16-1 Schwingungen Harmonische Schwingungen

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1 16 Schwingungen Am 19. September 1985 verursachten seismische Wellen eines Erdbebens mit Zentrum an der Westküste von Meiko verheerende und weiträumige Schäden in Meiko-Stadt, ungefähr 400km vom Ursprung entfernt. Wie konnte es in Meiko-Stadt zu solch umfangreichen Zerstörungen kommen, während auf dem Weg dorthin nur vergleichsweise geringe Schäden entstanden? Die Antwort finden Sie in diesem Kapitel.

2 2 16 Schwingungen 16-1 Schwingungen Überall um uns herum finden wir Schwingungen sich wiederholende Bewegungen. Kronleuchter schwingen hin und her, vor Anker liegende Boote wippen auf und ab, die Kolben in Automotoren bewegen sich vor und zurück. Gitarrensaiten, Trommeln, Glocken, Telefonhörermembranen, Lautsprechermembranen und Quarzkristalle in Armbanduhren, sie alle schwingen auf die eine oder andere Art und Weise. Weniger offensichtlich sind die Schwingungen der Luftmoleküle bei der Übertragung von Geräuschen, die Schwingungen der Atome in einem Festkörper, die uns das Gefühl von Temperatur vermitteln, und die Schwingungen der Elektronen in Radio- und Fernsehantennen bei der Übertragung von Information. In der Realität sind Schwingungen fast immer gedämpft, d. h., die Bewegung lässt langsam nach, wobei durch Reibungskräfte mechanische Energie in Wärmeenergie umgewandelt wird. Obwohl sich dieser Verlust an mechanischer Energie nicht vollständig vermeiden lässt, können wir den Energieverlust aus anderen Quellen ausgleichen. Beispielsweise ist jedem von uns vertraut, dass wir durch geeignete Bewegungen unserer Beine oder des Oberkörpers das Schwingen einer Schaukel aufrecht halten, ja sogar verstärken können. In diesem Fall wird biochemische Energie unseres Körpers in mechanische Energie der Schaukel umgewandelt Harmonische Schwingungen Abbildung 16-1a zeigt eine Folge von Momentaufnahmen eines einfachen schwingenden Systems: Ein Teilchen bewegt sich um den Ursprung der -Achse vor und zurück. In diesem Abschnitt wollen wir diese Bewegung nur beschreiben. Später werden wir untersuchen, wie eine solche Bewegung zustande kommt. m t = T/4 0 + m v Abb (a) Eine Folge von Momentaufnahmen (aufgenommen in gleichen Zeitabständen) zeigt jeweils den Ort eines Teilchens, das um den Ursprung der -Achse zwischen den Grenzen + m und m hin- und herschwingt. Die Länge der Vektorpfeile deutet die Geschwindigkeit des Teilchens an. Die Geschwindigkeit ist jeweils maimal, wenn das Teilchen am Ursprung ist, und sie ist null, wenn sich das Teilchen bei ± m befindet. Wählt man die Zeit t so, dass sich das Teilchen zum Zeitpunkt t = 0 bei + m befindet, dann ist das Teilchen zum Zeitpunkt t = T wieder bei + m, wobei T die Periode der Bewegung ist. Von nun an wiederholt sich die Bewegung. (b) In diesem Graph wurde für die Bewegung aus (a) als Funktion der Zeit aufgetragen. t = 0 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T (a) (b) Auslenkung m 0 m v m v v v 0 + m Zeit (t) Eine wichtige Eigenschaft einer schwingenden Bewegung ist ihre Frequenz,d.h.die Anzahl der pro Sekunde ausgeführten Schwingungen. Für die Frequenz verwendet man meist das Symbol f und die SI-Einheit ist das Hertz (abgekürzt Hz), wobei 1 Hertz = 1Hz= 1 Schwingung pro Sekunde = 1s 1. (16-1) Mit der Frequenz eng verknüpft ist die Periode (oder Schwingungsdauer) T der Bewegung. Darunter versteht man die Zeitdauer einer vollständigen Schwingung (oder eines vollständigen Durchlaufs), d. h.

3 16-2 Harmonische Schwingungen 3 16 T = 1 f. (16-2) Eine Bewegung, die sich in regelmäßigen Zeitabständen wiederholt, bezeichnet man als periodische Bewegung. Wir interessieren uns hier für eine ganz besondere Form dieser Bewegung, wie sie in Abb. 16-1a wiedergegeben ist. Bei dieser Bewegung lässt sich die Auslenkung des Teilchens vom Ursprung in folgender Weise als Funktion der Zeit ausdrücken: (t) = m cos(ωt + φ). (Auslenkung) (16-3) m, ω und φ sind hierbei Konstanten. Eine solche Bewegung bezeichnet man als harmonische Schwingung. Die periodische Bewegung ist in diesem Fall eine sinusförmige Funktion der Zeit. In Abb. 16-1b ist der Graph zu Gl aufgetragen, wobei in diesem Fall die sinusförmige Funktion eine Cosinus-Funktion ist. (Man erhält diesen Graph beispielsweise, indem man Abb. 16-1a gegen den Uhrzeigersinn um 90 dreht und anschließend die entsprechenden Lagen des Teilchens durch eine Kurve verbindet.) Die einzelnen Größen, welche die Form des Graphen bestimmen, sind zusammen mit ihren Bezeichnungen in Abb wiedergegeben. Wir wollen diese Größen nun definieren. Die Größe m bezeichnet man als Amplitude der Schwingung (oder auch Schwingungsamplitude oder Auslenkungsamplitude). Sie ist eine positive Konstante, deren Wert von den Anfangsbedingungen der Bewegung abhängt. Der Inde m steht für maimal, weil die Amplitude gleichzeitig der Betrag der maimalen Auslenkung des Teilchens in jede der beiden Richtungen ist. Die Cosinus-Funktion in Gl variiert zwischen den Grenzen ±1, daher variiert die Auslenkung (t) zwischen den Grenzen ± m. Die zeitlich veränderliche Größe (ωt + φ) in Gl nennt man die Phase der Bewegung, und die Konstante φ heißt Phasenkonstante (oder auch Phasenwinkel). Der Wert von φ hängt von der Auslenkung und der Geschwindigkeit des Teilchens zum Zeitpunkt t = 0ab.Für den Graphen von (t) in Abb. 16-3a ist die Phasenkonstante φ null. Zur Interpretation der Konstanten ω, der so genannten Kreisfrequenz der Bewegung, überlegen wir uns zunächst, dass die Auslenkung (t) nach einer vollen Periode T der Bewegung wieder zu ihrem Ausgangswert zurückkehrt. Für alle Zeiten t muss Auslenkung zum Zeitpunkt t Phase (t) = m cos( ωt + φ) Amplitude Zeit Winkelgeschwindigkeit Phasenkonstante oder Phasenwinkel Abb Eine nützliche Zusammenfassung der in Gl auftretenden Größen für die harmonische Schwingung (a) Auslenkung ' m m 0 m ' m t (b) (c) Auslenkung Auslenkung m m T 0 t T' T' 0 t φ = 0 φ = 4 _ π Abb Die blaue Kurve ergibt sich in allen Fällen aus Gl mit φ = 0. (a)die rote Kurve unterscheidet sich von der blauen Kurve nur in ihrer Amplitude: m ist größer (die Etremalpunkte der roten Kurve sind jeweils höher bzw. tiefer). (b) Die rote Kurve unterscheidet sich von der blauen Kurve nur in der Periode: Es gilt T = T/2 (die rote Kurve erscheint horizontal zusammengedrückt). (c)die rote Kurve unterscheidet sich von der blauen Kurve nur hinsichtlich der Phasenkonstanten: φ = π/4 rad statt null (der negative Wert von φ verschiebt die rote Kurve nach rechts).

4 4 16 Schwingungen (t) daher gleich (t + T)sein. Der Einfachheit halber setzen wir in Gl φ = 0, dann folgt: m cos ωt = m cos ω(t + T). (16-4) Die Cosinus-Funktion wiederholt sich zum ersten Mal wieder, wenn ihr Argument (die Phase) um 2π rad zugenommen hat. Nach Gl gilt daher: ω(t + T)= ωt + 2π oder ωt = 2π. Zusammen mit Gl erhalten wir somit für die Kreisfrequenz: ω = 2π = 2πf. (16-5) T Die SI-Einheit für die Kreisfrequenz ist der Radiant pro Sekunde. (Aus Konsistenzgründen muss φ daher in Radianten angegeben werden.) In Abb werden jeweils zwei harmonische Schwingungen miteinander verglichen, die sich entweder nur in ihrer Amplitude oder in ihrer Periode (und daher in der Frequenz bzw. der Kreisfrequenz) oder in ihrer Phasenkonstanten unterscheiden. KONTROLLFRAGE 1: Ein Teilchen führe eine harmonische Schwingung (wie die in Abb. 16-1) aus und befinde sich zum Zeitpunkt t = 0 bei m. Befindet sich das Teilchen bei (a) t = 2,00 T, (b) t = 3,50 T und (c) t = 5,25 T bei m, bei + m, bei 0, zwischen m und 0 oder zwischen 0 und + m? Die Geschwindigkeit der harmonischen Schwingung Auslenkung Geschwindigkeit Beschleunigung + m 0 m v + ω m 0 ω m a + ω 2 m 0 ω 2 m (a) (b) (c) Abb (a) Die Auslenkung eines Teilchens bei einer harmonischen Schwingung mit Phasenwinkel φ gleich null. Die Periode T entspricht der Zeitdauer einer vollständigen Schwingung. (b) Die Geschwindigkeit v(t) des Teilchens. (c) Die Beschleunigung a(t) des Teilchens. T t t t Wenn wir Gl einmal nach der Zeit ableiten, erhalten wir einen Ausdruck für die Geschwindigkeit des Teilchens bei einer harmonischen Schwingung: v(t) = d(t) = d dt dt [ m cos(ωt + φ)] oder v(t) = ω m sin(ωt + φ). (Geschwindigkeit) (16-6) Abbildung 16-4a zeigt die Kurve zu Gl mit φ = 0. Abbildung 16-4b entspricht Gl. 16-6, ebenfalls mit φ = 0. In Analogie zur Amplitude m in Gl bezeichnet man die positive Größe ω m in Gl auch als Geschwindigkeitsamplitude v m. In Abb. 16-4b erkennt man, dass die Geschwindigkeit des oszillierenden Teilchens zwischen den Grenzen ±v m = ±ω m variiert. Außerdem beachte man in dieser Abbildung, dass die Kurve von v(t) relativ zur Kurve von (t) um eine viertel Periode verschoben ist (nach links). Wenn der Betrag der Auslenkung am größten ist (d. h. wenn (t) =± m ) ist der Betrag der Geschwindigkeit am kleinsten (d. h. v(t) = 0). Ist der Betrag der Auslenkung am kleinsten (d. h. null), ist der Betrag der Geschwindigkeit am größten (d. h. v(t) =±v m =±ω m ). Die Beschleunigung der harmonischen Schwingung Aus der Geschwindigkeit v(t) der harmonischen Bewegung erhalten wir durch erneute Ableitung nach der Zeit einen Ausdruck für die Beschleunigung des oszillierenden Teilchens: a(t) = dv(t) = d dt dt [ ω m sin(ωt + φ)] oder a(t) = ω 2 m cos(ωt + φ). (Beschleunigung) (16-7)

5 16-3 Das Kraftgesetz der harmonischen Schwingung 5 16 Abbildung 16-4c zeigt einen Graphen von Gl für den Fall φ = 0. Die positive Größe ω 2 m in Gl bezeichnet man auch als Beschleunigungsamplitude a m.die Beschleunigung des Teilchens variiert also zwischen den Grenzen ±a m =±ω 2 m, wieinabb.16-4c erkennbar. Außerdem ist die Kurve von a(t) relativ zur Kurve von v(t) wiederum um 4 1 T verschoben (nach links). Aus Gl und Gl folgt: a(t) = ω 2 (t). (16-8) Diese Beziehung ist das Markenzeichen der harmonischen Schwingung: Bei einer harmonischen Schwingung ist die Beschleunigung proportional zur Auslenkung, allerdings mit entgegengesetztem Vorzeichen, und die beiden Größen sind über das Quadrat der Kreisfrequenz miteinander verknüpft. Wie man in Abb erkennt, hat die Auslenkung ihren größten positiven Wert, wenn die Beschleunigung ihren größten negativen Wert hat und umgekehrt. Ist die Auslenkung null, verschwindet auch die Beschleunigung. LÖSUNGSSTRATEGIEN STRATEGIE 1: PHASENWINKEL Man beachte den Einfluss des Phasenwinkels φ auf den Graph von (t).für φ = 0 hat (t) einen Graphen wie in Abb. 16-4a, also eine typische Cosinus-Kurve. Wird φ größer, verschiebt sich diese Kurve entlang der t-achse nach links. (Man kann sich das an dem Symbol φ merken: Der Pfeil nach oben steht für die Zunahme von φ und der Pfeil nach links zeigt die Verschiebung der Kurve an.) Wird φ kleiner, verschiebt sich die Kurve nach rechts, beispielsweise in Abb. 16-3c für φ = π/4. Haben zwei Graphen einer harmonischen Schwingung unterschiedliche Phasenwinkel, spricht man von einer Phasenverschiebung oder auch Phasendifferenz zwischen diesen Schwingungen. Die beiden Bewegungen sind relativ zueinander phasenverschoben oder außer Phase. Beispielsweise haben die Kurven in Abb. 16-3c eine Phasenverschiebung von π/4 rad. Da sich eine harmonische Schwingung nach jeder Periode T wiederholt, und sich die Cosinus-Funktion nach jeweils 2π rad wiederholt, entspricht eine Periode T gerade einer Phasenverschiebung von 2π rad. In Abb ist (t) relativ zu v(t) um eine viertel Periode nach rechts oder π/2 rad phasenverschoben und relativ zu a(t) um eine halbe Periode oder π rad. Bei einer Phasenverschiebung von 2π stimmt die Kurve der harmonischen Schwingung wieder mit sich selber überein, sie erscheint also unverändert Das Kraftgesetz der harmonischen Schwingung Ist die Beschleunigung eines Teilchens als Funktion der Zeit einmal bekannt, können wir mithilfe des zweiten newtonschen Gesetzes auch die Kraft ermitteln, die dem Teilchen diese Beschleunigung erteilt. Setzen wir Gl in das zweite newtonsche Gesetz ein, so erhalten wir für die harmonische Schwingung: F = ma = (mω 2 ). (16-9) Dieses Ergebnis eine rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen ist uns vertraut. Es handelt sich um das hookesche Gesetz für eine Feder, F = k, (16-10) wobei die Federkonstante in diesem Fall durch gegeben ist. k = mω 2 (16-11)

6 6 16 Schwingungen Gleichung bietet eine alternative Möglichkeit zur Definition der harmonischen Schwingung. Sie besagt: Ein Teilchen der Masse m führt eine harmonische Schwingung aus, wenn auf dieses Teilchen eine Kraft proportional zu seiner Auslenkung und mit entgegengesetztem Vorzeichen wirkt. k m m = 0 + m Abb Ein linearer harmonischer Oszillator. Die Oberfläche ist reibungsfrei. Wie das Teilchen in Abb führt auch dieses Gewicht eine harmonische Schwingung aus, wenn es einmal zur Seite gezogen und dann losgelassen wird. Seine Auslenkung folgt Gl Das Feder-Gewicht-System in Abb bildet einen linearen harmonischen Oszillator (kurz: linearer Oszillator), wobei linear andeuten soll, dass die Kraft proportional zu und nicht proportional zu irgendeiner Potenz von ist. Die Kreisfrequenz ω der harmonischen Schwingung des Gewichts hängt nach Gl von der Federkonstanten k und der Masse m des Gewichts ab: k ω =. (Kreisfrequenz) (16-12) m Zusammen mit Gl erhalten wir aus dieser Gleichung für die Periode des linearen Oszillators aus Abb. 16-5: T = 2π m. (Periode) (16-13) k Aus diesen beiden Gleichungen lernen wir, dass eine große Kreisfrequenz (und somit eine kurze Periode) eine große Federkonstante (großes k) und ein kleines Gewicht (kleines m) erfordert. Jedes oszillierende System, sei es der lineare Oszillator aus Abb. 16-5, ein Sprungbrett im Schwimmbad oder eine Geigensaite, hat etwas von einer Feder etwas Rücktreibendes und etwas von einer Masse etwas Träges an sich und ähnelt in diesem Sinn einem linearen Oszillator. Bei dem linearen Oszillator aus Abb liegen diese beiden Elemente in getrennten Teilen des Systems: Das rücktreibende Element liegt in der Feder, die wir als masselos ansehen, und das träge Element liegt im Gewicht, das wir als starr annehmen. Bei einer Geigensaite befinden sich jedoch beide Elemente in der Saite selber, wie wir in Kap. 17 sehen werden. KONTROLLFRAGE 2: Welche der folgenden Beziehungen zwischen der Kraft F auf ein Teilchen und dem Ort des Teilchens führen zu einer harmonischen Schwingung: (a) F = 5, (b) F = 400 2, (c) F = 10, (d) F = 3 2? BEISPIELAUFGABE 16-1 Ein Gewicht der Masse m = 680 g wird an einer Feder mit der Federkonstanten k = 65 N/m befestigt. Das Gewicht wird um den Abstand = 11 cm aus seiner Gleichgewichtslage bei = 0 ausgelenkt und zum Zeitpunkt t = 0 aus ruhender Lage losgelassen. Die Unterlage sei reibungsfrei. (a) Wie groß sind die Kreisfrequenz, die Frequenz und die Periode der Bewegung? LÖSUNG: Die LÖSUNGSIDEE ist, dass das Feder-Gewicht-System offensichtlich einen linearen harmonischen Oszillator bildet und das Gewicht eine harmonische Schwingung ausführt. Daher ist die Kreisfrequenz durch Gl gegeben: k ω = m = 65 N/m = 9,78 rad/s 0,68 kg 9,8 rad/s. Die Frequenz folgt aus Gl. 16-5: f = ω 9,78 rad/s = = 1,56 Hz 1,6Hz, 2π 2π rad und für die Periode ergibt sich nach Gl. 16-2: T = 1 f = 1 = 0,64 s = 640 ms. 1,56 Hz

7 16-3 Das Kraftgesetz der harmonischen Schwingung 7 16 (b) Wie groß ist die Amplitude der Schwingung? LÖSUNG: Die LÖSUNGSIDEE ist nun, dass ohne Reibungsverluste die mechanische Energie des Feder-Gewicht-Systems erhalten ist. Das Gewicht wird aus ruhender Lage bei einer Auslenkung von 11 cm aus der Gleichgewichtslage losgelassen. Die kinetische Energie des Gewichts ist daher null und die elastische potenzielle Energie des Systems ist maimal. Das Gewicht hat also immer dann eine verschwindende kinetische Energie, wenn es um 11 cm aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkt ist. Damit ist es auch nie mehr als 11 cm von seiner Gleichgewichtslage entfernt. Seine maimale Auslenkung beträgt daher 11 cm: m = 11 cm. (c) Wie groß ist die maimale Geschwindigkeit v m des oszillierenden Gewichts und an welcher Stelle tritt sie auf? LÖSUNG: Die maimale Geschwindigkeit ist nach Gl gleich der Geschwindigkeitsamplitude ω m, also: v m = ω m = (9,78 rad/s)(0,11 m) = 1,1m/s. Diese maimale Geschwindigkeit tritt immer dann auf, wenn das Gewicht durch den Ursprung saust. Durch Vergleich der Abbildungen 16-4a und 16-4b erkennt man, dass die Geschwindigkeit immer bei = 0 ihren Maimalwert annimmt. (d) Welchen Betrag a m hat die Maimalbeschleunigung des Gewichts? LÖSUNG: Der Betrag a m der Maimalbeschleunigung ist nach Gl gleich der Beschleunigungsamplitude ω 2 m, d. h.: a m = ω 2 m = (9,78 rad/s) 2 (0,11 m) = 11 m/s 2. Diese maimale Beschleunigung erfährt das Gewicht immer an den Etremalpunkten der Auslenkung. An diesen Punkten ist die Kraft auf das Gewicht am größten. Man vergleiche Abb. 16-4a mit Abb. 16-4c, wo man erkennen kann, dass die Beträge der Auslenkung und der Beschleunigung gleichzeitig maimal werden. (e) Welche Phasenkonstante φ hat die Bewegung? LÖSUNG: Gleichung 16-3 gibt uns die Auslenkung des Gewichts als Funktion der Zeit. Wir wissen, dass sich das Gewicht zum Zeitpunkt t = 0 bei der maimalen Auslenkung = m befindet, wobei m ein positiver Wert sein soll. Setzen wir diese so genannten Anfangsbedingungen in Gl ein und kürzen m, erhalten wir: 1 = cos φ. (16-14) Nehmen wir auf beiden Seiten die Umkehrfunktion des Cosinus, so folgt: φ = 0 rad. (Jeder Winkel, der ein ganzzahliges Vielfaches von 2π ist, erfüllt Gl ebenfalls; wir haben hier den kleinsten Winkel gewählt.) (f) Welcher Funktion genügt die Auslenkung (t) des Feder-Gewicht-Systems? LÖSUNG: Die allgemeine Form für die Auslenkung (t) ist durch Gl gegeben. Mit den bekannten Größen erhalten wir: (t) = m cos(ωt + φ) = (0,11 m) cos[(9,8 rad/s)t + 0] = 0,11 cos(9,8t). Hierbei werden in Meter und t in Sekunden angegeben.

8 8 16 Schwingungen BEISPIELAUFGABE 16-2 Zum Zeitpunkt t = 0 sei die Auslenkung (0) eines Gewichts in einem linearen Oszillator wie in Abb durch 8,50 cm gegeben. (Die Bezeichnung (0) bedeutet zum Zeitpunkt null.) Die Geschwindigkeit des Gewichts v(0) zu diesem Zeitpunkt sei 9,20 m/s, und seine Beschleunigung a(0) sei +47,0m/s 2. (a) Welche Kreisfrequenz hat das System? LÖSUNG: Da das Gewicht eine lineare harmonische Bewegung ausführt, besteht die LÖSUNGSIDEE darin, dass Gln. 16-3, 16-6 und 16-7 jeweils die Verschiebung, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Blocks angeben. Jede dieser Gleichungen enthält ω. Wir setzen in allen drei Gleichungen t = 0 und überprüfen, ob sich eine dieser Gleichungen nach ω auflösen lässt: (0) = m cos φ, (16-15) v(0) = ω m sin φ (16-16) und a(0) = ω 2 m cos φ. (16-17) In Gl tritt ω nicht mehr auf. In Gln und kennen wir zwar die Werte auf der linken Seite, allerdings kennen wir m und φ nicht. Wir können jedoch Gl durch Gl dividieren, auf diese Weise m und φ eliminieren und nach ω auflösen: ω = a(0) (0) = = 23,5 rad/s. 47,0m/s2 0,0850 m (b) Wie groß sind die Phasenkonstante φ und die Amplitude m? LÖSUNG: Die LÖSUNGSIDEE ist dieselbe wie unter Teil (a), und Gln bis gelten ebenfalls. Nun kennen wir allerdings ω und wollen φ und m bestimmen. Dividieren wir Gl durch Gl , so erhalten wir: v(0) (0) = ω m sin φ = ωtan φ. m cos φ Damit folgt für tan φ: tan φ = v(0) ω(0) = 0,920 m/s (23,5 rad/s)( 0,0850 m) = 0,461. Diese Gleichung besitzt zwei Lösungen: φ = 25 und φ = ( 25 ) = 155. (Gewöhnlich wird nur die erste dieser beiden Lösungen von einem Taschenrechner angezeigt.) Die richtige Lösung können wir dadurch finden, dass wir aus beiden Werten die Amplitude m berechnen und überprüfen, welches der Ergebnisse sinnvoll ist. Aus Gl erhalten wir mit φ = 25, m = (0) cos φ = 0,085 m cos( 25 = 0,094 m. ) Entsprechend erhalten wir für φ = 155 die Amplitude m = 0,094 m. Da laut Aufgabenstellung m ein positiver Wert sein soll, sind im vorliegenden Fall die Werte für die richtige Phasenkonstante und die richtige Amplitude: φ = 155 und m = 0,094 m = 9,4cm.

9 16-4 Die Energie der harmonischen Schwingung 9 16 LÖSUNGSSTRATEGIEN STRATEGIE 2: DAS ERKENNEN EINER HARMONISCHEN SCHWINGUNG Bei einer harmonischen Schwingung sind die Beschleunigung a und die Auslenkung des Systems über eine Gleichung der Form a = (positive Konstante) miteinander verknüpft. Die Beschleunigung ist also proportional zur Auslenkung aus der Gleichgewichtslage, hat allerdings das entgegengesetzte Vorzeichen. Wenn Sie einen solchen Ausdruck für ein oszillierendes System vorliegen haben, können sie direkt mit Gl vergleichen und die positive Konstante als ω 2 identifizieren. Sie erhalten also sofort einen Ausdruck für die Kreisfrequenz der Bewegung. Nach Gl. 16-5können Sie dann die Periode T und die Frequenz f bestimmen. Bei manchen Aufgabenstellungen ist es vielleicht leichter, einen Ausdruck für die Kraft F als Funktion der Auslenkung abzuleiten. Handelt es sich bei der Bewegung um eine lineare harmonische Schwingung, dann lautet die Beziehung zwischen der Kraft und der Auslenkung: F = (positive Konstante). Die Kraft ist also proportional zur Auslenkung, hat aber das entgegengesetzte Vorzeichen. Haben Sie eine solche Beziehung vorliegen, können Sie durch Vergleich mit Gl die positive Konstante als k identifizieren. Kennen Sie zusätzlich noch die Masse des Systems, können Sie nach Gln , und 16-5 die Kreisfrequenz ω, die Periode T und die Frequenz f bestimmen Die Energie der harmonischen Schwingung In Kap. 8 haben wir gesehen, dass die Energie eines linearen harmonischen Oszillators zwischen kinetischer Energie und potenzieller Energie hin- und herschwankt. Die Summe dieser beiden die mechanische Energie E des Oszillators bleibt jedoch konstant. Wir untersuchen diese Situation nun quantitativ. Die potenzielle Energie eines linearen Oszillators wie in Abb beruht ausschließlich auf dem Zustand der Feder. Der Wert der potenziellen Energie hängt davon ab, wie weit die Feder gedehnt oder zusammengedrückt ist, d. h. von (t). Aus Gln und 16-3 erhalten wir: U(t) = 2 1 k2 = 2 1 k2 m cos2 (ωt + φ). (16-18) Man beachte in diesem Zusammenhang, dass eine Funktion der Form cos 2 A (wie hier) soviel bedeutet wie (cos A) 2. Das ist nicht dasselbe wie cos A 2, was soviel wie cos(a 2 ) bedeutet. Die kinetische Energie des Systems aus Abb beruht ausschließlich auf dem Zustand des Gewichts, und ihr Wert hängt von der Geschwindigkeit v(t) des Gewichts ab. Mit Gl erhalten wir: K(t) = 1 2 mv2 = 1 2 mω2 2 m sin2 (ωt + φ). (16-19) Nach Gl können wir ω 2 durch k/mersetzen und Gl auch in der folgenden Form schreiben: K(t) = 2 1 mv2 = 2 1 k2 m sin2 (ωt + φ). (16-20) Für die mechanische Energie folgt aus Gln und 16-20: E = U + K = 2 1 k2 m cos2 (ωt + φ) k2 m sin2 (ωt + φ) = 1 2 k2 m [cos2 (ωt + φ) + sin 2 (ωt + φ)].

10 10 16 Schwingungen Abb (a) Potenzielle Energie U(t), kinetische Energie K(t) und mechanische Energie E als Funktionen der Zeit t für einen linearen harmonischen Oszillator. Alle Energien sind positiv, und die potenzielle Energie wie auch die kinetische Energie erreichen innerhalb einer Periode zweimal ihren Maimalwert. (b) Potenzielle Energie U(), kinetische Energie K() und mechanische Energie E als Funktionen der Auslenkung für einen linearen harmonischen Oszillator mit der Amplitude m.bei = 0 besteht die gesamte Energie aus kinetischer Energie, für =± m liegt die gesamte Energie als potenzielle Energie vor. Für jeden beliebigen Winkel α gilt: cos 2 α + sin 2 α = 1. Daher ist die Größe in den eckigen Klammern oben gleich eins und wir erhalten: E = U + K = 2 1 k2 m. (16-21) Die mechanische Energie eines linearen Oszillators ist also tatsächlich konstant und zeitunabhängig. Die potenzielle Energie und die kinetische Energie eines linearen Oszillators sind in Abb. 16-6a als Funktion der Zeit t und in Abb. 16-6b als Funktion der Auslenkung wiedergegeben. Nun ist auch einsichtig, warum ein oszillierendes System normalerweise ein rücktreibendes Element und ein Element der Trägheit enthält: Das erstere speichert die potenzielle Energie und das zweite die kinetische Energie. Energie E 0 U(t) + K(t) T/2 T (a) U(t) K(t) t E Energie U() + K() U() K() m 0 + m (b) KONTROLLFRAGE 3: Wenn sich das Gewicht in Abb bei =+2 cm befindet, habe es eine kinetische Energie von 3 J und die Feder eine elastische potenzielle Energie von 2 J. (a) Wie groß ist die kinetische Energie, wenn sich das Gewicht bei = 0 befindet? Wie groß sind die elastischen potenziellen Energien, wenn sich das Gewicht (b) bei = 2,0 cm und (c) bei = m befindet? BEISPIELAUFGABE 16-3 (a) Wie groß ist die mechanische Energie E des linearen Oszillators aus Beispielaufgabe 16-1? (Die anfängliche Auslenkung des Gewichts war = 11 cm, die Geschwindigkeit war v = 0, und die Federkonstante war 64 N/m.) LÖSUNG: Wir können in diesem Fall die LÖSUNGSIDEE ausnutzen, dass die mechanische Energie E (die Summe aus der kinetischen Energie K = 2 1 mv2 des Gewichts und der potenziellen Energie U = 2 1 k2 der Feder) im Verlauf der Bewegung des Oszillators konstant bleibt. Wir können E daher an jedem Punkt dieser Bewegung berechnen. Da die Anfangsbedingungen des Oszillators gegeben sind ( = 11 cm und v = 0), bestimmen wir die Energie E für diese Werte: E = K + U = 2 1 mv k2 = (65 N/m)(0,11 m)2 = 0,393 J 0,39 J. (b) Wie groß sind die potenzielle Energie U und die kinetische Energie K des Oszillators, wenn sich das Gewicht bei = 1 2 m befindet? Wie groß sind diese Werte bei = 1 2 m? LÖSUNG: Die LÖSUNGSIDEE besteht darin, dass wir die Auslenkung des Gewichts kennen und daher die potenzielle Energie der Feder U = 1 2 k2 leicht berechnen können. Bei = 1 2 m erhalten wir: U = 2 1 k2 = 2 1 k ( ) 1 2 ( 2 m = 12 )( 14 ) k 2 m. Wir können die Werte für k und m nun einsetzen. Wir können aber auch von der Gesamtenergie ausgehen, die wir in Teil (a) zu 2 1 k2 m berechnet haben. Damit erhalten wir aus obiger Gleichung: U = 4 1 ( 12 km 2 ) = 1 4 E = 4 1 (0,393 J) = 0,098 J.

11 16-5 Das Torsionspendel Für die kinetische Energie folgt: K = E U = 0,393 J 0,098 J 0,30 J. Würden wir diese Rechnungen für die Auslenkung = 2 1 m wiederholen, erhielten wir dieselben Antworten. Dies entspricht der Links-Rechts-Symmetrie in Abb. 16-6b Das Torsionspendel Abbildung 16-7 zeigt eine Version eines harmonischen Oszillators, bei der die Auslenkung einer Winkelvariablen entspricht. Das rücktreibende Element bzw. die Elastizität beruht nun auf der Verdrillung einer Aufhängung (meist einem Draht). Diese Anordnung bezeichnet man als Torsionspendel, wobei Torsion sich auf die Verdrillung bezieht. Wenn wir die Scheibe in Abb um einen Winkel θ aus ihrer Ruhelage (bei der sich die Bezugslinie beim Winkel θ = 0 befindet) auslenken und dann loslassen, oszilliert die Scheibe um diese Lage. Jede Auslenkung der Scheibe um einen Winkel θ nach rechts oder links erzeugt ein rücktreibendes Drehmoment, das durch τ = κθ (16-22) gegeben ist. κ (der griechische Buchstabe Kappa) ist hier eine Konstante, die man als Torsionskonstante (oder auch Winkelrichtgröße) bezeichnet, und die von der Länge, dem Durchmesser und dem Material der Aufhängung abhängt. Ein Vergleich von Gl mit Gl legt die Vermutung nahe, dass es sich bei Gl um das Winkelanalogon zum hookeschen Gesetz handelt, und dass wir Gl für die Periode der linearen harmonischen Schwingung in eine entsprechende Gleichung für die Periode der harmonischen Drehschwingung umwandeln können: Wir ersetzen die Federkonstante k in Gl durch sein Gegenstück, die Konstante κ aus Gl , und wir ersetzen die Masse m in Gl durch ihr Gegenstück, das Massenträgheitsmoment I der schwingenden Scheibe. Diese Ersetzungen führen auf: T = 2π I. (Torsionspendel) (16-23) κ Dies ist tatsächlich die korrekte Gleichung für die Periode einer harmonischen Drehschwingung bzw. die Periode des Torsionspendels. festes Ende Draht θ m Bezugslinie 0 + θ m Abb Ein Torsionspendel ist eine besondere Version des harmonischen Oszillators aus Abb. 16-5, bei der die Auslenkung eine Winkelvariable ist. Die Scheibe führt in einer horizontalen Ebene eine Drehschwingung aus; die Bezugslinie schwingt mit einer Winkelamplitude θ m. Die Verdrillung in der Aufhängung speichert ähnlich wie eine Feder potenzielle Energie und liefert ein rücktreibendes Drehmoment. LÖSUNGSSTRATEGIEN STRATEGIE 3: WIE ERKENNT MAN EINE HARMONISCHE DREHSCHWINGUNG? Wenn ein System eine harmonische Drehschwingung ausführt, hängen seine Winkelbeschleunigung α und seine Winkelauslenkung θ über eine Gleichung der Form α = (positive Konstante) θ miteinander zusammen. Diese Gleichung ist das Gegenstück zu Gl (a = ω 2 ) bei der linearen harmonischen Schwingung. Sie besagt, dass die Winkelbeschleunigung α proportional zur Winkelauslenkung θ aus der Gleichgewichtslage ist, dass diese Winkelbeschleunigung allerdings das System entgegengesetzt zur Auslenkungsrichtung zu drehen versucht. Wenn Sie eine Gleichung dieser Form vorliegen haben, können Sie die positive Konstante als ω 2 identifizieren und ω, f und T berechnen. Wenn Sie einen Ausdruck für das Drehmoment als Funktion der Winkelauslenkung haben, können Sie das Vorliegen einer harmonischen Drehschwingung auch daran erkennen, dass dieser Ausdruck von der Form von Gl (τ = κθ) ist, also: τ = (positive Konstante) θ. Dieser Gleichung entspricht bei der linearen harmonischen Schwingung Gl (F = k). Sie besagt, dass das Drehmoment τ proportional zur Winkelauslenkung

12 12 16 Schwingungen θ aus der Gleichgewichtslage ist, dass dieses Drehmoment allerdings das System in die entgegengesetzte Richtung zu drehen versucht. Wenn Sie einen Ausdruck dieser Form vorliegen haben, können Sie die positive Konstante als die Torsionskonstante κ des Systems identifizieren. Kennen Sie das Massenträgheitsmoment I des Systems, können Sie die Periode T nach Gl berechnen. BEISPIELAUFGABE 16-4 Draht L (a) Stab Gegenstand X (b) Abb Beispielaufgabe Zwei Torsionspendel mit dem gleichen Draht als Aufhängung, einmal (a) mit einem Stab und einmal (b) mit einem unregelmäßig geformten Gegenstand. In Abb. 16-8a erkennt man einen dünnen Stab der Länge L = 12,4 cm; seine Masse m sei 135 g. Der Stab hängt in der Mitte an einem langen Draht. Die Periode T a seiner harmonischen Drehschwingung wird zu 2,53 s gemessen. Ein unregelmäßig geformter Gegenstand, den wir Objekt X nennen, hängt von demselben Draht (Abb. 16-8b) und seine Periode T b beträgt 4,76 s. Wie groß ist das Massenträgheitsmoment von Objekt X um die Achse seiner Aufhängung? LÖSUNG: Die LÖSUNGSIDEE besteht in diesem Fall darin, dass das Massenträgheitsmoment sowohl des Stabs als auch des Objekts X mit der gemessenen Periode über Gl zusammenhängen. In Tab. 11-2e ist das Massenträgheitsmoment eines dünnen Stabs um eine Achse durch seinen Mittelpunkt und senkrecht zu seiner 1 Ausdehnung mit 12 ml2 angegeben. Für den Stab in Abb. 16-8a gilt somit: I a = 1 12 ml2 = ( ) 1 12 (0,135 kg)(0,124 m) 2 = 1, kg m 2. Nun schreiben wir Gl einmal für den Stab und einmal für das Objekt X: Ia Ib T a = 2π und T b = 2π κ κ. Die Konstante κ ist eine Eigenschaft des Drahts und somit in beiden Fällen dieselbe. Nur die Perioden und die Massenträgheitsmomente unterscheiden sich. Wir quadrieren beide Gleichungen, teilen die zweite Gleichung durch die erste, lösen die resultierende Gleichung nach I b auf und erhalten: I b = I a T 2 b T 2 a = (1, kg m 2 (4,76 s)2 ) (2,53 s) 2 = 6, kg m Pendel Wir wenden uns nun einer bestimmten Klasse von harmonischen Oszillatoren zu, bei denen das rücktreibende Element nicht durch die elastischen Eigenschaften eines verdrillten Drahts oder einer zusammengedrückten bzw. gedehnten Feder verursacht wird, sondern mit der Gravitationskraft zusammenhängt. Das einfache Pendel Hängen Sie einen Apfel an das untere Ende einer langen Schnur, deren oberes Ende irgendwo befestigt ist, und stoßen Sie den Apfel leicht zu einer hin- und herschwingenden Bewegung an. Sie erkennen sofort, dass der Apfel eine periodische Bewegung ausführt. Handelt es sich hierbei sogar um eine harmonische Schwingung? Falls ja, welche Periode T hat diese Schwingung? Zur Beantwortung dieser Fragen betrachten wir ein einfaches Pendel: Es besteht aus einem Teilchen der Masse m (dem Gewicht des Pendels), das an einem dehnungsfreien, masselosen, am oberen Ende fiierten Seil der Länge L hängt (vgl. Abb. 16-9a). Relativ zu einer senkrechten Linie durch den Aufhängepunkt kann das Gewicht in der Papierebene frei nach links und rechts ausgelenkt werden. Auf das Gewicht wirken die Kraft Z vom Seil und die Gravitationskraft F g. Beide sind in Abb. 16-9b eingetragen, wobei das Seil in diesem Fall unter einem Winkel θ

13 16-6 Pendel T = 2π I mgl. (16-27) Bei einem einfachen Pendel ist die gesamte Masse des Pendels in der Masse m des teilchenartigen Gewichts konzentriert, das vom Aufhängepunkt den Abstand L hat. Wir können also mithilfe von Gl (I = mr 2 )für das Massenträgheitsmoment des Pendels schreiben: I = ml 2. Setzen wir dies in Gl ein und kürzen entsprechend, folgt als vereinfachter Ausdruck für die Periode eines einfachen Pendels bei kleinen Auslenkungen: T = 2π L. (einfaches Pendel, kleine Amplitude) (16-28) g (In diesem Kapitel werden wir immer kleine Auslenkungen der Pendel annehmen.) relativ zur Senkrechten steht. Wir zerlegen F g in eine radiale Komponente F g cos θ und eine Komponente F g sin θ tangential zur Bahnkurve des Gewichts. Diese tangentiale Komponente erzeugt ein rücktreibendes Drehmoment um die Aufhängung des Pendels, weil sie der Auslenkung des Gewichts immer entgegenwirkt und das Gewicht in seine Mittellage zu bringen versucht. Diese Mittellage bezeichnet man auch als Gleichgewichtslage (θ = 0), weil das nicht schwingende Pendel in dieser Lage ruhen würde. Nach Gl (τ = r F )können wir für das rücktreibende Drehmoment schreiben: τ = L(F g sin θ), (16-24) wobei das Minuszeichen andeutet, dass das Drehmoment den Winkel θ zu verkleinern versucht. L ist der Kraftarm zu der Kraftkomponente F g sin θ um die Aufhängung. Setzen wir Gl in Gl (τ = Iα) ein und ersetzen F g durch mg, erhalten wir: L(mg sin θ) = Iα, (16-25) wobei I das Massenträgheitsmoment des Pendels um die Aufhängung und α die Winkelbeschleunigung um diesen Punkt darstellen. Wir können Gl noch vereinfachen, wenn wir θ als klein annehmen. In diesem Fall können wir sin θ nämlich durch θ approimieren (ausgedrückt in Radianten). (Ist θ beispielsweise 5 = 0,0873 rad, dann ist sin θ = 0,0872; der Unterschied beträgt also nur 0,1 %.) Mit dieser Näherung und einigen Umformungen erhalten wir schließlich: α = mgl θ. (16-26) I Diese Gleichung charakterisiert die harmonische Drehschwingung, ähnlich wie Gl die lineare harmonische Schwingung kennzeichnet. Sie besagt, dass die Winkelbeschleunigung α des Pendels proportional zur Winkelauslenkung θ des Pendels ist, allerdings mit entgegengesetztem Vorzeichen. Bewegt sich das Pendel beispielsweise nach rechts, wie in Abb. 16-9a, nimmt seine Beschleunigung nach links zu bis zu dem Moment, wo das Pendel anhält und sich anschließend nach links bewegt. Befindet es sich auf der linken Seite, ist seine Beschleunigung nach rechts gerichtet, und so weiter. Die Bewegung eines einfachen, nur mit kleinen Auslenkungen schwingenden Pendels ist näherungsweise eine harmonische Schwingung. Diese Einschränkung auf kleine Winkel können wir auch anders ausdrücken: Die Winkelamplitude θ m der Bewegung (der maimale Auslenkungswinkel) muss klein sein. Durch einen Vergleich der Gln und 16-8 sehen wir, dass die Kreisfrequenz des Pendels durch ω = mgl/i gegeben ist. Diesen Ausdruck setzen wir nun in Gl (ω = 2π/T ) ein und erhalten so die Periode des Pendels: Aufhängung θ F g sinθ L (a) L Z s = Lθ θ m m F g cosθ F g (b) Abb (a) Ein einfaches Pendel. (b) Auf das Gewicht wirken die Gravitationskraft F g und die Zugkraft Z vom Seil. Die tangentiale Komponente F g sin θ der Gravitationskraft bildet eine rücktreibende Kraft, die das Pendel in seine Ruhelage in der Mitte zu bringen versucht. Das physikalische Pendel Ein wirkliches Pendel bezeichnet man üblicherweise als physikalisches Pendel. Es kann eine komplizierte Massenverteilung haben, die sich von einem einfachen Pendel

14 14 16 Schwingungen F g sinθ O θ h S θ F g cos θ F g Abb Ein physikalisches Pendel. Das rücktreibende Drehmoment ist hf g sin θ. Für θ = 0hängt der Schwerpunkt S genau unter der Aufhängung O. sehr unterscheidet. Führt auch ein physikalisches Pendel eine harmonische Schwingung aus? Falls ja, was ist die Periode? Abbildung zeigt ein beliebig geformtes physikalisches Pendel, das um einen Winkel θ ausgelenkt ist. Die Gravitationskraft F g wirkt auf den Schwerpunkt S, der sich im Abstand h von der Aufhängung O befindet. Trotz ihrer unterschiedlichen Formen zeigt ein Vergleich von Abb mit Abb. 16-9b nur einen wesentlichen Unterschied zwischen einem beliebigen Pendel und einem einfachen Pendel: Bei einem physikalischen Pendel hat die rücktreibende Komponente F g sin θ der Gravitationskraft einen Kraftarm der Länge h um die Aufhängung, während beim einfachen Pendel das Seil die Länge L hatte. Ansonsten würde eine Behandlung des physikalischen Pendels nur unsere Überlegungen zum einfachen Pendel bis hin zu Gl wiederholen. Wiederum ist die Bewegung des physikalischen Pendels (für kleine θ m ) die einer harmonischen Schwingung. Ersetzen wir in Gl L durch h, so erhalten wir für die Periode eines physikalischen Pendels: I T = 2π. (physikalisches Pendel, kleine Amplitude) (16-29) mgh Wie beim einfachen Pendel bezeichnet I das Massenträgheitsmoment des Pendels um den Punkt O. In diesem Fall ist I jedoch nicht einfach gleich ml 2, sondern es hängt von der Form des physikalischen Pendels ab. Trotzdem ist I immer noch proportional zu m. Ein physikalisches Pendel führt keine Schwingungen aus, wenn sich die Aufhängung O im Schwerpunkt befindet. In Gl entspricht dies formal dem Fall h = 0, was zu einer Periode von T führt. Ein solches Pendel würde also in endlicher Zeit keine Schwingung ausführen. Zu jedem physikalischen Pendel, das um eine gegebene Aufhängung O mit der Periode T schwingt, gibt es ein einfaches Pendel der Länge L 0 mit derselben Periode T. Wir können L 0 nach Gl berechnen. L 0 bezeichnet man auch als reduzierte Pendellänge des physikalischen Pendels, und den Punkt im physikalischen Pendel im Abstand L 0 von O bezeichnet man als das Schwingungszentrum bezüglich der Aufhängung O. Die Messung von g Mithilfe eines physikalischen Pendels können wir die Erdbeschleunigung g an einem bestimmten Punkt der Erdoberfläche messen. (Im Rahmen geologischer Untersuchungen wurden tausende solcher Messung durchgeführt.) Wir betrachten im Folgenden einen einfachen Fall: Das Pendel bestehe aus einem gleichförmigen Stab der Länge L, der an einem seiner Enden aufgehängt wird. Für ein solches Pendel ist die Länge h in Gl durch den Abstand zwischen der Aufhängung und dem Massenschwerpunkt, also durch 2 1 L, gegeben. Nach Tab. 11-2e ist das Massenträgheitsmoment für einen solchen Stab um eine Achse durch den Schwerpunkt senkrecht zur Ausdehnung des Stabs durch 12 1 ml2 gegeben. Nach dem Steinerschen Satz, Gl (I = I S + Mh 2 ), erhalten wir für das Trägheitsmoment des Stabs um eine senkrecht zur Ausdehnung gelegene Achse durch eines der Stabenden: I = I S + mh 2 = 12 1 ml2 + m ( 1 2 L ) 2 = 1 3 ml 2. (16-30) Setzen wir h = 2 1 L und I = 1 3 ml2 in Gl ein und lösen nach g auf, so finden wir: g = 8π 2 L 3T 2. (16-31) Eine Messung von L und der Periode T liefert somit den Wert von g am Ort des Pendels. (Für Präzisionsmessungen müssen noch einige Verbesserungen vorgenommen werden, beispielsweise muss sich das Pendel in einer luftleeren Kammer befinden.)

15 16-6 Pendel In Abb a schwingt ein Meterstab um eine Aufhängung an einem seiner Enden im Abstand h von seinem Schwerpunkt. (a) Wie groß ist seine Schwingungsperiode? LÖSUNG: Als LÖSUNGSIDEE müssen wir zunächst beachten, dass es sich bei dem Stab nicht um ein einfaches Pendel handelt, weil seine Masse nicht in einem punktförmigen Gewicht an dem der Aufhängung gegenüberliegenden Ende konzentriert ist. Es handelt sich daher um ein physikalisches Pendel, dessen Schwingungsdauer sich aus Gl ergibt. Dazu benötigen wir das Massenträgheitsmoment I des Stabs um den Aufhängungspunkt. Da der Stab homogen ist und eine Länge L und eine Masse m haben soll, erhalten wir aus Gl die Beziehung I = 1 3 ml2. Der Abstand h in Gl ist 2 1 L. Setzen wir diese Relationen in Gl ein, so erhalten wir: I T = 2π mgh = 2π 1 3 ml2 mg( 2 1 = 2π L) 2L 3g (2)(1,00 m) = 2π (3)(9,8m/s 2 = 1,64 s. ) Man beachte, dass das Ergebnis unabhängig von der Masse m des Pendels ist. (b) Wie groß ist die reduzierte Pendellänge L 0 des Stabs? (16-32) BEISPIELAUFGABE 16-5 h (a) O S P (b) L 0 Abb Beispielaufgabe (a) Ein Meterstab ist an einem seiner Enden befestigt und bildet ein physikalisches Pendel. (b)ein einfaches Pendel der Länge L 0 mit derselben Periode. Der Punkt P des physikalischen Pendels in (a) markiert die reduzierte Pendellänge (von der Aufhängung gemessen). LÖSUNG: Die LÖSUNGSIDEE besteht in diesem Fall darin, dass wir die Länge L 0 eines einfachen Pendels (Abb b) mit derselben Periode wie das physikalische Pendel (der Stab) aus Abb a suchen. Gleichsetzung von Gl mit Gl liefert: L 0 T = 2π g = 2π 2L 2g. Daraus ergibt sich unmittelbar: L 0 = 2 3 L = ( ) 2 3 (100 cm) = 66,7cm. Der Punkt P in Abb a markiert diesen Abstand von der Aufhängung. P ist daher das Schwingungszentrum des Stabs in Bezug auf die gegebene Aufhängung. KONTROLLFRAGE 4: Drei physikalische Pendel der Massen m 0,2m 0 und 3m 0 haben dieselbe Form, Größe und Aufhängung. Ordnen Sie die Massen nach den Schwingungsperioden der Pendel (größte Periode zuerst). In Abb springt ein (im Wassersport erfahrener) Pinguin von einem gleichförmigen Sprungbrett, das auf der linken Seite über ein Gelenk befestigt und auf der rechten Seite mit einer Feder verbunden ist. Das Brett habe die Länge L = 2,0 m und die Masse m = 12 kg. Die Federkonstante sei k = 1300 N/m. Nach dem Absprung des Pinguins schwingen das Brett und die Feder mit einer kleinen Amplitude. Das Brett sei so steif, dass es sich nicht verbiegt. Wie groß ist die Schwingungsdauer T? BEISPIELAUFGABE 16-6 LÖSUNG: Da an dem Bewegungsvorgang eine Feder beteiligt ist, würden wir vermuten, dass es sich bei den Oszillationen um eine harmonische Schwingung handelt. Diese Vermutung wollen wir durch folgende LÖSUNGSIDEE untermauern: Wenn das Sprungbrett tatsächlich eine harmonische Schwingung ausführt, dann müssen die Beschleunigung und die Auslenkung des schwingenden Brettendes über eine Gleichung der Form (a = ω 2, Gl. 16-8) miteinander in Beziehung stehen. Ist das der Fall, können wir ω und damit auch das gesuchte T aus dieser Gleichung ablesen. Wir

16 16 16 Schwingungen Abb Beispielaufgabe Nach dem Sprung des Pinguins schwingen das Brett und die Feder. Die Aufhängung des Sprungbretts entspricht dem Gelenk auf der linken Seite. L versuchen daher zunächst, eine solche Beziehung zwischen der Beschleunigung und der Auslenkung des rechten Brettendes herzuleiten. Das schwingende Brett dreht sich um das Gelenk am linken Ende. Daher interessiert uns das Drehmoment τ auf das Brett um eine Achse durch das Gelenk. Dieses Drehmoment wird von der Feder über die Kraft F auf das Brett ausgeübt. Da F eine Funktion der Zeit ist, gilt das Gleiche für τ. Doch in jedem Augenblick können wir den Betrag von τ und den Betrag von F über Gl (τ = rf sin φ) in Beziehung setzen. Es gilt: τ = LF sin 90, (16-33) wobei L der Kraftarm zu der Kraft F und 90 der Winkel zwischen dem Kraftarm und der Richtung der Kraft ist. Gleichung liefert uns zusammen mit Gl (τ = Iα): LF = Iα, (16-34) wobei I das Massenträgheitsmoment des Sprungbretts um das Gelenk und α die Winkelbeschleunigung um diesen Punkt sind. Denken wir uns das Brett als dünnen Stab mit der Aufhängung an einem Ende, so erhalten wir aus Gl für das Trägheitsmoment I des Bretts 1 3 ml2. Nun denken wir uns eine senkrechte -Achse durch das schwingende Ende des Bretts (positive Richtung nach oben). Die von der Feder auf das rechte Brettende ausgeübte Kraft ist dann F = k, wobei der vertikalen Auslenkung des rechten Endes entspricht. Setzen wir diese Ausdrücke für I und F in Gl ein, erhalten wir: Lk = ml2 α. (16-35) 3 Wir haben nun eine Beziehung zwischen der linearen (vertikalen) Auslenkung und der Rotationsbeschleunigung α (um das Gelenk). Wir können jedoch α in Gl durch die (lineare) Beschleunigung a entlang der -Achse ersetzen, indem wir die Beziehung aus Gl (a t = αr) zwischen der tangentialen Beschleunigung und der Winkelbeschleunigung ausnutzen. Die tangentiale Beschleunigung ist in unserem Fall a und der Rotationsradius r ist L. Es gilt also: α = a/l. Mit dieser Ersetzung folgt aus Gl : Lk = ml2 a 3L und somit a = 3k. (16-36) m Diese Gleichung ist tatsächlich von derselben Form wie Gl (a = ω 2 ). Das Sprungbrett führt also wirklich eine harmonische Schwingung aus. Ein Vergleich von Gl mit Gl liefert uns ω 2 = 3k m,

17 16-7 Harmonische Schwingungen und die gleichförmige Kreisbewegung woraus wir ω = 3k/m erhalten. Die Periode T können wir nun nach Gl (ω = 2π/T ) berechnen: m T = 2π 3k = 2π 12 kg 3(1300 N/m) = 0,35 s. Es mag etwas überraschen, dass die Periode unabhängig von der Länge des Bretts ist Harmonische Schwingungen und die gleichförmige Kreisbewegung Im Jahr 1610 entdeckte Galileo mit seinem neu entwickelten Teleskop die vier Hauptmonde des Jupiters. Im Verlauf seiner wochenlangen Beobachtungen schien sich jeder Mond relativ zum Planeten vor- und zurückzubewegen. Heute würden wir von einer harmonischen Bewegung sprechen. Die Planetenscheibe war der Mittelpunkt dieser Schwingung. Die handgeschriebenen Aufzeichnungen von Galileo sind uns heute noch erhalten, und A. P. French vom MIT hat aus den Daten von Galileo die Position des Monds Kallisto relativ zu Jupiter rekonstruiert. Die Ergebnisse sind in Abb wiedergegeben. Die Kreise basieren auf Galileos Beobachtungen und die Kurve entspricht der besten Anpassung an die Daten. Diese Kurve wird durch Gl. 16-3, der Auslenkungsfunktion einer harmonischen Schwingung, sehr gut beschrieben. Aus den Daten lässt sich eine Periode von 16,8 Tagen ablesen. Winkel (Bogenminuten) Westen Nächte Osten 15 Jan Feb März 1 Abb Der Winkel, unter dem Jupiter und sein Mond Kallisto von der Erde aus gesehen werden. Die Kreise beruhen auf den Messungen von Galileo aus dem Jahr Die Kurve ist die beste Anpassung für diese Daten und legt eine harmonische Schwingung nahe. Für den mittleren Abstand des Jupiters von der Erde entsprechen 10 Bogenminuten ungefähr km. (Aus A.P. French; Newtonian Mechanics, W. W. Norton & Company, New York, 1971, S. 288.) In Wirklichkeit bewegt sich Kallisto mit einer nahezu konstanten Geschwindigkeit auf einer im Wesentlichen kreisförmigen Bahn um den Jupiter. Seine wahre Bewegung alles andere als harmonisch ist eine gleichförmige Kreisbewegung. Was Galileo sah und was Sie mit einem guten Fernglas und etwas Geduld ebenfalls beobachten können ist die Projektion dieser gleichförmigen Kreisbahn auf eine Linie in der Bewegungsebene. Die wichtigen Beobachtungen Galileos führen uns zu dem Schluss, dass aus einer in Wirklichkeit gleichförmigen Kreisbewegung eine scheinbare harmonische Bewegung wird, wenn man sie von der Seite betrachtet. Etwas formaler ausgedrückt: Eine harmonische Schwingung entsteht als Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung auf die Diagonale des Kreises, auf dem diese Kreisbewegung stattfindet. Abbildung 16-14a zeigt ein Beispiel. Man erkennt ein Referenzteilchen P, das sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω auf einem Kreis bewegt. Der Radius m des Kreises ist gleich dem Betrag des Ortsvektors des Teilchens. Zu jedem Zeitpunkt t lässt sich die Position von P durch seinen Winkel (relativ zur -Achse) ωt + φ kennzeichnen, wobei φ die Winkelposition zum Zeitpunkt t = 0 ist.

18 18 16 Schwingungen y ωt + φ O (t) (a) m P' P y v ω m ωt + φ P' ωt + φ O v(t) P Die Projektion des Referenzteilchens P auf die -Achse entspricht einem Punkt P, den wir als zweites Teilchen ansehen. Die Projektion des Ortsvektors von Teilchen P auf die -Achse entspricht dem Ort (t) des Teilchens P. Wir erhalten also: (t) = m cos(ωt + φ), was genau Gl entspricht. Unsere Schlussfolgerung war richtig: Wenn sich das Referenzteilchen P gleichförmig auf einer Kreisbahn bewegt, führt das Teilchen P eine harmonische Schwingung auf dem Durchmesser dieses Kreises aus. Abbildung 16-14b gibt die Geschwindigkeit v des Referenzteilchens wieder. Nach Gl (v = ωr) ist der Betrag der Geschwindigkeit gleich ω m. Die Projektion der Geschwindigkeit auf die -Achse ist somit: v(t) = ω m sin(ωt + φ), was genau Gl entspricht. Das Minuszeichen tritt auf, weil die Geschwindigkeitskomponente von P in Abb b nach links gerichtet ist, also in die negative -Richtung. In Abb c erkennt man die Radialbeschleunigung a des Referenzteilchens. Nach Gl (a r = ω 2 r) ist der Betrag der Radialbeschleunigung gleich ω 2 r m. Seine Projektion auf die -Achse ist daher: a(t) = ω 2 m cos(ωt + φ), was genau Gl entspricht. Gleichgültig ob wir die Auslenkung, die Geschwindigkeit oder die Beschleunigung betrachten, die Projektion der gleichförmigen Kreisbewegung ist tatsächlich eine harmonische Schwingung. ωt + φ (b) O y (c) a ω 2 m P' a(t) P Abb (a) Ein Referenzteilchen P bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einem Kreis mit Radius m. Seine Projektion P auf die -Achse führt dabei eine harmonische Schwingung aus. (b) Die Projektion des Geschwindigkeitsvektors v des Referenzteilchens ist gleich der Geschwindigkeit der harmonischen Schwingung. (c) Die Projektion der Radialbeschleunigung a des Referenzteilchens ist gleich der Beschleunigung der harmonischen Schwingung Gedämpfte harmonische Schwingungen Unter Wasser wird ein Pendel nur sehr kurz schwingen, da das Wasser auf das Pendel einen Widerstand ausübt, der die Bewegung rasch abklingen lässt. Die Schwingung eines Pendels in Luft hält schon länger an, aber über kurz oder lang klingt auch diese Bewegung ab, weil auch die Luft auf das Pendel einen Widerstand ausübt (und zusätzlich noch Reibungskräfte beispielsweise an der Aufhängung auftreten). Der Pendelbewegung wird also Energie entzogen. Wenn die Bewegung eines Oszillators durch eine äußere Kraft abgeschwächt wird, bezeichnet man den Oszillator und seine Bewegung als gedämpft. Ein idealisiertes Beispiel einer gedämpften Schwingung zeigt Abb Ein Gewicht der Masse m schwingt vertikal an einer Feder mit der Federkonstanten k. Unten an dem Gewicht befindet sich ein dünner Stab mit einem Dämpfungskolben (beide als masselos angenommen), die in eine Flüssigkeit eintauchen. Wenn sich der Kolben auf- und abbewegt, übt die Flüssigkeit einen Widerstand auf ihn aus und damit auf das gesamte oszillierende System. Im Verlauf der Zeit nimmt die mechanische Energie des Feder- Gewicht-Systems ab, und die Energie wird in thermische Energie der Flüssigkeit bzw. des Kolbens umgewandelt. Wir nehmen im Folgenden an, die Flüssigkeit übe eine Reibungskraft F R aus, die proportional zum Betrag der Geschwindigkeit v des Kolbens bzw. des Gewichts ist. (Diese Annahme ist zulässig, wenn sich der Kolben nur langsam bewegt.) Für die -Komponente (vgl. Abb ) dieser Kraft gilt dann: F R = bv, (16-37) wobei b der Dämpfungskoeffizient ist, der sowohl von den Eigenschaften des Kolbens als auch von den Eigenschaften der Flüssigkeit abhängt. Seine SI-Einheit ist das Kilogramm pro Sekunde. Das Minuszeichen deutet an, dass die Kraft F R der Bewegung entgegenwirkt. Die von der Feder auf das Gewicht ausgeübte Kraft ist F F = k. Außerdem nehmen wir noch an, dass die Gravitationskraft auf das Gewicht im Vergleich zu F R und F F vernachlässigbar ist. In diesem Fall können wir das zweite newtonsche Gesetz entlang der -Achse (F ges, = ma ) in der Form bv k = ma (16-38)

19 16-8 Gedämpfte harmonische Schwingungen schreiben. Ersetzen wir v durch d/dt und a durch d 2 /dt 2 und bringen alle Terme auf eine Seite, so erhalten wir die Differenzialgleichung m d2 dt 2 + b d + k = 0. (16-39) dt In der Mathebo 16-1 wird gezeigt, dass die Lösung dieser Gleichung geschrieben werden kann als: (t) = m e bt/2m cos(ω t + φ), (16-40) wobei m die Amplitude und ω die Kreisfrequenz des gedämpften Oszillators ist. Diese Kreisfrequenz ist durch ω = k m b2 4m 2 (16-41) starre Halterung Feder, k Masse m Kolben Dämpfung, b gegeben. Für den Fall b = 0 (keine Dämpfung) wird Gl zu Gl (ω = k/m), der Kreisfrequenz des ungedämpften Oszillators, und Gl wird zu Gl. 16-3, der Gleichung für die Auslenkung des ungedämpften Oszillators. Für einen kleinen aber von null verschiedenen Dämpfungskoeffizienten (sodass b km) gilt ω ω. Abb Ein idealisierter gedämpfter harmonischer Oszillator. Ein Kolben in einer Flüssigkeit überträgt auf das Gewicht eine dämpfende Kraft, während es parallel zur -Achse oszilliert. Wir schreiben die Differenzialgleichung als d 2 d + 2δ dt2 dt + ω2 = 0, wobei wir δ = b/2m und ω 2 = k/m verwendet haben. Zur Lösung dieser Differenzialgleichung machen wir den Ansatz: = e δt. Damit ist d dt = d dt e δt δ e δt und d 2 dt 2 = d2 dt 2 e δt 2δ d dt e δt + δ 2 e δt, wobei wir wiederholt von der Produktregel der Differenzialrechnung d d (y) = dt dt y + dy dt Gebrauch gemacht haben. Setzen wir die Ausdrücke für, d/dt und d 2 /dt 2 in die Differenzialgleichung ein, so erhalten wir, nachdem wir in allen Termen den Faktor e δt gekürzt haben: d 2 ( dt 2 + ω 2 δ 2) = 0. Diese Gleichung hat nun genau wieder die Form von Gl (a = d 2 /dt 2 = ω 2 ), nur tritt hier ω 2 = ω 2 δ 2 anstelle von ω 2 auf. Demnach ist die Lösung: = m cos(ω t + φ), woraus wir sofort Gl = e δt = m e bt/2m cos(ω t + φ) für (t) erhalten. MATHEBOX 16-1

20 20 16 Schwingungen Wir können Gl als Cosinus-Funktion interpretieren, deren Amplitude gegeben durch m e bt/2m im Verlauf der Zeit abnimmt. Dies wird in Abb deutlich. Für einen ungedämpften Oszillator ist die mechanische Energie konstant und durch Gl (E = 2 1 k2 m ) gegeben. Für einen gedämpften Oszillator ist die mechanische Energie nicht mehr konstant, sondern sie nimmt im Verlauf der Zeit ab. Ist die Dämpfung schwach, können wir E(t) näherungsweise bestimmen, indem wir m in Gl durch m e bt/2m ersetzen, die Amplitude der gedämpften Schwingung. Auf diese Weise erhalten wir: E(t) 1 2 k2 m e bt/m. (16-42) Wie die Amplitude nimmt auch die mechanische Energie eponentiell mit der Zeit ab. System 1 2k 0 b 0 m 0 System 2 k 0 6b 0 4m 0 System 3 3k 0 3b 0 m 0 KONTROLLFRAGE 5: In der nebenstehenden Tabelle sind die Federkonstante, der Dämpfungskoeffizient und die Masse für drei Systeme vom Typ des gedämpften Oszillators aus Abb angegeben. Ordnen Sie diese Systeme nach der Zeit, nach der die mechanische Energie auf ein Viertel ihres Anfangswerts gesunken ist (größte zuerst). BEISPIELAUFGABE 16-7 Für den gedämpften Oszillator in Abb seien die folgenden Werte gegeben: m = 250 g, k = 85 N/m und b = 70 g/s. (a) Welche Periode hat die Bewegung? LÖSUNG: Da b km = 4,6kg/s, ist die Periode annähernd gleich der Periode des ungedämpften Oszillators. Als LÖSUNGSIDEE setzen wir diese beiden Perioden gleich und erhalten nach Gl : T = 2π m k = 2π 0,25 kg = 0,34 s. 85 N/m (b) Wie lange dauert es, bis die Amplitude der gedämpften Schwingung auf die Hälfte ihres Anfangswerts gefallen ist? LÖSUNG: Die Amplitude zur Zeit t ist nach Gl durch m e bt/2m gegeben. Ihr Anfangswert zum Zeitpunkt t = 0 ist m. Also müssen wir den Wert für t finden, für den gilt: m e bt/2m = 2 1 m. m können wir auf beiden Seiten kürzen. Außerdem nehmen wir auf beiden Seiten dieser Gleichung den natürlichen Logarithmus. Auf der rechten Seite erhalten wir ln 2 1 und auf der linken Seite ln(e bt/2m ) = bt/2m. Somit folgt: t = 2m ln 2 1 = (2)(0,25 kg)(ln 2 1 ) b 0,070 kg/s = 5,0s. Da T = 0,34 s entspricht das ungefähr 15 vollen Schwingungen. + m m e bt/2m (t ) Abb Die Auslenkungsfunktion (t) für den gedämpften Oszillator aus Abb mit den Werten aus Beispielaufgabe Die Amplitude m e bt/2m fällt eponentiell mit der Zeit ab m m e bt/2m t (s)

21 16-9 Erzwungene Schwingungen und Resonanz (c) Wie lange dauert es, bis die mechanische Energie auf die Hälfte ihres Anfangswerts abgefallen ist? LÖSUNG: Nach Gl ist die mechanische Energie zur Zeit t durch 2 1 k2 m e bt/m gegeben. Ihr Wert zum Zeitpunkt t = 0 ist 2 1 k2 m. Daher müssen wir den Wert für t finden, für den gilt: 1 2 k2 m e bt/m = 2 1 ( 12 km 2 ). Wir dividieren beide Seiten dieser Gleichung durch 2 1 k2 m und lösen wie vorher nach t auf. Diesmal finden wir: t = m ln 1 2 b = (0,25 kg)(ln 1 2 ) 0,070 kg/s = 2,5s. Das ist genau die Hälfte der Zeit, die wir unter (b) berechnet haben, und entspricht ungefähr 7,5 Schwingungsperioden. Abbildung illustriert diese Beispielaufgabe Erzwungene Schwingungen und Resonanz Eine Person auf einer Schaukel, die sich ohne äußere (und eigene) Hilfe hin- und herschwingen lässt, ist ein Beispiel für ein frei schwingendes System. Wird diese Person jedoch von einer anderen Person in regelmäßigen Abständen angestoßen, haben wir es mit einer erzwungenen (oder auch angetriebenen) Schwingung zu tun. Bei einer solchen erzwungenen Schwingung treten zwei Kreisfrequenzen auf: (1) die natürliche Kreisfrequenz ω des Systems, also die Kreisfrequenz, mit der das System ohne äußeren Einfluss schwingen würde, und (2) die Kreisfrequenz ω e der (als periodisch angenommenen) eternen, antreibenden Kraft. Wir können die Anordnung aus Abb auch zur Darstellung eines idealisierten getriebenen harmonischen Oszillators verwenden. Dazu müssen wir uns vorstellen, die als starrer Träger gekennzeichnete Struktur bewege sich mit der (frei einstellbaren) Kreisfrequenz ω e auf und ab. Ein solcher getriebener Oszillator schwingt mit der Winkelgeschwindigkeit der antreibenden Kraft und seine Auslenkung (t) ist durch (t) = X m cos(ω e t + ϕ) (16-43) gegeben, wobei m die Amplitude dieser Schwingung ist. Wie groß die Verschiebungsamplitude X m tatsächlich ist, wird in der Mathebo 16-2 ausgerechnet. Dort sehen wir, dass (für kleine Dämpfungen) die Auslenkung am größten ist, wenn ω e = ω. (Resonanz) (16-44) Das Vorliegen dieser Bedingung bezeichnet man als Resonanz. Die Resonanzbedingung ist näherungsweise auch die Bedingung dafür, dass die Verschiebungsamplitude m am größten ist. Wenn Sie also eine Schaukel bei ihrer natürlichen Frequenz anstoßen, werden die Auslenkungs- und Geschwindigkeitsamplituden sehr groß, eine Tatsache, die Kinder meist spielend erlernen. Stoßen Sie die Schaukel mit einer anderen Frequenz an, gleichgültig ob größer oder kleiner, sind die Auslenkungs- und Geschwindigkeitsamplituden kleiner. Erzwungene Schwingungen: Einen gedämpften harmonischen Oszillator mit der periodischen äußeren Kraft F m cos ω e t nennt man auch einen getriebenen Oszillator. Seine Differenzialgleichung ist d 2 d + 2δ dt2 dt + ω2 = f cos(ω e t), wobei f = F m /m und die linke Seite gerade der Gl des gedämpften harmonischen Oszillators entspricht (vgl. Mathebo 16-1). Da die rechte Seite der Gleichung des getriebenen Oszillators die gesuchte Funktion (t) nicht enthält, MATHEBOX 16-2

22 22 16 Schwingungen nennt man dies eine inhomogene Differenzialgleichung, deren zugehörige homogene Form für f = 0 erhalten wird. Die Lösung einer solchen inhomogenen Differenzialgleichung erhält man als (t) = hom (t) + inh (t), wobei hom (t) im vorliegenden Fall bereits berechnet wurde und durch Gl gegeben ist. Um eine spezielle Lösung inh (t) der vollen Differenzialgleichung zu finden, machen wir den Ansatz: inh (t) = X m cos(ω e t + ϕ) = X m [cos(ϕ) cos(ω e t) sin(ϕ) sin(ω e t)], da cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b). Bei diesem Ansatz haben wir uns von der Idee leiten lassen, dass eine hinreichend starke äußere Kraft dem Oszillator ihre Kreisfrequenz aufzwingt. Durch Ableiten erhalten wir: und d inh dt = X m ω e [cos(ϕ) sin(ω e t) + sin(ϕ) cos(ω e t)] d 2 inh dt 2 = X m ωe 2 [cos(ϕ) cos(ω et) sin(ϕ) sin(ω e t)]. Jetzt setzen wir die Ausdrücke für inh (t), d inh /dt und d 2 inh /dt 2 in die inhomogene Differenzialgleichung ein und fassen jeweils die Terme zusammen, die cos(ω e t) bzw sin(ω e t) als Vorfaktoren enthalten: cos(ω e t)a + sin(ω e t)b = 0, wobei ] A = X m [(ω 2 ωe 2 ) cos(ϕ) 2δω e sin(ϕ) f und ] B = X m [(ω e 2 ω2 ) sin(ϕ) 2δω e cos(ϕ). Da cos(ω e t) und sin(ω e t) linear unabhängige Funktionen sind, kann diese Gleichung nur dann für alle Zeiten t erfüllt sein, wenn die beiden Terme einzeln verschwinden, d. h. A = 0 und B = 0. Damit erhalten wir (aus A = 0) f X m = (ω 2 ωe 2) cos(ϕ) 2δω e sin(ϕ) und (aus B = 0) sin(ϕ) = tan(ϕ) = 2δω e cos(ϕ) ω 2 ωe 2. Durch einige Umformungen können wir diese Ausdrücke noch vereinfachen. Dazu schreiben wir: f/cos(ϕ) X m = ω 2 ωe 2 2δω e tan(ϕ) Nun ist = = f/cos(ϕ) ω 2 ω 2 e + 4δ2 ω 2 e /(ω2 ω 2 e ) f/cos(ϕ) (ω 2 ω 2 e )[1 + 4δ2 ω 2 e /(ω2 ω 2 e )2 ]. 1 cos(ϕ) = 1 + tan 2 (ϕ) = 1 + 4δ2 ω 2 e (ω 2 ω 2 e )2,

23 16-9 Erzwungene Schwingungen und Resonanz sodass f X m = (ω 2 ωe 2) 1 + 4δ 2 ωe 2/(ω2 ωe 2)2 = f (ω 2 ω 2 e )2 + 4δ 2 ω 2 e F m =. m 2 (ω 2 ωe 2)2 + b 2 ωe 2 Die Gesamtlösung ist also: (t) = hom (t) + inh (t) = m e δt cos(ω t + φ) + X m cos(ω e t + ϕ). Für Zeiten, die viel größer sind als die inverse Dämpfung, also für t 1/δ, ist der Beitrag der homogenen Lösung auf null abgefallen, sodass (t) = X m cos(ω e t + ϕ). Für eine nicht zu große Dämpfung nimmt die Amplitude dieser erzwungenen Schwingung ihren Maimalwert an für ω e ω. Ohne Dämpfung tritt dann sogar eine Divergenz auf, die so genannte Resonanzkatastrophe. Abbildung zeigt die Auslenkungsamplitude eines Oszillators als Funktion der Kreisfrequenz ω e der treibenden Kraft für drei verschiedene Werte des Dämpfungskoeffizienten b. Den größten Werte für die Amplitude erhält man für alle drei Dämpfungskoeffizienten in der Nähe von ω e /ω = 1, wenn also die Resonanzbedingung aus Gl erfüllt ist. Die Kurven in Abb lassen auch erkennen, dass weniger Dämpfung zu einer höheren und engeren Amplitudenresonanzfunktion führt. b = 50 g/s (geringste Dämpfung) Amplitude b = 70 g/s b = 140 g/s ω e /ω Abb Die Verschiebungsamplitude X m für eine erzwungene Schwingung ändert sich mit der Kreisfrequenz ω e der antreibenden Kraft. In der Nähe von ω e /ω, also der Resonanzbedingung, ist die Amplitude am größten. Die Kurven entsprechen drei verschiedenen Werten für den Dämpfungskoeffizienten b. Alle mechanischen Strukturen haben eine oder mehrere natürliche Schwingungsfrequenzen, und wenn eine solche Struktur einer starken äußeren periodischen Kraft ausgesetzt ist, die mit einer dieser Frequenzen übereinstimmt, können die resultierenden Schwingungen die Struktur zerstören. Ein Flugzeugkonstrukteur beispielsweise muss sich vergewissern, dass im Flug keine der natürlichen Schwingungsfrequenzen der Flügel mit den Schwingungsfrequenzen der Maschinen übereinstimmen. Ein bei bestimmten Fluggeschwindigkeiten heftig auf- und abschwingender Flügel wäre offensichtlich eine große Gefahr. Das Erdbeben in Meiko im September 1985 gehörte mit einem Wert von 8,1 auf der Richter-Skala zu den stärkeren Erdbeben. Trotzdem hätten die seismischen

24 24 16 Schwingungen Wellen eigentlich zu schwach sein müssen, um in dem 400 km entfernten Meiko- Stadt größere Schäden anrichten zu können. Meiko-Stadt wurde allerdings zu einem Großteil auf einem alten Seebett erbaut, und die Erde des Untergrunds ist immer noch feucht und weich. Obwohl die Amplituden der seismischen Wellen auf dem festeren Grund auf dem Weg nach Meiko-Stadt klein waren, wurden sie durch den weicheren Untergrund der Stadt wesentlich größer. Die Beschleunigungsamplituden der Wellen betrugen rund 0,20 g, und die Frequenzen waren in der Nähe von 3 rad/s ungewöhnlich konzentriert. Nicht nur, dass der Boden vergleichsweise stark oszillierte, sondern viele der Gebäude mittlerer Größe hatten auch eine natürliche Resonanzfrequenz von ungefähr 3 rad/s. Die meisten dieser mittelgroßen Gebäude fielen während des Bebens zusammen, während die kleineren Gebäude (mit einer höheren Resonanzfrequenz) und die höheren Gebäude (mit einer niedrigeren Resonanzfrequenz) stehen blieben. ZUSAMMENFASSUNG Frequenz. Die Frequenz f einer periodischen oder oszillierenden Bewegung ist gleich der Anzahl der vollen Durchläufe (Schwingungen) pro Sekunde. Im SI-System ist ihre Einheit das Hertz: 1 Hertz = 1Hz = 1 Schwingung pro Sekunde = 1s 1. (16-1) Periode. Die Periode T ist die für eine vollständige Oszillation bzw. einen vollständigen Durchlauf des Bewegungszyklus notwendige Zeit. Sie hängt mit der Frequenz folgendermaßen zusammen: T = 1 f. (16-2) Harmonische Schwingung. Bei einer harmonischen Schwingung lässt sich die Auslenkung (t) eines Teilchens aus seiner Gleichgewichtslage durch die Gleichung (t) = m cos(ωt + φ) (Auslenkung) (16-3) beschreiben. Hierbeit ist m die Amplitude der Verschiebung, die Größe (ωt + φ) ist die Phase der Bewegung und φ ist die Phasenkonstante. Die Kreisfrequenz ω hängt mit der Periode und der Frequenz über die Beziehung ω = 2π = 2πf (Kreisfrequenz) (16-5) T zusammen. Die erste und zweite Ableitung von Gl führen auf die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Teilchens bei einer harmonischen Schwingung als Funktion der Zeit: v = ω m sin(ωt + φ)(geschwindigkeit) (16-6) und a = ω 2 m cos(ωt + φ). (Beschleunigung) (16-7) Die positive Größe ω m in Gl bezeichnet man als Geschwindigkeitsamplitude v m, und die positive Größe ω 2 m in Gl bezeichnet man als Beschleunigungsamplitude a m der Bewegung. Linearer Oszillator. Ein Teilchen der Masse m führt unter dem Einfluss einer hookeschen rücktreibenden Kraft F = k eine harmonische Schwingung mit k ω = (Kreisfrequenz) (16-12) m und m T = 2π (Periode) (16-13) k aus. Ein solches System bezeichnet man als linearen harmonischen Oszillator. Energie. Bei einer harmonischen Schwingung hat ein Teilchen zu jedem Augenblick die kinetische Energie K = 1 2 mv2 und die potenzielle Energie U = 1 2 k2. Ohne Reibung ist die mechanische Energie E = K + U konstant, obwohl K und U sich ändern. Pendel. Beispiele für Systeme mit einer harmonischen Schwingung sind das Torsionspendel aus Abb. 16-7, das einfache Pendel aus Abb und das physikalische Pendel aus Abb Die zugehörigen Perioden für kleine Schwingungen sind: I T = 2π κ, (16-23) und T = 2π L g (16-28) I T = 2π mgh. (16-29) Harmonische Schwingung und gleichförmige Kreisbewegung. Die harmonische Bewegung entspricht der Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung auf den Durchmesser des Kreises, auf dem die Kreisbewegung stattfindet. In Abb erkennt man, dass alle Parameter der Kreisbewegung (Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung) auf die entsprechenden Parameter der harmonischen Schwingung projiziert werden. Gedämpfte harmonische Schwingung. Bei wirklichen schwingenden Systemen nimmt die mechanische Energie im Verlauf der Bewegung ab, weil äußere Kräfte, beispielsweise Luftwiderstand oder Reibungskräfte, die Schwingungen dämpfen und mechanische Energie in thermische Energie umwandeln. Solche Oszillatoren und ihre Bewegungen bezeichnet man als gedämpft. Ist die dämpfende Kraft durch F e = b v gegeben, wobei v die Geschwindigkeit des Oszil-

25 Fragen lators und b der Dämpfungskoeffizient sind, dann wird die Auslenkung des Oszillators durch (t) = m e bt/2m cos(ω t + φ) (16-40) beschrieben, wobei die Kreisfrequenz ω des gedämpften Oszillators durch ω k = m b2 4m 2 (16-41) gegeben ist. Für einen kleinen Dämpfungskoeffizienten (b km) ist ω ω, der Kreisfrequenz des ungedämpften Oszillators. Außerdem ist in diesem Fall die mechanische Energie FRAGEN 1 Welche der folgenden Beziehungen zwischen der Beschleunigung a und der Auslenkung eines Teilchens impliziert eine harmonische Schwingung: (a) a = 0,5, (b) a = 400 2, (c) a = 20, (d) a = 3 2? 2 Gegeben sei die Auslenkung = 2,0 m cos(5t) einer harmonischen Schwingung, gesucht ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 2 s. Sollten Sie zuerst t einsetzen und dann nach t differenzieren oder umgekehrt? 3 Abbildung zeigt die Beschleunigung a(t) eines Teilchens bei einer harmonischen Schwingung. (a) Welcher der markierten Punkte entspricht dem Ort m des Teilchens? (b) Ist die Geschwindigkeit des Teilchens bei Punkt 4 positiv, negativ oder null? (c) Befindet 1 a Abb : Frage 3 sich das Teilchen bei Punkt 5 bei m, bei + m, bei 0, zwischen m und 0 oder zwischen 0 und + m? 4 Welche der folgenden Bedingungen für φ entspricht der harmonischen Schwingung aus Abb a: (a) π <φ< π/2, (b) π<φ<3π/2, (c) 3π/2 <φ< π? (a) Abb : Fragen 4 und 5 t 5 Abbildung 16-19b zeigt die Geschwindigkeit v(t) eines Teilchens bei einer harmonischen Schwingung. Ist (a) bei Punkt A bzw. (b) bei Punkt B das Teilchen gerade in Ruhe, auf dem Weg zu m oder auf dem Weg zu + m?befindet sich das Teilchen bei m, bei + m, bei 0, zwischen m und 0 oder zwischen 0 und + m, wenn seine Geschwindigkeit (c) Punkt A bzw. (d) Punkt B entspricht? Nimmt die v B A (b) t t E des Oszillators gleich E(t) 2 1 k2 m e bt/m. (16-42) Erzwungene Schwingungen und Resonanz. Greift an einem oszillierenden System mit der natürlichen Kreisfrequenz ω eine äußere periodische Kraft mit der Kreisfrequenz ω e an, so schwingt dieses System mit der Kreisfrequenz ω e. Die Amplitude des Systems ist am größten, wenn die so genannte Resonanzbedingung ω e = ω (16-44) erfüllt ist. Dies gilt näherungsweise für kleine Dämpfungen. Geschwindigkeit des Teilchens bei (e) Punkt A bzw. (f) Punkt B gerade zu oder ab? 6 Abbildung zeigt die Auslenkungen (t) von jeweils zwei harmonischen Oszillatoren (A und B) unter drei verschiedenen Bedingungen. Die Oszillatoren sind außer in Bezug auf ihre Phase identisch. Welche Phasenverschiebung (in Radianten und in Grad) ist jeweils notwendig, um die Kurve von A mit der Kurve von B übereinstimmen zu lassen? Wählen Sie von den vielen möglichen Antworten diejenige, bei der die Phasenverschiebung den kleinsten Absolutbetrag hat. (a) A B Abb : Frage 6 t 7 In den Abbildungen 16-21a und b sind in einer Momentaufnahme die momentanen Auslenkungen von vier Oszillatoren derselben Massen und derselben Federkonstanten wiedergegeben. Wie groß ist die Phasenverschiebung zwischen den beiden linearen Oszillatoren (a) in Abb a und (b) in Abb b? (c) Welche Phasenverschiebung besteht zwischen dem roten Oszillator in Abb a und dem grünen Oszillator in Abb b? (b) (c) = m = + m = 0 (a) (b) Abb : Frage 7 B A v A B v t t

26 26 16 Schwingungen 8 (a) Bei welcher der Kurven in Abb a ist die Beschleunigung a(t) gegen die Auslenkung (t) bei einem harmonischen Oszillator aufgetragen? (b) Bei welcher der Kurven in Abb b ist die Geschwindigkeit v(t) gegen (t) aufgetragen? a(t) 1 2 (a) Abb : Frage 8 3 (t) v(t) 1 2 (b) 3 (t) 9 In Abb erkennt man einen kleinen Block A auf einem größeren Block B. Zwischen ihnen gebe es einen nicht verschwindenden Haftreibungskoeffizienten. Block B liege auf einer reibungsfreien Unterlage und befinde sich zu Beginn bei = 0, der Ruhelage der Feder. Dann ziehen wir den Block um den Abstand d aus dieser Ruhelage nach rechts heraus und lassen ihn los. Während das System aus Feder und Blöcken eine harmonische Schwingung mit der Amplitude m ausführt, befinde sich Block A kurz vor dem Abrutschen von Block B. (a) Ist die Beschleunigung von Block A konstant oder verändert sie sich? (b) Ist der Betrag der Reibungskraft, die A beschleunigt, konstant oder verändert er sich? (c) Wird A eher bei = 0 oder eher bei =± m zu rutschen beginnen? (d) Hätte die harmonische Schwingung bei einer größeren Auslenkung als d begonnen, würde Block A eher rutschen oder nicht? (Diese Aufgabe dient als Vorübung für Aufgabe 16.) Abb : Frage 9 A B reibungsfrei 10 Das System aus Feder und Gewicht aus Abb wird für zwei Eperimente eingesetzt. In dem ersten Eperiment wird das Gewicht aus der Gleichgewichtslage um eine Strecke d 1 ausgelenkt und dann losgelassen. Im zweiten Eperiment wird das Gewicht um eine größere Auslenkung d 2 aus der Gleichgewichtslage gebracht und dann losgelassen. Sind (a) die Amplitude, (b) die Periode, (c) die Frequenz, (d) die maimale kinetische Energie und (e) die maimale potenzielle Energie größer, kleiner oder gleich den entsprechenden Werten des ersten Eperiments? 11 In Abb erkennt man drei physikalische Pendel aus gleichen homogenen Kugeln derselben Masse, die jeweils durch einen Stab vernachlässigbarer Masse untereinander verbunden sind. Jedes Pendel hänge senkrecht herunter und kann um die O O O (a) (b) (c) Abb : Frage 11 Aufhängung bei O schwingen. Ordnen Sie die Pendel nach ihrer Schwingungsdauer (größte zuerst). 12 Diese Frage bezieht sich auf die Aufgabe 36: Angenommen, die Kugel hätte eine größere Geschwindigkeit, welche der folgenden Größen der harmonischen Schwingung wären größer, kleiner oder gleich: (a) Amplitude, (b) Periode, (c) maimale potenzielle Energie? 13 Sie wollen die Anordnung in Abb bauen, bei der die Schwingungen von einem Feder-Gewicht-System auf ein anderes System möglichst effektiv übertragen werden sollen. Wenn die Feder von System 1 gedehnt und dann losgelassen wird, überträgt sich die harmonische Schwingung von System 1 bei der Frequenz f 1 auf den Trägerstab. Dadurch wirkt der Stab für das System 2 wie eine äußere periodische Kraft mit der Frequenz f 1. Sie haben jeweils die Wahl, die Komponenten der beiden Systeme aus vier verschiedenen Federn mit den Federkonstanten k gleich 1600, 1500, 1400 und 1200 N/m sowie aus vier verschiedenen Gewichten mit den Massen m gleich 800, 500, 400 und 200 kg auszusuchen. Überlegen Sie sich, welche Feder mit welchem Gewicht jeweils kombiniert werden sollte, damit die Schwingungsamplitude für System 2möglichst groß wird. Stab d 1 d 2 Abb : Frage 10 System 1 System 2 Abb : Frage 13

27 Aufgaben AUFGABEN ssm Antwort im Lösungshandbuch für Studenten (Student Solutions Manual) www Antwort kann abgerufen werden im World Wide Web ilw Antwort ist in der interaktiven Lernsoftware enthalten (Interactive Learning Ware) Ein Gegenstand führe eine harmonische Schwingung aus und benötige 0,25 s, um von einem Punkt mit verschwindender Geschwindigkeit zum nächsten Punkt dieser Art zu gelangen. Der Abstand zwischen diesen beiden Punkten betrage 36 cm. Berechnen Sie (a) die Periode, (b) die Frequenz und (c) die Amplitude der Schwingung. 2 Ein oszillierendes Feder-Gewicht-System benötige 0,75 s, bis es seine Bewegung wiederholt. Bestimmen Sie (a) die Schwingungsdauer, (b) die Frequenz in Hertz und (c) die Kreisfrequenz in Radianten pro Sekunde. 3 Ein Oszillator bestehe aus einem mit einer Feder verbundenen Gewicht der Masse 0,500 kg. Wenn dieses System mit einer Amplitude von 35,0 cm schwingt, wiederholt sich die Bewegung alle 0,500 s. Berechnen Sie (a) die Periode, (b) die Frequenz, (c) die Kreisfrequenz, (d) die Federkonstante, (e) die maimale Geschwindigkeit und (f) den Betrag der maimalen Kraft, die das Gewicht auf die Feder ausübt. ssm 4 Wie groß ist die maimale Beschleunigung eines Holzbühnenbodens, der mit einer Amplitude von 2,2 cm bei einer Frequenz von 6,60 Hz schwingt? 5 Ein Lautsprecher erzeugt den Klang durch eine schwingende Membran. Angenommen, die Amplitude der Schwingungen wird auf 1, mm begrenzt, für welche Frequenzen ist die maimale Beschleunigung (Betrag) der Membran größer als g? ssm 6 Die Anzeige einer Federwaage reicht von 0 kg bis 15 kg und ist 12 cm lang. Ein an dieser Waage hängendes Paket oszilliere mit einer Frequenz von 2,00 Hz. (a) Wie groß ist die Federkonstante? (b) Wie viel wiegt das Paket? 7 Ein Teilchen der Masse 1, kg führe eine harmonische Schwingung mit einer Periode von 1, s und einer Maimalgeschwindigkeit von 1, m/s aus. Berechnen Sie (a) die Kreisfrequenz und (b) die maimale Auslenkung des Teilchens. ssm 8 Ein kleiner Gegenstand der Masse 0,12 kg führe eine harmonische Schwingung mit einer Amplitude von 8,5 cm und einer Periode von 0,20 s aus. (a) Welchen Betrag hat die maimale Kraft auf diesen Gegenstand? (b) Angenommen, die Schwingungen werden durch eine Feder hervorgerufen. Welche Federkonstante hat sie? 9 Bei einem Elektrorasierer schwinge die Klinge über einen Abstand von 2,0 mm mit einer Frequenz von 120 Hz hin und her (als harmonische Schwingung angenommen). Bestimmen Sie (a) die Amplitude, (b) die maimale Klingengeschwindigkeit und (c) den Betrag der maimalen Klingenbeschleunigung. ssm 10 Eine Lautsprechermembran führe eine harmonische Schwingung mit einer Frequenz von 440 Hz und einer maimalen Auslenkung von 0,75 mm aus. Wie groß sind (a) die Kreisfrequenz, (b) die maimale Geschwindigkeit und (c) der Betrag der maimalen Beschleunigung? 11 Bezüglich der senkrechten Schwingungen kann man ein Auto als ein Gewicht auf vier gleichartigen Federn ansehen. Die Federn seien für ein bestimmtes Auto so adjustiert worden, dass die Schwingungen eine Frequenz von 3,00 Hz haben. (a) Wie groß ist die Federkonstante jeder einzelnen Feder, wenn wir für das Auto eine Masse von 1450 kg annehmen können, die gleichmäßig auf alle vier Federn verteilt ist? (b) Mit welcher Frequenz wird das Auto schwingen, wenn noch fünf Passagiere mit einem Durchschnittsgewicht von 73 kg (ebenfalls als gleichverteilt über alle vier Federn angenommen) im Wagen sitzen? 12 Ein Körper führe eine harmonische Schwingung nach der Beziehung (t) = (6,0m) cos[(3π rad/s)t + π/3 rad] aus. Welche (a) Auslenkung, (b) Geschwindigkeit, (c) Beschleunigung und (d) Phase hat die Bewegung bei t = 2,0s? (e) Welche Frequenz und (f) welche Periode hat die Bewegung? 13 Der Kolben im Zylinderkopf einer Lokomotive habe einen Hub (zweifache Amplitude) von 0,76 m. Angenommen, der Kolben führt eine harmonische Bewegung mit 180 Umdrehungen pro Minute aus. Wie groß ist seine maimale Geschwindigkeit? ssm 14 Abbildung zeigt einen Astronauten auf einem Gerät zur Messung des Körpergewichts (BMMD = body-mass measuring device). Es wurde für die Raumfahrt entwickelt und ermöglicht einem Astronauten, sein Gewicht unter den Bedingungen der Schwerelosigkeit zu bestimmen. Das BMMD besteht aus einem Stuhl, der auf einer Feder befestigt ist. Ein Astronaut misst nun seine Schwingungsdauer Abb : Aufgabe 14