnik...3 Betriebsmittelkennzeichnung nach DN EN (Auszug)...3 Normreihen von Widerständen Steuerungstechnik...33 Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra...33 Variablen mit elementaren Datentypen...34 Schlüsselwörter für die Variablendeklarationen (okaldaten)...34 Bistabile Speicher...34 Flankenauswertung...35 Vergleicher...35 Übertragungsfunktion...35 Zeitgeber...36 Ablaufsprache...37 Schrittketten: Grundregeln...39 odes...39 Formelsammlung_TGM.odt 9. Mrz 5

2 Formelsammlung TGM / 4 4 Mathematische Grundformeln...4 Zehnerpotenzen...4 mrechnungen...4 Flächen- und Volumenberechnungen...4 Winkelfunktionen Physikalische Grundformeln und Einheiten...4 Physikalische Formeln...4 Einheiten...4 Zahlenangaben und Tabellenwerte ohne Gewähr! Danke an Herrn Tritschler für die zu Verfügung gestellte Tabellen der SPS Fehler und Ergänzungswünsche schicken Sie bitte an: bub@ces.karlsruhe.de Formelsammlung_TGM.odt 9. Mrz 5

3 Formelsammlung TGM 3 / 4 Energietechnik. Erster Hauptsatz der Wärmelehre allgemein Q+W = sobarer Prozess Q = m T c P sochorer Prozess Q = m T c V (p = konst.) (V = konst.) sothermer Prozess (T = konst.) Q = W Adiabater Prozess Q = Kreisprozess Q + W =. Wärme im T, s Diagramm q = T s.3 Zustandsänderungen idealer Gase Allgemeine Gasgleichung p V konst. p V m T sobarer Prozess V V T T W i p V sochorer Prozess p p W = T T sothermer Prozess p V p V W V m i T ln V T p m i T ln p Q: ausgetauschte Wärmemenge in J J = Ws = Nm t SKE =,93 J q: ausgetauschte spezifische Wärmemenge in kj/kg W: Arbeit in J w: spezifische Arbeit in kj/kg : nnere Energie T: absolute Temperatur in K (73 K ) c P: spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck kj in kg K c V: spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen kj in kg K q: ausgetauschte spezifische Wärmemenge in kj/kg s: Änderung der spezifischen Entropie in kj kg K p: Druck V: Volumen m: Masse i: kj spezifische Gaskonstante in kg K W : verrichtete Arbeit bei Zustandsänderung von nach : Adiabatenexponent; c P c Gas cp cv i Kohlendioxid,84,66,9 uft,,7,9 Sauerstoff,9,66,6 Stickstoff,4,74,3 V Adiabater Prozess p V konst. T T p p V V W m i T T.4 Thermischer Wirkungsgrad: m i T th V V zu Qab W Q Q m i T nutz zu p p Formelsammlung_TGM.odt 3 9. Mrz 5

4 Formelsammlung TGM 4 / 4 Grundlagen Elektrotechnik adung Q, Strom, Spannung, Arbeit W, eistung P, Widerstand + - Arten von adungen (positiv und negativ) gleichartige adungen stoßen sich ab, ungleichartige ziehen sich an adung ist übertragbar im aum zwischen adungen wirken Kräfte auf adungen, die durch ein elektrisches Feld erklärt werden adung, adungsmenge Q = N e e Elementarladung (kleinstmögliche adung) e entspricht,6 x 9 N Anzahl der adungsträger Stromstärke Spannung = Arbeit beim Transport der adung pro adungsmenge = Q t = dq dt bei Gleichspannung, bei Wechselspannung = W Q Q Q t Q W adung in As = (oulomb) Stromstärke in A (Ampere) adungsmenge in As Zeit in s Spannung in V (Volt) adungsmenge in As Arbeit in Ws Spannung = Potenzialdifferenz = ϕ ϕ φ Potenzial in V bezogen auf Bezugspunkt, (oft Schaltungsmasse) Elektrische Energie, Energiemenge, Arbeit (engl. Work) Elektrische eistung (engl. Power) W = P t P = W t W = Q P = P t eistung in W (Watt) Zeit in s Ws = VAs = J eistung am Widerstand P = P = Widerstand in Ω Widerstand = = Widerstand in Ω Spannung in V Strom in A Für und gilt: = Konstant und sind lineare Widerstände. =Konst Ohm'sches Gesetz Die ampe besitzt einen nichtlinearen Widerstand. Formelsammlung_TGM.odt 4 9. Mrz 5

5 Formelsammlung TGM 5 / 4 Widerstand eitungswiderstand = ϱ l A Material l eiterlänge in m A eiterquerschnitt in mm ϱ Kupfer,78 Stahl,3 Aluminium,8 Gold,44 Kohle 4 spezifischer Widerstand in Spezifischer Widerstand in Ω mm m Ω mm m Temperaturabhängiger Widerstand Δ = α Δ T K W = K + Δ Δ α K W ΔT Widerstandsänderung in Ω Temperaturbeiwert K Kaltwiderstand in Ω Warmwiderstand in Ω Temperaturdifferenz in K eihenschaltung ges = = = 3 ges = + + 3,, 3 Gesamtspannung Teilspannungen Gesamtwiderstand ges,, 3 Einzelwiderstände ges = P ges = P + P + P 3 Durch jeden Widerstand fließt der selbe Strom Grafische Ermittlung der Größen, A = V /, A = Ω, A = V /, A = Ω ges,5 A = V /,5 A = 4 Ω,5 A = V /,5 A = 4 Ω V,35 A = 8,47 V V = 3,53 V Formelsammlung_TGM.odt 5 9. Mrz 5

6 Formelsammlung TGM 6 / 4 nnenwiderstand i einer Spannungsquelle i = i + i aststrom nnenwiderstand der Spannungsquelle Ersatzschaltbild Akku eistungsanpassung: erhält die maximale eistung bei = i Verbraucher eerlauf- Spannung Δ Δ i = Δ Δ = ( ) ( ) k Kurzsschluss- Strom Widerstand des angeschlossenen Verbrauchers Spannung an den Anschluss-Klemmen eerlauf-spannung Spannung der idealen Spannungsquelle i = K Parallelschaltung ges 3 3 ges = = = 3 ges = ges = ges,, 3 ges,, 3 Gesamtstrom Teilströme Gesamtwiderstand Einzelwiderstände P ges = P + P + P 3 An jedem Widerstand liegt dieselbe Spannung Knoten- und Maschenregel Knotenregel Maschenregel = ges Maschen umlauf = Formelsammlung_TGM.odt 6 9. Mrz 5

7 Formelsammlung TGM 7 / 4 Spannungsteiler unbelastet (eihenschaltung) belastet (Gruppenschaltung) ges ges ges = q = + ges = + ges = + astwiderstand Ersatzwiderstand für und Brückenschaltung ges AB wenn: AB = (Abgleich) ges A B 34 AB Formelsammlung_TGM.odt 7 9. Mrz 5

8 Formelsammlung TGM 8 / 4 Dioden und EDs Anode Diode Kathode Merkregel: Kathode = Kennzeichnung Stromfluss in Durchlassrichtung Anode ED Kathode Merkregel: Kathode = Kurzes Bein = Kante Kathode in ma Kennlinien Diode und EDs Silizium-Diode ED, grün ED, w eiß ED, rot ED, blau 4,,5,,5,,5 3, 3,5 in V Arbeitspunkt und Arbeitsgerade G in ma 8 6 Arbeitspunkt und Arbeitsgerade G G 4 8 AP ED, rot Widerstandsgerade ineare egression für Widerstandsgerade D 6 4 f(x) = -3,7x + 5,36 = Δ Δ,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, in V (Kehrwert des Betrags der Steigung der Arbeitsgeraden) vergl. eihenschaltung Formelsammlung_TGM.odt 8 9. Mrz 5

9 Formelsammlung TGM 9 / 4 Kondensator d +Q E -Q E d eihenschaltung von Kondensatoren = Q = ϵ ϵ r A d d Q ε Plattenabstand in m Kapazität in F (Farad) = As/V adungsmenge in As = b (oulomb) Spannung in V Feldkonstante ϵ =,885 A Plattenfläche in m² ε r Dielektrizitätskonstante ε r (uft) ε r (dest. Wasser) 8 ε r (solation nterwasserkabel),4 Parallelschaltung von Kondensatoren As Vm Auf- und Entladung uc(t) in V, i(t) in ma Aufladevorgang Kondensator =kω, =µf, τ=*=ms u (t) i(t) (t) = ( e t τ ) (t) = e t τ V K G µf V + c u(t) in V i(t) in ma Zeit in ms τ = = Δ Δ t τ uc(t) in V, i(t) in ma Zeitkonstante in s Widerstand in Ω Kapazität in F Entladevorgang Kondensator u (t) i(t) =kω, =µf, τ=*=ms (t) = e t τ u(t) in V i(t) in ma Zeit in ms (t) = e t τ (t) = e t τ Formelsammlung_TGM.odt 9 9. Mrz 5

10 Formelsammlung TGM / 4 Durchflutung Ein elektrischer Strom erzeugt ein Magnetfeld dessen Feldlinien ringförmig um den eiter verlaufen. echte Handregel: Daumen zeigt in Stromrichtung Finger zeigen im Magnetfeldrichtung Kreuz: Strom fließt nach hinten (Merkregel: Pfeilende) Punkt: Strom fließt nach vorne (Merkregel: Pfeilspitze) Strom Magnetfeld Kompass eitung Kraft auf rsache Strom (Daumen nach hinten) stromdurchflossenen eiter Vermittlung Magnetfeld (Zeigefinger nach unten) im Magnetfeld Wirkung Kraft (Mittelfinger nach links) N Wirkung Kraft rsache Strom Kraft F Vermittlung Magnetfeld Strom S Flussdichte B magnetische Flussdichte in Vs/m² = T B= Φ A Φ magentischer Fluss in Vs A Querschnittsfläche in m² B nduktion A=m² Magnetfeld B ändert sich t induziert =N Δ Φ Δ t mit Φ = B A klein Drehung Magnetfeld B ändert sich gross vom Magnetfeld durchströmte Fläche A ändert sich N S t durchstömte Fläche A ändert sich N S induziert induzierte Spannung in V N Windungszahl ΔΦ Flussänderung in Vs Δt Zeitdauer der Flussänderung in s Selbstinduktion ind = İ = Δ Δ t Δ Δt İ Stromänderung in A Zeitdauer der Stromänderung in s Stromänderung in A/s Formelsammlung_TGM.odt 9. Mrz 5

11 Formelsammlung TGM / 4 Spule + _ A r N l A μ nduktivität in H = V s A (Henry) vom Feld durchsetzte Fläche (Querschnitt) Feldkonstante des magnetischen Feldes Vs Am =,57 6 r = Permeabilitätszahl r Eisen... 6 r Elektroblech eihenschaltung von Spulen Parallelschaltung von Spulen Spule an echtechspannung S S Spule max 63%max S geschlossen = = spule + ~ S geschlossen = spule + spule = - G 37%max -37%max τ Spule τ ~ Spule t Zeitkonstante τ = Einschalten Ausschalten (t) = max ( e t τ ) (t) = max e t τ Selbstinduktion = Δ Δ t = İ (t) = max ( e t τ ) (t) = start e t τ Spule (t) = max e t τ Spule (t) = max e t τ mpulszeit ti << τ in V echt eingeschwungener Zustand! ms +4µs +8µs +µs t Formelsammlung_TGM.odt 9. Mrz 5

12 Formelsammlung TGM / 4 Motor: Ersatzschaltbild und Kennlinien Anker Anker Anker induziert ~ n induziert n = konst Anker = + induziert Anker Anker Anker Spannung am Motoranker Stromaufnahme des Motors in A Ankerwiderstand in Ω n Drehzahl des Motors in /s induziert im Motor induzierte Spannung in V Drehzahl n Strom M ab Anker = konst n in /s 4 n 3 3 < Drehm om ent M ab M in Nm Drehmoment r M F Mechanische eistung M = F r P mech = Δ W Δ t = F v P mech = ω M = π n M M F r P mech ΔW Drehmoment in Nm Kraft in N adius in m Mechanische eistung in W = Nm/s Arbeit in Nm ω Winkelgeschwindigkeit in /s n Drehzahl in /s v Geschwindigkeit in m/s mit F in Bewegungsrichtung Motor eistungsbilanz zugeführte eistung P zu = P elekt Anker * Anker Wärmeverluste P verlust = * Anker P verlust = ² Anker * Anker Mechanische eistung P mech ω * M mech vom Motor abgegebene eistung P ab = ω * M ab Mechanische Verluste (ager, Bürsten,...), hervorgerufen durch eibungsmoment M eib M mech = M reib + M ab wenn M reib << M mech dann: M mech M ab und P mech P ab Anker Anker P Verlust P elekt Anker induziert ~ n P mech Formelsammlung_TGM.odt 9. Mrz 5

13 Formelsammlung TGM 3 / 4 Transistor und Transistorschaltungen Transistor-Art und -Bezeichnungen Schaltzeichen Schaltungsbeispiel Bipolar-Transistor B Basis E Emitter Kollektor B B B Steuer +V M Motor = Batt Basisstrom B steuert Kollektorstrom wird gesteuert E Steuer E Feldeffekt-Transistor, hier MOSFET G Gate D Drain S Source Gate-Source-Spannung GS steuert Drainstrom D wird gesteuert G GS D S D +V M Motor = D G DS Steuer GS Batt GBT (insulated-gate bipolar transistor) G Gate E Emitter Kollektor Gate-Emitter-Spannung GE steuert Drainstrom D wird gesteuert G E G Steuer +4V M = Motor E Batt Schaltzustände beim Transistor Transistor sperrt (wie Schalter offen) Transistor leitet (wie Schalter geschlossen) +V +V M Motor =A motor V M V M Motor =A motor,8v M V B Steuer =V GS V batt V V V B Steuer =5V GS,V batt V V V PWM-Signal, Tastgrad T t i t P f Periodendauer mpulszeit Pausenzeit Frequenz f = T Tastgrad = t i T = Mittelwert Maximalwert Tastgrad = t i T ( = Effektivwert Maximalwert) t p T t i Flächen gleich gross T Maximalwert Mittelwert V Formelsammlung_TGM.odt 3 9. Mrz 5

14 Formelsammlung TGM 4 / 4 Transistor-Brückenschaltung Versorgung T T3 Versorgung T T3 T M T4 T M T4 V V Tiefsetzsteller T Spule = ~ ~ Spule = Spule t T Spule ein ein PWM aus Mittelwert = aus Eingangs- Gleichspannung Ausgang- Gleichspannung = ein t Mittelwert = aus ti = T t Hochsetzsteller Spule + ein T aus - PWM T Formelsammlung_TGM.odt 4 9. Mrz 5

15 Formelsammlung TGM 5 / 4 Operationsverstärker Spannungsversorgung des Operationsverstärkers + G - b +b Für Abituraufgaben im TG Mechatronik gilt: n allen dargestellten Schaltungen besitzt der Operationsverstärker die links abgebildete symmetrische Spannungsversorgung mit +/-b + G b b nicht invertierender Komparator e +b a Komparator: Vergleicher mit einer Schaltschwelle Schaltschwelle wird mit dem Spannungsteiler, eingestellt. invertierender Komparator: Eingänge + und - vertauschen -b invertierender Verstärker e + + a v u = a e = Spannungsverstärkungsfaktor Formelsammlung_TGM.odt 5 9. Mrz 5

16 Formelsammlung TGM 6 / 4 nicht invertierender Verstärker + e + v u = a e = + Spannungsverstärkungsfaktor invertierender Summierverstärker e e + + a a = ( e + e) nicht invertierender Schwellwertschalter mit Hysterese (Schmitt-Trigger) e + + a e Kipp = a max Formelsammlung_TGM.odt 6 9. Mrz 5

17 Formelsammlung TGM 7 / 4 Differenzverstärker + + a = (e e) e e a echteckgenerator + + a f = ln ( + ) Formelsammlung_TGM.odt 7 9. Mrz 5

18 Formelsammlung TGM 8 / 4 Wechselstrom Spitze eff Periodendauer T Amplitude = Spitzenwert Effektivwert t Periodendauer T T = ms bei f = 5Hz Frequenz Periodendauer f = T f Frequenz in Hz = s T Periodendauer in s Effektivwert bei sinusförmigen Wechselgrößen eff = Spitze eff = Spitze eff Spitze eff Spitze Effektivwert der Wechselspannung in V Spitzenwert der Wechselspannung in V Effektivwert des Wechselstroms in A Spitzenwert des Wechselstroms in A Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis (Wirkwiderstand ) A Strom und Spannung sind in Phase (gemeinsame Nulldurchgänge). i(t) Zeiger V u(t) u(t) in V i(t) in A p(t) in W u(t), i(t), p(t) am Wirkwiderstand û=v, =4Ω, f=5hz 5 p(t) u(t) = û sin(ω t) = û sin( π f t) i(t) = u(t ) = û sin( π f t ) u(t) i(t) Zeit in ms Formelsammlung_TGM.odt 8 9. Mrz 5

19 Formelsammlung TGM 9 / 4 Kapazität im Wechselstromkreis X X kapazitiver Blindwiders tan d f u, i,5 -,5 iniendiagramm u i u i A i(t) π π φ V u(t) Strom und Spannung sind phasenverschoben (der Strom verläuft 9 voreilend ). Zeiger (Effektivwerte): u(t) uˆ sin(f t ) û i(t) sin(f t ) X nduktivität im Wechselstromkreis X nduktiver Blindwiderstand X f u, i,5 iniendiagramm i A i(t) -,5 u u i - V u(t) π Strom und Spannung sind phasenverschoben (der Strom verläuft 9 nacheilend ). π φ Zeiger (Effektivwerte): u(t) uˆ sin(f t ) û i(t) sin(f t ) X Formelsammlung_TGM.odt 9 9. Mrz 5

20 Formelsammlung TGM / 4 eihenschaltung (Wirkwiderstand) und X (induktiver Blindwiderstand) X nduktiver Blindwiderstand [X ] X = f Z Scheinwiderstand [Z] = W Gesamtspannung Strom Spannungsdreieck cos sin X Widerstandsdreieck Z= X = Z X Z cos = Z X Z X X Z sin Z = Normierung mit (ähnliches Dreieck) cos Wirkleistungsfaktor eistungsdreieck S P Q P S cos S= P= Q= Normierung mit / (ähnliches Dreieck) S P Q S P Q Q S sin S S Scheinleistung [S] = V A P Wirkleistung [P] = W Q Blindleistung [Q] = var Formelsammlung_TGM.odt 9. Mrz 5

21 Formelsammlung TGM / 4 Parallelschaltung und X Z nduktivität Spulenstrom (Blindstrom) Wirkstrom Gesamtstrom Gesamtspannung Scheinwiderstand Zeigerdiagramm der Ströme = + = + = cos ϕ = sinϕ = + = = X eitwertsdreieck = = Z = X Z = + X Z = + X Z = + X eitwert = Widerstand Z = Normierung mit / (ähnliches Dreieck) cos ϕ = Z sin ϕ = Z X eistungsdreieck P= S = P + Q S = P + Q P = S cos ϕ Q = S sinϕ S= Q= S = P + Q S = Formelsammlung_TGM.odt 9. Mrz 5

22 Formelsammlung TGM / 4 Parallelschaltung und X Kapazität Kondensatorstrom (Blindstrom) Wirkstrom Gesamtstrom Gesamtspannung Zeigerdiagramm der Ströme = + = cos ϕ = + = + = sin ϕ = = X = Z = = X Z = + X Z = + X Z = + X Z = X = Z sin ϕ = Z cos ϕ S = P + Q P = S cos ϕ S= Q = S = P + Q S = P + Q Q = S sinϕ S = P= Formelsammlung_TGM.odt 9. Mrz 5

23 Formelsammlung TGM 3 / 4 eihenschaltung (Wirkwiderstand) und X (kapazitiver Blindwiderstand) X Kapazitiver Blindwiderstand [X ] = W X = f Spannungsdreieck cos sin X Widerstandsdreieck = Z X Z cos Z= X = Z X Z X X Z sin Z = eistungsdreieck S= P= Q= S P Q S P Q S P Q P S cos Q S sin S Formelsammlung_TGM.odt 3 9. Mrz 5

24 Formelsammlung TGM 4 / 4 Blindleistungs-Kompensation Q ges c S Q ges=c P S = P +(Q Q ) wobei (P=P+P+...), (Q=Q+Q+...), (Q=Q+Q+...) Vollständige Kompensation Teilweise Kompensation Q = Q S = P cosφ= Z =. ges ges φ ges ges Wirkleistung Blindleistung Scheinleistung P= Q = Q = S= ges ges S = P + Q cos(ϕ) = P S =.. induktiv /kapazitiv S in VA Q in var φ P in W P Wirkleistung in W, Spannung und Strom am Widerstand Q, Q Blindleistungen in var, Spannung und Strom am Kondensator, Spannung und Strom an der Spule S Scheinleistung in VA ges, gesgesamtspannung und Gesamtstrom an einer Schaltung aus,, cos(φ) eistungsfaktor, Verschiebungsfaktor φ Phasenverschiebungswinkel zwischen ges und ges φ Winkel zwischen S und P Formelsammlung_TGM.odt 4 9. Mrz 5

25 Formelsammlung TGM 5 / 4 Siebschaltungen (passive Filter) Grenzfrequenz: Tiefpass a/e Die Grenze zwischen Durchlass- und Sperrbereich ist durch die Grenzfrequenz festgelegt. bei f f gilt : a g e a,77 e bzw. X bzw. X P Pe e a,fg fg Durchlassbereich fg Sperrbereich f Amplitudengang Hochpass a/e Die Ausgangsspannung a ist in Abhängigkeit von der Frequenz stets kleiner (oder gleich) der Eingangsspannung e. Das Verhältnis a/e wird als Amplitudengang bezeichnet. e a a e Amplitudengang f(frequenz),fg Sperrbereich fg fg Durchlassbereich f Phasengang Bandpass a/e Die Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgangsspannung ist ebenfalls frequenzabhängig und wird als Phasengang bezeichnet. e a a,e Phasengang f(frequenz),fgu fgu fgu fgo Durchlassbereich f Verstärkungsmaß Bandsperre a/e Die Dämpfung (Verstärkung) der Eingangsspannung wird oft im Verstärkungsmaß a angegeben. e a a a a log e db e [a] db (Dezibel),fgu fgu fgu Sperrbereich fgo f Tiefpass: Verstärkung in db a/e in db Beispiel: fg = khz Beispiele: a a Verstärkung e e db log,77 3dB (Dezibel) - - a a Verstärkung log, e e db db (Dezibel) f in khz,,,,,, Formelsammlung_TGM.odt 5 9. Mrz 5

26 Formelsammlung TGM 6 / 4 - und -Tiefpässe Grenzfrequenz ( ) f f G G (-Tiefpass) (-Tiefpass) ( ) Durchlassbereich 7,7% Sperrbereich fg f - und -Hochpässe f G (-Hochpass) ( ) f G (-Hochpass) ( ) Sperrbereich 7,7% fg Durchlassbereich f Formelsammlung_TGM.odt 6 9. Mrz 5

27 Formelsammlung TGM 7 / 4 Dreiphasiger Wechselstrom, Drehstrom S N N Transformator Transformator 3 N 3 N PE Synchron-Generator im Kraftwerk Hochspannungs- Übertragung Dreieckschaltung Sternschaltung 3 x 4V 3 x 3V Verbraucher (im Haus) 3 Phasen mit Phasenverschiebung zu jedem Zeitpunkt gilt: u(t) + u(t) + u3(t) = in V 4 Dreiphasen-Wechselstrom (Drehstrom) 3 Drehung 3 u(t) u(t) u3(t) uges(t) t in ms Sternschaltung Verbraucher zwischen Phase und Nulleiter geschaltet Spannung am Verbraucher im Haushalt: 3V 3 N 3 N N 3 3N Dreieckschaltung Verbraucher zwischen zwei Phasen geschaltet Spannung am Verbraucher im Haushalt: 4V Strangstrom = 3 Stern = Dreieck 3 P ges = 3 cos(ϕ) S ges = 3 P Stern = P Dreieck 3 Stern Spannung in Sternschaltung (zwischen Phase und Nulleiter N) Dreieck P Stern P Dreieck N, N, 3N Spannung in Dreieckschaltung (zwischen Phasen), 3, 3 eistung in Sternschaltung in W eistung in Dreieckschaltung in W P ges Gesamte Wirkleistung in W S ges Gesamte Scheinleistung in VA eiterspannung (, 3, 3) zwischen den Außenleitern Außenleiterstrom,, 3 cos(φ) eistungsfaktor φ Phasenverschiebungswinkel zwischen und Formelsammlung_TGM.odt 7 9. Mrz 5

28 Formelsammlung TGM 8 / 4 Mittelspannung / KV Hochspannungsübertragung / / 38 KV Niederspannungsübertragung 3 V / 4 V Generator Transformator Transformator Verbraucher Generator Transformator 3 Betriebswerte von Drehstromasynchronmotoren (DASM) Baugröße P N in kw n N in Drehfelddrehzahl n f = 3 Betriebsdaten von DASM (Käfigläufermotoren) bei 5 Hz / 4 V min min N in A M N in Nm η in % 63,5 765,68,86 66,3 7,55 8,3,9 7,3 8,75 85,7,5 74,4 8, 85,6 3,7 77,4 9S,5 86 3,4 5 77,5 9, 86 4,6 7,4 8, , 9,8 83, ,8 3 84,4 3S 5,5 85,6 8 85, Drehfelddrehzahl n f = 5 min 7,5 35,75,8 6,7 8,55 4,4 3,7 7,3 8,75 4,8 5, 74,5 9S, 4,6 7,5 75, 9,5 45 3,5 75,, 45 4,9 5 79, ,4 8,7 M ,7 7 83,9 3S 5,5 45, 36 84, M A M N Formelsammlung_TGM.odt 8 9. Mrz 5

29 Formelsammlung TGM 9 / 4 Drehstrom-Asynchronmotor DASM Hochlaufkennlinie M(n) A M K M N M A M Sa M/Nm /A Hochlaufkennlinie bei Nenndrehzahl eerlauf n M Drehmoment in Nm n äuferdrehzahl in /s M N Nennmoment, Bemessungsmoment n N Nenndrehzahl, Bemessungsdrehzahl M A Anlaufmomenmoment M K Kippmoment n K Kippdrehzahl M Sa Sattelmoment n Sa Satteldrehzahl n D Drehfelddrehzahl n Sa n K n N eerlaufschlupf n D n D = f p s = n D n n D P el = 3 cos ϕ M = P mech π n ( s) n = f p n S = n D n M = M K s K s + s s K f Frequenz der Motorspannung in /s p Polpaarzahl n D Drehfelddrehzahl in /s n äuferdrehzahl in /s n S Schlupfdrehzahl s Schlupf (Angabe manchmal in %) s K Kippschlupf P el eistungsaufnahme in W eiterspannung in V Außenleiterstrom in A cosφ eistungsfaktor M Drehmoment in Nm Typenschildangaben Bemessungswerte = Nennwerte 3 ~ 5 Hz 3/4 V xx/yy A 4 min - 5 kw cosφ,75 Drehstrommotor Bemessungsfrequenz kleinerer Wert darf max. an der Motorspule anliegen, Motor in Δ 3V, in Y 4V Bemessungsstrom in A Bemessungsdrehzahl in /min Abgegebene mechanische eistung im Bemessungsbetrieb eistungsfaktor im Bemessungsbetrieb Formelsammlung_TGM.odt 9 9. Mrz 5

30 Formelsammlung TGM 3 / 4 Symbole der Elektrotechnik Schalten Taster Schalter Schließerkontakt Öffnerkontakt mschalter Anzeigen Dioden Anzeigelampe ampe ED Diode Schottky-Diode Widerstand Veränderbarer Widerstand Widerstand mit Schleifkontakt PT Kaltleiter NT Heißleiter Widerstände ϑ ϑ Spule Kondensator Kondensator mit Polung Batterieelement, Akku + + Masse, Erde Sicherung Solarzelle elais elais mit Kontakt N-Kanal-GFET ideale Spannungsquelle deale Stromquelle Signalgenerator Gleichspannung Signalgenerator Wechselspannung mlaufender Generator Quellen G G G Spannungsmesser, Voltmeter Strommesser, Amperemeter eistungsmesser, Wattmeter eistungsfaktor- Messgerät Energiemesser, Wattstundenzähler Messgeräte V A W P cosφ Wh Wh Analog/Digital-msetzer, n Bit Digital/Analog-msetzer, n Bit msetzer A D n Ո/# n n D A n #/Ո Komparator, Schwellwertschalter comp Schmitt-Trigger, Zweipunktregler Symbole der -Fließtechnik Behälter mit Flüssigkeit Motor Pumpe Kompressor Ventil Messstelle M Heizung / Wärmetauscher ührer Druckluftantrieb Niveauangabe Hauptflussrichtung Formelsammlung_TGM.odt 3 9. Mrz 5

31 Formelsammlung TGM 3 / 4 Betriebsmittelkennzeichnung nach DN EN (Auszug) Kennbuchstabe B E F G Beispiel Messumformer, Mikrophon, Bewegungswächter, Photozelle, Grenzwertschalter, Positionsschalter, Sensor, Überstromschutzrelais, Wächter, Videokamera Kondensator Beleuchtung, ampe, Heizung, Warmwasserspeicher Sicherungen, Motorschutzschalter, eistungsschalter, Fehlerstromschutzschalter Akku, Drehstromgenerator, Batterie, Gleichrichter, Solarzelle, Brennstoffzelle, Ventilator, Hebezeug, Fördereinrichtung Zweck oder Aufgabe mwandeln einer Eingangsvariablen (physikalische Eigenschaft, Zustand oder Ereignis) in ein zur Weiterverarbeitung bestimmtes Signal Speichern von Material, Energie oder nformation iefern von Strahlungsenergie oder Wärmeenergie Direkt (selbsttätig) einen Energiefluss, Signale, Personal oder Ausrüstungen vor gefährlichen oder unerwünschten Zuständen schützen. nitiieren eines Energie oder Materialflusses. Erzeugen von Signalen als nformationsträger oder eferenzquelle; Produzieren einer neuen Materialart oder eines neuen Produktes H Meldeleuchten Anzeige von Betriebszuständen K M P Q S T W Hilfsschütz, Hilfsrelais, Zeitrelais, Spannungsregler, Transistor, Automatisierungsgerät, Optokoppler, Steuerventil, Auslöser Motor, Antriebsspule, Antrieb, Aktor, Verbrennungsmotor, Turbine, Hubmagnet, Stellantrieb Anzeige, Hupe, ED, autsprecher, Voltmeter, Amperemeter, Wattmeter, eistungsfaktoranzeiger, Ereigniszähler, Wirkleistungszähler, Blindleistungszähler eistungsschalter, Schütz, Trennschalter, eistungstransistor, asttrennschalter Diode, Drossel, Widerstand, Zenerdiode Steuerschalter, Wahlschalter, Taster adegerät, Netzgerät, Gleichrichter, Verstärker, Frequenzwandler, Transformator, Wechselrichter Kabel, eiter, Datenbus, ichtwellenleiter, Verarbeiten (Empfang, Verarbeitung, Bereitstellung) von Signalen oder nformationen (ausgenommen Objekte für Schutzzwecke, siehe Kennbuchstabe B oder F) Bereitstellung von mechanischer Energie (mechanische Dreh- oder inearbewegung) zu Antriebszwecken Darstellung von nformation Kontrolliertes Schalten oder Variieren eines Energie-, oder Signalflusses oder Materialflusses Begrenzung oder Stabilisierung von Bewegung oder Fluss von Energie, nformation oder Material mwandeln einer manuellen Betätigung in ein zur Weiterverarbeitung bestimmtes Signal mwandeln von Energie unter Beibehaltung der Energieart; mwandeln eines bestehenden Signals unter Beibehaltung des nformationsgehalts; eiten oder Führen von Energie, Signalen oder Materialien oder Produkten von einem Ort zu einem anderen X Trenn- und Steckverbindung, Steckdose Verbinden von Objekten Formelsammlung_TGM.odt 3 9. Mrz 5

32 Formelsammlung TGM 3 / 4 Normreihen von Widerständen Formelsammlung_TGM.odt 3 9. Mrz 5 E6 (%) E (%) E4 (5%) E48 (%) E96 (%),,5,5,7,,,,3,5,5,8,,,,,4,3,7,7,3,33,33,37,4,4,43,5,5,5,47,47,5,54,54,58,6,6,6,65,69,69,74,8,8,78,78,8,87,87,9,96,96,5,5,,,,,5,5,,6,6,3,4,37,37,43,49,49,55,6,6,67,7,7,74,74,8,87,87,94 3 3, 3, 3,9 3,6 3,6 3,4 E6 (%) E (%) E4 (5%) E48 (%) E96 (%) 3,3 3,3 3,3 3,3 3,3 3,4 3,48 3,48 3,57 3,6 3,65 3,65 3,74 3,9 3,9 3,83 3,83 3,9 4, 4, 4, 4,3 4, 4, 4,3 4,4 4,4 4,53 4,7 4,7 4,7 4,64 4,64 4,75 4,87 4,87 4,99 5, 5, 5, 5,3 5,36 5,36 5,49 5,6 5,6 5,6 5,6 5,76 5,9 5,9 6,4 6, 6,9 6,9 6,34 6,49 6,49 6,65 6,8 6,8 6,8 6,8 6,8 6,98 7,5 7,5 7,3 7,5 7,5 7,5 7,68 7,87 7,87 8,6 8, 8, 8,5 8,5 8,45 8,66 8,66 8,87 9, 9,9 9,9 9,3 9,53 9,53 9,76

33 Formelsammlung TGM 33 / 4 3 Steuerungstechnik Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra Verknüpfung E- Darstellung Step 7- Darstellung Funktionsgleichung Funktions- Tabelle NHT NOT Y = /A Y = A A Y ND AND AND & Y = A B Y = A B B A Y ODE O O >= Y = A + B Y = A B B A Y Exklusiv-ODE XO (Antivalenz) XO XO Y = (A /B) + (/A B) B A Y Bit-Zuweisung ND / ODE XO Verknüpfungen können beliebig viele Eingänge haben. hat Eingänge. wichtige Verknüfungsregeln: ND / ODE + A B = A + B + A + B + = A B A (B ) = (A ) B = A B (A B) + (A ) = A (B + ) (A B) + (A ) = A B + A ND vor ODE: (A B) + (A ) = A B + A Formelsammlung_TGM.odt Mrz 5

34 Formelsammlung TGM 34 / 4 Variablen mit elementaren Datentypen Datentyp Schlüsselwort E nformationsbreite Kennung Bit BOO Bit X *) Byte BYTE 8 Bit B Wort WOD 6 Bit W Doppelwort DWOD 3 Bit D *) SMAT STEP 7 nur bei DB Schlüsselwörter für die Variablendeklarationen (okaldaten) Schlüsselwörter E STEP 7 nput VA_NPT N Output VA_OTPT OT n-output VA_N_OT N_OT Statische VA STAT Temporäre VA_TEMP TEMP Bistabile Speicher Speicherfunktion E STEP 7 Speicher mit vorrangigem ücksetzen S Q Speicheroperand S Q Speicheroperand S Q Speicher mit vorrangigem Setzen S Q S Q Speicheroperand S Q SET-BOX (S-Anschluss eines Speichers) ESET-BOX (-Anschluss eines Speichers) S S Formelsammlung_TGM.odt Mrz 5

35 Formelsammlung TGM 35 / 4 Flankenauswertung Flankenauswertung E STEP 7 Positive Flanke (: ise = steigen) nstanz _TG nstanz P Negative Flanke (F: Fall = fallen) nstanz F_TG nstanz N Vergleicher (***) Vergleichsfunktionen (MP) Symbol Vergleich auf gleich == == Vergleich auf ungleich <> <> Vergleich auf größer > > Vergleich auf größer oder gleich >= >= MP *** N N Vergleich auf kleiner < < Vergleich auf kleiner oder gleich <= <= nteger () Ganzzahlen eal () Gleitpunktzahl Eingänge: N Eingang NTEGE / EA N Eingang NTEGE / EA Ausgang: BOO Übertragungsfunktion MOVE Operanden und Variablen mit elementaren Datentypen zu transferieren Symbol MOVE EN N OT Eingänge: EN BOO N BYTE, WOD, DWOD Ausgang: OT BYTE, WOD, DWOD Formelsammlung_TGM.odt Mrz 5

36 Formelsammlung TGM 36 / 4 Zeitgeber Zeitgeber, Timer nach E-Darstellung, Step 7-Timer nicht mehr verwenden mpuls TP N ET TP (Timer Pulse) nstanzname TP N Q Q PT ET Pt Pt Einschaltverzögerung TON N ET t TON (Timer ON delay) nstanzname TON t N Q Q Pt t PT ET Ausschaltverzögerung TOF N ET t TOF (Timer OFF delay) nstanzname TOF t N Q Q Pt Pt t PT ET Beschreibung N : Start-Bit (BOO) PT : Zeitvorgabe (TME) Q : Zeitstatus-Bit (BOO) ET: Aktueller Zeitwert Typ -(Time) Zeitvorgabe: Tag(d)-Std(h)-Min(m)-Sek(s)-Millisek(ms) Zeitbereich: (3 Bit DWOD) ms bis 4d 9h 3m 3s 647ms Zeitvorgabe PT: T#.. (Bsp.: T#m5s) Formelsammlung_TGM.odt Mrz 5

37 Formelsammlung TGM 37 / 4 Ablaufsprache Die Bestandteile einer Ablaufsteuerung gliedern sich in drei Teile: Ablaufkette Transitionsbedingungen (Weiterschaltbedingungen) Aktionen (Befehlsausgabe) Transition_ Transition_ & S_ // Beschreibung der Transition S_3 Befehlsart Beschreibung der Aktion Aktor S_ S_ Anfangsschritt (nitialschritt) ist doppelt umrandet Jeder Schritt hat eine Nummer An der Wirkungslinie werden Übergangsbedingungen (Transitionen) angegeben echts neben dem Schritt wird die Befehlsart, die Aktion und der Ausführende (Aktor angegeben) & & & S_ S_ S_3 Start - nitialierung //Schritt //nitialschritt Transitionbeding(en) Transitionbeding(en) Transitionbeding(en) Befehlsart Befehlsart Befehlsart Aktionsblock Aktion - Schritt Aktionsblöcke Aktion - Schritt 3 Aktion - Schritt 3 S_ Befehlsart Bedeutung Beschreibung N S T# D T# S T# DS T# SD T#... nicht speichernd (Non-stored) Gespeichert (Set stored) ücksetzen (eset stored) Zeitbegrenzt (time imited) Zeitverzögert (time Delayed) Zeitbegrenzt u. gespeichert (time imited and Stored) Zeitverzögert u. gespeichert (Delayed and Stored) Gespeichert u. zeitverzögert (Stored und Delayed ) Aktor erhält -Signal, solange der Schritt aktiv ist Aktor wird auf -Signal gesetzt bis zu einem ESET Aktor wird auf -Signal zurückgesetzt Aktor wird für eine bestimmte Zeit aktiviert, solange der Schritt gesetzt ist Aktor wird nach einer bestimmten Zeit aktiviert, solange der Schritt aktiv ist Aktor wird für eine bestimmte Zeit aktiviert, auch wenn der Schritt deaktiviert wird Aktor wird nach einer bestimmten Zeit aktiviert, sofern der Schritt noch aktiv ist und bleibt aktiviert bis zu einem ESET Aktor wird nach einer bestimmten Zeit aktiviert, auch wenn der Schritt deaktiviert wird. Der Aktor bleibt aktiviert bis zu einem ESET N S Nicht speichernd mit Zusatzbedingung (Non ontrol) Speichern mit Zusatzbedingung (Saved ontrol) ücksetzen mit Zusatzbedingung (eset ontrol) Aktor ist aktiv, solange der Schritt aktiv und die Zusatzbedingung erfüllt ist Aktor wird auf -Signal gesetzt, wenn der Schritt aktiv und die Zusatzbedingung erfüllt ist. Aktor wird auf -Signal zurückgesetzt, wenn der Schritt aktiv und die Zusatzbedingung erfüllt ist. Formelsammlung_TGM.odt Mrz 5

38 Formelsammlung TGM 38 / 4 N-Befehl ( Nicht speichernd) Step_ N Motor an M Schritt Motor Motor ist an, solange der Schritt aktiv ist S-Befehl ( Setzen, speichernd) -Befehl ( ücksetzen, speichernd) Step_3 S Heizung ein E5 Schritt 3 Heizung Heizung wird eingeschaltet und bleibt an bis zu einem eset Step_6 Heizung aus E5 Schritt 6 Heizung zu Beginn des Schritts ausschalten -Befehl ( zeitbegrenzt, imited) Step_7 T#4s Pumpe ein M Schritt 7 4s Pumpe st Schritt 7 kürzer als 4s, geht die Pumpe aus Pumpe wird für bestimmte Zeit aktiviert, solange der Schritt aktiv ist D-Befehl ( zeitverzögert, Delayed) Step_8 D T#4s Stanze ein M3 Schritt 8 4s Stanze Schritt 8 muss länger als 4s sein, sonst wird der Zylinder nicht angesteuert. Stanze wird zeitverzögert aktiviert, solange der Schritt aktiv ist. S-Befehl ( zeitbegrenzt, speichernd imited, Stored) Step_9 S T#4s Pumpe ein M Schritt 9 4s Pumpe Pumpe bleibt 4s an, obwohl Schritt 9 kürzer ist Pumpe wird für bestimmte Zeit aktiviert, auch wenn der Schritt deaktiviert wurde DS-Befehl ( zeitverzögert, speichernd Delayed, Stored) Step DS T#4s Stanze ein M3 Schritt 4s Stanze Schritt Schritt muss länger als 4s sein, sonst wird der Zylinder nicht angesteuert. Stanze wird zeitverzögert aktiviert, sofern der Schritt aktiv noch ist und wird deaktiviert mit eset. Step Stanze aus M3 SD-Befehl (speichernd, zeitverzögert Stored, Delayed) Step3 Step5 SD T#4s Stanze ein M3 Stanze aus M3 Schritt 3 4s Stanze Schritt 5 Schritt 3 kann kürzer als 4s sein, Stanze wird trotzdem zeitverzögert angesteuert. Stanze wird zeitverzögert aktiviert, auch wenn der Schritt deaktiviert wurde und wird deaktiviert mit eset. Formelsammlung_TGM.odt Mrz 5

39 Formelsammlung TGM 39 / 4 Schrittketten: Grundregeln odes Beim Setzen eines Schrittes wird dieser aktiv geschaltet, die Variable hat den Wert true, die zugeordnete Aktion wird ausgeführt ücksetzen eines Schrittes schaltet diesen inaktiv, die Variable hat den Wert false, die zugeordnete Aktion wird nicht ausgeführt Bei der Aktivierung einer Schrittkette wird der nitialschritt und nur dieser gesetzt Alle anderen Schritte werden gesetzt, wenn der vorhergehende Schritt aktiv und die Weiterschaltbedingung (Transition) erfüllt ist. Ein Schritt wird zurückgesetzt, wenn der nachfolgende Schritt gesetzt wird. Dual- ode (8-4---ode) Dezimal 3 =8 =4 = = Gray- ode keine Gewichtung HEX D B A A B D E F BD- odes / 4-Bit odes Dez. BD Ziffern > 9 sind nicht definiert Spezielle mcodierer mcodierer mit 7-Segmentanzeige BD / Gray A G B G G D G3 A B D BD / dez BD / 7-Seg. a A b B c d e f D g e f DPY a g b c d dp Formelsammlung_TGM.odt Mrz 5

40 Formelsammlung TGM 4 / 4 4 Mathematische Grundformeln Zehnerpotenzen Symbol Name Wert P Peta 5... Billiarde T Tera... Billion G Giga 9... Milliarde M Mega 6.. Million k Kilo 3. Tausend h Hekto Hundert da Deka Zehn Eins d Dezi, Zehntel c Zenti, Hundertstel m Milli 3, Tausendstel μ Mikro 6,. Millionstel n Nano 9,.. Milliardstel p Piko,... Billionstel f Femto 5,... Billiardstel mrechnungen Jahr = 365 Tage = 876 Stunden Stunde = 6 min = 36Sekunden Formelsammlung_TGM.odt 4 9. Mrz 5

41 Formelsammlung TGM 4 / 4 Flächen- und Volumenberechnungen Kreisfläche A = π r Kreisumfang Dreiecksfläche Trapezfläche Kegel = π r A = a h A = (a + c) h M = π r s O = π r + π r s V = 3 π r h c a a h h s h r A Fläche in m² r Kreisradius in m mfang in m M Mantelfläche in m² O Oberfläche in m² V Volumen in m³ Kegelstumpf V = 3 π h ( + r + r ) h r Pyramide O = G + M Zylinder V = 3 G h O = π r + π r h V = π r h h G r h G Grundfläche in m² M Summe der Dreiecksflächen Kugel O = 4 π r V = 4 3 π r 3 Winkelfunktionen sin(α) = G H cos(α) = A H tan(α) = G A = m= Δ y Δ x α H A Δx Δy G H A G α m Hypotenuse Ankathete Gegenkathete Winkel zwischen A und H Steigung Formelsammlung_TGM.odt 4 9. Mrz 5

42 Formelsammlung TGM 4 / 4 5 Physikalische Grundformeln und Einheiten Physikalische Formeln gleichförmige Bewegung v = s t v s Geschwindigkeit in m s zurückgelegter Weg in m beschleunigte Bewegung a = v t s = a t t Zeit in s a Beschleunigung in m s Arbeit W = F s W Arbeit in J = Nm = Ws eistung P = W t F P Kraft in N eistung in W = Nm/s Drehmoment Wirkungsgrad Druck P = F v = ω M = π n M M = F r η = Nutzen Aufwand p = F A r M F M Drehmoment in Nm ω Winkelgeschwindigkeit in s n Drehzahl in s r adius in m p Druck in N m Dichte ϱ = m V ϱ bar = 5 Pa = 5 N m Dichte in kg m 3 A Fläche in m² m Masse in kg V Volumen in m 3 Einheiten S-Basiseinheiten abgeleitete S-Einheiten Name Eineit Symbol Name Einheit Einheitenzeichen Einheitenzeichen in anderen S- Einheiten in Basiseinheiten änge Meter l m Frequenz Hertz Hz s Masse Kilogramm m kg Kraft Newton N J/m m kg s Zeit Sekunde t s Druck Pascal Pa N/m m kg s Stromstärke Ampere A Energie, Arbeit, Wärmemenge Joule J Nm; Ws m kg s 3 Temperatur Kelvin T K eistung Watt W J/s; VA m kg s Stoffmenge Mol N mol elektrische adung oulomb A s ichtstärke andela V cd elektrische Spannung Volt V W/A; J/ m kg s 3 A elektrische Kapazität Farad F /V m kg s 4 A elektrischer Widerstand Ohm Ω V/A m kg s 3 A elektrischer eitwert Siemens S /Ω m kg s 3 A magnetischer Fluss Weber Wb Vs m kg s A magnetische Flussdichte Tesla T Wb/m kg s A nduktivität Henry H Wb/A m kg s A elsius-temperatur Grad elsius K Formelsammlung_TGM.odt 4 9. Mrz 5