Grundlagen der Statistik

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1 Grundlagen der Statistik Übung FernUniversität in Hagen Alle Rechte vorbehalten Fakultät für Wirtschaftswissenschaft

2 Übersicht über die mit den Übungsaufgaben geprüften Lehrzielgruppen Lehrzielgruppe 1: Grundbegriffe und Häufigkeitsverteilungen Aufgaben: 1 6, 13 und 14 Lehrzielgruppe 2: Untersuchung von Zusammenhängen zwischen Merkmalen Aufgaben: 7-9 Lehrzielgruppe 3: Zeitabhängige Merkmale und Indexlehre Aufgaben: 10-12

3 Aufgabe 1 (5 RP) In einer Untersuchung werden die Merkmale inwohnerzahl bx 1 g, Pro-Kopf-inkommen X 2 Arbeitslosenquote X 3 b g in verschiedenen Gemeinden erhoben. (x aus 5) A Alle Merkmale sind quantitative Merkmale. 1 b g und X 1 ist ein diskretes Merkmal. as Pro-Kopf-inkommen X 2 und die Arbeitslosenquote X 3 sind diskrete Merkmale. ine Skalentransformation für diese Merkmale braucht nur eineindeutig zu sein. Für die gegebenen Merkmale ist das arithmetische Mittel ein geeigneteres Lagemaß als der Modus. Aufgabe 2 (8 RP) Gegeben sei die statistische Reihe x, x, x,..., x, n N n (x aus 4) A ie Summe der betragsmäßigen Abweichungen der eobachtungswerte vom n arithmetischen Mittel xi x ist 0. i= 1 ie statistische Reihe sei transformiert durch yi = axi+ b, i= 1,..., n. ann gilt: y= ax+ b. Zur statistischen Reihe komme eine weitere Merkmalsausprägung x n+1 hinzu. as neue arithmetische Mittel x neu berechnet sich dann mit Hilfe des alten arithmetischen Mittels n x nach der Formel xneu = xn+1+ x. n + 1 ei der erechnung des geometrischen Mittels x g sind die Wachstumsfaktoren x 1..., x n stets positiv.

4 2 Aufgabe 3 (8 RP) Gegeben sei eine statistische Reihe x1, x2, x3,..., xn, n N. (x aus 4) A s gilt für die Varianz n 2 2 sɶ : sɶ = i 1 xi x. n = n ie Summe S= xi M i= 1 b g 2 wird bezüglich M dann minimal, wenn M= x gilt. er Variationskoeffizient ist ein relatives Streuungsmaß und ist definiert durch 2 s v= ɶ x. n 2 Hat man zu der gegebenen statistischen Reihe die Werte x i=1 i und x berechnet, so 2 kann man nach Hinzunahme eines weiteren Wertes xn+ 1sɶ berechnen als neu 2 1 n ( ) ( ) 2 = neu i + n+ 1 + n+ 1 s ɶ n+ 1 x x i 1 n 1 nx x = +. ( ) Aufgabenblock 4-6 in lektrohändler untersucht 20 Glühbirnen auf ihre Lebensdauer xj, j= 1,...,20. r stellt folgende Lebensdauern (in Stunden) fest: 123,1 108,4 68,9 174,0 188,2 124,1 200,0 128,2 131,4 144,6 99,7 111,4 0,1 113,8 108,9 112,5 179,6 139,3 100,6 220,5 Aufgabe 4 (8 RP) er lektrotechniker teilt seine Skala in Klassen der reite 25 ein. Klasse 1 umfaßt Werte von über 0 bis einschließlich 25. Anschließend ermittelt er die sich ergebenden Klassenhäufigkeiten. (x aus 4) A er lektrohändler muß seine Skala in 9 Klassen einteilen, um alle Werte erfassen zu können. In der 2. Klasse liegen keine eobachtungen vor. ie modale Klasse enthält 7 eobachtungen. ie relative Summenhäufigkeit F 100 a f beträgt 0,25.

5 3 Aufgabe 5 (8 RP) er lektrohändler verschafft sich Lagemaße für seine Untersuchung. (x aus 4) A er Median berechnet sich zu x z = 124, 1. as arithmetische Mittel beträgt ca. x= 128, 86. Auch das geometrische Mittel wäre hier ein sinnvolles Lagemaß. er lektrohändler verwendet nun Klassenhäufigkeiten und Klassenmitten zur erechnung des arithmetischen Mittels. r erhält x= 127, 5. Aufgabe 6 (5 RP) er lektrohändler hat den indruck, dass die sofort ausgefallene Glühbirne seine Untersuchungen verfälscht. r läßt diesen Ausreißer deshalb für seine Analyse weg. (x aus 5) A er neue Wert des Medians beträgt x z = 124, 1. er neue Wert des arithmetischen Mittels beträgt ca. x= 128, 7. er Wert des Medians ändert sich stärker als der des arithmetischen Mittels. er Wert des arithmetischen Mittels ist in der Regel stärker von jeder einzelnen eobachtung abhängig als der Wert des Medians. ie modale Klasse ändert sich. Aufgabenblock 7-8 In einer Fußballliga wurde die Anzahl der Trainerentlassungen X während der letzten 20 Jahre für 12 Vereine erhoben: X Y a f und die Zahl der Meisterschaftstitel af Y

6 4 Aufgabe 7 (10 RP) (x aus 5) A as bedingte arithmetische Mittel x für die Mannschaften mit höchstens einem Titel ist größer als dasjenige für Mannschaften mit zwei Titeln oder mehr. Aufgabe 8 b g b g b 4 2g a 4f f x 4 y 2 b 4 2g a, f = fay 2f b 2 2g= a 2f f x 4y 2 = f y 2x 4 f x y f x f x y f y x f y (5 RP) erechnen Sie für den gegebenen atensatz den Korrelationskoeffizienten nach Pearson. Welchen Wert erhalten Sie? (1 aus 5) A r=0, 184. r= 0, 184. r= 0. r= 0, 387. r= 0, 082. Aufgabe 9 (10 RP) (x aus 5) A Ist der Korrelationskoeffizient nach Pearson gleich 0, so liegt demnach kein Zusammenhang zwischen den Merkmalen vor. er Korrelationskoeffizient nach Pearson misst lineare Zusammenhänge zwischen quantitativen Merkmalen. er Korrelationskoeffizient nach Pearson ist gleich 0, wenn alle eobachtungen auf einer Geraden liegen. ei Vorliegen eines quadratischen Zusammenhangs ist der Pearsonsche Korrelationskoeffizient im allgemeinen kein geeignetes Maß für die Stärke des Zusammenhangs. er Korrelationskoeffizient nach Pearson ist auch die geeignete Maßzahl, wenn eines der Merkmale ordinales Messniveau besitzt.

7 Aufgabe 10 (10 RP) Im Verlaufe eines Jahres wurden jeweils zum nde jedes Monats die Lagerbestände eines bestimmten Artikels festgehalten: t (Monat) x t (Stück) er Lagerverwalter wendet die Methode der exponentiellen Glättung 1. Ordnung an. Für t= 1 setzt er ɵx 1 = 115 an. Welchen Prognosewert für den Lagerbestand (gerundet) erhält er für nde Januar des folgenden Jahres, wenn er den Parameter α= 0, 5 wählt? (1 aus 5) A 22 Stück 5 27 Stück 40 Stück 14 Stück 31 Stück Aufgabenblock er Unternehmer verkauft ein Produkt, das er entweder aus Rohstoffen selbst herstellen, aus Halbfertigprodukten fertigen oder von einem anderen Unternehmer fremdbeziehen kann. r machte von den drei Möglichkeiten in den Jahren 2005 und 2006 wie folgt Gebrauch: Jahr Produktion aus Rohstoffen Produktion aus Halbfertigprodukt Fremdbezug (in Stück) (in Stück) Für die Produktionsarten hatte er die folgenden Gesamtkosten: Jahr Produktion aus Rohstoffen Produktion aus Halbfertigprodukt Fremdbezug (in ) (in )

8 6 Aufgabe 11 (5 RP) erechnen Sie den Mengenindex nach Paasche für 2006 zur asis Welchen Wert erhalten Sie? (1 aus 5) A 126,92 253,85 220,00 148,74 111,25 Aufgabe 12 (5 RP) erechnen Sie den Preisindex nach Laspeyres für 2006 zur asis Welchen Wert erhalten Sie? (1 aus 5) A 225,00 253,85 108,21 148,74 115,38 Aufgabe 13 (5 RP) In einer Stadt gibt es 10 ortsansässige anken. In der folgenden Tabelle sind die Spareinlagen bei den jeweiligen anken verzeichnet. ank Spareinlagen (in ) erechnen Sie das normierte Lorenzsche Konzentrationsmaß für die Spareinlagen. (1 aus 5) A 0,552 0,839 0,613 0,497 0,024

9 7 Aufgabe 14 (8 RP) (x aus 4) A Liegt keine Konzentration vor, so fällt die Lorenzkurve mit der iagonalen zusammen. ei vollständiger Konzentration ist das Zweifache der Fläche zwischen Lorenzkurve und der iagonalen gerade gleich eins. ie Lorenzkurve kann für zunehmendes Fdx j i nur steiler werden. b g b g in Punkt cf xk ; g xkh auf der Lorenzkurve gibt an, dass auf Fbx k g 100% der eobachtungen gbx k g 100% der beobachteten Merkmalssumme entfallen. Aufgabe 14 war die letzte Aufgabe