Alfred Böge (Hrsg.) Formeln und Tabellen Maschinenbau

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1 Alfred Böge (Hrsg.) Formeln und Tabellen Maschinenbau

2 Aus dem Programm Grundlagen Maschinenbau und Verfahrenstechnik Klausurentrainer Technische Mechanik von J. Berger Lehrsystem Technische Mechanik mit Lehrbuch, Aufgabensammlung, Lösungsbuch sowie Formeln und Tabellen von A. Böge und W. Schlemmer Vieweg Handbuch Maschinenbau herausgegeben von A. Böge Technische Strömungslehre von L. Böswirth Technische Mechanik mit Mathcad, Matlab und Maple von G. Henning, A. Jahr und U. Mrowka Thermodynamik für Ingenieure von K. Langeheinecke, P. Jany und G. Thieleke Technische Mechanik. Statik von H.-A. Richard und M. Sander Technische Mechanik. Festigkeitslehre von H.-A. Richard und M. Sander Werkstoffkunde und Werkstoffprüfung von W. Weißbach Aufgabensammlung Werkstoffkunde und Werkstoffprüfung von W. Weißbach und M. Dahms vieweg

3 Alfred Böge (Hrsg.) Formeln und Tabellen Maschinenbau Für Studium und Praxis Mit über 00 Stichworten Autoren: Alfred Böge: Mathematik, Thermodynamik, Fluidmechanik, Festigkeitslehre, Zerspantechnik Alfred Böge/Wolfgang Böge: Maschinenelemente Gert Böge: Physik, Mechanik Peter Franke: Elektrotechnik Wolfgang Weißbach: Chemie, Werkstofftechnik Viewegs Fachbücher der Technik

4 Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar.. Auflage März 007 Alle Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlag GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 007 Lektorat: Thomas Zipsner Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer ScienceBusiness Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Technische Redaktion: Hartmut Kühn von Burgsdorff, Wiesbaden Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Satz: Zerosoft, Temeswar Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN

5 V Vorwort Ingenieure und Techniker in Ausbildung und Beruf finden hier Größengleichungen und Formeln, Diagramme, Tabellenwerte, Regeln und Verfahren, die zum Lösen von Aufgaben aus den technischen Grundlagenfächern erforderlich sind. Die Berechnungs- und Dimensionierungsgleichungen aus Mathematik, Physik, Chemie, Werkstofftechnik, Elektrotechnik, Thermodynamik, Mechanik, Fluidmechanik, Festigkeitslehre, Maschinenelemente, Zerspantechnik sind in Tabellen so geordnet, dass sie der speziellen Aufgabe zugeordnet werden können: das umfangreiche Sachwortverzeichnis führt schnell zu den gesuchten technischphysikalischen Größen die zugehörige Tabelle zeigt die erforderlichen Größengleichungen die zusätzlichen Erläuterungen sichern die richtige Anwendung der Gleichungen, Diagramme und Tabellenwerte Herausgeber, Autoren und Verlag sind für Hinweise zur Verbesserung des Werkes dankbar. Verwenden Sie dazu bitte die -Adresse: Braunschweig, Februar 007 Alfred Böge

6 VII Inhaltsverzeichnis Mathematik.... Mathematische Zeichen.... Griechisches Alphabet....3 Häufig gebrauchte Konstanten....4 Multiplikation, Division, Klammern, Binomische Formeln, Mittelwerte Potenzrechnung (Potenzieren) Wurzelrechnung (Radizieren) Logarithmen Komplexe Zahlen Quadratische Gleichungen Wurzel-, Exponential-, Logarithmische und Goniometrische Gleichungen in Beispielen Graphische Darstellung der wichtigsten Relationen (schematisch) Flächen (A Flächeninhalt, U Umfang)....3 Fläche A, Umkreisradius r und Inkreisradius r einiger regelmäßiger Vielecke Körper (V Volumen, O Oberfläche, M Mantelfläche) Rechtwinkliges Dreieck Schiefwinkliges Dreieck Einheiten des ebenen Winkels Trigonometrische Funktionen (Graphen in.) Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen....0 Arcusfunktionen Hyperbelfunktionen Areafunktionen Analytische Geometrie: Punkte in der Ebene Analytische Geometrie: Gerade Analytische Geometrie: Lage einer Geraden im rechtwinkligen Achsenkreuz Analytische Geometrie: Kreis Analytische Geometrie: Parabel Analytische Geometrie: Ellipse und Hyperbel Reihen Potenzreihen Differenzialrechnung: Grundregeln Differenzialrechnung: Ableitungen elementarer Funktionen Integrationsregeln Grundintegrale Lösungen häufig vorkommender Integrale Uneigentliche Integrale Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung Geometrische Grundkonstruktionen Physik Physikalische Größen, Definitionsgleichungen und Einheiten Mechanik Thermodynamik Elektrotechnik Optik... 59

7 VIII Inhaltsverzeichnis. Allgemeine und atomare Konstanten Umrechnungstafel für metrische Längeneinheiten Vorsatzzeichen zur Bildung von dezimalen Vielfachen und Teilen von Grundeinheiten oder hergeleiteten Einheiten mit selbstständigem Namen Umrechnungstafel für Leistungseinheiten Schallgeschwindigkeit c, Dichte r und Elastizitätsmodul E einiger fester Stoffe Schallgeschwindigkeit c und Dichte r einiger Flüssigkeiten c Schallgeschwindigkeit c, Verhältnis = p cv einiger Gase bei t = 0 C Schalldämmung von Trennwänden Elektromagnetisches Spektrum Brechzahlen n für den Übergang des Lichtes aus dem Vakuum in optische Mittel Chemie Atombau und Periodensystem Metalle Nichtmetalle Elektronegativität Chemische Bindungen, Wertigkeitsbegriffe Systematische Benennung anorganischer Verbindungen Systematische Benennung von Säuren und Säureresten Systematische Benennung organischer Verbindungen Benennung von funktionellen Gruppen Ringförmige Kohlenwasserstoffe Basen, Laugen Gewerbliche und chemische Benennung von Chemikalien, chemische Formeln Säuren Chemische Reaktionen, Gesetze, Einflussgrößen Ionenlehre Elektrochemische Größen und Gesetze Größen der Stöchiometrie Beispiele für stöchiometrische Rechnungen Energieverhältnisse bei chemischen Reaktionen Heizwerte von Brennstoffen Bildungs- und Verbrennungswärme einiger Stoffe Werkstofftechnik Werkstoffprüfung Eisen-Kohlenstoff-Diagramm Bezeichnung der Stähle nach DIN EN Baustähle DIN EN 005-/ Schweißgeeignete Feinkornbaustähle Warmgewalzte Flacherzeugnisse aus Stählen mit hoher Streckgrenze zum Kaltumformen, thermomechanisch gewalzte Stähle DIN EN 049-/ Vergütungsstähle DIN EN 0083/ Einsatzstähle DIN EN 0084/ Nitrierstähle DIN EN 0085/ Stahlguss DIN EN 093/ Bezeichnung der Gusseisensorten DIN EN 560/

8 Inhaltsverzeichnis IX 4. Gusseisen mit Lamellengraphit GJL DIN EN 56/ Gusseisen mit Kugelgraphit GJS DIN 563/ Temperguss GJM DIN EN 56/ Bainitisches Gusseisen mit Kugelgraphit DIN EN 564/ Gusseisen mit Vermiculargraphit GJV VDG-Merkblatt W-50/ Bezeichnung von Aluminium und Aluminiumlegierungen Aluminiumknetlegierungen, Auswahl Aluminiumgusslegierungen, Auswahl aus DIN EN 706/ Bezeichnung von Kupfer und Kupferlegierungen nach DIN 4/ Zustandsbezeichnungen nach DIN EN 73/ Kupferknetlegierungen, Auswahl Kupfergusslegierungen, Auswahl nach DIN EN 98/ Anorganisch nichtmetallische Werkstoffe Bezeichnung von Si-Carbid, SiC und Siliciumnitrid, Si 3 N 4 nach der Herstellungsart Druckgusswerkstoffe Lagermetalle und Gleitwerkstoffe, Übersicht über die Legierungssysteme Lagermetalle auf Cu-Basis (DKI) Kurzzeichen für Kunststoffe und Verfahren, Auswahl Thermoplastische Kunststoffe, Plastomere, Auswahl... 5 Elektrotechnik Grundbegriffe der Elektrotechnik Elektrischer Widerstand Temperaturabhängigkeit des Widerstandes Elektrische Leistung und Wirkungsgrad Elektrische Energie Elektrowärme Gleichstromtechnik Ohm sches Gesetz, nicht verzweigter Stromkreis Kirchhoff sche Sätze Ersatzschaltungen des Generators Schaltungen von Widerständen und Quellen Parallelschaltung von Widerständen Parallelschaltung von Quellen Reihenschaltung von Widerständen Reihenschaltung von Quellen Messschaltungen Indirekte Widerstandsbestimmung Messbereichserweiterung bei Spannungs- und Strommessern Spannungsteiler Brückenschaltung Elektrisches Feld und Kapazität Größen des homogenen elektrostatischen Feldes Kapazität von Leitern und Kondensatoren Magnetisches Feld und Induktivität Größen des homogenen magnetischen Feldes Spannungserzeugung Kraftwirkung Richtungsregeln Induktivität von parallelen Leitern und Luftspulen Induktivität von Spulen mit Eisenkern Drosselspule... 37

9 X Inhaltsverzeichnis Schaltungen von Induktivitäten Einphasiger Transformator Wechselstromtechnik Kennwerte von Wechselgrößen Passive Wechselstrom-Zweipole an sinusförmiger Wechselspannung Reihenschaltung von Blindwiderständen Parallelschaltung von Blindwiderständen Umwandlung passiver Wechselstrom-Zweipole in gleichwertige Schaltungen Blindleistungskompensation Drehstromtechnik Drehstromnetz Stern- und Dreieckschaltung Stern-Dreieck-Umwandlung Elementare Bauteile der Elektronik Halbleiterdioden Dioden zum Gleichrichten und Schalten Z-Dioden Transistoren Bipolare Transistoren Kennlinien und Kenngrößen bipolarer Transistoren Thyristoren Grundschaltung und Kenndaten Ausgewählte Thyristorbauelemente Phasenanschnittsteuerung Thermodynamik Grundbegriffe Wärmeausdehnung Wärmeübertragung Gasmechanik Gleichungen für Zustandsänderungen und Carnot'scher Kreisprozess Gleichungen für Gasgemische Temperatur-Umrechnungen Temperatur-Fixpunkte Spezifisches Normvolumen n und Dichte r n (0 C und 035 N/m ) Mittlere spezifische Wärmekapazität c m fester und flüssiger Stoffe zwischen 0 C und 00 C in J / (kg K) Mittlere spezifische Wärmekapazität c p, c in J / (kg K) nach Justi und Lüder Schmelzenthalpie q s fester Stoffe in J / kg bei p = 0 35 N/m Verdampfungs- und Kondensationsenthalpie q v in J / kg bei 0 35 N/m Schmelzpunkt fester Stoffe in C bei p = 0 35 N/m Siede- und Kondensationspunkt einiger Stoffe in C bei p = 0 35 N/m Längenausdehnungskoeffizient l fester Stoffe in /K zwischen 0 C und 00 C (Volumenausdehnungskoeffizient V 3 l ) Volumenausdehnungskoeffizient V von Flüssigkeiten in /K bei 8 C Wärmeleitzahlen fester Stoffe bei 0 C in 0 3 J mhk ; Klammerwerte in W.. 75 mk 6.9 Wärmeleitzahlen von Flüssigkeiten bei 0 C in J mhk ; Klammerwerte in W mk 75

10 Inhaltsverzeichnis XI 6.0 Wärmeleitzahlen von Gasen in Abhängigkeit von der Temperatur J (Ungefährwerte) in mhk Klammerwerte in W mk 6. Wärme-Übergangszahlen für Dampferzeuger bei normalen Betriebsbedingungen (Mittelwerte) Wärmedurchgangszahlen k bei normalem Kesselbetrieb (Mittelwerte) Emissionsverhältnis und Strahlungszahl C bei 0 C c p 6.4 Spezifische Gaskonstante R i, Dichte r und Verhältnis = c ν einiger Gase Mechanik fester Körper Freimachen der Bauteile Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden F r Rechnerische Bestimmung der Resultierenden F r Zeichnerische Bestimmung unbekannter Kräfte Rechnerische Bestimmung unbekannter Kräfte Fachwerke Schwerpunkt Guldin'sche Regeln Reibung Reibung in Maschinenelementen Bremsen Gleitreibzahl und Haftreibzahl 0 (Klammerwerte sind die Gradzahlen für den Reibwinkel r bzw. r 0 ) Wirkungsgrad r des Rollenzugs in Abhängigkeit von der Anzahl n der tragenden Seilstränge ( = 0,96 angenommen) Geradlinige gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Bewegung Wurfgleichungen Horizontaler Wurf (ohne Luftwiderstand) Wurf schräg nach oben (ohne Luftwiderstand) Gleichförmige Drehbewegung Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Kreisbewegung Sinusschwingung (harmonische Schwingung) Pendelgleichungen Schubkurbelgetriebe Gerader zentrischer Stoß Mechanische Arbeit W Leistung P, Übersetzung i und Wirkungsgrad Dynamik der Verschiebebewegung (Translation) Dynamik der Drehung (Rotation) Gleichungen für Trägheitsmomente J (Massenmomente. Grades) Gegenüberstellung einander entsprechender Größen und Definitionsgleichungen für Schiebung und Drehung Fluidmechanik Statik der Flüssigkeiten Strömungsgleichungen Ausflussgleichungen Widerstände in Rohrleitungen Dynamische Zähigkeit, kinematische Zähigkeit und Dichte r von Wasser Staudruck q in N/m und Geschwindigkeit w in m/s für Luft und Wasser...

11 XII Inhaltsverzeichnis 8.7 Absolute Wandrauigkeit k Widerstandszahlen für plötzliche Rohrverengung Widerstandszahlen für Ventile Widerstandszahlen von Leitungsteilen... 9 Festigkeitslehre Grundlagen Zug- und Druckbeanspruchung Biegebeanspruchung Flächenmomente. Grades I, Widerstandsmomente W, Trägheitsradius i Elastizitätsmodul E und Schubmodul G verschiedener Werkstoffe in N/mm Träger gleicher Biegebeanspruchung Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen Axiale Flächenmomente I, Widerstandsmomente W, Flächeninhalte A und Trägheitsradius i verschieden gestalteter Querschnitte für Biegung und Knickung (die Gleichungen gelten für die eingezeichneten Achsen) Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl nach EN Warmgewalzte schmale -Träger nach DIN 05- (Auszug) Warmgewalzte -Träger, PE-Reihe Knickung im Maschinenbau (siehe auch 9.35) Grenzschlankheitsgrad 0 für Euler'sche Knickung und Tetmajer-Gleichungen Abscheren und Torsion Widerstandsmoment W p (W t ) und Flächenmoment I p (Drillungswiderstand I t ) Zusammengesetzte Beanspruchung bei gleichartigen Spannungen Zusammengesetzte Beanspruchung bei ungleichartigen Spannungen Beanspruchung durch Fliehkraft Flächenpressung, Lochleibungsdruck, Hertz'sche Pressung Hohlzylinder unter Druck Metrisches ISO-Gewinde nach DIN Metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN Metrisches ISO-Feingewinde Geometrische Größen an Sechskantschrauben Maschinenelemente Toleranzen und Passungen Normzahlen Grundbegriffe zu Toleranzen und Passungen Eintragung von Toleranzen in Zeichnungen Grundtoleranzen der Nennmaßbereiche in m Allgemeintoleranzen für Längenmaße nach DIN ISO Allgemeintoleranzen für Winkelmaße nach DIN ISO Allgemeintoleranzen für Fasen und Rundungshalbmesser nach DIN ISO Allgemeintoleranzen für Form und Lage nach DIN ISO Symbole für Form und Lagetoleranzen nach DIN ISO Kennzeichnung der Oberflächenbeschaffenheit nach DIN EN ISO Mittenrauwerte R a in m Verwendungsbeispiele für Passungen Ausgewählte Passtoleranzfelder und Grenzabmaße (in µm) für das System Einheitsbohrung (H)... 55

12 Inhaltsverzeichnis XIII 0..4 Passungsauswahl, empfohlene Passtoleranzen, Spiel-, Übergangsund Übermaßtoleranzfelder in µm nach DIN ISO Schraubenverbindungen Berechnung axial belasteter Schrauben ohne Vorspannung Berechnung unter Last angezogener Schrauben Berechnung einer vorgespannten Schraubenverbindung bei axial wirkender Betriebskraft Kräfte und Verformungen in zentrisch vorgespannten Schraubenverbindungen Berechnung vorgespannter Schraubenverbindungen bei Aufnahme einer Querkraft Berechnung von Bewegungsschrauben Richtwerte für die zulässige Flächenpressung bei Bewegungsschrauben Reibungszahlen und Reibungswinkel für Trapezgewinde R p 0, 0,-Dehngrenze der Schraube Geometrische Größen an Sechskantschrauben Maße an Senkschrauben mit Schlitz und an Senkungen für Durchgangsbohrungen Einschraublänge l a für Sacklochgewinde Metrisches ISO-Gewinde nach DIN Metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN Federn Federkennlinie, Federrate, Federarbeit, Eigenfrequenz Metallfedern Gummifedern Achsen, Wellen und Zapfen Achsen Wellen Stützkräfte und Biegemomente an Getriebewellen Berechnung der Tragfähigkeit nach DIN Nabenverbindungen Kraftschlüssige (reibschlüssige) Nabenverbindungen (Beispiele) Formschlüssige Nabenverbindungen (Beispiele) Zylindrische Pressverbände Keglige Pressverbände (Kegelsitzverbindungen) Maße für keglige Wellenenden mit Außengewinde Richtwerte für Nabenabmessungen Klemmsitzverbindungen Keilsitzverbindungen Ringfederspannverbindungen, Maße, Kräfte und Drehmomente Ermittlung der Anzahl n der Spannelemente und der axialen Spannkraft F a Längsstiftverbindung Passfederverbindungen Keilwellenverbindung Zahnradgetriebe Kräfte am Zahnrad Einzelrad- und Paarungsgleichungen für Gerad- und Schrägstirnräder Einzelrad- und Paarungsgleichungen für Kegelräder Einzelrad- und Paarungsgleichungen für Schneckengetriebe Wirkungsgrad, Kühlöldurchsatz und Schmierarten der Getriebe... 38

13 XIV Inhaltsverzeichnis Zerspantechnik Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik Bewegungen, Kräfte, Schnittgrößen und Spanungsgrößen Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit v c beim Drehen Werkzeugwinkel Zerspankräfte Richtwerte für die spezifische Schnittkraft k c beim Drehen Leistungsbedarf Standverhalten Hauptnutzungszeit Fräsen Schnittgrößen und Spanungsgrößen Geschwindigkeiten Werkzeugwinkel Zerspankräfte Leistungsbedarf Hauptnutzungszeit Bohren Schnittgrößen und Spanungsgrößen Geschwindigkeiten Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit v c und den Vorschub f beim Bohren Richtwerte für spezifische Schnittkraft beim Bohren Werkzeugwinkel Zerspankräfte Leistungsbedarf Hauptnutzungszeit Schleifen Schnittgrößen Geschwindigkeiten Werkzeugwinkel Zerspankräfte Leistungsbedarf Hauptnutzungszeit Sachwortverzeichnis

14 . Mathematische Zeichen (nach DIN 30) ~ proportional, ähnlich, asymptotisch gleich (sich angleichend), gleichmächtig ungefähr gleich kongruent entspricht ungleich < kleiner als kleiner als oder gleich > größer als größer als oder gleich unendlich parallel nicht parallel parallelgleich: parallel und gleich lang orthogonal zu gegen (bei Grenzübergang), zugeordnet aus... folgt... äquivalent (gleichwertig); aus... folgt... und umgekehrt und, sowohl... als auch... oder; das eine oder das andere oder beides (also nicht: entweder... oder...) x Betrag von x, Absolutwert {x...} Menge aller x, für die gilt... {a, b, c} Menge aus den Elementen a, b, c; beliebige Reihenfolge der Elemente (a, b) Paar mit den geordneten Elementen (Komponenten) a und b; vorgeschriebene Reihenfolge (a,b,c) Tripel mit den geordneten Elementen (Komponenten) a, b und c; vorgeschriebene Reihenfolge AB Gerade AB; geht durch die Punkte A und B AB Strecke AB AB Betrag (Länge) der Strecke AB (A, B) Pfeil AB AB Vektor AB; Menge aller zu (A, B) parallelgleichen Pfeile Mathematik Mathematische Zeichen Element von nicht Element von teilt; n m: natürliche Zahl n teilt natürliche Zahl m ohne Rest nicht teilt; n m: m ist nicht Vielfaches von n = {0,,, 3,...} Menge der natürlichen Zahlen mit Null * = {,, 3,...} Menge der natürlichen Zahlen ohne Null = {..., 3,,, 0,,, 3,...} Menge der ganzen Zahlen * = { 3,,,,, 3,...} Menge der ganzen Zahlen ohne Null = n n m * m Menge der rationalen Zahlen (Bruchzahlen) * = n n Z* m * m Menge der rationalen Zahlen ohne Null Menge der reellen Zahlen * Menge ohne Null Menge der komplexen Zahlen n! = 3... n, n Fakultät n nn ( )( n )...( n k ) k k! gelesen: n über k; k n; binomischer Koeffizient [a; b] = a... b; geschlossenes Intervall von a bis b, d.h. a und b eingeschlossen: = {x a x b} ]a; b[ = {x a < x < b}; offenes Intervall von a bis b, d.h. ohne die Grenzen a und b ]a; b] = {x a < x b};halboffenes Intervall, a ausgeschlossen, b eingeschlossen lim log log a lg x ln x x Limes, Grenzwert Logarithmus, beliebige Basis Logarithmus zur Basis a = log 0 x Zehnerlogarithmus = log e x natürlicher Logarithmus Delta x, Differenz von zwei x-werten, z.b. x x

15 Mathematik Häufig gebrauchte Konstanten dx Differenzial von x, symbolischer Grenzwert von x bei x dy dx dy nach dx, Differenzialquotient y = f (x), y = f (x),... Abkürzungen für n a v =a a... a n, Summe v=...dx unbestimmtes Integral, Umkehrung des Differenzialquotienten b df( x) df ( x) d df( x), =,... fxdx ( ) = [ Fx ( )] b a = Fb ( ) Fa ( ) dx dx dx dx a erste, zweite,... Ableitung; mit F (x) = f(x), bestimmtes Differenzialquotient erster, Integral zweiter,... Ordnung. Griechisches Alphabet A Alpha B Beta Gamma Delta E Epsilon Z Zeta H Eta Theta J Jota K Kappa Lamda M My N Ny Xi O Omikron Pi Rho Sigma T Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega.3 Häufig gebrauchte Konstanten =,44 3 =,730 5 e =, e =,3956 : = 0,03 : = 0, = 3,45 93 e / = 4, : = 0, = 6,83 85 e = 3, : = 0, = 9, e = 535, : π = 0, =, M = lg e = 0, : e = 0, : =, g = 9,8 : e = 0, : 3 =, g = 96,36 : e = 0, : 4 = 0, g = 3,309 3 : e = 0,765 3 : 80 = 0, g = 4,4945 e / = 0, = 9, : = 0,383 0 e = 0,0434 =, : = 0,59 55 e = 0, =, : 3 = 0,06 03 : M = ln 0 =, : =,533 4 : 4 = 0, : g = 0,094 3 π =, : = 0, : g = 0, e =, : = 0, g = 9,83976 e = 7, : =,73 40 g = 3, : = 57,957 80

16 Multiplikation, Division, Klammern, Binomische Formeln, Mittelwerte.4 Multiplikation, Division, Klammern, Binomische Formeln, Mittelwerte Mathematik Multiplikation, Division, Klammern, Binomische Formeln, Mittelwerte Produkt n a n a a a a... a n Summanden n, a Faktoren Vorzeichenregeln Rechnen mit Null Multiplizieren von Summen Quotient ( a)( b) = ab ( a)( b) = ab ( a)( b) = ab ( a)( b) = ab ( a):( b) = a/ b ( a):( b) = a/ b ( a):( b) = a/ b ( a):( b) = a/ b a b = 0 heißt a = 0 oder b = 0; 0 a = 0; 0 : a = 0 ( a b)( c d) ac ad bc bd a = b/n = b : n; n 0; b Dividend; n Divisor Division durch 0 gibt es nicht Brüche a c ac = b d bd a : c ad b d bc Brüche werden multipliziert, indem man ihre Zähler und ihre Nenner multipliziert. Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. a b c a b c a b a b = ; = d d d d c c c a b c anp bmp cmn = mx nx px mnpx m n p x Hauptnenner Klammerregeln a ( b c) a b c a ( b c) a b c a ( b c) a b c Steht ein Minuszeichen vor der Klammer, sind beim Weglassen der Klammer die Vorzeichen aller in der Klammer stehenden Summanden umzukehren. Binomische Formeln, Polynome ( ) ( )( ) a b = a b a b = a ab b a b = ( ) ( )( ) a b = a b a b = a ab b ( ) a b c = a b c ab ac bc ( ) a± b = a ± a b ab ± b 3 3 ( )( ) a b = a b a ab b 3 3 ( )( ) a b = a b a ab b ( a b)( a b) ( ) ( ) n n n n n n n a b = a a b a b n( n )( n ) an 3b3... bn 3 3

17 Mathematik Potenzrechnung (Potenzieren) arithmetisches Mittel geometrisches Mittel x x a = x... x n n z.b. x a = 3 6 3,67 3 x g = n x x... x n z.b. x g = = 3 36 = 3,3 harmonisches Mittel Beziehung zwischen x a, x g, x h x h = z.b. x h = 3,0... n x x x n x a x g x h ; Gleichheitszeichen nur bei x = x =... = x n.5 Potenzrechnung (Potenzieren) Definition (a Basis, n Exponent, c Potenz) a a a a... = an = c = 3 4 = 8 n Faktoren Potenzen mit Basis a = ( ) n ist ganze Zahl 0 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) n ( ) 3 ( ) = 5 ( ) ( ) n erste und nullte Potenz negativer Exponent erst potenzieren, dann multiplizieren Addition und Subtraktion Multiplikation und Division bei gleicher Basis Multiplikation und Division bei gleichem Exponenten Potenzieren von Produkten und Quotienten Potenzieren einer Potenz gebrochene Exponenten a = a; a 0 = 7 = 7; 7 0 = a n = ; a n a 7 = ;7 a 7 7 ba n = b a n = b (a n ) = = 6 (3 4 ) = 486 aber: (6 3) 4 = 8 4 = pa n qa n = (p q) a n = a n a m = a n m = 3 3 = 3 5 = 43 n a n m 35 a m a 3 an bn ( ab) n ( 4) 3 n a b n a b n 3 3 (0,5) ( ab) n a n b n ( 3) 3 a b n n a b n ( an) m anm amn (3) / n / n / n a b = ( ab) = ab n / n / n : / n a n a a b = = b b ( / m) / n / mn mn a = a = a ( / n) m m/ n ( m) / n n a = a = a = am 4

18 Wurzelrechnung Zehnerpotenzen Mathematik Wurzelrechnung 0 0 = 0 6 ist Million 0 = 0, 0 = ist Milliarde 0 = 0,0 0 = 00 0 ist Billion 0 3 = 0, = ist Billiarde usw..6 Wurzelrechnung (Radizieren) Definition (c Radikand, n Wurzelexponent, a Wurzel) n = n = 0 und 0 c a a c a c immer positiv = = Wurzeln sind Potenzen mit gebrochenen Exponenten, es gelten die Regeln der Potenzrechnung n c = c/ n 4 / = = n c / n n n = c = = = = c/ n n c c c Addition und Subtraktion Multiplikation n n n p c q c = ( p q) c n n n c d = c d = = 35 Division n n c : d = n c d : 7= 5 7 Wurzel aus Produkt und Quotient n n n cd c d = n n n 4 c/ d = c : d 4: Wurzel aus Wurzel n m m n mn c = c = c = 64 = 64 = Potenzieren einer Wurzel n ( ) m n c = cm ( ) = 8 = 64 = 4 Wurzel aus Potenz Kürzen von Wurzel- und Potenzexponent Erweitern der Wurzel teilweises Wurzelziehen n np m c nq c n = ( c) m 3 3 ( ) 8 = 8 = = 4 np = ( c) nq 3 = ( ) ( ) p = cq = p ( c) q = 8 = 8 = 6 c c = c c = c c c c c3 c c c c c = c 5 Rationalmachen des Nenners 3 a = a a = a a a a a = = a 3 a a a( b c) = = b c ( b c)( b c) ab c = b c ( ) 5

19 Mathematik Logarithmen.7 Logarithmen Definition (c Numerus, a Basis, n Logarithmus) Logarithmensysteme Logarithmus c zur Basis a ist diejenige Zahl n, mit der man a potenzieren muss, um c zu erhalten. Dekadische (Briggs'sche) Logarithmen, Basis a = 0: log 0 c = lg c = n, wenn 0 n = c. log a c = n a n = c log 3 43 = = 43 Logarithmus 43 zur Basis drei gleich fünf Natürliche Logarithmen, Basis a = e =, : log e c = In c = n, wenn e n = c. spezielle Fälle a log a c = c 0 lg c = c e ln c = c log a (a n ) = n lg 0 n = n In e n = n log a a = lg 0 = In e = log a = 0 lg = 0 In = 0 In e = Logarithmengesetze (als dekadische Logarithmen geschrieben) Beziehungen zwischen dekadischen und natürlichen Logarithmen Kennziffern der dekadischen Logarithmen n natürliche Zahl lg (xy) = lg x lg y lg (0 00) = lg 0 lg 00 = = 3 lg x y = lg x lg y 0 lg = lg0 lg00 = = 00 log x n = n lg x lg 0 00 = 00 lg 0 = 00 lg n x = 00 lgx lg 0 = lg 0 = n lgx ln x = ln0 lgx = =,3059 lgx lge ln x lgx = lge ln x = = 0,4349 ln x ln0 lg = 0 lg 0, = lg 0 = lg 0,0 = lg 00 = lg 0,00 = 3 usw. lg 000 = 3 usw. lg = lg 0 = lg 0 n = n lg 0 n = n Lösen von Exponentialgleichungen Exponentialfunktion und logarithmische Funktion a x = b 0 x = 000 x lg a = lg b x lg 0 = lg 000 x = lg b x = lg000 = 3 = 3 lga lg0 y=e x Umkehrfunktion y= ln x y=0 x Umkehrfunktion y= lg x 6

20 Komplexe Zahlen.8 Komplexe Zahlen Mathematik Komplexe Zahlen imaginäre Einheit i und Definition i = i = also auch: i 3 = i; i 4 = ; i 5 = i usw. bzw. i = /i = i; i = i 3 = i; i 4 = ; i 5 = i usw. allgemein: i 4 n m = i m rein imaginäre Zahl komplexe Zahl z a Realteil b Imaginärteil goniometrische Darstellung der komplexen Zahl ist darstellbar als Produkt einer reellen Zahl mit der imaginären Einheit z.b.: 4 == 4 = i ist die Summe aus einer reellen Zahl a und einer imaginären Zahl b i (a, b reell): z = a bi konjugiert komplexes z = a b i z = a bi Zahlenpaar z = a b i = r (cos i sin ) = r e i r = a b = z absoluter Betrag oder Modul b tan = ; a Argument a = r cos ; b = r sin Darstellungsbeispiel Addition und Subtraktion Multiplikation z, z sind konjugiert komplex z, z in goniometrischer Darstellung z, z in Exponentialform Division z = 3 4 i = 5( cos 53 8' i sin 53 8') = 5(0,6 0,8 i) z z = ( a bi) ( a bi) = ( a a) ( b b)i z z = ( a b i) ( a b i) = ( a a ) ( b b )i Beispiel: (3 4 i) (5 i) = 6 i z z = ( a b i) ( a b i) = ( aa bb ) i( ba ba) (3 4i) (5 i) = 3 4 i = ( i) ( i) = = = (3 4i) (3 4i) = 5 z z a b a b a b z z = r (cosϕ isin ϕ ) r (cosϕ isin ϕ ) = r r [cos( ϕ ϕ ) isin( ϕ ϕ )] = o o o o 5(cos30 isin30 ) 3(cos60 isin60 ) = = 65(cos 90 i sin 90 ) = 65 i z z = r i i i( e ϕ re ϕ rre ϕ = ϕ ) = o o o = 3ei5 5ei30 = 5ei55 z a b a b a b z a b a b a b i ( i)( i) = = = i ( i)( i) aa = bb a b ab i a b a b (3 4i) (3 4i)(5 i) 7 6 = = i (5 i) (5 i)(5 i) 9 9 7

21 Mathematik Quadratische Gleichungen z, z in goniometrischer Darstellung z, z in Exponentialform Potenzieren mit einer natürlichen Zahl Potenzieren (radizieren) mit beliebigen reellen Zahlen (nur in goniometrischer Darstellung möglich) z r r z r r (cosϕ isin ϕ) = = [cos( ϕ ϕ) isin( ϕ ϕ)] (cos ϕ isin ϕ) i ϕ o z i5 re r i( ϕ o = = ϕ) 3e 3 i5 e = o = e z i ϕ i30 r e r 5e 5 durch wiederholtes Multiplizieren mit sich selbst: (a b i) 3 = (a 3 3 a b ) (3 a b b 3 ) i (4 3 i) 3 = 44 7 i man potenziert (radiziert) den Modul und multipliziert (dividiert) das Argument mit dem Exponenten (durch den Wurzelexponenten): n n ( a bi) = [ r(cosϕ isin ϕ) ] a bi = r(cosϕ isin ϕ) = = n r (cosnϕ isin nϕ) n ϕ ϕ = r cos isin n n (4 3 i) 3 = [5 (cos 36,87 i sin 36,87 )] 3 = 5 (cos 0,6 i sin 0,69) = 5 ( cos 69,39 i sin 69,39 ) = 5 ( 0,350 0,9360 i) = 44,00 7,00 i n n Ist der Wurzelexponent n eine natürliche Zahl, gibt es genau n Lösungen, z.b. bei 3 w = 3 (cos0 o isin0 o ) = w = 3 (cos360 o isin360 o ) o o = (cos0 isin0 ) = i 3 w 3 = 3 (cos70 o isin70 o ) = (cos40o isin40 o) = i 3 Exponentialform der komplexen Zahl e i = cos i sin e i = cos i sin = e i = = cos ϕ sin ϕ = cos ϕ isinϕ eiϕ e iϕ iϕ iϕ e e cos = sin = i lg z = ln r i ( n) mit n = 0,,... und in Bogemaß.9 Quadratische Gleichungen Allgemeine Form Normalform Lösungsformel a x a x a 0 = 0 (a 0) a a0 x x x px q 0 a a = = p p x, = ± q Die Lösungen x, x sind a) beide verschieden und reell, wenn der Wurzelwert positiv ist b) beide sind gleich und reell, wenn der Wurzelwert null ist c) beide sind konjugiert komplex, wenn der Wurzelwert negativ ist. 8

22 Mathematik Wurzel-, Exponential-, Logarithmische und Goniometrische Gleichungen in Beispielen Beispiel x 70x 3 = 0 x, = ± x x = x= = ; x = Kontrolle der Lösungen (Viéta) x x = p Im Beispiel ist p = 70 und q = 3 5 5, also x x = = = = p x x = q x x = = = q Wurzel-, Exponential-, Logarithmische und Goniometrische Gleichungen in Beispielen Wurzelgleichungen: a) x 3 = 6 x 3 = 6 x 3 = 5 x = b) x 3 x 5= 0 3 x = x 5 3 x = 4 x 0 x 5 9 x x = 0 4 x = x = 4 Nur x ist Lösung der gegebenen Gleichung. Goniometrische Gleichungen: a) sin x = sin 75 x = arc 75 n und x = arc (80 75 ) n mit n = 0 ; ; 3;... oder x = arc (90 5 ) n, also π π x = ± n π b) sin x cos x =,5 Man setzt sin x = cos x und erhält eine quadratische Gleichung für cos x: cos x cos x =,5 cos x, = ± 0,5 cos x = scheidet aus, da cos x cos x = 0,93 x 73,0,74 rad ist Hauptwert Logarithmische Gleichungen: a) log 7 (x 9) = 3 x 9 = 7 3 x, = 8 b) log 3 (x 4) = x x 4 = 3 x Die Gleichung ist nicht geschlossen lösbar. Näherungslösung durch systematisches Probieren, z. B. mit Hilfe des programmierbaren Taschenrechners. x,5699 Exponentialgleichungen: lg5 x = 5; x = log5 = log05 : log0 = lg x = lg5 = 0,699 =,3 lg 0,30 c) sin x cos x 0,9 x = 0 Diese transzendente Gleichung ist nicht geschlossen lösbar. Näherungslösung durch Probieren (Interpolieren in der Nähe der Lösung), z. B. mit dem programmierbaren Taschenrechner. x = 76 39' =,3377 rad ist näherungsweise die einzige reelle Lösung. 9

23 Mathematik Graphische Darstellung der wichtigsten Relationen (schematisch). Graphische Darstellung der wichtigsten Relationen (schematisch) Gerade: y = ax b Parabel: y = x Parabel: y = ± x Kubische Parabel: y = x 3 y = 3 x Semikubische Parabel: y =± x3/ =± x3 Kreis: y = a x Ellipse: y = ± b a x x y = a a x y = a b Potenzfunktionen: y = x n für n 0 und x 0 0

24 Mathematik Graphische Darstellung der wichtigsten Relationen (schematisch) Potenzfunktionen: y = x n für n 0 und x 0 Exponentialfunktionen: y = a x für a 0 Logarithmische Funktionen: y = log a x für a 0 und x 0 Hyperbel: y = Hyperbel: y =± b x a x a x a y = b b Hyperbel: y =± x a a y b x = a Quadratisches Polynom: y = ax b bx c mit x s = a Polynom dritten Grades: y = ax 3 bx cx d (kubische Parabel); Diskriminante = 3 ac b Trigonometrische Funktionen: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x Hyperbelfunktionen: y = sinh x, y = cosh x, y = tanh x, y = coth x

25 Mathematik Flächen Inverse trigonometrische Funktionen: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x Inverse Hyperbelfunktionen: y = arsinh x = In (x x ) y = arcosh x = In (x x ) y = artanh x = ln x x y = arcoth x = x ln x Archimedische Spirale: r = a ( ϕ3) r = a ϕ 3/ Logarithmische Spirale: r = a e m = arccot m = konstant r = r m (r Radius des Krümmungskreises) Zykloide: x = a (t sin t) y = a ( cos t) (a Radius, t Wälzwinkel) Kreisevolvente: x = a cos a sin y = a sin a cos q. Flächen (A Flächeninhalt, U Umfang) A = a U = 4 a d = a A = a b U = (a b) d = a b Quadrat Rechteck A = a h = U = 4 a dd A = a h = a b sin U = (a b) d = ( a hcot α) h Rhombus Parallelogramm d = ( a hcot α) h

26 Mathematik Fläche A, Umkreisradius r und Inkreisradius r einiger regelmäßiger Vielecke Trapez a c A = h = m h a c m = Vieleck A = A A A 3 ch ch ch 3 = regelmäßiges Sechseck 3 A = 3 a Schlüsselweite: S = a 3 Eckenmaß: e = a Dreieck A = gh siehe auch unter.5 und.6 Kreis A = r dπ = 4 U = r = d = 3,459 Kreisring A = π(r a ri ) π = ( da di ) 4 = d m s d s = a d i da di d m = Kreissektor o br ϕ A = = 360 ϕ r = Bogenlänge b: o ϕ πr b = ϕ r = 80 o o πr o ϕ π A = ( R r) = l s o 360 mittlere Bogenlänge l: R r π l = o ϕ 80 o Ringbreite s: s = R r Kreisabschnitt A = o r ϕ π sinϕ o 80 = [( rb s) sh] 3 sh Sehnenlänge s: ϕ s = r sin Kreisradius r: s h r = h Bogenhöhe h: ϕ h = r cos s ϕ = tan 4 Bogenlänge b: b = 6 s h 3 o ϕ π r b = = ϕ r 80 o.3 Fläche A, Umkreisradius r und Inkreisradius r einiger regelmäßiger Vielecke Dreieck (gleichseitiges) a A = 4 3 a r = 3 3 r = a 6 3 Viereck (Quadrat) A = a a r = a r = 3

27 Mathematik Körper Fünfeck a A = a r = a r = Sechseck 3 A = a r = a a r = 3 3 Achteck A = a ( ) a r = 4 a r = ( ) Zehneck 5 A = 5 5 a a r = ( 5 ) a r = 5 5 n-eck an a a A = r r = r 4r 4 r Ist a = a n die Seite des n-ecks, dann gilt für das n-eck: a a n = r 4 r n.4 Körper (V Volumen, O Oberfläche, M Mantelfläche) V = a 3 O = 6 a d = a 3 V = a b c O = (a b a c b c) d = a b c Würfel Quader V = 3 3 ah 3 = sh O = 3 aa ( 3 h) = 3 ss ( h) Ah V = 3 (gilt für jede Pyramide) Sechskantsäule Pyramide h V = ( A u AA u o A o) 3 Au Ao h h V = b u( a u a o) 6 Pyramidenstumpf Keil Prismatoid (Prismoid) h V = ( A o 4 A m A u) 6 Kreiszylinder d π V = h 4 M = d h π d O = ( d h ) Volumen des Hohlzylinders als Differenz zweier Zylinder berechnen. 4

28 Kreiszylinder, schief abgeschnitten V = a b π r d π = h 4 M = d h = r (a b) O = b a π r a b r r gerader Kreiskegel Kreisringtorus V = ; 3 r πh M = r πs s = r h O = r (r s) Abwicklung ist Kreissektor mit Öffnungswinkel : o r o = 360 = 360 sin β s d π D V = 4 = r R M = d D = 4 r R Zylinderhuf Mathematik Körper h V = [ a (3 r a ) 3b 3 r (b r) ] M = rh [( b r ) ϕ a ] b ( in rad) Für Halbkreisfläche als Grundfläche ist: V = ; = 3 r h M r h r π r π r h O = M gerader Kreiskegelstumpf π h V = ( R Rr r ) 3 s = ( R r) h M = s (R r) O = [R r s (R r)] π h V = ( D d) bei kreisförmigem b π h V = 3 D Dd d 5 4 bei parabelförmigem b Kugel Kugelabschnitt (K.-Segment, K.-Kappe, K.-Kalotte) zylindrisch durchbohrte Kugel 4 V = r π = d 3 6 4,89 r 3 3 3π O = 4 r = d π h 3 V = s h 6 4 = π h h r 3 π M = r h = ( s 4 h) 4 π h3 V = 6 O = h (R r) Fass Kugelzone (Kugelschicht) Kugelausschnitt (Kugelsektor) kegelig durchbohrte Kugel π h V = (3a 3 b h) 6 M = r h O = ( r h a b ) h = r a r b V = 3 r π h π r O = (4 h s) π r h V = 3 O = h π r h r 4 5

29 Mathematik Rechtwinkliges Dreieck.5 Rechtwinkliges Dreieck allgemeine Beziehungen Pythagoras: c = a b Euklid: sin = tan = b = c q; a = c p; h = p q a b ;cosα = c c a b ;cotα = b a h b ab a b = ; h= ; h = ; = a c c a b h a b Fläche A = = = ab a cot α b tanα = csinα 4 gegeben a, b a b tan = ; α = 90 o β; tan β = ; β = 90o α b a a b a b c = a b = = = = sinα sin β cos β cos α ab A = ; h = a ab b gegeben a, c o o sin α a a = ; = 90 ; cos = ; = 90 c α β β c β α b= c a = ( c a)( c a) = ccosα = csinβ = acotα a a A = c a = acsin β ; h= c a c gegeben b, c b cos α = ; β = 90 o α c b a= c b ; A= b tan α; h= c b c gegeben a, gegeben b, o β = 90 α; b = acot α; a c = ; A= a cot α; sinα h= acosα o β = 90 α; a = btan α; b c = ; A= b tan α; cosα h= bsinα gegeben c, o β = 90 α; a= csinα b = ccos α; A= c sinαcos α; h= csin αcosα 6

30 .6 Schiefwinkliges Dreieck allgemeine Beziehungen Mathematik Schiefwinkliges Dreieck α ( s b)( s c) ( s a)( s b) ( s a)( s c) sin = = = bc ab ac α ss ( a) cos = ;... ) bc tan α ( s b)( s c) = ss ( a ) r = ;... ) s a asin γ tan α = ;... ) b acos γ halber Umfang s Radius des Inkreises r α β γ s = ( a b c ) = 4 r cos cos cos α β γ abc r = 4r sin sin sin = 4rs = ( s a )( s b )( s c ) α β γ = s tan tan tan s Radien der Ankreise r a, r b, r c Höhen h a, h b, h c s α s( s b)( s c) ra = r = s tan = ;... ) s a s a bc ha = bsin γ = csin β = sin α ;... ) a aha = bhb = chc = s( s a)( s b)( s c) Seitenhalbierende Mittellinien m a, m b, m c Winkelhalbierende w a, w b, w c Flächeninhalt Radius des Umkreises r 3 a a b c 4 m = ( b c ) a ;... ) m m m = ( a b c ) = = r r r r h h h a b c a b c = ;... ) ra ha hb hc w = = a bcs( s a) bc[( b c) a ];... ) b c b c A= rs = s( s a)( s b)( s c) = r sinαsin β sin γ A= absin γ = bcsinα = acsin β a b c r = = = sinα sinβ sinγ ) Die Punkte weisen darauf hin, dass sich durch zyklisches Vertauschen von a, b, c und,,, noch zwei weitere Gleichungen ergeben. 7

31 Mathematik Schiefwinkliges Dreieck Sinussatz a sin sin sin = α ; b = β ; c = γ b sin β c sin γ a sin α Kosinussatz (bei stumpfem Winkel wird cos negativ) Projektionssatz Mollweide'sche Formeln Tangenssatz ) a = b c bccos α ;... ) a = ( b c) 4bccos ( α / );... ) a = ( b c) 4bcsin ( α / );... a = b cos c cos ) a b α β α β α β γ ) = cos : cos = cos : sin ;... c a b α β α β α β γ ) = sin : sin = sin : cos ;... c a b α β α β = tan : tan ;... ) a b gegeben: Seite und Winkel (z.b. a,, ) WWS gegeben: Seiten und der eingeschlossene Winkel (z.b. a, b, ) SWS gegeben: Seiten und der einer von beiden gegenüberliegende Winkel (z.b. a, b, ) SSW gegeben: 3 Seiten (z.b. a, b, c) SSS o asin β asin γ γ = 80 ( α β); b = ; c = sinα sinα A= absin γ tan α β a b cot γ ; α = β = 90 o γ a b Mit und ergibt sich und und damit: sin c = a γ ; A= absinγ sinα b sin β = sinα a Ist a b, so ist 90 und damit eindeutig bestimmt. Ist a b, so sind folgende Fälle möglich:. hat für b sin a zwei Werte ( = 80 ). hat den Wert 90 für b sin = a 3. für b sin a ergibt sich kein Dreieck. o sin γ γ = 80 ( α β); c = a ; A= absinγ sinα ( s a)( s b)( s c) α r r = ;tan = s s a β r γ r tan = ; tan = s b s c A = rs = s( s a)( s b)( s c) ) Die Punkte weisen darauf hin, dass sich durch zyklisches Vertauschen von a, b, c und,,, noch zwei weitere Gleichungen ergeben. 8

32 .7 Einheiten des ebenen Winkels Begriff des ebenen Winkels Bogenmaß des ebenen Winkels kohärente Einheit des ebenen Winkels Vollwinkel und rechter Winkel Umrechnung von Winkeleinheiten Der ebene Winkel (kurz: Winkel, im Gegensatz zum Raumwinkel) zwischen den beiden Strahlen g, g ist die Länge des Kreisbogens b auf dem Einheitskreis, der im Gegenuhrzeigersinn von Punkt P zum Punkt P führt. Mathematik Einheiten des ebenen Winkels Die Länge des Bogens b auf dem Einheitskreis ist das Bogenmaß des Winkels. Die kohärente Einheit (SI-Einheit) des ebenen Winkels ist der Radiant (rad). Der Radiant ist der ebene Winkel, für den das Verhältnis der Länge des Kreisbogens b zu rad= b = seinem Radius r gleich eins ist. r Für den Vollwinkel beträgt der Kreisbogen b = r. Es ist demnach: b π r α = = rad = π rad Vollwinkel = rad r r Ebenso ist für den rechten Winkel ( L ): α = L = b r rad rad r = π 4r = π rechter Winkel L π = rad Ein Grad ( ) ist der 360ste Teil des Vollwinkels (360 ). Folglich gilt: = b πr π π = rad = rad = rad r 360r π = rad 0,075rad 80 o o rad = = 57,3 π π oder durch Umstellen: π π Beispiel: a) = 90 = 90 rad = rad o 80 o 80 b) = rad = π = o 80 o 9

33 Mathematik Trigonometrische Funktionen (Graphen in.).8 Trigonometrische Funktionen (Graphen in.) Gegenkathete a Sinus = sinα = BC = Hypotenuse c von Ankathete b α... Kosinus = cos = OB = Hypotenuse c Gegenkathete a Tangens = tanα = AD = Ankathete b von Ankathete b α... Kotangens = cot = EF = Gegenkathete a Hypotenuse c von Sekans = sec α = OD = Ankathete b... Hypotenuse c = α = = und Kosecans cosec OF Gegenkathete a... Beachte: Winkel werden vom festen Radius OA aus linksdrehend gemessen. Vorzeichen der Quadrant Größe des Winkels sin cos tan cot sec cosec Funktion I von 000 bis 090 (richtet sich nach dem II Quadranten, in dem III der bewegliche Radius liegt) IV Funktionen für Winkel zwischen Funktion = 90 = 80 = 70 = 360 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos tan cot tan cot tan cot tan cot tan cot Beispiel ) : sin 05 = sin(80 5 ) = (sin 5 ) = 0,46 Funktionen für negative Winkel werden auf solche für positive Winkel zurückgeführt: sin ( ) = sin cos ( ) = cos tan ( ) = tan cot ( ) = cot Beispiel ) : sin ( 05 ) = 05 Funktionen für Winkel über 360 werden auf solche von Winkeln zwischen zurückgeführt (bzw. zwischen ); n ist ganzzahlig: sin (360 n ) = sin cos (360 n ) = cos tan (80 n ) = tan cot (80 n ) = cot Beispiel ) : sin ( 660 ) = sin 660 = sin ( ) = = sin 300 = sin (70º 30 ) = cos 30 = = 0,8660. ) Der Rechner liefert die Funktionswerte direkt, z.b. sin ( 660 ) = 0,

34 .9 Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Grundformeln Umrechnung zwischen Funktionen desselben Winkels (die Wurzel erhält das Vorzeichen des Quadranten, in dem der Winkel liegt) Mathematik Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen α α α sin cos sin cos α = ; tan α = ; cot α = = cos α tanα sinα sin = sin cos = tan = sin cos tan cot sin α sinα sin α cos α cos cos α cos α tanα tan tan tan α α cot α cot α cot cot α α cot = sin α sinα cos α cos α tanα cot Additionstheoreme sin ( ) = sin cos cos sin sin ( ) = sin cos cos sin tanα tan β tan ( ) = tanα tanβ tanα tan β tan ( ) = tanα tanβ cos ( ) = cos cos sin sin cos ( ) = cos cos sin sin cot α cot β cot ( ) = cot α cot β cot α cot β cot ( ) = cot β cot α Summenformeln sin sin = sin α β cos α β sin sin = cos α β sin α β tan tan = tan tan = sin( α β) cos αcos β sin( α β) cos αcos β sin ( ) sin ( ) = = sin cos sin ( ) sin ( ) = = cos sin cos sin = o sin(45 α)= = cos(45 o α) tanα o = tan(45 α) tanα cos cos = α β α β = cos cos cos cos = α β α β = sin sin cot cot = cot cot = sin( β α) sinαsin β sin( α β) sinαsin β cos ( ) cos ( ) = = cos cos cos ( ) cos ( ) = = sin sin cos sin = o cos(45 α)= = sin(45 o α) cot α = o cot(45 α) cot α

35 Mathematik Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Funktionen für Winkelvielfache sin = sin cos sin 3 = 3 sin 4 sin 3 sin 4 = 8 sin cos 3 4 sin cos tanα tan = tan α tan 3 = 3 3tanα tan α 3tan α cos = cos sin = sin = cos cos 3 = 4 cos 3 3 cos cos 4 = 8 cos 4 8 cos cot = cot 3 = cot α cotα 3 cot α 3cot α 3cot α Für n 3 berechnet man sin n und cos n nach der Moivre-Formel: sin n = α n n α 3 n n sin cos sin αcos 3 α±... 3 n n n n n 4 4 cos n = cos α cos αsin α cos αsin α... 4 Funktionen der halben Winkel (die Wurzel erhält das Vorzeichen des entsprechenden Quadranten) α α sin = cos α α cos = cos α cosα cos α sinα tan = = = cos α sin α cos α cot α cos α sinα cosα = = = cos α cos α sin α Produkte von sin ( ) sin ( ) = sin sin = cos cos cos ( ) cos ( ) = cos sin = cos sin sin sin = [cos ( ) cos ( )] cos cos = [cos ( ) cos ( )] sin cos = [ sin ( ) sin ( )] tanα tan β tanα tan β tanα tan β = = cot α cot β cot α cot β cot α cot β cot α cot β cot α cot β = = tanα tan β tanα tan β Potenzen von Funktionen sin α = ( cos α) cos α = ( cos α) 3 sin α = (3sinα sin3 α) cos 3α = (cos3α 3cos α) sin α = (cos4α 4cosα 3) cos 4α = (cos4 α 4cos α 3) 8 8

36 Funktionen dreier Winkel α β γ sinα sin β sin γ = 4cos cos cos α β γ cosα cos β cos γ = 4sin sin sin tanα tan β tanγ = tanα tan β tan γ gültig für = 80 α β γ α β γ cot cot cot = cot cot cot sinα sin β sin γ = (cosαcos βcos γ ) sin α sin β sin γ = 4 sinαsin β sin γ Mathematik Arcusfunktionen.0 Arcusfunktionen Die Arcusfunktionen sind invers zu den Kreisfunktionen. Invers zur Kreisfunktion ist die Arcusfunktion mit der Definition (y in Radiant) Hauptwert der Arcusfunktion im Bereich Definitionsbereich y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x y = arcsin x y = arccos x y = arctan x y = arccot x x = sin y x = cos y x = tan y x = cot y π y π 0 y π y π 0 y x x x x Beziehungen zwischen den Arcusfunktionen (Formeln in eckigen Klammern gelten nur für positive Werte von x) π arcsin = arcsin( ) = arccos = [arccos x x x x x x ] = arctan = arccot x x π arccos = π arccos( ) = arcsin = [arcsin x x x x x x ] = arctan = arccot x x Beispiel: Der Kosinus eines Winkels x beträgt: cos x = 0,88. Lässt sich der Winkel x nur mit der Arcus-Tangensfunktion berechnen (z.b. auf dem PC) gilt: 0,88 x = arctan = 9,36 0,88 Beziehungen zwischen den Arcusfunktionen (Formeln in eckigen Klammern gelten nur für positive Werte von x) π x arctan x = arctan( x) = arccot x = arcsin x = arccos = arccot x x π x arccot x = π arccot( x) = arctanx = arcsin = arccos = arctan x x x 3

37 Mathematik Arcusfunktionen Additionstheoreme und andere Beziehungen arcsin x arcsin y = arcsin( x y y x ) =π arcsin( x y y x ) [xy 0 oder x y ] [x 0, y 0 und x y ] = π arcsin( x y y x ) [x 0, y 0 und x y ] arcsin x arcsiny = arcsin( x y y x ) [xy 0 oder x y ] =π arcsin( x y y x ) [x 0, y < 0 und x y ] = π arcsin( x y y x ) [x 0, y > 0 und x y ] arccos x arccosy = arccos( xy x y ) [x y 0] = π arccos( xy x y ) [x y 0] arccos x arccosy = arccos( xy x y ) [x y] = arccos( xy x y ) [x y] x y arctan x arctany = arctan xy [x y ] x y = π arctan xy [x 0, x y ] x y = π arctan xy [x 0, x y ] x y arctan x arctany = arctan xy [x y ] x y = π arctan xy [x 0, x y ] x y = π arctan xy [x 0, x y ] arcsin x = arcsin( x x ) x = π arcsin(x x ) < x = π arcsin( x x ) x < arccos x = arccos ( x ) [0 x ] = arccos ( x ) [ x 0] x arctan x = arctan x [ x ] x = π arctan x [x ] x = π arctan x [x ] 4

38 . Hyperbelfunktionen Definitionen Grundbeziehungen ex e x ex e x sinh x = ; coshx = tanh x = Mathematik Hyperbelfunktionen x x x x x x e e e e e e = ; cothx = = x x x x x x e e e e e e coshx sinhx = sinh x cosh x tanh x = ; coth x = tanh x coth x = coshx sinh x Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen (vgl. die entsprechenden Formeln der trigonometrischen Funktionen) sinh x = tanh x cosh x = = tanhx cothx cosh x = cothx sinh x = = tanhx cothx tanh x = sinh x cosh x = = sinh x cosh x coth x coth x sinh x cosh x = = = sinh x cosh x tanh x Für negative x gilt: sinh ( x) = sinh x cosh ( x) = cosh x tanh ( x) = tanh x coth ( x) = coth x Additionstheoreme und andere Beziehungen sinh (x y) = sinh x cosh y cosh x sinh y cosh (x y) = cosh x cosh y sinh x sinh y ± ± tanh (x y) = tanh x tanhy ; coth( x± y) = coth x cothy ± tanh x tanhy coth x± cothy tanhx sinh x = sinhx cosh x tanh x = tanh x coth x cosh x = sinh x cosh x coth x = cothx n (cosh x± sinh x) = cosh nx± sinh nx für x 0 für x 0 x cosh x x cosh x sinh x sinh =± ; tanh = = sinhx coshx x cosh x x sinhx cosh x cosh = ; coth = = cosh x sinh x sinh x sinh y = sinh (x y) cosh (x y) cosh x cosh y = cosh (x y) cosh (x y) cosh x cosh y = sinh (x y) sinh (x y) ± ± = sinh( x y tanhx tanhy ) cosh xcoshy 5

39 Mathematik Analytische Geometrie: Punkte in der Ebene. Areafunktionen Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen. Invers zur Hyperbelfunktion ist die Areafunktion mit der Definition Grenzen der Funktion Definitionsbereich y = sinh x y = arsinh x = In (x x ) x = sinh y y x y = cosh x y = arcosh x = In (x x ) x = cosh y y x x y = tanh x y = artanh x = ln x x y = coth x y = arcoth x = ln x x = tanh y y x x = coth y y x Beziehungen zwischen den Areafunktionen für x 0 für x 0 arsinh x = ± x arcosh x = artanh = arcoth x arcosh x = ± x arsinh x =± artanh =± arcoth x artanh x = arsinh x =± arcosh = arcoth x x x arcoth x = arsinh x =± arcosh = artanh x x x x x x x Für negative x gilt arsinh ( x) = arsinh x arcosh ( x) = arcosh x artanh ( x) = artanh x arcoth ( x) = arcoth x Additionstheoreme arsinh x arsinh y = arsinh ( x y ± y x ) arcosh x arcosh y = arcosh ( xy± ( x )( y ) x± y artanh x artanh y = artanh ± xy.3 Analytische Geometrie: Punkte in der Ebene Entfernung zweier Punkte Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke Teilungsverhältnis einer Strecke e = ( x x ) ( y y ) x m = = x x ; ym = y y x x y y = m P = = P x x y y n PP ( ) innerhalb, ( ) außerhalb P P 6