Resolution und Regeln

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1 Resolution und Regeln Hans Kleine Büning University of Paderborn Institute for Computer Science Group Paderborn, 18. Juli 2013 Resolution und Regeln Hans Kleine Büning 1/9

2 Resolution Theorem Resolution: Die Resolution ist widerlegungsvollständig, d.h. α KNF widerspruchsvoll genau dann, wenn: α Res leere Klausel. Horn Formel: Konjunktion von Horn Klauseln. Eine Horn Klausel enthält maximal ein positives Literal. Resolution und Regeln Hans Kleine Büning 2/9

3 Unit Resolution Definition Unit Resolution: Eine der beteiligten Elternklauseln ist ein Literal (x, x). Schreibweise: α Unit Res π Theorem Die Unit-Resolution ist widerlegungsvollständig für Horn Formeln, d.h. sei α HORN widerspruchsvoll, dann gilt: α Unit Res leere Klausel. Unit Resolution Forward Chaining bei Regeln Resolution und Regeln Hans Kleine Büning 3/9

4 Input Resolution Definition Input Resolutionsherleitung: 1. Wähle zwei Anfangsklauseln (Klauseln aus der Inputformel) und resolviere diese. 2. Mache weiter mit der erzeugten Resolvente und wähle dazu eine Anfangsklausel; resolviere diese und mache weiter mit (2) bis das Ziel erreicht ist. Schreibweise: α InputRes π Theorem Sei α eine widerspruchsvolle Horn Formel: α InputRes und α. Input Resolution Backward Chaining für Regeln Resolution und Regeln Hans Kleine Büning 4/9

5 Regeln mit Variablen 1 Daten: Vogel(meise), Vogel(pinguin) 2 Regel: If Vogel(x) Then Fliegen(x) 3 Definition des Folgerungsbegriffes (D, R) PSV Anfrage festlegen. 4 Welche Anfragen kann ich stellen? 5 Beziehung zu prädikatenlogischen, universellen Horn Formeln (universell quantifizierte Implikationen)? 6 Resolution und Regelverarbeitung Resolution und Regeln Hans Kleine Büning 5/9

6 Regeln mit Variablen 1 Atom = Prädikat mit Variablen x, y,.. und Konstanten a, b,.. zum Beispiel P(a, x, x, y) 2 Eine Datenbasis ist eine endliche von Atomen, die keine Variablen enthalten oder die leere Menge; zum Beispiel D = {P(a, b, a), P(a, c, a), R(a, a, d)} 3 Eine Regel hat die Form r : If α 1... α m Then β, wobei α 1,..., α m, β Atome sind. 4 Ein Regelsystem (D, R) besteht aus einer Datenbasis und einer Regelmenge. Resolution und Regeln Hans Kleine Büning 6/9

7 Regeln mit Variablen Anfragen: 1 Was folgt aus (D, R)? 2 Welche Anfragen kann man stellen? z.b. folgt P(a)oder folgt xp(x) oder xp(x)? 3 Wie schnell kann man die Anfragen beantworten? (Effizienz) 4 Wie sehen geeignete Algorithmen aus? = Übertragung von Algorithmen und Ideeen von der Prädikatenlogik 1. Stufe auf Regelsysteme. Resolution und Regeln Hans Kleine Büning 7/9

8 Universelle Horn Formln, PL1 1 Übertragung aus der Aussagenlogik 2 maximal ein positives Atom in jeder Klausel 3 hier: keine Funktionszeichen 4 Universeller Abschluss: x α, α ist eine universelle Horn Formel Anfrage: 1 xα = P(a), a ist eine Konstante äquivalent zu x(α P(a)) ist widerspruchsvoll. 2 xα = yp(y) äquivalent zu x y(α P(y)) ist widerspruchsvoll Resolution und Regeln Hans Kleine Büning 8/9

9 Resolution für prädikatenlogische Formeln in KNF Vorgehensweise: 1 Übertragung der Resolution aus der Aussagenlogik auf die Prädikatenlogik 2 Unifikation (Gleichsetzen) von Termen und Prädikaten 3 nur universelle Formeln in KNF (Skolem Normalform) 4 Ziel: α RES leere Klausel genau dann, wenn α widerspruchsvoll ist. 5 Unit Resolution für Horn Formeln, Übertragung auf Regeln mit Variablen Resolution und Regeln Hans Kleine Büning 9/9