Statistik. Finanzmathematik

Transkript

1 Prüfungsdauer: Hilfsmittel: 90 Minuten Taschenrechner (nicht grafikfähig und nicht programmierbar) und Formelsammlung Die Klausur besteht aus 13 Aufgaben im Pflichtteil, die alle bearbeitet werden müssen. Auf die Prüfungsordnung wurde hingewiesen. Aufgabe Nr. max. Punkte erreichte Punkte Summe Statistik Summe Mathematik 50 Summe Gesamt: 100 Statistik Finanzmathematik Zweitgutachter Bemerkungen Punkte:...Note:... Datum:... Unterschrift Prüfer:

2 Aufgaben Pflichtteil (alle müssen bearbeitet werden) Aufgabe 1: (10) Ein Fachmarkt besteht nur aus einer Garten- und Bauabteilung. In der Gartenabteilung werden Tulpenzwiebel von rot, gelb und weiß blühenden Tulpen verkauft. Es wird eine große Kiste mit gleichen Teilen der Tulpenzwiebeln der genannten Sorten gefüllt. Von diesen äußerlich nicht unterscheidbaren Zwiebeln werden auf zufälligerweise 12 Stück in eine Tüte gepackt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) (3) genau eine Zwiebel der rot blühenden enthalten ist? b) (3) wenigstens zwei Zwiebeln der rot blühenden Tulpensorte enthalten sind? c) (4) von jeder Zwiebelsorte gleich viele enthalten sind? 2-17

3 c) Aufgabe 2: (6) Herr Matschi notiert an verschiedenen Tagen die Zeiten (in Minuten), die er für seinen Weg in die Arbeit benötigt: 55, 56, 51, 56, 25, 58, 54, 56, 56, 50, 52. Zu seinem Arbeitskollegen macht er folgende Aussage: "In 25% der Arbeitstage brauche ich 54 Minuten und mehr" Was sagen Sie zu dieser Aussage und wie würden Sie diese Aussage widerlegen oder stützen? Begründen Sie Ihre Antwort auch durch Rechnung. Oberes Quartil berechnen: Q o = 0,75 (n + 1) = 0,75 12 = 9 Q o = wäre aber der Median und damit 50% Aufgabe 3: (8) Ein Würfel trägt auf einer Seite die Zahl 1, auf vier anderen Seiten die Zahl 2 und auf einer Seite die Zahl 3. Er wird zweimal nacheinander geworfen und die Ergebnisse als zweistellige Zahl notiert. a) (4) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Ergebnis kleiner als 20? b) (4) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis eine Primzahl (11;13;23;31) ist. 3-17

4 Aufgabe 4: (8) Gegeben ist ein Bolzen mit einem Mittelwert von x = 3,0 cm. Dieser darf nur ±0,1cm vom arithmetischen Mittel abweichen, damit er nicht als Ausschuss gilt. Die Standardabweichung beträgt s=0,01 cm. Wie hoch darf die Standardabweichung höchstens werden, damit höchstens ein Ausschuss von 5% entsteht? Symmetrische Intervall mit z=1,96 z = x x s s = x x 3,1 3,0 = = 0,051 z 1,96 Aufgabe 5: (8) 4-17

5 Bei der letzten Statistikklausur ergaben sich für die Studenten des Studiengangs Energietechnik folgende Punktezahlen: Wie viel Prozent der Studenten haben 25 und mehr Punkte erreicht? 100%-85,71%=14,29% 5-17

6 Aufgabe 6: (6) Familie Riesig leistet sich folgende Produkte und Ausgaben. Für die einzelnen Jahre wurde aus dem Haushaltsbuch folgende Übersicht erstellt. Beachten Sie dabei die Angaben in der Tabelle. 6-17

7 Berechnen Sie die Preisindizes nach Laspeyres und Paasche. Aufgabe 7: (4) Was ist Marktforschung? Markforschung ist die Funktion, die den Konsumenten, Kunden und die Öffentlichkeit durch Informationen mit dem Anbieter verbindet. 7-17

8 Aufgaben Pflichtteil (alle müssen bearbeitet werden) Aufgabe 8: (10) Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. 2x 16y 2z = 1 3x + 6y + 4z = 22 6x + 14y 8z = 2 2x 16y 2z = 1 3x + 6y + 4z = 22 6x + 14y 8z = 2 Erste Gleichung mal (3), die zweite Gleichung mal (2) und addieren. 2x 16y 2z = 1 36y + 2z = 41 6x + 14y 8z = 2 Erste Gleichung mal (3) und zur dritten Gleichung addieren. 2x 16y 2z = 1 36y + 2z = 41 34y 14z = 1 Die Zweite Gleichung mal (-34), die zweite Gleichung mal (36) und addieren. 2x 16y 2z = 1 36y + 2z = z = 1430 Aus der dritten Gleichung folgt: 572z = 1430 : 572 z = 2,5 Aus der zweiten Gleichung folgt: 36y + 2z = 41 2z 36y = 41 2z = ,5 = 36 : 36 y = 1 Aus der ersten Gleichung folgt: 2x 16y 2z = 1 2x = y + 2z = ( 1) + 2 2,5 = 12 : ( 2) x =

9 L = {(6; 1; 2,5)} Aufgabe 9: (10) Im Produktionsprozess von Betrieben werden häufig Endprodukte aus verschiedenen Rohstoffen und über verschiedene Zwischenprodukte hergestellt, Für eine angemessene Verkaufsplanung benötigt der Betrieb Informationen über die voraussichtlichen Absatzmengen und die dafür bereitzustellenden Rohstoffe. Materialverflechtungsmodelle helfen dabei, derartige Aussagen zu ermöglichen. Ein einfaches Modell zeigt die folgende Abbildung Ein Chemiekonzern stellt in zwei Produktionsstufen aus 3 Rohstoffen über 4 Zwischenmischungen 2 Endprodukte her. Die Zahlen an den Pfeilen geben jeweils die benötigte n Mengeneinheiten an. Die folgende Grafik gibt die jeweiligen Zusammensetzungen an. Wie viele Rohstoffe werden zur Herstellung einer Einheit E 1 bzw. E2 benötigt? Wie groß ist die Anzahl der Rohstoffeinheiten, wenn 20 Einheiten von E 1 und 30 von E2 bestellt werden? 9-17

10 Aufgabe 10: (10) Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte

11 f(x) = 8 x + 2 Definitionsmenge: D = R\{0} Symmetrie: Punktsymmetrie: f(x) = f( x) f(x) = 8 x + 2 f( x) = (8 x + 2 x + 2 ) = 8 ( x) 2 Keine Punktsymmetrie Achsensymmetrie: f(x) = f( x) f(x) = 8 x + 2 f(x) = 8 x + 2 ( x) 2 = 8 x + 2 Keine Achsensymmetrie Schnittpunkte mit den Achsen: x-achse: f(x) = 0 f(x) = 8 x + 2 x + 2 = 0 x = 2 N x ( 2 0) y-achse: f(0) = y 11-17

12 f(x) = 8 x + 2 Geht nicht, da Null durch die Definitionsmenge ausgeschlossen wurde. Extrempunkte: f (x) = 0 f(x) = 8 x + 2 f (x) = 8 1 x2 (x + 2) 2x x 4 x 4 = 0 x = 4 = 8 x2 2 4x x 4 = 8 x2 4x x 4 = 8 x 4 x 3 f (x) = 8 x 4 x 3 f (x) = 8 ( 1) x3 ( x 4) 3 ( 1) x ( x 4) 3 x 6 = 8 x 4 x + 3x x + 12 = 8 x 4 = 8 x 4 = 16 x + 6 x 4 f (x) = 16 x + 6 x 4 f ( 4) = ( 4) 4 = = 2 16 Daraus ergibt sich ein Tiefpunkt f(x) = 8 x + 2 f( 4) = ( 4) 2 = = 1 TP( 4 1) Aufgabe 11: (10) Ein Reifenhersteller produziert Autoreifen (A) und Motorradreifen (M). Die Fertigung erfolgt auf zwei Maschinen (M1 und M2), die über eine Kapazität von 240 Zeiteinheiten (ZE) bzw. 200 ZE pro Monat verfügen. Jeder Reifen muss beide Maschinen durchlaufen. Dabei werden für die Montage eines Reifens benötigt

13 Für einen Autoreifen wird ein Deckungsbeitrag von 15 Geldeinheiten (GE) und für einen Motorradreifen wird ein Deckungsbeitrag von 13 GE erzielt. Welche Stückzahlen der einzelnen Reifentypen sind herzustellen, wenn der Deckungsbeitrag maximiert werden soll und wie lautet dieser maximale Deckungsbeitrag? 13-17

14 14-17

15 Aufgabe 12: (6) Jens Zahlt 12 Jahre lang am Ende jeden Jahres jeweils 1.500,00 Euro ein. Über welchen Betrag kann er nach 12 Jahren, also unmittelbar nach der letzten Einzahlung, verfügen, wenn der Zinssatz 4,6% beträgt? Aufgabe 13: (4) Ein Kapital von wird zu einem Jahreszinssatz von 6% zwölf Jahre lang angelegt. Berechnen Sie den Wert des Kapitals nach 12 Jahren. K n = K 0 q n = ,06 12 = ,96 Euro 15-17

16 Anhang 16-17

17 17-17