Linsen (LIN) Fakultät für Physik der Ludwig-Maximilians-Universität München Grundpraktika (6. DEZEMBER 2017) MOTIVATION UND VERSUCHSZIELE

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1 Linsen (LIN) Fakultät für Physik der Ludwig-Maximilians-Universität München rundpraktika (6. DEZEMER 27) MOTIVATION UND VERSUCHSZIELE Die geometrische Optik beschreibt die Ausbreitung des Lichts unter Vernachlässigung seiner Wellennatur, d.h. in Form von Lichtstrahlen. Voraussetzung für die Anwendung der geometrischen Optik ist, dass die optischen Elemente (Linsen oder Spiegel) groß im Vergleich zur Wellenlänge des Lichts sind. Dann ändern diese Elemente allein die Ausbreitungsrichtung des Lichts. Linsen sind die rundbausteine vieler optische Instrumente, z.. Lupe, Mikroskop oder Fotoapparat. Im Versuch wird die rennweite von verschiedenen Linsen in Luft bestimmt, sowie die sphärische Aberration und der Astigmatismus. Im letzten wird der Abbildungsvorgang in einem optischen Wannenmodell des menschlichen Auges untersucht. e/stichwortliste 1. Optische Linsen Hauptebene. Optische Achse, rennpunkt, -weite und -ebene. Verlauf eines ündels von Parallelstrahlen, das achsenparallel oder schräg auf eine Linse einfällt. ildkonstruktion bei Sammel- und Zerstreuungslinse, reelles bzw. virtuelles ild. 2. Abbildungsgleichung Abbildungsmaßstab und -gleichung. Verkleinerte und vergrößerte Abbildung, experimentelle estimmung der rennweite, Messunsicherheit der erennweite. rechkraft: Definition, Einheit, esamtbrechkraft eines Linsensystems. 3. Auge, sphärische renzfläche Optischer Aufbau des menschlichen Auges, auftretende rechungsindizes und rechkräfte. Strahlenverlauf an einer sphärischen renzfläche zwischen zwei Medien mit verschiedenen rechungsindizes. ln. (6), (7) ohne Herleitung: rechkraft einer sphärischen renzfläche in Abhängigkeit vom Krümmungsradius. rechkraft einer Linse zwischen zwei Medien. 4. Augenmodell, Fehlsichtigkeit, Linsenfehler Augenmodell. Arten der Fehlsichtigkeit, Korrektur. Sphärische Aberration: Entstehung (Skizze), experimentelle estimmung. Astigmatismus: astigmatische Linse, rennlinien (Skizze), experimentelle estimmung, Korrektur. I. PHYSIKALISCHE RUNDLAEN Abb. 1 illustriert für einen einfachen Fall, wie zwei Lichtstrahlen senkrecht auf eine Linse einfallen. Der (2) (1) Hauptebene Abbildung 1: Konstruktion der Hauptebene bei einer symmetrischen bikonvexen Linse. Strahl (1) durch die Mitte der Linse erfährt keinerlei Ablenkung er trifft tatsächlich senkrecht auf die gekrümmte Oberfläche. Der parallele Strahl (2) trifft allerdings schräg auf die Linsenoberfläche und wird beim Ein- und Austritt an den renzflächen der Linse gebrochen (vgl. Versuch OPT). Diese beiden rechungen lassen sich vereinfacht durch eine rechung an einer gedachten Ebene beschreiben, die senkrecht zum Strahl (1) durch die Linsenmitte ist. Dies ist die sogenannte Hauptebene der Linse. In Abb. 2 sind verschiedene Linsenformen skizziert. Dabei unterscheidet man konvexe (nach außen gewölbte) und konkave (nach innen gewölbte) Linsen. Nur bei symmetrischen bikonvexen und bikonkaven Linsen kann man leicht die Hauptebene finden (s. Abb. 1). F I.1. Optische Linsen Im allgemeinen sind optische Linsen durchsichtige Körper aus einer lichtbrechenden Substanz, die von gekrümmten Flächen begrenzt werden. Einfache Linsen sind durch die Oberflächen zweier Kugelabschnitte begrenzt. Eine solche Linse besteht also aus einer sphärischen renzfläche zwischen Luft und las und einer zweiten zwischen las und Luft. Abbildung 2: Schnittbilder von einfachen Linsenformen.

2 2 I.2. Strahlengang und ildkonstruktion Für die Konstruktion des Strahlengangs an einem optischen Element sind die folgenden rößen hilfreich. Die optische Achse (OA) ist die Verbindungslinie der Mittelpunkte der beiden sphärischen Flächen, die die (einfache) Linse begrenzen. ei einer konvexen Linse werden Strahlen, die parallel zur optischen Achse einfallen, hinter der Linse im rennpunkt F (Fokus) vereinigt man spricht von einer Sammellinse (Abb. 3a). ei einer konkaven Linse verlaufen die parallel zur optischen Achse einfallenden Strahlen hinter der Linse derart divergent auseinander, als würden sie vom rennpunkt F herkommen (Zerstreuungslinse, Abb. 3b). Unter der rennweite f versteht man den Abstand des rennpunktes von der Hauptebene der Linse. ei Zerstreuungslinsen ist f per Konvention negativ. Wichtig ist weiterhin die sogenannte rennebene. Sie verläuft durch den rennpunkt und senkrecht zur optischen Achse. Verläuft ein ündel paralleler Strahlen nicht mehr parallel zur optischen Achse, sondern trifft es schräg auf die Linse auf, so werden die Strahlen bei einer Sammellinse nicht mehr im rennpunkt, sondern in einem Punkt auf der rennebene vereinigt, Abb. 4a. ei einer Zerstreuungslinse verlaufen sie entsprechend divergent auseinander, als würden sie von einem Punkt in der rennebene herkommen, Abb. 4b. Linsen, deren Eigendicke in Richtung der optischen Achse im Vergleich zur rennweite vernachlässigt werden kann, werden als dünne Linsen bezeichnet. Die Eigendicke stellt dann einen Messfehler z.. bei der direk- Abbildung 4: rechung schräg einfallender paralleler Strahlen an der Sammellinse (a) und der Zerstreuungslinse (b). ten Messung der rennweite f dar, da die Hauptebene im Inneren der Linse liegt. ei der ildkonstruktion malt man nicht wie in den bisherigen Abbildungen eine Linse, sondern man repräsentiert eine dünne Linse durch einen langen senkrechten Strich an der Stelle der Hauptebene mit Pfeilspitzen an beiden Enden nach außen bzw. innen (s. Abb. 5). a) b) Abbildung 5: Skizze für eine Sammellinse (a) und eine Zerstreuungslinse (b). Abbildung 3: rechung von Parallelstrahlen an der Sammellinse (a) und der Zerstreuungslinse (b). Abb. 6 zeigt exemplarisch den Verlauf der Strahlen, die man für eine ildkonstruktion benötigt. Der Mittelpunktsstrahl geht von der Spitze des egenstandes aus zum Mittelpunkt der Linse, d.h. zum Schnittpunkt von optischer Achse und Hauptebene, und ohne Richtungsänderung durch die Linse hindurch. In der Linsenmitte sind die begrenzenden lasflächen der Linse fast parallel wie bei einer Fenster-

3 3 Parallelstrahl Mittelpunkts strahl Abbildung 6: ildkonstruktion an einer dünnen Sammellinse. Der Strahlengang ist umkehrbar (s. Text). F OA scheibe. Dadurch wird der Strahl nur ein wenig parallel versetzt, was bei dünnen Linsen vernachlässigt werden kann. Der Parallelstrahl, der vom egenstand aus parallel zur optischen Achse einfällt, wird bei Sammellinsen stets zum rennpunkt hin gebrochen. ei Zerstreuungslinsen (Abb. 7) wird er so gebrochen, als käme er vom rückwärtigen rennpunkt. Parallelstrahl dünne Linse hat also zwei rennpunkte, die symmetrisch zur Hauptebene liegen. Der rennpunktsstrahl verläuft von direkt zum zweiten rennpunkt, und sein Schnittpunkt mit der Hauptebene definiert die Höhe des abgebildeten Punktes von. ei Zerstreuungslinsen muss der rennpunktsstrahl wie der Parallelstrahl rückwärts verlängert werden, um das ild zu erreichen (Abb. 7). Das Vertauschen der Rollen von und in Abb. 6 zeigt außerdem, dass Lichtwege umkehrbar sind. Deshalb gibt es bei der Sammellinse zwei Positionen, die ein scharfes ild liefern. Ist die Linse weit entfernt vom egenstand, d.h. ist die sog. egenstandsweite g > 2f, so wird das ild verkleinert. Im umgekehrten Fall wird das ild vergrößert. Abb. 8 (unten) illustriert den Spezialfall 2f > g > f. Der Fall f > g entspricht der Verwen- g b F OA Mittel punktsstrahl F OA g F OA Abbildung 7: ildkonstruktion an einer dünnen Zerstreuungslinse. Der Parallelstrahl wird rückwärtig verlängert (gestrichelt). Der Schnittpunkt von Mittelpunkts- und Parallelstrahl ist der ildpunkt, auf den der Ausgangspunkt die Spitze von optisch abgebildet wird. Entsprechend werden alle Lichtstrahlen, die vom Ausgangspunkt kommen und das optische Element passieren, im ildpunkt der Spitze von vereint. Im Falle von Abb. 6 entsteht das resultierende ild tatsächlich auf rund von Lichtstrahlen, die am Ort des ildes gebündelt werden. Es ist also ein reelles ild, welches auf einem Schirm sichtbar gemacht werden kann. Im egensatz dazu kann die Zerstreuungslinse kein reelles ild liefern. Schaut ein etrachter in Abb. 7 von rechts auf die Linse, so scheinen alle Lichtstrahlen von einem verkleinerten virtuellen ild links von der Linse zu kommen, wo sich der Mittelpunktsstrahl und der rückwärts verlängerte Parallelstrahl schneiden. In beiden Abbildungen ist noch ein dritter Strahl gepunktet eingezeichnet der sog. rennpunktsstrahl. In Abb. 6 kommt er zustande, wenn man bei der ildkonstruktion an der Sammellinse die Rollen von und vertauscht. Dann ist klar, dass auf der anderen Seite der Linse ein zweiter rennpunkt liegt. Jede Abbildung 8: Verkleinerte (oben) und vergrößerte Abbildung (unten) mit zugehörigen egenstands- und ildweiten. dung der Sammellinse als Lupe, was den Strahlengang deutlich verändert (ohne Abb., vgl. Versuch OIN). In der Praxis treffen Parallel- und rennpunktsstrahl oft außerhalb der Linse auf die Hauptebene. eide Strahlen dienen dann lediglich als Hilfsmittel zur ildkonstruktion. Dies tut der realen ildentstehung jedoch prinzipiell keinen Abbruch, da alle Strahlen, die vom egenstandspunkt kommen und die Linse passieren, im ildpunkt abgebildet werden. I.3. Die Abbildungsgleichung für eine Linse Reduziert man die ildkonstruktion aus Abb. 6 o. 8 auf ihr geometrisches erippe, so bleibt Abb. 9 übrig, wobei nun die egenstandsgröße und die ildgröße bezeichnet. Aus ihr lässt sich wegen der Ähnlichkeit 1 1 Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie z.. in zwei (und damit in allen) Winkeln übereinstimmen. b

4 4 Abbildung 9: Zur Herleitung der Abbildungsgleichung. Abbildung 10: Verlauf der rennpunktsstrahlen eines Linsensystem. der Dreiecke (I) und (II + III) unmittelbar die Formel für den Abbildungsmaßstab β ablesen: β = = b g, (1) d.h. ildgröße zu egenstandsgröße verhält sich wie ildweite zu egenstandsweite. Der Abbildungsmaßstab ist eng verwandt mit der Vergrößerung einer Linse oder eines optischen Instrumentes (vgl. Versuch OIN). Auch die beiden Dreiecke (III) und (IV) sind ähnlich: woraus mit l. (1) folgt: f = b f, g b = = f b f. Diese Formel stellt einen direkten Zusammenhang zwischen egenstandsweite g, ildweite b und rennweite f her. Einige algebraische Umformungen ergeben die Abbildungsgleichung 1 g + 1 b = 1 f. (2) Die Herleitung dieser leichung wurde hier für eine Sammellinse durchgeführt; sie gilt aber auch für Zerstreuungslinsen, wobei dann die rennweite und die ildweite negativ sind. kann: 1 f f 2 = 1 f. (3) Das Rechnen mit den Reziprokwerten in l. (3) ist in der Praxis aber recht umständlich. Man definiert deswegen die rechkraft als den Quotienten aus dem rechungsindex n des umgebenden Mediums und der rennweite der Linse: D = n f mit [D] = 1 = dpt (Dioptrie). (4) m Im Vakuum ist n = 1, ähnlich wie in Luft (n Luft 1,0), so dass praktischerweise meist mit D = 1/f gerechnet werden kann. Eine rillenlinse von 1 m rennweite hat demnach die rechkraft 1 dpt und eine Linse von 0,25 m rennweite 4 dpt. emäß l. (3) kann man also die rechkräfte zweier in kleinem Abstand hintereinander gestellter Linsen direkt addieren. Dies gilt auch für mehrere Linsen hintereinander: D = D 1 +D 2 +D , (5) denn jede Einzellinse in Abb. 10 könnte man von vorne herein auch als Linsensystem (mit bekannter rennweite) auffassen, für das seinerseits l. (3) auch wieder gilt. l. (5) für die Addition der rechkräfte gilt nicht nur für Linsen, sondern generell für Systeme aus optischen Elementen, was der folgende Abschnitt verdeutlicht. I.4. Optische Systeme und rechkraft I.5. rechung an einer sphärischen renzfläche Stellt man zwei Linsen der rennweite f 1 und f 2 mit gemeinsamer optischer Achse direkt hintereinander auf, so erhält man ein Linsensystem. Um die esamtbrennweite dieses Systems anzugeben, hilft Abb. 10, die zwei verschiedene dünne Sammellinsen mit kleinem Abstand zueinander zeigt. Ein egenstand, der sich im rennpunkt der ersten Linse befindet, wird in den rennpunkt der zweiten Linse abgebildet dort entsteht ild. Also ist f 1 = g und f 2 = b, womit die esamtbrennweite f des Systems direkt aus l. (2) abgelesen werden In diesem Abschnitt wird eine Formel zur erechnung der rechkraft einer sphärischen Fläche an der renze zweier Medien hergeleitet. Das Ergebnis führt zu einem tieferen Verständnis der optischen Abbildung durch eine Linse und ermöglicht es, im Anschluss das Abbildungsverhalten des menschlichen Auges zu analysieren. Abb. 11 zeigt zwei optische Medien mit den rechungsindizes n 1 und n 2, die durch eine sphärische Fläche voneinander getrennt sind. Vom egenstandspunkt auf der optischen Achse geht ein Strahl aus, der nach der rechung an der renzfläche die optische Achse im ildpunkt wieder trifft

5 5 1 2 r Abbildung 11: Zur Abbildung an einer sphärischen renzfläche zwischen zwei Medien; Der Krümmungsradius der Sphäre ist r, und M ist der Mittelpunkt der Kugel jede von ihm ausgehende erade steht senkrecht auf der sphärischen Fläche, d.h. sie bildet ein Lot darauf. dies impliziert n 2 > n 1. Nach dem rechungsgesetz gilt für den Strahl n 1 sinα = n 2 sinβ. Der Einfallswinkel α und der rechungswinkel β lassen sich durch drei Hilfswinkel ausdrücken: α = ϕ+δ und β = δ ϑ. ei der weiteren Herleitung ist es wesentlich, dass man sich auf achsennahe Strahlen beschränkt. Dadurch bleiben die auftretenden Winkel klein, und das ogenstück l lässt sich (näherungsweise) als gerade Strecke behandeln, die senkrecht zur optischen Achse verläuft. In Abb. 11 gilt also für die drei rechtwinkligen Dreiecke, in denen diese Strecke als Kathete auftaucht: tanϕ = l g, tanδ = l r und tanϑ = l b. Wegen der Achsennähe sind die Winkel ϕ, δ und θ klein, d.h. unter 10. Für jeden beliebigen kleinen Winkel γ kann man sinγ γ tanγ nähern, wenn der Winkel im ogenmaß ausgedrückt wird. Das rechungsgesetz reduziert sich dann auf n 1 α = n 2 β. Setzt man hier die obigen Hilfswinkel auch entsprechend genähert ein, folgt ( l n 1 g + l ) ( l = n 2 r r l ). b Einige Umformungen ergeben daraus schließlich die nützliche Formel n 1 g + n 2 b = n 2 n 1 r. (6) Rückt der egenstandspunkt in Abb. 11 nach links ins Unendliche, so geht hier n 1 /g gegen Null und damit fällt b mit der bildseitigen rennweite f zusammen. Auf der linken Seite von l. (6) steht dann die rechkraft einer sphärischen renzfläche D sph. = n 2 = n 2 n 1 f r. (7) Die analoge Überlegung für den umgekehrten Lichtweg ergibt gegenstandsseitig die rennweitef und dieselbe rechkraft D sph. = n 1 = n 2 n 1 f r Diese Formeln gelten auch für Flächen, die zur anderen Seite hin gekrümmt sind, jedoch ist dann der Krümmungsradius negativ ebenso wie die rennweite und die rechkraft. Schliesslich kann man damit die rechkraft einer Linse berechnen, die links und rechts von verschiedenen optischen Medien begrenzt ist. Dazu betrachten wir den in Abb. 12 schematisch dargestellten Abbildungsvorgang, n 1 M 2 g 01 n L r r Abbildung 12: Abbildungsvorgang durch eine Linse des rechungsindex n L zwischen zwei verschiedenen Medien. wobei zu beachten ist, dass der Krümmungsradius r 1 positiv ist und r 2 dagegen negativ. Die hierfür gültige Abbildungsgleichung ist n 1 g + n 2 b = n L n 1 + n 2 n L mit r 2 < 0. (8) r 1 r 2 Diese Formel enthält l. (6) als Spezialfall, der sich ergibt, falls n L = n 2 ist. Man kann sie analog zu l. (6) herleiten (nur langwieriger). Die rechte Seite von l. (8) entspricht der Summe zweier rechkräfte. Diese ergibt die esamtbrechkraft der Linse D L = D sph.,1 +D sph.,2 = n L n 1 r 1. b n 2 M + n 2 n L r 2. (9)

6 6 Dieses Ergebnis kann auch aus l. (8) gefolgert werden, wenn man wieder die egenstandsweite(n) unendlich groß werden lässt. Die Formeln (8) und (9) bleiben gültig, falls (anders als in Abb. 12) eine oder beide Linsenflächen nach innen gekrümmt sind man muss lediglich jeweils das korrekte Vorzeichen für den Krümmungsradius wählen. Also ist die esamtbrechkraft D C +D L 60 dpt. Dies zeigt den großen eitrag der Cornea. Andererseits sieht man auch, dass jene Sehfehler, die man durch rillen einiger Dioptrien korrigiert, nur einen kleinen ruchteil der esamtbrechkraft des Auges betreffen. I.6. Das Auge Der Aufbau des Auges ist in Abb. 13 skizziert. Für den Abbildungsvorgang auf die Netzhaut (Retina) sind drei Elemente mit unterschiedlichen rechungsindizes ver- Abbildung 14: Korrektur der Weit- (links) bzw. Kurzsichtigkeit (rechts) des Auges mit einer Sammel- bzw. Zerstreuungslinse (gestrichelt: Abbildung eines unendlich entfernten egenstandes ohne Korrektur). Abbildung 13: Optischer Aufbau eines menschlichen Auges. antwortlich: die Hornhaut (Cornea), die das Kammerwasser von der Außenluft trennt, die Linse und der laskörper. Das Auge kann sowohl nahe gelegene, wie auch entfernte egenstände scharf auf die Retina abbilden, obwohl die ildweite (Entfernung zwischen Augenlinse und Retina) immer gleich bleibt. Die Linse kann nämlich durch Kontraktion bzw. Dehnung des Ziliarmuskels ihre Krümmungsradien verändern und damit die rennweite, was die Akkomodation ermöglicht. (eim Projektor regelt man bei starrer lasoptik die egenstandsweite, bei der Kamera die ildweite zum Zweck einer guten Abbildung.) Die Iris begrenzt das einfallende Lichtbündel also die auf die Retina einfallende Menge an Strahlungsenergie (Helligkeit). Die Kenngrößen des Auges haben ungefähr die folgenden Mittelwerte: Krümmungsradius der Cornea r = 7,8 mm, Krümmungradien der Linse r 1 = 10 mm und r 2 = 6,0 mm, rechungsindex des Linsenmaterials n Linse = 1,4, rechungsindex des Kammerwassers und des laskörpers n 1 = n 2 = 1,336. Die rechkraft der Cornea, l. (7), ergibt sich zu D C = 1,336 1,0 0,0078m 43 dpt. Die rechkraft der Linse, l. (9), ergibt sich zu D L = 1,4 1,336 0,0m + 1,336 1,4 0,0060m 17 dpt. Die ilder, die das Auge erzeugt, sind für uns nur dann wertvoll, wenn sie naturgetreu und scharf sind. Unsere Augen dürfen daher möglichst keine Fehler haben oder müssen mit einer passenden rille korrigiert werden. Ist die rennweite eines Auges zu groß, d.h. seine rechkraft zu klein, so entstehen die ilder erst hinter der Retina. Man bezeichnet ein solches Auge als weit- oder übersichtig (hyperop). Zur eseitigung dieses Augenfehlers verwendet man Sammellinsen als rillengläser. erade umgekehrt ist es bei der Kurzsichtigkeit (Myopie), die durch Vorschaltung einer Zerstreuungslinse korrigiert werden kann (Abb. 14). Das Auflösungsvermögen beim normalen Auge beträgt etwa eine ogenminute, d.h. 1 = (1/60) und ist durch die Struktur der Netzhaut festgelegt. Voraussetzung für eine Abbildung ist nämlich, dass von hinreichend vielen egenstandspunkten jeweils entsprechende ildpunkte auf der Retina erzeugt werden. Zeichnen wir von zwei egenstandspunkten jeweils den Mittelpunktsstrahl durch das Linsensystem des Auges, so muss der Winkel zwischen ihnen mindestens 1 betragen, damit die ildpunkte einen Mindestabstand von ungefähr 4µm auf der Netzhaut haben. Dann liegen sie auf verschiedenen Rezeptoren der Netzhaut und werden schließlich als getrennte ildpunkte wahrgenommen. Der Vollmond erscheint uns unter einem Winkel von 30 ogenminuten. Seine größeren Mare kann man als dunkle Flecken erkennen, nicht aber die Krater. Viele der größten unter ihnen liegen knapp unter einer ogenminute und können einfach mit einem Fernglas erkannt werden. Ein höheres Auflösungsvermögen wird also mit optischen Instrumenten möglich wie z.. Fernglas oder Mikroskop. Diese vergrößern den Winkel zwischen zwei egenstandspunkten und damit den Abstand der ildpunkte auf der Retina. I.7. Linsenfehler 1. Sphärische Aberration ei den bisherigen Überlegungen wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass die Lichtstrahlen achsennah auf die Linsen einfallen. Dies ist aber nicht immer der Fall. ei sphärischen Linsen werden die achsenfernen Strahlen

7 7 stärker gebrochen, d.h. sie schneiden in kürzerem Abstand die optische Achse. ei gleicher egenstandsweite g wird also die ildweite im Fall der Strahlen am Rand kleiner (Abb. 15). Diese Erscheinung bezeichnet man als g Wir sind bisher von der Vorstellung ausgegangen, dass die Augenlinse durch Kugelflächen begrenzt wird. In der Realität sind jedoch oft die Krümmungsradien in zwei senkrecht zueinander verlaufenden Schnittebenen mehr oder weniger verschieden. Das hat zur Folge, dass ein achsenparalleles Lichtbündel nicht mehr durch einen einzigen rennpunkt verläuft, vgl. Abb. 16. Die unterschiedlichen Krümmungsradien entsprechen zwei verschiedenen rennweiten einer in der Horizontalebene (f 1 ) und einer in der Vertikalebene (f 2 ). In Abb. 16 ist f 1 kleiner als f 2, d.h. während das Horizontalbündel schon maximal eingeschnürt ist, hat das Vertikalbündel dort noch eine endliche Höhe. Man beobachtet eine senkrechte rennlinie statt eines rennpunktes. In etwas größerem Abstand von der Linse entsteht entsprechend eine waagrechte Linie. Durch die rennweiδ 1Z Abbildung 16: Entstehung des Astigmatismus. lende lende Hauptebene Abbildung 15: Sphärische Aberration: Randstrahlen (R) werden stärker gebrochen als zentrale Strahlen (Z). sphärische Aberration. Ihre röße wird durch die Differenz der rennweiten von zentralen Strahlen (nahe der Achse) und Randstrahlen (fern der Achse) beschrieben: b 2 R b 1 Z 2R d f = f Z f R. (10) Nach Messung von b Z und b R ergibt l. (2) direkt d f. Die sphärische Aberration tritt bei allen Linsen mit Kugelflächen auf. Sie spielt bei Helligkeit (kleine Irisblende) so gut wie keine Rolle, jedoch tragen bei Dunkelheit (weit geöffnete Iris) auch die Randstrahlen zur Abbildung bei. Dies beeinträchtigt aber die ildschärfe im Auge, was das Erkennen mühsamer macht: Schlechtes Dunkelsehen. Das schärfere Sehen bei guter eleuchtung liegt also primär an der geringen sphärischen Aberration, nicht an der größeren Helligkeit, die das Auge ja gerade über die Iris nachregelt. tendifferenz δf = f 2 f 1 kann man die röße des Astigmatismus kennzeichnen. In der Praxis auf der optischen ank kann man den Astigmatismus eines rillenglases dadurch messen, dass man eine punktförmige Lichtquelle (Lochblende) im Endlichen auf einen Schirm abbildet. Die beiden Positionen der orthogonalen ildlinien legen zwei Wertepaare g 1 und b 1, bzw. g 2 und b 2 fest, die mit Hilfe von l. (2) entsprechend f 1 und f 2 ergeben. Korrigiert wird der Astigmatismus des Auges durch eine Zylinderlinse ein las mit derselben astigmatischen Eigenschaft, das zur Kompensation des Fehlers um 90 verdreht in das rillengestell montiert wird. Ist der Astigmatismus gering (f 2 δf f 1), so wählt das ehirn eine zwischen f 1 und f 2 liegende Distanz für das Sehen im Unendlichen. Die Sehschärfe ist aber herabgesetzt. Ist der astigmatische Fehler größer, dann pendelt die Augenlinse zwischen den beiden rennlinien hin und her, um verwertbare Daten weiterliefern zu können, während das ehirn permanent mittelt. Das ist jedoch ermüdend und verursacht typischerweise Kopfschmerzen. II. TECHNISCHE RUNDLAEN II.1. Zubehör 2. Astigmatismus Optische ank mit Reitern, Lichtquelle, Justiernadel, Schirm, Positionierhilfe, drei verschiedene Dias, Positionierhilfe, Sammellinse (L S ), rillenglas ohne Astigmatismus (L1, L2 oder...), rillenglas mit Astigmatismus (LA1, LA2 oder...); Starbrillenglas (LS1, LS2 oder...); Sphärometer; große Konvexlinse mit Loch- und Kreisblenden und Haftmagnete (in Styroporbehälter); Augenmodell (Plexiglasgefäß mit sphärischer Fläche), dazu Linse, Schirm (Modell-Netzhaut); Rollbandmaß, Probegläser mit Halterung (beim etreuer erhältlich). II.2. rennweitenbestimmung mit Hilfe der Abbildungsgleichung Zwischen einem egenstand, der von einer Lichtquelle beleuchtet wird, und einem Schirm lässt sich eine

8 8 beleuchteter egenstand (Dia) Licht quelle x D g Linse x b Schirm x S II.3. Sphärometer Das Sphärometer dient zur estimmung des Krümmungsradius einer Linse. itte lassen Sie sich die Funktionsweise von Ihrem etreuer erklären. III. VERSUCHSDURCHFÜHRUN Abbildung 17: Schematischer Versuchsaufbau mit verschiebbarer Linse. III.1. Sammellinse verschiebbare Linse anbringen (vgl. Abb. 17). Wird ein scharfes ild auf dem Schirm erzeugt, so gilt die Abbildungsgleichung. In diesem Fall lassen sich aus der Linsenposition x die egenstandsweite g und die ildweite b berechnen und damit schließlich auch f. Während des Versuchs bleibt der Abstand zwischen der Lichtquelle und dem Schirm fest. Da jedoch Lichtwege umkehrbar sind, kann man durch Verschieben der Linse gemäß Abb. 18 zwei (symmetrische) Positionen finden, die ein scharfes ild liefern. Ist die Linse näher am egenstand (g < b), so wird das ild wegen l. (1) vergrößert und im umgekehrten Fall verkleinert. estimmung der Messunsicherheit Die eigentliche Messgröße bei diesem Versuchsaufbau ist die Linsenposition x mit einer gewissen Unsicherheit x. Es ist rechnerisch ein wenig mühsam, daraus die Unsicherheit f für die rennweite zu bestimmen. Erfreulicherweise liefert die Formel f x (11) eine einfache und realistische Abschätzung dafür. g 1 b 1 estimmung der rennweite einer Sammellinse mit Hilfe der Abbildungsgleichung. Position von Dia x D und Schirm x S Linsenposition x 1 für die vergrößerte Abbildung Linsenposition x 2 für die verkleinerte Abbildung geschätzte Messunsicherheiten x 1 bzw. x 2 der Linsenpositionen Verwenden Sie die Sammellinse im schwarzen Rahmen mit der Kennzeichnung L S. Die Lichtquelle und der Schirm werden in möglichst großem Abstand voneinander auf der optischen ank aufgestellt, die matte Fläche des Schirms der Lichtquelle zugewandt (ildentstehung auf der matten Fläche, eobachtung von der glatten aus). eides bleibt im folgenden so stehen. Das Dia (Kaiser Maximilian) wird in die Halterung an der Lichtquelle eingeklemmt. Nehmen Sie die Halterung, die von der Lampe am weitesten weg ist weiße Seite des Diarahmens zur Lampe hin. Mit Hilfe der Justiernadel wird die Linse auf die gleiche Höhe wie das Dia gebracht. Protokollieren Sie die Messung in Tabellenform, z.. Abbildung x i /cm x i /cm g i /cm b i /cm vergrößert verkleinert Zur Abschätzung von x drehen Sie die Linse um 180, wechseln sich beim eobachten des Schirms ab und bestimmen die Positionen der Linse für die vergrößerte und verkleinerte Abbildung erneut. 1 Hinweis zu den folgenden en 2 g 2 b 2 Abbildung 18: Vergrößerte und verkleinerte Abbildung. Notieren Sie weiterhin immer die Messunsicherheit der Linsenposition (bzw. bei III.6. die der ildweite). Sie ist entscheidend für die Messunsicherheit des Endergebnisses; allerdings variiert sie von Versuch zu Versuch, da es unterschiedlich schwer zu sagen ist, bei welcher Position die Abbildung auf dem Schirm am schärfsten ist.

9 9 III.2. rillenglas estimmung der rennweite eines rillenglases (ohne Astigmatismus) mit Hilfe der Abbildungsgleichung und durch Verwendung des Sphärometers. uchstabenkennzeichnung (L mit Zahl dahinter) der verwendten Linse Linsenposition x 1 für die vergrößerte Abbildung Linsenposition x 2 für die verkleinerte Abbildung Sphärometerwerte für die ebene Fläche und beide Linsenoberflächen; resultierende rechraft D Wiederholen Sie das Prozedere aus III.1. mit entsprechender Tabelle. - Vermessen Sie das rillenglas mit dem Sphärometer, und bestimmen Sie aus diesen Werten direkt am Arbeitsplatz die rechkraft (ohne Messunsicherheit). Der rechungsindex des rillenglases ist n = 1,5. Liegt Ihr Wert nicht zwischen 1 dpt und 10 dpt, sollten Sie die Messung wiederholen. III.3. Starbrillenglas estimmung der rennweite des Starbrillenglases mit Hilfe der Abbildungsgleichung und durch Verwendung des Sphärometers. uchstabenkennzeichnung (LS mit Zahl dahinter, nicht LS7) der verwendten Linse Linsenpositionen für die vergrößerte und die verkleinerte Abbildung Sphärometerwerte für beide Linsenoberflächen Der Messvorgang läuft wie bei dem einfachen rillenglas ab, nur ist er in der Praxis schwieriger durchzuführen. eim Abschätzen der Unsicherheit x ist die Unsicherheit beim Scharfstellen und die große Linsendicke besonders zu berücksichtigen. Vermessen Sie auch diese Linse mit dem Sphärometer. III.4. Sphärische Aberration estimmung der sphärischen Aberration der großen Linse. Linsenpositionen für vergrößerte Abbildung durch die Zentralstrahlen und durch die mittleren Randstrahlen Verwenden Sie die große Linse im Styroporbehälter mit den entsprechenden lenden und Magneten. III.5. Astigmatisches rillenglas estimmung des Astigmatismus eines rillenglases. uchstabenkennzeichnung (LA mit Zahl dahinter) der verwendten Linse Linsenpositionen für die vergrößerte Abbildung durch die Strahlen in der Waagerechten und durch die Strahlen in der Senkrechten Verwenden Sie die kleine kreisförmige lende vor der Lichtquelle anstelle des Dias. etrachten Sie nur die vergrößerte Abbildung. Schieben Sie die Linse von der Lochblende weg, bis Sie eine der ildlinien der lende möglichst scharf auf dem Schirm beobachten. Danach verschieben Sie die Linse weiter von der lende weg, bis die dazu senkrechte ildlinie auf dem Schirm möglichst gut zu beobachten ist. III.6. Untersuchungen am Augenmodell estimmung der rechkraft des Augenmodells vor und nach Staroperation, Ausprobieren einer Starbrille. egenstands- und ildweite beim Augenmodell mit Linse eobachtung der Abbildung nach Staroperation rechkraft des Probeglases ( postoperativ ) ildweite beim Augenmodell ohne Linse 1. Aufbau des Augenmodells Als egenstand wird die gerahmte, mit Löchern versehene Alufolie verwendet. Die Plexiglaswanne wird mit zwei Reitern auf der optischen ank fest aufgestellt, so dass die sphärische Fläche ca. 25 cm vom egenstand entfernt ist (s. Abb. 19). Die Höhe der Wanne wird mit Hilfe der Justiernadel so eingestellt, dass die Mitte der sphärischen Fläche genauso hoch ist wie die Mitte des egenstandes. Füllen Sie die Wanne mit vollentsalztem Wasser, und hängen Sie die Linse direkt hinter der sphärischen Fläche ein.

10 10 Plexiglaswanne Diskutieren Sie die Schwankung im Vergleich zur geschätzten Messunsicherheit der Linsenpostionen. egenstand IV.2. rillenglas Abbildung 19: Optisches Augenmodell. estimmen Sie die rennweite wie in IV.1. erechnen Sie f aus der rechkraft der Sphärometermessung, und vergleichen Sie dies mit der rennweite aus der Messung an der optischen ank. Welche Messung ist die bessere? egründen Sie Ihre Antwort. Positionieren Sie die kleine Mattscheibe im Wasser hinter der Linse dort, wo die Abbildung am besten erscheint das entspricht der Position der Netzhaut. Die Mitte zwischen der sphärischen Fläche und der Linse dient als ezugspunkt zur Messung der egenstandsweite g und der ildweite b 1 mit dem Maßband. 2. Ausführung einer Staroperation Entfernen Sie die Linse aus der Plexiglaswanne. - Wie verändert sich das ild? Verpassen Sie nun dem Modellauge eine Starbrille : Suchen Sie aus dem Sortiment von Probegläsern eines heraus, das vor die sphärische Fläche gehalten die Wirkung der entnommenen Linse in etwa ersetzt. Notieren Sie den Dioptrienwert (er steht am riff), bevor Sie das Probeglas in den Kasten zurücklegen. 3. rechkraft der sphärischen renzfläche Verschieben Sie die kleine Mattscheibe im Modell weiter nach hinten, bis die Abbildung wieder möglichst optimal ist. Notieren Sie die neue ildweite b 2 die egenstandsweite ist unverändert. eachten Sie, dass die sphärische Fläche allein ein scharfes ild in unserer Wanne erzeugen kann. itte entleeren Sie das Augenmodell vor dem Abbau. IV. AUSWERTUN Mit Ausnahme der Sphärometermessungen müssen Sie alle quantitativen Ergebnisse mitsamt Messunsicherheit angeben (s. Merkblatt)! IV.1. Sammellinse erechnen Sie gemäß l. (2) aus Ihren Werten für das vergrößerte bzw. für das verkleinerte ild zwei Mal die rennweite der Linse L S. Stimmen beide rennweiten innerhalb der Messunsicherheiten überein? ilden Sie den Mittelwert f LS und die zugehörige Schwankung. IV.3. Starbrillenglas estimmen Sie die rennweite wie in IV.2. aus der Messung an der optischen ank und der Sphärometermessung. Vergleichen Sie beide Werte. eben Sie auch die Dioptrienzahl der Starbrille an. IV.4. Sphärischen Aberration estimmen Sie die rennweite f Z für das zentrale ündel und f R für die Randstrahlen, und berechnen Sie die sphärische Aberration. IV.5. Astigmatisches rillenglas Ermitteln Sie die rennweiten für die beiden Lichtbündel in den zueinander senkrechten Ebenen, und bestimmen Sie den Astigmatismus des rillenglases. IV.6. Untersuchungen am Augenmodell Nach ln. (6) und (7) kann man die rechkraft der spärischen Fläche (mit oder ohne Linse) gemäß D = n 1 g + n 2 b mitn 1 = 1 für Luft undn 2 = 1,33 für Wasser berechnen: 1. für das vollständige Augenmodell, also das optische System aus sphärischer Fläche und Linse in Wasser unter Verwendung von g und b 1 und 2. für das staroperierte Auge mit g und b 2. Welcher Anteil der esamtbrechkraft entfällt im Modell also allein auf die laslinse im Wasser? War demnach die Auswahl Ihrer Probebrille sinnvoll? 3. erechnen Sie den Krümmungsradius der sphärischen Fläche im Modell mit Hilfe von l. (7).