Einführung in die theoretische Physik 1

Transkript

1 Enführung n de theoretsche hysk 1 rof. Dr. L. Mathey Denstag 15:45 16:45 und Donnerstag 10:45 12:00 Begnn: Jungus 9, Hörs 2 Mathey Enführung n de theor. hysk 1 1

2 Grundhypothese der Thermostatk Im Glechgewchtszustand kann en System durch ene Wahrschenlchketsvertelung (en Ensemble ) beschreben werden, das de Entrope maxmert, unter Berückschtgung der Zwangsbedngungen, z.b. der Erhaltungsgrößen. Ene wchtge Erhaltungsgröße st de Energe. Wr betrachten den Fall, dass en System aus N Zuständen besteht. Jeder deser Zustände habe ene Energe E,mt =1,...,N. Wr maxmeren de Entrope unter der Bedngung he = p E = U. De Größe U st de nnere Energe. Also: F ({p }) = X p log p + X Mathey Enführung n de theor. hysk 1 2 p 1 X p E Das Mnuszechen vor st de Standardkonventon, damt ene postve Zahl st. p F = 1 log(p )+ E U

3 Also können wr p we folgt schreben p = exp( E ) Z wobe der Normerungskoe zent Z gegeben st durch Z = exp( E ). De st das kanonsche Ensemble, und Z st de kanonsche Zustandssumme. st de nverse Temperatur = 1 k B T. Bespel: Harmonscher Oszllator. Das kanonsche Ensemble st (x, p) = 1 Z exp p 2 2m + m!2 2 x 2 De kanonsche Zustandssumme st k B T Z = ZZ dxdp h exp p 2 2m + m!2 2 x 2 k B T = k BT ~! Mathey Enführung n de theor. hysk 1 3

4 In desem Integral muss ene Konstante h engeführt werden, de de Enhet ener Wrkung hat, damt das Integral enhetslos st. Dese kann mt dem lanckschen Wrkungsquantum dentfzert werden. ~ st defnert als h 2. De Erwartungswerte des Ensembles enthalten h ncht. Erst be quantenmechanschen Systemen, st h oder ~ n den Observablen schtbar. De free Energe st defnert als A = k B T log Z De nnere Energe kann man we folgt schreben: U log Z = exp( E )( E ) exp( E ) = he Bespel: Harmonscher Oszllator. Mt Z = 1 ~! glt 1 U log = k B T ~! Mathey Enführung n de theor. hysk 1 4

5 De Entrope des kanonschen Ensembles st S k B = = X p log p = A k B T + U k B T X p ( log Z E ) = log Z + he Also ergbt sch folgender Zusammenhang: A = U TS. Deser Zusammenhang exsterte berets n der Thermodynamk. Vele Observablen können als partelle Abletung von thermodynamschen Größen geschreben werden. Deser Zusammenhang führt zu und verbndet wchtge thermodynamsche Größen, und ergbt daher alternatve Darstellungen. Bespel: Harmonscher Oszllator. Mt Z = k BT ~! glt A = k B T log kb T ~! S k = log kb T ~! +1 Mathey Enführung n de theor. hysk 1 5

6 De Wärmekapaztät enes Systems s defnert als C du dt. Es beschrebt de Veränderung der nneren Energe durch ene Veränderung der Temperatur. Es glt: C = du dt = d E exp( E ) dt exp( E ) = E exp( E ) E k B T 2 exp( E ) = 1 k B T 2 (he 2 hehe) = 1 k B T 2 h E exp( E ) E exp( exp( E ) E 2 E ) E k B T 2 exp( E ) De Wärmekapaztät st also proportonal zur Varanz der Energe. Bespel: Harmonscher Oszllator. De Energe st gegeben durch U = k B T. Also glt du dt = k B. Mathey Enführung n de theor. hysk 1 6

7 Klassscher aramagnetsmus Wr betrachten N klasssche Dpole mt magnetschem Moment ~µ n enem konstanten, magnetschen Feld H. ~ De magnetschen Momente ~µ snd Vektoren konstanter Länge µ. De Energe st gegeben durch: X E = ~µ ~H = µh X cos Der Grundzustand deses Systems st gegeben durch = 0: Alle Dpole snd n z-rchtung ausgerchtet. De Magnetserung des Systems st M 1 N µhcos. Für den Grundzustand ergbt sch M = µ. Für endlche Temperaturen werden de Dpole thermsche aktvert und de Magnetserung wrd reduzert. Für sehr große Temperaturen verschwndet de Magnetserung. Wr leten deses Ergebns nun quanttatv her. kalt H warm Mathey Enführung n de theor. hysk 1 7

8 Wahrschenlchketsvertelung enes Dpoles k B T µh = 0.1 k B T µh = 0.5 k B T µh = 2 H k B T µh Mathey Enführung n de theor. hysk 1 8

9 De Rchtungen der Dpole seen durch de Kugelkoordnaten und parametrsert. De Zustandssumme st X Z = exp µh X cos = Z1 N { },{ } Z 1 st de Zustandssumme enes enzelnen Dpoles: Z 1 = Z 2 0 = 2 d Z 1 1 Z 0 du exp( sn d exp( µh cos ) µhu) =4 snh( µh) µh u = cosθ De Magnetserung kann we folgt geschreben werden: M = 1 N X hµ cos = = 1 H log Z 1 N µ cos exp( µh j cos j) Z Mathey Enführung n de theor. hysk 1 9

10 Mt log Z = log(z N 1 )=N log Z 1 glt: 1 H log Z = H log Z 1 = 1 µh 4 4 snh( µh) µh 1 = µ coth( µh) µl( µh) µh L(x) st de Langevn Funkton: Für x 1 glt: L(x) coth x L(x) x x 2 snh( µh)+ 4 µh cosh( µh) µ L(x) Mathey Enführung n de theor. hysk 1 x 3 x

11 Für de Magnetserung M glt also Für k B T M µ = L µh k B T µh glt also M µ = µh 3k B T M µ De magnetsche Suszeptbltät st defnert als = N C T T µh Für hohe Temperaturen k B T µh glt = N = Nµ2 3k B T C T Dese Temperaturabhänggket des magnetschen Suszeptbltät st das Cure Gesetz, mt der Cure Konstante C. Mathey Enführung n de theor. hysk 1 11

12 Suszeptbltät enes Materals be hohen Temperaturen Bestätgung des Cure Gesetzes! Mathey Enführung n de theor. hysk 1 12

13 De nnere Energe st U log Z = NµHL( µh) De Wärmekapaztät st C = du dt = k B N 1 ( µh) 2 snh 2 ( µh) Für k B T µh verhält sch de nnere Energe und de Wärmekapaztät we en System aus N harmonschen Oszllatoren. Für k B T µh sättgt sch de nnere Energe, und de Wärmekapaztät strebt gegen Mathey Enführung n de theor. hysk U NµH C Nk B harm.osz. harm.osz. k B T µh k B T µh 13

14 Isng Spns Im Gegensatz zu klassschen Spns nehmen quantenmechansche Spns dskrete Werte an. Z.B nmmt en Spn- 1 2 de Werte ± 1 2 an. Der hasenraum enes Systems aus N Spns besteht also aus allen Kombnatonen ("""), (""#), ("#"), etc. In enem Magnetfeld H haben de Zustände " und # de Energen µh und µh. De Zustandssumme enes enzelnen Spns st Z 1 = exp( µh) + exp( µh) = 2 cosh( µh) De Zustandssumme von N Spns st Z = Z1 N. De Magnetserung st M = 1 H log Z = µ tanh( µh) Mathey Enführung n de theor. hysk 1 14